2.1.2有理数的减法（第2课时有理数的加减混合运算）（导学案）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学导学案聚焦有理数加减混合运算，核心内容包括运算统一为加法、省略括号与加号、运用运算律简算及数轴两点距离表示。通过复习减法法则和加法运算律，结合具体算式引入新课，搭建从单一运算到混合运算的学习支架。 资料以自主学习与合作探究结合，分层次设计探究任务，题型涵盖数轴、绝对值综合及实际应用等。通过转化思想培养运算能力与推理意识，符号化表示发展符号意识，助力学生用数学思维与语言解决问题。

2.1.2有理数的减法 导学案 第2课时 有理数的加减混合运算 1.理解有理数加减混合运算可统一为加法运算，能依据 写出省略括号、加号的和式。 2.能熟练运用加法交换律、结合律进行简便计算，正确求出两点间距离并用 表示。 3.经历由具体算式到一般法则的归纳过程，体会转化与统一的数学思想。 学习重点：加减混合运算向纯加法运算的转化及运用运算律的简算。 学习难点：正确无误地去括号、省略加号。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 旧知复习： 思考：回顾：1.有理数减法法则是什么？ 文字：减去一个数，等于加这个数的相反数. 字母表示：a－b＝a＋(－b). 2.加法运算律有哪些？用字母如何表示？ 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 新课引入 在一个算式中，如果既有加法又有减法，应该如何计算？ 例如：(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7) 这个算式中既有加法也有减法，我们该如何处理？这就是我们今天要学习的内容—有理数的加减混合运算. 新知自研：自研课本第32--33页的内容． 【学法指导】 自研课本P32-33的内容，思考： ●探究一：有理数加减混合运算的方法 ◆1.思考探究 计算(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7). 解：(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7) ＝(－20)＋(＋3)＋(＋5)＋(－7) ＝[(－20)＋(－7)]＋[(＋3)＋(＋5)] ＝(－27)＋(＋8)＝－19. 总结：这个算式中既有加法，也有减法，我们可以先根据有理数减法法则，把减法转化为加法. ◆2.知识小结 思考：结合以上计算过程，你能总结有理数加减混合运算的一般步骤吗？ （1）有理数加减混合运算的一般步骤： 第一步：运用减法法则，将加减混合运算统一转化为加法运算，转化后的式子是几个正数或负数的和的 形式； 第二步：适当运用加法运算律（交换律、结合律）简化运算. （2）引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算. 例如：a+b−c=a+b+(−c). ◆3.新知巩固 计算：（1）18−(−4)+2；（2）−1−3+． 【分析】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键. 解：（1）原式=18+4+2=24． （2）原式=−−3+=−3． ●探究二：省略和式中的括号和加号 ◆1.新知探究 ①算式(−20)+(+3)+(+5)+(−7)是−20，+3，+5，−7这四个数的和。这样的写法比较繁琐，能不能简化？ 加数的括号省略不写. (−20)+(+3)+(+5)+(−7) 省略为 −20+3+5−7 【总结】 省略加号和括号的和式通常有两种读法： （1） 按式子所表示的意义读： 读作“负 20、正 3、正 5、负 7 的和”； （2） 按运算的意义读： 读作“负 20 加 3 加 5 减 7”. 为简化书写形式，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写. ②将式子(−20)+(+3)+(+5)+(−7)简化后进行计算. 【解答】解：(−20)+(+3)−(−5)−(+7) =−20+3+5−7 （统一为加法后省略括号和加号） =−20−7+3+5 （交换律，负数结合、正数结合） =−27+8 =−19  ◆2.新知巩固 把(−6)−(−7)+(−9)−(−3)写成省略加号和括号的形式，并写出它的读法． 【分析】根据有理数减法法则，把所有减法统一转化为加法，再省略加号和括号，得到最简形式. 【解答】解：(−6)−(−7)+(−9)−(−3) =(−6)+(+7)+(−9)+(+3) =−6+7−9+3. 读作“负6、正7、负9、正3的和” 或者读作“负6加7减9加3”． ●探究三：数轴上两点间的距离 ◆1.新知探究 数轴上两点间的距离如何表示？ 在数轴上，点 A，B 分别表示数 a，b，对于下列各组数 a，b ： a=2，b=6；a=0，b=6；a=2，b=−6；a=−2，b=−6. 观察点 A，B 在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？ 解：① a=2，b=6 → 两点都在原点右侧，距离=6-2=4； ② a=0，b=6 →一点在原点，距离=6-0=6； ③ a=2，b=−6 →两点在原点两侧，距离=2-(-6)=8； ④ a=−2，b=−6 →两点都在原点左侧，距离=(-2)-(-6)=4。 ◆2.知识小结 利用有理数的运算，你能用含有 a，b 的算式表示上述各组点 A，B 之间的距离吗？ 数轴上两点间的距离的表示： 【总结】数轴上 A，B 两点表示的数分别为 a，b 时，这两点之间的距离 AB＝|a－b|. 即两点所表示的数之差的绝对值，也等于较大的数减去较小的数. ◆3.新知巩固 根据图中提供的信息，回答下列问题． （1）A，B两点间的距离是多少？ （2）B，C两点间的距离是多少？ 【分析】先读出数轴上点代表的数，再利用数轴两点距离公式：两点距离等于两数差的绝对值进行计算. 【解答】解：点A表示数2，点B表示数−，点C表示数-3． （1）因为|2−(−)|=|2+|= 所以A，B两点间的距离是． （2）因为|(−)−(−3)|=|−+3|=||= 所以B，C两点间的距离是． ◆4.题型探究 ①题型一：数轴与加减运算综合 已知有理数 a,b在数轴上的位置：a 在-1 和 0 之间，b 在 1 和 2 之 间。判断下列结论： A.a+b<0                         B.a−1>0  C.−a>b                           D.a−b<0 解：由数轴知 a<0,b>0, 且|a|<|b|. a+b>0 (异号相加取绝对值大的符号),A 错； a−1<0,B 错； −a<b, C 错； 较小数减较大数差为负，a−b<0, D 正确.所以选D 练习巩固 有理数 a,b 在数轴上的对应点如图所示,则下列式子: ①b<0<a; ②|b|<|a|; ③b−a>0; ④a−b>a+b. 其中,正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】根据数轴位置判断 a、b 正负与绝对值大小，逐个对 4 个式子推理判断正误，统计正确个数. 解：由数轴可得：b<0<a,|b|>|a| ①b<0<a,正确； ②|b|<|a|,实际|b|>|a|,错误； ③b−a>0,b负数，a正数，b−a=b+(−a)<0,错误； ④a−b>a+b,−b>0, b<0,两边消去a得−b>b,成立，正确。 正确的是①④,共2个，选B。 ②题型二：绝对值与加减综合 若 |a|=4，|b|=2，且 |a+b|=−(a+b)，求 a−b 的值。 解析：由 |a|=4 得 a=±4，由 |b|=2 得 b=±2； 由 |a+b|=−(a+b) 得 a+b≤0。 所以 a=−4，b=2 或 a=−4，b=−2。 当 a=−4，b=2 时，a−b=−4−2=−6； 当 a=−4，b=−2 时，a−b=−4−(−2)=−2。 所以 a−b 的值为 −6 或 −2。 练习巩固 如果|a|=19，|b|=97，且|a+b|≠a+b，那么a−b=______． 【分析】根据有理数加减混合运算法则计算即可. 解：∵|a|=19,∴a=19或−19 ∵|b|=97,∴b=97或−97 ∵|a+b|≠a+b,∴a+b<0 ①当a=19,b=−97时，a+b=19+(−97)=−78<0，满足条件 a−b=19−(−97)=19+97=116 ②当a=−19,b=−97时，a+b=−19+(−97)=−116<0，满足条件 a−b=−19−(−97)=−19+97=78 综上：a−b=116或78。 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨有理数加减混合运算，研讨加减统一成加法、省略括号与加号的写法，交流简便运算的结合技巧； B. 交流例题的已知条件和所求问题，理清解题思路，梳理去括号、符号变换等运算易错点； C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.计算.(1) 10+(−15)−(−17);        (2) 0.5+(−)−(−2.75)+. 【分析】根据有理数加减混合运算法则计算即可. 解：(1) 10+(−15)−(−17) =10−15+17 =−5+17 =12; (2) 0.5+(−)−(−2.75)+ =−++ =(+)+(−+) =1+=. 2．若a=(−1.6)+(−2.4)−6，b=−4+(−3.5)则下列结论正确的是（    ） A．a<b B．a=b C．a>b D．2a=b 解：a=(−1.6)+(−2.4)−6=−4−6=−10； b=−4+(−3.5)=−4−3.5=−7.5， ∵−10<−7.5， ∴a<b； 2a=2×(−10)=−20≠−7.5． 3.计算：(−3)−(−7)−(+5.75)+16.375 【分析】根据交换律和结合律进行加减计算. 解：(−3)−(−7)−(+5.75)+16.375 =(−3.25)−(−7.625)−(+5.75)+16.375 =−3.25+7.625−5.75+16.375 =−(3.25+5.75)+(7.625+16.375) =−9+24 =15． 4.计算：(−3)−(−)−(+0.5)++3 解：(−3)−(−)−(+0.5)++3 =−3−+−++3+ =(−3+3)−(+)+(+)+ =0−1+1+ =． 5.把−4−(+6)+(−2)−(−7)写成省略加号和括号的形式后的式子是（    ） A．−4−6+2−7 B．−4−6−2+7 C．−4+6−2−7 D．−4+6−2+7 【分析】本题考查有理数的加减法，根据去括号法则将原式写成省略加号和括号的形式，熟练掌握运算法则是解此题的关键. 解：−4−(+6)+(−2)−(−7) =−4−6−2+7， 故把−4−(+6)+(−2)−(−7)写成省略加号和括号的形式后的式子是 −4−6−2+7， 故选：B． 6.某地某天早晨的气温是5°C，中午的气温比早晨的气温高4°C，夜间的气温比中午的气温低10°C，则这天夜间的气温是________°C． 【分析】根据气温变化条件，先计算中午气温，再计算夜间气温即可 解：早晨气温为5°C，中午气温比早晨高4°C， 因此中午气温为5+4=9°C， 夜间气温比中午低10°C， 因此夜间气温为9−10=−1°C， 故答案为：−1． 7.幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将−7,−5,−3,−1,2,4,6,8分别填入图中的圆圈内，使横向、竖向以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则代数式a+b的值是______． 解：如图所示，设空白两个圆圈里面的数为c，d， ∵−7−5−3−1+2+4+6+8=4且横向、竖向以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴每个圈内的四个数的和以及横向、竖向四个数的和都为2， ∴−7+c−5+8=2，b+c−3−5=2， ∴c=6， ∴b=4， ∴a=−1，d=2或a=2，d=−1， ∴a+b=−1+4=3或a+b=2+4=6. 故答案为：3或6． ▲1、（1）有理数加减混合运算的一般步骤： 第一步：运用减法法则，将加减混合运算统一转化为加法运算，转化后的式子是几个正数或负数的和 的形式； 第二步：适当运用加法运算律（交换律、结合律）简化运算. （2）引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算. 例如：a+b−c=a+b+(−c). ▲2、数轴上 A，B 两点表示的数分别为 a，b 时，这两点之间的距离 AB＝|a－b|. 即两点所表示的数之差的绝对值，也等于较大的数减去较小的数. 题型一： 省略加法和括号和的形式 1.将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【分析】根据有理数的加减法法则，即可求解． 【解答】解：把统一为加法运算为． 故答案为：B． 2.不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【解答】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 3.把式子改写成省略括号的和的形式______________． 【答案】21减6减15加7或正21、负6、负15、正7的和 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式即可． 【解答】解：， 所以把式子改写成省略括号的和的形式为21减6减15加7或正21、负6、负15、正7的和． 故答案为：21减6减15加7或正21、负6、负15、正7的和． 题型二：有理数的加减混合运算 4．将下列式子先改写成省略括号和加号的形式，再计算： (1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加减，解题的关键是： （1）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可； （2）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【解答】（1）解： ． （2）解： ． 5．计算： (1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加减法法则及加法运算律，熟练掌握有理数的加减法法则及加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减法法则计算即可得解； （2）根据有理数的加减法法则及加法运算律计算即可得解． 【解答】（1）解： ； （2）解： 6．计算下列各题： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算、有理数加法运算律等知识点，掌握有理数加减混合运算的运算法则成为解题的关键． （1）先化减为加，然后再运用有理数加法运算律进行简便运算即可； （2）先将小数化为分数、再化减为加，然后再运用有理数加法运算律进行简便运算即可． 【解答】（1）解： ． （2）解： ． 7．错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．仔细阅读嘉木同学进行有理数混合运算的过程并完成相应任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务：第一步将原式的减法转化为加法的依据是___________； 运算从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务：请你写出正确的解答过程． 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，有理数加法运算律． 任务1：第一步将原式的减法转化为加法的依据是有理数减法的运算法则；根据运算法则逐步检查，即可求解； 任务2：按照运算法则，结合有理数加法运算律，写出正确的解答过程即可． 【解答】解：任务1：第一步将原式的减法转化为加法的依据是有理数的减法运算法则， 故答案为：有理数的减法运算法则． ， ∴运算从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是将误算为， 故答案为：三，将误算为． 解：任务2： ． 题型三： 有理数加减法与数轴、相反数、绝对值的综合 8．已知A＝﹣3，B＝6． （1）计算A，B的值； （2）将A，B两数表示在如图所示的数轴上，并求A，B两点间的距离． 【分析】（1）利用有理数加减混合运算法则计算即可； （2）在数轴上表示A、B，用4﹣（﹣5）即可求出AB之间的距离． 【解答】解：（1）A ＝﹣8+3 ＝﹣5． B ＝14﹣10＝4． 故A的值为﹣5；B的值为4． （2）如图，将A，B两数表示在数轴上， A，B两点间的距离为4﹣（﹣5）＝9． 【点评】本题考查了有理数的计算，数轴，两点之间的距离．解题的关键是正确进行有理数的计算． 9．先观察再计算． （1）|1|+||＝11　 　． （2）|1|+||+||＝1　 ＝　 　． （3）计算：（写出过程） |1|+||+||+…+||． 【分析】（1）利用整数与分数的减法运算法则，可以计算出结果是； （2）根据互为相反数相加和为0，可得最后只要计算1即可； （3）按照（1）、（2）小题计算规律进行计算即可． 【解答】解：（1）|1|+||＝11， 故答案为：； （2）|1|+||+||＝11， 故答案为：1，； （3）|1|+||+||+…+|| ＝1 ＝1 ． 【点评】此题考查了有理数绝对值的计算能力，关键是能准确去掉绝对值，并归纳出计算规律． 10．阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为．则数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______； (3)当取最小值时，符合条件的整数x有______； (4)令，问当x取______，y的值最小，最小值为多少？请求解． 【分析】本题考查数轴与绝对值，有理数的加减计算，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据两点间的距离的求解列式计算即可得解； （2）根据两点之间的距离表示列式并计算即可； （3）根据数轴上两点间的距离的意义解答； （4）根据数轴上两点间的距离的意义解答． 【解答】（1）解：数轴上表示1和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：4；3 （2）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； ∵， ∴， 解得：或1； 故答案为：；1或； （3）解：根据题意得：表示数轴上表示x的点到表示的点和到表示2的点的距离之和， 当x在和2之间时，取最小值， ∴符合条件的整数x有； 故答案为： （4）解：∵ ∴y可以表示为表示x的数到的距离、到2的距离、到3的距离之和， ∴当时，y有最小值，为． 题型四： 有理数加减混合运算在实际生活中的应用 11．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下：，，，，，，，．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，列代数式，掌握有理数的混合运算法则是关键． （1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加，然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出这天共耗油多少升即可． 【解答】（1）解：， 答：B地在A地南方，相距5千米； （2）解：， ∴(升)， 答：这天汽车共耗油升． 12．哈市客运管理部门对“十一”假期前后七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下：（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示比前一天下降数）： 日期 变化/万人 5 20 10 (1)与9月30日相比，10月2日的客流量是_____（填“上升”或是“下降”）了； (2)与9月30日相比，10月7日的客流量变化了多少； (3)若9月30日日客流量为5万人，计算这次“十一”假期从10月1日到10月7日这七天客流量一共是多少万人． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，以及结合表格数据，进行列式，分析结果，即可作答． （2）把七天客流变化量相加，分析结果，即可作答． （3）算出每天的客流人量，再相加求出这七天客流量的总人数，即可作答． 【解答】（1）解：依题意， ∴与9月30日相比，10月2日的客流量是上升了； （2）解：， ∴与9月30日相比，10月7日的客流量增加万人； （3）解：号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， ∴（万人）； 即这次“十一”假期从10月1日到10月7日这七天客流量一共是万人． 13．年“湘超”足球联赛火了，为以最佳状态参加比赛，湘西队某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：）：． (1)守门员最后是否回到了初始位置？ (2)本次练习中守门员共跑了多少米？ 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加法的应用、绝对值，理解题意正确列出算式是解题的关键． （）计算求出数据的代数和，即可得出结论； （）计算求出数据的绝对值的和，即可解答． 【解答】（1）解：(米)， 答：守门员最后没有回到初始位置； （2）(米)， 答：本次练习中守门员共跑了米． 14．在互联网平台的支撑下，松山区番茄小镇的村民安某在网上销售番茄，原计划每天卖千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，下表是某周的销售情况(超额记为正，不足记为负．单位：千克)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表中的数据可知前三天共卖出_____千克； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ (3)若每千克按5元出售，每千克番茄的运费为元，那么安某本周共计收入多少元？(总收入总销售额总运费) 【分析】本题考查了正负数的实际应用及有理数的混合运算，解题的关键是理解超额记正、不足记负的含义，准确计算总销量及相关数值． （1）先计算前三天计划总销量，再加上前三天与计划量的差值和，得到实际总销量； （2）找出每日与计划量的最大差值和最小差值，两者相减得出结果； （3）先求本周总销量（计划周销量加所有差值和），再按“每千克实际收入×总销量”计算总收入． 【解答】（1）解：， 即前三天共卖出598千克. （2）解：销售量最多的一天差值为，销售量最少的一天差值为， ， 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售26千克； （3）解：本周总销量为千克， 每千克实际收入为元， 总收入为元， 答：安某本周共计收入5985元． 题型五： 有理数加减法的程序计算题 15．按如图所示的程序分别输入﹣1进行计算，请写出输出结果（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】将﹣1输入计算出结果，然后与2比较，如果大于2就输出，如果小于2，再将结果重新代入程序计算，直到结果大于2为止． 【解答】解：当输入﹣1时， ﹣1+4+（﹣3）+1＝1＜2， 1+4+（﹣3）+1＝3＞2， ∴输出结果为3， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的结果． 16．按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2 【分析】把各选项中的数值代入按运算规则运算即可． 【解答】解：A．依题意有﹣1+4﹣（﹣3）﹣5＝1＜2， 1+4﹣（﹣3）﹣5＝3＞2，输出； B．依题意有﹣2+4﹣（﹣3）﹣5＝0＜2， 0+4﹣（﹣3）﹣5＝2； 2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出； C．依题意有0+4﹣（﹣3）﹣5＝2， 2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出； D.2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出； 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握图中程序运算是解本题的关键． 17．按图中计算程序计算，若开始输入的值为﹣2，则最后输出的结果是 　 　． 【分析】把﹣2代入计算程序中计算即可求出输出结果． 【解答】解：把﹣2代入计算程序得：（﹣2）+5＝3＜9， 把3代入计算程序得：3+5＝8＜9， 把8代入计算程序得：8+5＝13＞9， 则最后输出的结果为13． 故答案为：13． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清计算程序的运算是解本题的关键． 18．根据如图所示的程序计算，若输入的x值为6，则输出的结果为　 　． 【分析】根据运算程序列出算式，再进行计算即可． 【解答】解：6+（﹣5）+（﹣3）+4＝2，2+（﹣5）+（﹣3）+4＝﹣2，故输出的结果为﹣2， 故答案为：﹣2 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式． 题型六： 有理数加减法的新定义运算问题 19．规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w，则+＝　 　（直接写出答案）． 【分析】根据题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：1﹣2+3+4+6﹣5﹣7＝0． 故答案为：0． 【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 20.现定义两种运算“”和“※”．对于任意两个整数，，如，，如，则______． 【分析】读懂新定义，利用新定义计算即可． 【解答】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【点评】本题考查了新定义运算，解题的关键是读懂新定义，利用新定义法则代入计算． 21.已知：，． (1)若，，求的值； (2)若，定义一种运算：，求的值； (3)若，求的值． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，倒数，相反数以及绝对值、求代数式的值，熟练掌握有理数运算法则是解本题的关键． （1）利用绝对值的代数意义求出与的值，代入代数式计算即可求值； （2）把的值代入定义的算式中即可求解； （3）根据，可得，得出或，再代入代数式计算即可求解． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ； （3）解：∵， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或． 22.定义“数对映射”，对于任意有理数x，y，若，则；若，则．例：． (1)计算：________；________； (2)如，求m的值； (3)在（2）的基础上，若，求整数n的所有可能值． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的运算． （1）根据新定义的运算，进行计算即可； （2）分，，根据新定义的运算，得出关于m的方程，然后解方程即可； （3）分，，根据新定义的运算，得出关于n的方程，然后解方程即可． 【解答】（1）解：因为，所以； 因为，所以． （2）解：已知，分情况讨论： 当，， ∴，但不满足，舍去；           当，， 所以，成立，所以．           综上：． （3）解：因为，所以，分情况讨论： 若，则，即， 又，所以，所以，即，无解；           若，则， 对于整数，使得，只需n为非负整数，所以或．           综上：n的值为0或1． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2有理数的减法 导学案 第2课时 有理数的加减混合运算 1.理解有理数加减混合运算可统一为加法运算，能依据 写出省略括号、加号的和式。 2.能熟练运用加法交换律、结合律进行简便计算，正确求出两点间距离并用 表示。 3.经历由具体算式到一般法则的归纳过程，体会转化与统一的数学思想。 学习重点：加减混合运算向纯加法运算的转化及运用运算律的简算。 学习难点：正确无误地去括号、省略加号。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 旧知复习： 思考：回顾：1.有理数减法法则是什么？ 文字： 字母表示： 2.加法运算律有哪些？用字母如何表示？ 交换律： 结合律： 新课引入 在一个算式中，如果既有加法又有减法，应该如何计算？ 例如：(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7) 这个算式中既有加法也有减法，我们该如何处理？这就是我们今天要学习的内容—有理数的加减混合运算. 新知自研：自研课本第32--33页的内容． 【学法指导】 自研课本P32-33的内容，思考： ●探究一：有理数加减混合运算的方法 ◆1.思考探究 计算(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7). 【解答】 总结：这个算式中既有加法，也有减法，我们可以先根据有理数减法法则，把减法转化为 . ◆2.知识小结 思考：结合以上计算过程，你能总结有理数加减混合运算的一般步骤吗？ （1）有理数加减混合运算的一般步骤： 第一步：运用减法法则，将加减混合运算统一转化为加法运算，转化后的式子是几个正数或负数的和的 形式； 第二步：适当运用加法运算律（交换律、结合律）简化运算. （2）引入相反数后，加减混合运算可以统一为 运算. 例如：a+b−c=a+b+(−c). ◆3.新知巩固 计算：（1）18−(−4)+2； （2）−1−3+． ●探究二：省略和式中的括号和加号 ◆1.新知探究 ①算式(−20)+(+3)+(+5)+(−7)是−20，+3，+5，−7这四个数的和。这样的写法比较繁琐，能不能简化？ 【总结】 省略加号和括号的和式通常有两种读法： （1） 按式子所表示的意义读： 读作“ ”； （2） 按运算的意义读： 读作“ ”. 为简化书写形式，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写. ②将式子(−20)+(+3)+(+5)+(−7)简化后进行计算. 【解答】 ◆2.新知巩固 把(−6)−(−7)+(−9)−(−3)写成省略加号和括号的形式，并写出它的读法． 【分析】根据有理数减法法则，把所有减法统一转化为 ，再省略加号和 ，得到最简形式. 【解答】 读作“ ” 或者读作“ ”． ●探究三：数轴上两点间的距离 ◆1.新知探究 数轴上两点间的距离如何表示？ 在数轴上，点 A，B 分别表示数 a，b，对于下列各组数 a，b ： a=2，b=6；a=0，b=6；a=2，b=−6；a=−2，b=−6. 观察点 A，B 在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？ ◆2.知识小结 利用有理数的运算，你能用含有 a，b 的算式表示上述各组点 A，B 之间的距离吗？ 数轴上两点间的距离的表示： 【总结】数轴上 A，B 两点表示的数分别为 a，b 时，这两点之间的距离 AB＝ . 即两点所表示的数之差的绝对值，也等于 的数减去 的数. ◆3.新知巩固 根据图中提供的信息，回答下列问题． （1）A，B两点间的距离是多少？ （2）B，C两点间的距离是多少？ 【分析】先读出数轴上点代表的数，再利用数轴 公式：两点距离等于两数差的绝对值进行计算. 【解答】 ◆4.题型探究 ①题型一：数轴与加减运算综合 已知有理数 a,b在数轴上的位置：a 在-1 和 0 之间，b 在 1 和 2 之 间。判断下列结论： A.a+b<0                         B.a−1>0  C.−a>b                           D.a−b<0 练习巩固 有理数 a,b 在数轴上的对应点如图所示,则下列式子: ①b<0<a; ②|b|<|a|; ③b−a>0; ④a−b>a+b. 其中,正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ②题型二：绝对值与加减综合 若 |a|=4，|b|=2，且 |a+b|=−(a+b)，求 a−b 的值。 练习巩固 如果|a|=19，|b|=97，且|a+b|≠a+b，那么a−b=______． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨有理数加减混合运算，研讨加减统一成加法、省略括号与加号的写法，交流简便运算的结合技巧； B. 交流例题的已知条件和所求问题，理清解题思路，梳理去括号、符号变换等运算易错点； C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.计算.(1) 10+(−15)−(−17);        (2) 0.5+(−)−(−2.75)+. 2．若a=(−1.6)+(−2.4)−6，b=−4+(−3.5)则下列结论正确的是（    ） A．a<b B．a=b C．a>b D．2a=b 3.计算：(−3)−(−7)−(+5.75)+16.375 4.计算：(−3)−(−)−(+0.5)++3 5.把−4−(+6)+(−2)−(−7)写成省略加号和括号的形式后的式子是（    ） A．−4−6+2−7 B．−4−6−2+7 C．−4+6−2−7 D．−4+6−2+7 6.某地某天早晨的气温是5°C，中午的气温比早晨的气温高4°C，夜间的气温比中午的气温低10°C，则这天夜间的气温是________°C． 7.幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将−7,−5,−3,−1,2,4,6,8分别填入图中的圆圈内，使横向、竖向以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则代数式a+b的值是______． ▲1、（1）有理数加减混合运算的一般步骤： 第一步：运用减法法则，将加减混合运算统一转化为加法运算，转化后的式子是几个正数或负数的和 的形式； 第二步：适当运用加法运算律（交换律、结合律）简化运算. （2）引入相反数后，加减混合运算可以统一为________ 运算. 例如：a+b−c=a+b+(−c). ▲2、数轴上 A，B 两点表示的数分别为 a，b 时，这两点之间的距离 AB＝________|. 即两点所表示的数之差的绝对值，也等于________的数减去________的数. 题型一： 省略加法和括号和的形式 1.将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 2.不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 3.把式子改写成省略括号的和的形式______________． 题型二：有理数的加减混合运算 4．将下列式子先改写成省略括号和加号的形式，再计算： (1)； (2)． 5．计算： (1)； (2)． 6．计算下列各题： (1)； (2)． 7．错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．仔细阅读嘉木同学进行有理数混合运算的过程并完成相应任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务：第一步将原式的减法转化为加法的依据是___________； 运算从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务：请你写出正确的解答过程． 题型三： 有理数加减法与数轴、相反数、绝对值的综合 8．已知A＝﹣3，B＝6． （1）计算A，B的值； （2）将A，B两数表示在如图所示的数轴上，并求A，B两点间的距离． 9．先观察再计算． （1）|1|+||＝11　 　． （2）|1|+||+||＝1　 ＝　 　． （3）计算：（写出过程） |1|+||+||+…+||． 10．阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为．则数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______； (3)当取最小值时，符合条件的整数x有______； (4)令，问当x取______，y的值最小，最小值为多少？请求解． 题型四： 有理数加减混合运算在实际生活中的应用 11．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下：，，，，，，，．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 12．哈市客运管理部门对“十一”假期前后七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下：（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示比前一天下降数）： 日期 变化/万人 5 20 10 (1)与9月30日相比，10月2日的客流量是_____（填“上升”或是“下降”）了； (2)与9月30日相比，10月7日的客流量变化了多少； (3)若9月30日日客流量为5万人，计算这次“十一”假期从10月1日到10月7日这七天客流量一共是多少万人． 13．年“湘超”足球联赛火了，为以最佳状态参加比赛，湘西队某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：）：． (1)守门员最后是否回到了初始位置？ (2)本次练习中守门员共跑了多少米？ 14．在互联网平台的支撑下，松山区番茄小镇的村民安某在网上销售番茄，原计划每天卖千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，下表是某周的销售情况(超额记为正，不足记为负．单位：千克)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表中的数据可知前三天共卖出_____千克； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ (3)若每千克按5元出售，每千克番茄的运费为元，那么安某本周共计收入多少元？(总收入总销售额总运费) 题型五： 有理数加减法的程序计算题 15．按如图所示的程序分别输入﹣1进行计算，请写出输出结果（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 16．按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2 17．按图中计算程序计算，若开始输入的值为﹣2，则最后输出的结果是 　 　． 18．根据如图所示的程序计算，若输入的x值为6，则输出的结果为　 　． 题型六： 有理数加减法的新定义运算问题 19．规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w，则+＝　 　（直接写出答案）． 20.现定义两种运算“”和“※”．对于任意两个整数，，如，，如，则______． 21.已知：，． (1)若，，求的值； (2)若，定义一种运算：，求的值； (3)若，求的值． 22.定义“数对映射”，对于任意有理数x，y，若，则；若，则．例：． (1)计算：________；________； (2)如，求m的值； (3)在（2）的基础上，若，求整数n的所有可能值． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $