第二章《有理数及其运算》单元测试卷 -2026-2027学年 北师大版数学七年级上册

**基本信息** 北师大版七年级上册《有理数及其运算》单元复习能力卷，以新定义运算、实际情境问题为载体，融合数学抽象、运算推理与模型应用，适配单元核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|有理数运算、绝对值、数轴|结合新定义（如最佳分解S(n)）与实际情境（停车收费），考查抽象能力| |填空题|6题18分|科学记数法、数轴化简、规律探究|设计电子青蛙跳动等规律题，培养空间观念与推理意识| |解答题|8题72分|混合运算、实际问题建模、新定义探究|以双十一发货（方案优化）、两圆滚动（动态问题）为情境，强化模型意识与应用能力|

第二章《有理数及其运算》能力卷-2026-2027北师大版数学七年级上册单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．若xy＞0，则|的值为（　　） A．3 B．-1 C．3或-1 D．3或1 2．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p、q是正整数．且p≤q），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：S(n)=，例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，则S(18)==，例如35可以分解成1×35，5×7，则S(35)=，则S(128)的值是（　　） A． B． C． D． 3．如图，小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 4．规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．宝安图书馆是阅读爱好者们喜爱的去处，提供了24小时停车服务，具体的收费标准如下表所示。小明爸爸于某天上午9：00驾驶小型私家车进入停车场，在12小时后驶离。他此次停车所需支付的费用可能为（　　） 车型 收费标准 小型车 工作日 高峰时段（8：00-20：00） 首小时5元，第二小时起0.5元/半小时 非高峰时段（20：00-次日8：00） 每小时0.5元 非工作日 首小时3元，第二小时起0.5元/小时 A．8.5元 B．15.5元 C．8.5元或15.5元 D．9元或15.5元 6．为了区分不同的进制，常在数的右下角标明基数，例如：就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数．通过把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以转化成十进制数．例如：，（规定：当时，），根据以上信息，将转化成十进制数是（　　） A．28 B．29 C．58 D．62 7．如图，数轴上一动点 A 向左移动4个单位长度到达点 B，再向右移动1个单位长度到达点 C，点C表示的数为-1，若将A，B，C 三点表示的数进行混合运算(每个数只能用一次)，则可得到的最大数为(　　) A．9 B．8 C．6 D．5 8．小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（　　） A． B． C． D． 9．减去它的，再减去余下的，再减去余下的……，以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（　　） A． B．1 C． D． 10．一般地，若，则n叫做以为底b的对数，记为. 如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为.且对数满足性质+()，则以下结论正确的有（　　）个. ①=1； ②； ③+++……+=(n≥3为正整数)； ④若，，则2xy=x+4y-2. A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．某市2024年进出口集装箱5.15×107个， 2025年进出口集装箱5.5×107个， 则2025年较2024年集装箱的进出口数量增加了　 　.（用科学记数法表示） 12．对于等式 定义已知a，c求b的运算为对方运算，记为 ，例如已知a=2， c=8， 求b，因为23=8， 所以b=D2(8)=3，则 的值为　 　. 13．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|的结果是　 　. 14． 历史上，数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，多项式，例如时，，记为，那么等于　 　． 15．电子青蛙落在数轴上的某一点 ，第一步从 向左跳 个单位到 ，第二步由 向右跳 个单位到 ，第三步由 向左跳 个单位到 ，第四步由 向右跳 个单位到 ，……，按以上规律跳了 步时，电子青蛙落在数轴上的点是 ，则电子青蛙的初始位置 点所表示的数是　 　． 16．下列说法正确的序号是　 　． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 三、解答题（共8题，共72分） 17．计算： （1）； （2）． 18．计算： （1） （2） 19．如图，半径为的小圆与半径为的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数由上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是　 　； （2）若小圆不动，大圆沿数轴上来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：． ①当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留） ②大圆结束①的次运动后立刻以每秒个单位向右滚动，同时小圆以每秒个单位向左滚动，问经过多长时间两圆与数轴重合的点之间相距个单位？ 20．阅读下列材料，解决问题 　 双十一怎样发货更经济? 双十一期间一客户在小康家定了10箱砂糖桔，每箱以10千克为标准，超过的千克 数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表示： 与标准质量的差值(单位：千克) 箱数 2 4 4 素材1 素材2 某快递公司收费标准：首重1千克以内8元(含1千克)，续重(超过1千克的部 分)2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克需要额外支付包装费30元。 素材3 据小康家常年的邮寄经验，包裹越大，砂糖桔受损率越高.一个包裹在20千克以 内，砂糖桔几乎无受损；一个包裹质量在80千克至120千克之间，砂糖桔的受损率 估计为5%，破损部分由小康家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金. 问题解决 任务1 计算这10箱砂糖桔的总质量. 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹；方案二：10箱打成一个大包裹邮寄.请通过 计算说明，选哪种方案邮寄，小康家支付的邮费更省?省多少钱? 任务3 今年砂糖桔的成本价为6元/千克，售价为12元/千克，结合任务2，邮寄10箱砂 糖桔哪种方案利润更高? 21．综合与实践 【实践探究】 课堂上老师给出一道计算题，计算：．同学们积极思考，主动出击，有三位同学的做法如下： 甲：原式 ． 乙：原式． 丙：原式的倒数为 ． 故原式． 认真阅读，请解答下列问题： （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，也有正确的解法，你认为甲、乙、丙谁的解法是错误的，谁的解法是正确的． （2）【小试牛刀】 用甲、乙、丙的所有正确的解法进行解答，计算：． （3）【拓展延伸】 用甲、乙、丙的所有正确的解法中，你认为比较简便一种解法进行解答，计算； 22．【概念学习】求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)④，读作“-3 的圈4 次方”，一般地，把记作，读作“a 的圈n次方”. （1）【初步探究】 填空： 　 　；　 　； （2）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么非零有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? 例如： 想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式， 　 　； （3）算一算： 23．探究2个“新定义运算”问题． （1）定义一种新运算“”，运算规则为：，则______． （2）定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律： ，且，． 请先阅读范例，然后回答问题． 范例学习 若， 则， ； 或． ①若， 填空：______，______，______，______ ②若， 计算：． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】3.5×106 12．【答案】6 13．【答案】-c-a 14．【答案】 15．【答案】0 16．【答案】②③④ 17．【答案】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．【答案】（1）解： ． （2）解： ． 19．【答案】（1） （2）解：①∵ 每次滚动时间的绝对值分别为，，，，，， ∴ 总时间（秒）． ∵ 大圆速度为每秒个单位， ∴ 大圆运动的路程． 大圆结束运动时与数轴重合的点表示的数： ． ∵ 小圆与原点重合且不动， ∴ 此时两圆与数轴重合的点之间的距离是． ②设经过秒两圆与数轴重合的点之间相距个单位． 大圆结束①的运动后位置为，之后大圆向右滚动速度为每秒个单位，小圆向左滚动速度为每秒个单位． 相遇前： ． 相遇后： ． 综上，经过或秒两圆与数轴重合的点之间相距个单位． 20．【答案】解：任务1：（千克）， ∴这10箱砂糖桔的总质量为千克； 任务2：由表格可得，，，， 箱砂糖桔中重量为的有2箱，重量为的有4箱，重量为的有4箱， 方案一：； 方案二：∵这10箱砂糖桔的总质量为千克， ， ，（元）， ∴选方案二邮寄，小康家支付的邮费更省，省34元； 任务3：方案一：邮寄10箱砂糖桔的利润为（元） 方案二：邮寄10箱砂糖桔的利润为（元）， ， ∴方案一利润更高． 21．【答案】（1）甲的解法错误，乙与丙的解法正确 （2）原式； 原式的倒数为 ， 故原式； （3）原式的倒数为 故原式． 22．【答案】（1）；4 （2） （3）解： =-18-1 =-19. 23．【答案】（1）1 （2）解：①4，-2，0，-7； ②， ， ， 同理可得：，，；， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $