2.1.2有理数的减法（第1课时有理数的减法法则）（导学案）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学导学案聚焦“有理数的减法法则”第1课时，通过复习有理数加法运算律搭建旧知基础，结合北京温差计算的实际情境引入新课，引导学生从逆运算角度推导法则，构建从加法到减法的知识脉络。 导学案以“自主学习+合作探究”为主线，强调“两变一不变”转化方法培养运算能力，通过温差、数轴距离等多情境问题发展推理意识，分层习题设计兼顾基础与应用，助力学生用数学语言解决实际问题，提升模型意识与应用能力。

2.1.2有理数的减法 导学案 第1课时 有理数的减法法则 1.能熟练运用“减去一个数等于加上该数的相反数”进行两个有理数的减法运算，做到“两变一不变”的规范 转化。 2.理解两数相减时差的符号规律，能用减法解决温差、数轴距离等实际情境问题。 3.经历从情境提出、逆运算推导到法则归纳的过程，体会转化思想与归纳思想。 学习重点：有理数减法法则的推导与“两变一不变”运用。 学习难点：逆运算思想的理解及其在多情境中的迁移应用。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 旧知复习 思考：上节课我们学习了有理数的加法运算律，谁能说一说有理数的加法运算律是什么？ 加法交换律：文字：两个有理数相加， 加数的位置， 不变. 字母： 加法结合律：文字：三个有理数相加，先把 相加，或者先把 相加， 不变. 字母： 新课引入 思考：实际问题中有哪些涉及到有理数减法？下面我们一起看看. 北京某一天的气温是－3～3 ℃，计算这一天的温差就要计算 3－(－3). 思考：3－(－3)的结果是多少？应该如何得到？ 在有理数范围内，减法应该如何计算？这就是我们今天要研究的内容. 新知自研：自研课本第30--32页的内容． 【学法指导】 自研课本P30-32的内容，思考： ●探究一：有理数减法法则的推导 ◆1.探究讨论 探究：3－(－3)的结果是多少？应该如何得到？ 观察温度计，3 ℃比－3 ℃高多少摄氏度？ 从温度计上可以看出3－(－3)= ，这个结果除了从温度计上观察还能怎样得到呢？ 计算3－(－3)，即求一个数，使得它与－3 得 3。 【总结】：减法是 的逆运算。在把减法推广到有理数范围内时，规定有理数的减法与加法之间仍具有上述关系。 ◆2.新知探究 3－(－3)= 的推导：因为 与－3 相加得 3，所以这个数应该是 ，即：3－(－3)＝ ① 另一方面，我们知道：3＋(＋3)＝ ②由①②，得：3－(－3)＝3＋( )③（将减法转化为加法） 【总结】由此可推测，有理数的减法可以转化为它的逆运算，即转化为有理数的 . ◆3.思考讨论 ①从③式能看出减－3 相当于加哪个数吗？把 3 分别换成 0，－1，－5，用上面的方法考虑：0－(－3)，(－1)－(－3)，(－5)－(－3).这些数减－3 的结果与它们加＋3 的结果相同吗？ 【解答】 ②计算 9－8，9＋(－8)，15－7，15＋(－7)，从中又有什么新发现？ 【解答】 【总结】可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行. ◆4.总结概括 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的 . 字母表示：a－b＝a＋ . 显然，两个有理数相减，差是一个有理数。 注意：将减法转化为加法时，要注意"两变一不变" ①“两变”：运算符号“－”变成“ ”，减数变成它的 ； ②"一不变"： 不变。 ◆5.例题讲解 (1) (−3)−(−5)； (2) 0−7； (3) 2−5； (4) 7.2−(−4.8)； (5) (−3)−5． 【分析】减去一个数，等于加上这个数的 . 【解答】 ◆6.新知探究 有理数减法的三种常见情况： ① 0 减去一个数等于这个数的 .如0－5＝0＋(－5)＝－5； ② 减去一个负数等于加上一个 . 如3－(－5)＝3＋(＋5)＝8； ③ 减去一个正数等于加上一个 . 如3－5＝3＋(－5)＝－2. ●探究二：两数相减时差的符号规律 ◆1.探究讨论 在小学，只有当 a 大于或等于 b 时（其中a，b是 0 或正数），我们才能计算 a－b（如 2－1，1－1）。现在，当 a 小于b 时，你能计算 a－b（如 1－2，(－1)－1）吗？ 归纳总结：在有理数范围内，较小的数减去较大的数是可以计算的，且依旧满足减去一个数等于加上这个数的 这个规律. ◆2.知识小结 两数相减时差的符号： ① 较大的数－较小的数＝ . 即若 a＞b，则 a－b 0； ② 较小的数－较大的数＝ . 即若 a＜b，则 a－b 0； ③ 相等的两个数的差为 . 即若 a＝b，则 a－b＝ . ◆3.知识巩固 计算：(1)0−(+1)； (2)(+4.5)−(−2.8)； (3)−−(+)； (4)−1−(−). 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨有理数减法法则，理解 “两变一不变”，交流减法转化为加法的转化思想； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下列计算正确的是（     ） A．−7−(−2)=5 B．(−3.6)−(+5.4)=1.8 C．(−)−(−)=− D．4−(−5)=−1 2．计算： （1）5.6−(−3.2)； （2）(+)−[(−2)−(−)]； （3）1−(+1)−(−)−(+)． 3．如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，−2，5且AO=BO，则BC=________．   4.如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是−2，点B对应的数是10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． （1）求A、B两点之间的距离． （2）当t=1时，求P、Q两点之间的距离． 5.一箱苹果重40千克，第一天吃了它的，第二天吃了千克；则还剩________千克． 6.小薇汇总了近一周微信账单的每日收支（规定收入记为正，支出记为负），数据如下： （1）这一周中，星期______收入最多，星期______支出最多，这两天的收支差额是______元； （2）计算这一周的收支总额． ▲1、总结概括 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的 . 字母表示：a－b＝a＋ . 注意：将减法转化为加法时，要注意"两变一不变" ①“两变”：运算符号“－”变成“ ”，减数变成它的 ； ②"一不变"： 不变。 ▲２、两数相减时差的符号： 两数相减时差的符号： ① 较大的数－较小的数＝ . 即若 a＞b，则 a－b 0； ② 较小的数－较大的数＝ . 即若 a＜b，则 a－b 0； ③ 相等的两个数的差为 . 即若 a＝b，则 a－b＝ . 题型一：有理数的减法运算 1．计算﹣4﹣2的结果是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6 5．下列计算错误的是（　　） A．﹣2﹣（﹣2）＝0 B．﹣3﹣4﹣5＝﹣12 C．﹣7﹣（﹣3）＝﹣10 D．3﹣15＝﹣12 3．小明做了以下3道计算题：①﹣2﹣2＝0；②﹣2﹣（﹣2）＝﹣4；③﹣3+5﹣6＝﹣4，请你帮他检查一下，他一共做对了（　　） A．1道 B．2道 C．3道 D．0道 4．计算下列各题： （1）； （2） 0﹣（﹣22）； （3）8.3﹣（﹣2.7）； （4）； （5）； （6）| —1－（—2）| 5．计算下列各题： (1)； (2)． 6．现有四个有理数． (1)求最大数与最小数的差； (2)若再添上一个有理数，使得五个有理数的和为，求的值． 题型二：数轴与有理数减法的综合 7．有理数a、b的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．﹣a+b＜0 D．﹣a﹣b＞0 8．如图，数轴上的点M，N分别表示，2，则点M到点N的距离为（   ） A．5 B． C．1 D． 9．如图，数轴上的点A、B、O、C、D分别表示，0，，6． 根据题图，回答下列问题： (1)C、B两点间的距离是多少？ (2)B、D两点间的距离是多少？ (3)A、B两点间的距离是多少？ 10．已知数轴上点A、点B所表示的数分别为a，b (1)若，，A、B两点的距离为____________，点A、点B的中点C表示的数为____________． (2)到点A为3个单位长度的数可表示为____________． (3)A、B两点间的距离为____________． 题型三：绝对值与有理数减法的综合 11．若|x﹣2|＝5，|y|＝4，且x＞y，求x﹣y的值． 12.已知|x|＝3，|y|＝2． （1）若x＞0，y＜0，求x+y的值； （2）若x＜y，求x﹣y的值． 13．已知，． (1)填空： ； ； (2)若，求的值． 14．学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值|等于它的相反数，也即当时，，当时，，根据以上内容完成下面的问题： (1)______； (2)______； (3)如果有理数，则______； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：. 题型四：有理数减法实际应用 15．横冲国际滑雪场某一天的最高气温为1℃，最低气温为﹣9℃，则这天的最高气温比最低气温高（　　） A．﹣10℃ B．﹣8℃ C．8℃ D．10℃ 16．某市1月17日至1月20日的天气预报如下，其中温差最大的一天是（　　） A．17日 B．18日 C．19日 D．20日 17．矿井下A、B、C三处的高度分别是﹣37.4m，﹣129.8m，﹣71.3m，则矿井最高处比最低处高　 　米． 18．某班6名同学的身高（单位：cm）情况如表： 同学 A B C D E F 身高 165 　　 166 　　 　　 171 身高与班级平均身高的差值 ﹣1 +2 　 ﹣3 +3 　　 （1）完成表中空白的部分； （2）6名同学身高的最大值和最小值的差是多少？ （3）求6名同学的平均身高． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2有理数的减法 导学案 第1课时 有理数的减法法则 1.能熟练运用“减去一个数等于加上该数的相反数”进行两个有理数的减法运算，做到“两变一不变”的规范 转化。 2.理解两数相减时差的符号规律，能用减法解决温差、数轴距离等实际情境问题。 3.经历从情境提出、逆运算推导到法则归纳的过程，体会转化思想与归纳思想。 学习重点：有理数减法法则的推导与“两变一不变”运用。 学习难点：逆运算思想的理解及其在多情境中的迁移应用。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 旧知复习 思考：上节课我们学习了有理数的加法运算律，谁能说一说有理数的加法运算律是什么？ 加法交换律：文字：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变. 字母：a+b=b+a 加法结合律：文字：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 字母：(a+b)+c=a+(b+c) 新课引入 思考：实际问题中有哪些涉及到有理数减法？下面我们一起看看. 北京某一天的气温是－3～3 ℃，计算这一天的温差就要计算 3－(－3). 思考：3－(－3)的结果是多少？应该如何得到？ 在有理数范围内，减法应该如何计算？这就是我们今天要研究的内容. 新知自研：自研课本第30--32页的内容． 【学法指导】 自研课本P30-32的内容，思考： ●探究一：有理数减法法则的推导 ◆1.探究讨论 探究：3－(－3)的结果是多少？应该如何得到？ 观察温度计，3 ℃比－3 ℃高多少摄氏度？ 从温度计上可以看出3－(－3)=6，这个结果除了从温度计上观察还能怎样得到呢？ 计算3－(－3)，即求一个数，使得它与－3 相加得 3。 【总结】：减法是加法的逆运算。在把减法推广到有理数范围内时，规定有理数的减法与加法之间仍具有上述关系。 ◆2.新知探究 3－(－3)=6的推导：因为 6 与－3 相加得 3，所以这个数应该是 6，即：3－(－3)＝6① 另一方面，我们知道：3＋(＋3)＝6②由①②，得：3－(－3)＝3＋(＋3)③（将减法转化为加法） 【总结】由此可推测，有理数的减法可以转化为它的逆运算，即转化为有理数的加法. ◆3.思考讨论 ①从③式能看出减－3 相当于加哪个数吗？把 3 分别换成 0，－1，－5，用上面的方法考虑：0－(－3)，(－1)－(－3)，(－5)－(－3).这些数减－3 的结果与它们加＋3 的结果相同吗？ 【解答】解：减－3 相当于加＋3. 验证：0－(－3)＝3，0＋(＋3)＝3 → 结果相同 (－1)－(－3)＝2，(－1)＋(＋3)＝2 → 结果相同 (－5)－(－3)＝－2，(－5)＋(＋3)＝－2 → 结果相同 ②计算 9－8，9＋(－8)，15－7，15＋(－7)，从中又有什么新发现？ 【解答】解：9－8＝1，9＋(－8)＝1 → 结果相同 15－7＝8，15＋(－7)＝8 → 结果相同 【总结】可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行. ◆4.总结概括 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数. 字母表示：a－b＝a＋(－b). 显然，两个有理数相减，差是一个有理数。 注意：将减法转化为加法时，要注意"两变一不变" ①“两变”：运算符号“－”变成“＋”，减数变成它的相反数； ②"一不变"：被减数不变。 ◆5.例题讲解 (1) (−3)−(−5)； (2) 0−7； (3) 2−5； (4) 7.2−(−4.8)； (5) (−3)−5． 【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数. 【解答】解：(1) (−3)−(−5)=(−3)+5=2 (2) 0−7=0+(−7)=−7; (3) 2−5=2+(−5)=−3; (4) 7.2−(−4.8)=7.2+4.8=12; (5) (−3)−5=(−3)+(-5)=−8. ◆6.新知探究 有理数减法的三种常见情况： ① 0 减去一个数等于这个数的相反数.如0－5＝0＋(－5)＝－5； ② 减去一个负数等于加上一个正数. 如3－(－5)＝3＋(＋5)＝8； ③ 减去一个正数等于加上一个负数. 如3－5＝3＋(－5)＝－2. ●探究二：两数相减时差的符号规律 ◆1.探究讨论 在小学，只有当 a 大于或等于 b 时（其中a，b是 0 或正数），我们才能计算 a－b（如 2－1，1－1）。现在，当 a 小于b 时，你能计算 a－b（如 1－2，(－1)－1）吗？ 解：1－2＝1＋(－2)＝－1 (－1)－1＝(－1)＋(－1)＝－2 （减号变成加号） 归纳总结：在有理数范围内，较小的数减去较大的数是可以计算的，且依旧满足减去一个数等于加上这个数的相反数这个规律. ◆2.知识小结 两数相减时差的符号： ① 较大的数－较小的数＝正数 即若 a＞b，则 a－b＞0； ② 较小的数－较大的数＝负数 即若 a＜b，则 a－b＜0； ③ 相等的两个数的差为 0 即若 a＝b，则 a－b＝0。 ◆3.知识巩固 计算：(1)0−(+1)； (2)(+4.5)−(−2.8)； (3)−−(+)； (4)−1−(−). 【分析】0减去一个数等于这个数的相反数； 减去一个负数等于加上一个正数； 减去一个正数等于加上一个负数. 解：(1)0−(+1)=0+(−1)=−1. (2)(+4.5)−(−2.8)=(+4.5)+(+2.8)=7.3. (3)−−(+)=−+(−)=−(+)=−(+)=−. (4)−1−(−)=−+(+)=0. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨有理数减法法则，理解 “两变一不变”，交流减法转化为加法的转化思想； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下列计算正确的是（     ） A．−7−(−2)=5 B．(−3.6)−(+5.4)=1.8 C．(−)−(−)=− D．4−(−5)=−1 【分析】利用有理数减法法则将减法转化为加法，逐个验算选项选出正确答案. 解：A、−7−(−2)=−7+2=−5，原式计算错误，不符合题意； B、(−3.6)−(+5.4)=−9，原式计算错误，不符合题意； C、(−)−(−)=−+=−，计算正确，符合题意； D、4−(−5)=4+5=9，原式计算错误，不符合题意． 2．计算： （1）5.6−(−3.2)； （2）(+)−[(−2)−(−)]； （3）1−(+1)−(−)−(+)． 解：（1）原式=5.6+3.2=8.8； （2）原式=−(−2+)=−(−)=+=2； （3）原式=1+(−1)++(−)=[1+(−1)+]+(−)=0+(−)=−． 3．如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，−2，5且AO=BO，则BC=________．   【分析】先由数轴上两点间距离公式可得AO=2，即BO=2，易得点 B 表示的数为 2，最后再运用数轴上两点间距离公式求解即可． 解：∵ 点O，A，C表示的数分别为0，−2，5， ∴AO=|0−(−2)|=2， ∵AO=BO， ∴BO=2， 由图可知点 B 在原点 O 的右侧 ， ∴ 点 B 表示的数为 2， ∵ 点 C 表示的数为 5， ∴BC=|5−2|=3． 4.如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是−2，点B对应的数是10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． （1）求A、B两点之间的距离． （2）当t=1时，求P、Q两点之间的距离． 解：（1）∵点A对应的数是−2，点B对应的数是10， ∴A，B两点之间的距离为|−2−10|=12； （2）当t=1时，点P对应的数为−2+4×1=2 点Q对应的数为10+1×1=11， ∴P，Q两点之间的距离为|2−11|=9. 5.一箱苹果重40千克，第一天吃了它的，第二天吃了千克；则还剩________千克． 【分析】本题考查了考查有理数乘法和减法的实际应用，根据第一天吃了它的，第二天吃了千克，列式40−40×−计算即可. 解：根据题意：40−40×− =40-8− =32− =31（千克）． 6.小薇汇总了近一周微信账单的每日收支（规定收入记为正，支出记为负），数据如下： （1）这一周中，星期______收入最多，星期______支出最多，这两天的收支差额是______元； （2）计算这一周的收支总额． 解：（1）收入最多即数据中的最大值，为星期二的+256元； 支出最多即数据中的最小值，为星期一的−300元； 这两天的收支差额是256−(−300)=256+300=556（元）． 故答案为：二，一，556； （2）解：−300+256+(−196)+(−36)+86+(−89)+9 =256+86+9−300−196−36−89 =351−621 =−270（元）． ▲1、总结概括 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数. 字母表示：a－b＝a＋(－b). 注意：将减法转化为加法时，要注意"两变一不变" ①“两变”：运算符号“－”变成“＋”，减数变成它的相反数； ②"一不变"：被减数不变。 ▲２、两数相减时差的符号： ① 较大的数－较小的数＝正数 即若 a＞b，则 a－b＞0； ② 较小的数－较大的数＝负数 即若 a＜b，则 a－b＜0； ③ 相等的两个数的差为 0 即若 a＝b，则 a－b＝0。 题型一：有理数的减法运算 1．计算﹣4﹣2的结果是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6 【分析】运用有理数的减法运算法则计算． 【解答】解：﹣4﹣2＝﹣6． 故选：C． 【点评】本题考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．下列计算错误的是（　　） A．﹣2﹣（﹣2）＝0 B．﹣3﹣4﹣5＝﹣12 C．﹣7﹣（﹣3）＝﹣10 D．3﹣15＝﹣12 【分析】根据有理数的减法运算法则对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、﹣2﹣（﹣2）＝﹣2+2＝0正确，故本选项错误； B、﹣3﹣4﹣5＝﹣12正确，故本选项错误； C、﹣7﹣（﹣3）＝﹣7+3＝﹣4，故本选项正确； D、3﹣15＝﹣12正确，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 3．小明做了以下3道计算题：①﹣2﹣2＝0；②﹣2﹣（﹣2）＝﹣4；③﹣3+5﹣6＝﹣4，请你帮他检查一下，他一共做对了（　　） A．1道 B．2道 C．3道 D．0道 【分析】根据有理数的减法运算法则和加法运算法则对各小题分别计算即可得解． 【解答】解：①﹣2﹣2＝﹣4，故本小题错误； ②﹣2﹣（﹣2）＝﹣2+2＝0，故本小题错误； ③﹣3+5﹣6＝﹣9+5＝﹣4，故本小题正确； 综上所述，他一共做对了1道． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的减法，有理数的加法运算，熟记运算法则是解题的关键，计算时要注意运算符号的处理． 4．计算下列各题： （1）； （2） 0﹣（﹣22）； （3）8.3﹣（﹣2.7）； （4）； （5）； （6）| —1－（—2）| 【分析】（1）（2）（3）（5）按照有理数的减法法则计算即可； （4）先化简绝对值，再按照有理数的减法计算即可； （6）先运用有理数的减法法则进行计算，在化简绝对值． 【解答】解：（1） ＝﹣1； （2） 0﹣（﹣22）； =0+22 =22； （3）8.3﹣（﹣2.7） =8.3+2.7 =11； （4） ＝7.5 ＝7； （5） 1 ； （6） = = =1 【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握相关计算法则及运算律是解题的关键． 5．计算下列各题： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，掌握有理数减法的运算法则成为解题的关键． （1）先化减为加，然后再运用有理数加法运算律进行简便运算即可； （2）先将小数化为分数、再化减为加，然后再运用有理数加法运算律进行简便运算即可． 【解答】（1）解： ． （2）解： ． 6．现有四个有理数． (1)求最大数与最小数的差； (2)若再添上一个有理数，使得五个有理数的和为，求的值． 【答案】(1) 最大数与最小数的差为 (2) 的值为 【分析】（1）根据题意找出最大的数和最小的数作减法即可； （2）根据和与差的关系，将0减去这四个数之和即可得出结果． 【解答】（1）解：由题意可知，最大的数是，最小的数是， ∴． （2）解： 由题意可得 ． 题型二：数轴与有理数减法的综合 7．有理数a、b的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．﹣a+b＜0 D．﹣a﹣b＞0 【分析】先根据数轴分析出a与b的取值范围，再逐项进行判断即可． 【解答】解：由题可知：a＜0＜b，且|a|＞|b|， A．a+b＜0，结论错误； B．a﹣b＜0，结论错误； C．﹣a+b＞0，结论错误； D．﹣a﹣b＞0，结论正确； 故选：D． 【点评】本题考查了数轴，有理数的加减运算，根据a、b在数轴上的位置以及掌握有理数加减运算法则是解题的关键． 8．如图，数轴上的点M，N分别表示，2，则点M到点N的距离为（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：∵数轴上的点M，N分别表示，2， ∴点M到点N的距离为 ． 9．如图，数轴上的点A、B、O、C、D分别表示，0，，6． 根据题图，回答下列问题： (1)C、B两点间的距离是多少？ (2)B、D两点间的距离是多少？ (3)A、B两点间的距离是多少？ 【解答】（1）解：C、B 两点间的距离是：； （2）解：B、D 两点间的距离是； （3）解：A、B 两点间的距离是． 10．已知数轴上点A、点B所表示的数分别为a，b (1)若，，A、B两点的距离为____________，点A、点B的中点C表示的数为____________． (2)到点A为3个单位长度的数可表示为____________． (3)A、B两点间的距离为____________． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的加法，减法运算，绝对值的含义. （1）直接利用数轴上两点之间的距离公式计算A、B两点的距离即可，再由加上A、B两点的距离的一半可得点A、点B的中点C表示的数. （2）根据到点A为3个单位长度的数有两个，再进一步表示即可. （3）直接利用数轴上两点之间的距离公式计算A、B两点的距离即可. 【解答】（1）解：∵，， ∴A、B两点的距离为：，点A、点B的中点C表示的数为：． （2）解：到点A为3个单位长度的数可表示为：或. （3）解：A、B两点间的距离为：. 题型三：绝对值与有理数减法的综合 11．若|x﹣2|＝5，|y|＝4，且x＞y，求x﹣y的值． 【分析】根据绝对值的意义先求出x，y的值，然后代入即可． 【解答】解：∵|x﹣2|＝5，|y|＝4， ∴x＝7或﹣3，y＝±4． 又x＞y， ∴x＝7，y＝±4或x＝﹣3，y＝﹣4． 当x＝7，y＝4时，x﹣y＝3； 当x＝7，y＝﹣4时，x﹣y＝11； 当x＝﹣3，y＝﹣4时，x﹣y＝1． 综上x﹣y的值为：3或11或1． 【点评】此题考查了绝对值的意义及有理数的减法，解题的关键是：根据绝对值的意义先求出x，y的值． 12.已知|x|＝3，|y|＝2． （1）若x＞0，y＜0，求x+y的值； （2）若x＜y，求x﹣y的值． 【分析】（1）确定x、y的值，代入计算即可； （2）根据|x|＝3，|y|＝2．x＜y，确定x、y的值，代入计算即可． 【解答】解：（1）由|x|＝3，|y|＝2．x＞0，y＜0，得，x＝3，y＝﹣2， ∴x+y＝3+（﹣2）＝1； 所以x+y的值为1； （2）由|x|＝3，|y|＝2．x＜y，可得x＝﹣3，y＝2或x＝﹣3，y＝﹣2， 当x＝﹣3，y＝2时，x﹣y＝﹣3﹣2＝﹣5， 或x＝﹣3，y＝﹣2时，x﹣y＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1， 所以x﹣y的值为﹣5或﹣1． 【点评】本题考查有理数的加减法以及绝对值的意义，确定x、y的值是正确计算的前提． 13．已知，． (1)填空： ； ； (2)若，求的值． 【分析】本题考查绝对值，有理数的减法运算； （1）根据绝对值的定义解答即可； （2）根据题意得到，进而得到x和y的值，然后代入，根据有理数的减法解答． 【解答】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， ∴，；或， 当，时，； 当，时， 综上所述，的值为或． 14．学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值|等于它的相反数，也即当时，，当时，，根据以上内容完成下面的问题： (1)______； (2)______； (3)如果有理数，则______； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：. 【分析】此题考查了有理数减法，相反数，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键. （1）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （3）判断的正负，利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （4）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值. 【解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：∵, 即, ∴， 故答案为：； （4）解： ． 题型四：有理数减法实际应用 15．横冲国际滑雪场某一天的最高气温为1℃，最低气温为﹣9℃，则这天的最高气温比最低气温高（　　） A．﹣10℃ B．﹣8℃ C．8℃ D．10℃ 【分析】用最高气温减去最低气温，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意这天的最高气温比最低气温高1﹣（﹣9）＝1+9＝10（℃）， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 16．某市1月17日至1月20日的天气预报如下，其中温差最大的一天是（　　） A．17日 B．18日 C．19日 D．20日 【分析】求出每天的温差，再根据有理数的大小比较法则比较即可． 【解答】解：11月17日的温差：﹣5﹣（﹣8）＝3（℃）， 11月18日的温差：1﹣（﹣4）＝5（℃）， 11月19日的温差：2﹣0＝2（℃）， 11月20日的温差：5﹣2＝3（℃）， 所以温差最大的是11月18日的温差5℃． 故选：B． 【点评】此题主要考查了有理数减法的运用．解决问题的关键是掌握有理数减法的运算法则． 17．矿井下A、B、C三处的高度分别是﹣37.4m，﹣129.8m，﹣71.3m，则矿井最高处比最低处高　 　米． 【分析】先确定最高处和最低处，根据有理数的减法，可得两地的相对高度． 【解答】解：∵最高处：﹣37.4米， 最低处：﹣129.8米， 最高处比最低处高：﹣37.4﹣（﹣129.8）＝92.4（米）， 故答案为：92.4． 【点评】本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数． 18．某班6名同学的身高（单位：cm）情况如表： 同学 A B C D E F 身高 165 　　 166 　　 　　 171 身高与班级平均身高的差值 ﹣1 +2 　 ﹣3 +3 　　 （1）完成表中空白的部分； （2）6名同学身高的最大值和最小值的差是多少？ （3）求6名同学的平均身高． 【分析】（1）先求出班级的平均身高，然后再用每一个同学的身高减去班级的平均身高即可； （2）根据表格可以判断，然后进行计算即可； （3）用这6名同学的身高和除以6即可． 【解答】解：（1）由题意得： 班级的平均身高为：165﹣（﹣1）＝166（cm）， 166+2＝168（cm）， 166﹣166＝0（cm）， 166﹣3＝163（cm）， 166+3＝169（cm）， 171﹣166＝5（cm）， 故答案为：168，0，163，169，+5； （2）根据表格知道：最高身高为171cm，最矮身高为163cm， 171﹣163＝8（cm）， 答：6名同学身高的最大值和最小值的差是8cm； （3）（165+168+166+163+169+171） 1002 ＝167（cm）， 答：6名同学的平均身高为167cm． 【点评】本题考查了有理数的减法，正数和负数，准确熟练的计算是解题的关键． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $