专题05 直线与圆的位置关系（期中真题汇编）九年级数学上学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦九年级期中高频考点“圆的切线”“正多边形与圆”，汇编浙江台州、湖南长沙等多地期中真题，涵盖选择、填空、解答题，注重几何推理与实际应用，适配期中复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|7题|圆的切线判定、正多边形外角与中心角|结合切线作图辨析（如甲乙方作法正误判断），考查推理意识| |填空题|3题|切线性质、阴影面积计算|融入矩形与圆相切背景（如矩形内圆切边求角度），体现几何直观| |解答题|7题|切线证明、内切圆半径、综合计算|设计多问递进（如切线证明+阴影面积），关联核心素养中运算能力与空间观念|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05直线与圆的位置关系 考点01圆的切线 考点02正多边形与圆 》 考点01圆的切线 1.B 2.B 3.D 4.B 5.【答案】40 【分析】 本题考查了切线的性质定理，直角三角形的两个锐角互余等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运 用求解 利用切线的意义，得到∠ABC=90口°，再根据三角形内角和定理求解. 【详解】 解：如图， ,AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线， ∠ABC=90口 在△ABC中，∠ACB=50▣°， ÷∠BAC=180□-∠ABC-∠ACB=180口'-90口-50□°=40□' 故答案为：40. 6.【答案】①45 ②12-3π 【分析】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，解题的关键是掌握切 线的性质并灵活运用. 1/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求出∠EOF=90口°，根据圆周角定理解答即可； (2)根据切线的性质证明四边形ABEG是矩形，求出AG,同理求出OG,再根据勾股定理求出AO, 利用扇形的面积公式计算即可. 【详解】 解：(1)设点O为圆心，连接OE、OF,如图所示： E .四边形ABCD是矩形， ∴.∠C=90▣ :BC'CD与o0相切于E,F ∴.∠OEC=∠C=∠OFC=90▣' ∴.∠E0F=90▣ ∴.∠EAF=45☐ 故答案为：45： (2)延长EO,交AD于点G,连接OA,如图所示： G E .BC与⊙O相切于E, ∴.OE⊥BC 四边形ABCD是矩形， .ADBC,∠DAB=∠B=90▣°， 2/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∴.EG⊥AD ∴.∠EGA=90▣ :四边形ABEG是矩形， ∴.AG=BE=2▣' 同理OG=DF=2, 在Rt△AOG中，由勾股定理可得0A=2石， :阴影部分的面积是2？ 故答案为：12-3π. 7.【答案】∠D=25▣°. 【分析】 本题考查了切线的性质，垂直平分线性质，圆周角定理，等腰三角形三线合一，连接OC,由切线性质可 得OC⊥AB,又CA=CB,则OC垂直平分AB,故有OA=OB,根据等腰三角形三线合一得 ∠A0C=号∠A0B=号×100口'=50口，最后由圆周角定理即可求解，掌握知识点的应用是解思的关 键 【详解】 解：连接OC, ,AB与⊙O相切于点C,OC为⊙O的半径， …0C1AB 又CA=CB, OC垂直平分AB 3/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 …0A=0B' ∠A0C=∠A0B=1×100□=50□， 2 ∠D=∠A0C=x50口°=25口. 2 8.【答案】(1) 证明：连接OB,如下图， OA=OB=OD, ∠OAB=∠OBA'∠OBD=∠ODB' “AD是O0的直径， 六∠ABD=90口=∠OBA+∠0BD ∠OAB+∠OBD=90▣' ·∠EBD=∠BAE ∠OBD+∠EBD=90□=∠OBE OB⊥BE “0B是O0的半径， ∴.BE是⊙O的切线： 22加 【分析】 (1)先由等边对等角得∠OAB=∠OBA,∠OBD=∠ODB,结合圆周角定理得 4/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠OAB+∠OBD=90口°，进行角的等量代换，则OB⊥BE,即可作答. (2)因为∠C=2∠E,且在Rt△ABD中，∠OAB+∠ODB=90□'，推导出 ∠E=∠OBA=∠OAB=30口°，则AD=2BD,运用勾股定理得AB+BD=AD2,代入数值进行 计算得r=2,则BE=2叵，结合割补法列式计算，即可作答. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 解：，∠C=2∠E, ∠ADB=∠C=2∠E “∠ADB=∠EBD+∠E'∠EBD=∠BAE' ∠OAB=∠EBD=∠E'∠ADB=2∠OAB' 在Rt△ABD中，∠OAB+∠ODB=90▣°， 六∠0AB+2∠0AB=90☐ “∠E=∠OBA=∠0AB=30☐ ∠BOD=∠OAB+∠OBA=60☐'AD=2BD' 设⊙O的半径为r,r>0, 则AD=2BD=2r, 在Rt△ABD中，AB+BD=AD2, 2*2r0oP, 解得：r=2,即OB=2, 0E=20B=4' “BE=2阿口' S阴影=SAOBE-S扇形OBD 1×2×2 602=2石】 360 ▣ 5/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【点睛】 本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积，30度所对的直角边是斜边的一半，综 合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键 9.【答案】6 【分析】 本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.根据切线长定理，结合题意可知PA=PB, 以及CA=CE,DE=DB,再结合△PCD的周长为12，即可求出PA的长. 【详解】 解：PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A,B, ∴.PA=PB1 又CD切⊙O于点E, .∴.CA=CE'DE=DB' :△PCD的周长为12， .PA+PB=PC+CA+DB+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CD+PD=12' ∴.PA+PB=2PA=12' .PA=6 故答案为：6. 10.【答案】(1) 证明：，线段AB为⊙O的弦， OA=OB' ∠OAB=∠OBA' “∠OBA+∠BAD=90□' ∠OAB+∠BAD=∠OAD=90☐' 6/13 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 …OA⊥CD ”0A为半径， ∴.直线CD为⊙O的切线： (2) ∠AEB=∠BAD' 理由如下： ·∠OAB=∠OBA'∠OAB+∠OBA+∠AOB=180□， ∠A0B=180□-2∠0AB ·E为oO的弧AEB上一点， ∠AEB=1∠AOB=90☐°-∠OAB, 又，∠BAD=∠OAD-∠OAB=90▣°-∠OAB, ∠AEB=∠BAD 【分析】 本题考查的是切线的判定、圆周角定理，掌握切线的判定定理和圆周角定理是解题的关键， (1)根据OA=OB得∠OAB=∠OBA,再根据∠OBA+∠BAD=90☐°得 ∠OAB+∠BAD=∠OAD=90口°，即可得出结论： (2)根据三角形内角和定理得∠AOB=180口°-2∠OAB,然后根据圆周角定理得 B=号∠A0B=90□-∠0AB,再根据∠BAD=∠OAD-∠OAB=90☐∠ 即可得出结论 (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 略 11.【答案】(1)正方形 2)1(3)5-3 π 4 【分析】 本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质以及图形面积之间的转化，不规则图形面积的算法一般将它 7/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 转化为若干个基本规则图形的组合，分析整体与部分的和差关系 (1)根据切线的性质结合已知得∠OMC=∠ONC=∠C=90☐°，OM=ON,再根据正方形的判定 定理，即可得出结论： (2)如图，连接OP、OA、OB,根据切线的性质得OP=OM=ON=r,OP⊥AB,OM⊥AB, ON⊥AB,则AM=AP=3-r,BN=BP=4-r,根据勾股定理得AB=5,再由AP+BP=AB=5 可得关于r的方程，解方程即可； 《3)根据S例=SAACB元So0 SDOMCNi计算面积即可 (1)小问详解： 解：，⊙O与直角边AC,BC相切于点M,N,∠C=90口°， ∠OMC=∠0NC=∠C=90□'0M=0N' .四边形OMCN的形状为正方形， 故答案为：正方形： (2)小问详解： 解：如图，连接OP、OA、OB, M “⊙O与直角边AC'BC相切于点M:N:AB与⊙O相切于点p' OP=OM=ON=r'OP⊥AB'OM⊥AB'ON⊥AB AM=AP,BN=BP' .在Rt△ABC中，∠C=90▣°，AC=3,BC=4, AB=0口 由(1)知四边形OMCN的形状为正方形， CM=CN=OM=ON=r' 8/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AM=AP=3-r,BN=BP=4-r' “AP+BP=AB=5 3-r+4-r=5 解得r=1; 3)小问详解： 解：阴影部分的面积为： S阴=S△ACB- 3Soo-SOMCN- ×3×4x1--6a-15 4 12.【答案】(1) ①证明：如解图①，连接BO, 4 解图① 四边形ABCD是矩形， ∴.∠OAB=90▣ .AB=AB,OA=OA,OB=OB' .△ABO≌△ABO(SSS) ∴.∠OAB=∠OAB=90▣ :0A是O0的半径， AB是。0的切线： ③17 (2)2▣ 5 ▣ 9/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】 本题主要运用矩形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理以及弧长公式等知识求解， 灵活运用这些性质定理是解题关键， (1)①通过证明三角形全等得到直角来判定切线：对于②，利用全等三角形性质和勾股定理求线段长 度； (2)根据折叠性质求出角度，进而确定三角形形状，再用弧长公式求弧长. (1)小问详解： ①略 ②解：如解图①，由①可知 △ABO≌△ABO ∴.∠AOB=∠AOB 四边形ABCD是矩形， ∴.BC‖AD ∴.∠AOB=∠CBO1 .∠CBO=∠AOB' .∴.FB=FO 在Rt△ABF中，AF2+AB=BF, .AD=10,AB=3 .∴.AB=3,AO=5 (5-0F2+32=0F2解得0F=17 (2)小问详解： (2)解：如解图②，连接AH,，OH,由题意可知∠HBA=∠OAB=90☐°，AB=AB=3, 10113 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 解图② tan∠HAB=BH=▣， AB▣ .∠HAB=30☐ ∴.∠HAO=60▣°，AH=29V▣ .OA=OH △0AH是等边三角形， ∴.∠HOA=60▣°，OA=OH=AH=2/▣' .2▣ ∴.loversetoverparen'H的长为nπr_60π×2□V▣ 180 13.【答案】解：连接OE. C .以OA为半径的⊙O与边CD相切于点E, ∴.OE⊥CD “∠C=90口 AC⊥CD' 11/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OE‖AC .∴.∠OEA=∠CAE1 .OE=OA' ∴.∠OEA=∠OAE ∴.∠CAE=∠OAE ·AE平分∠CAD 【分析】 本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质（圆的切线垂直 于过切点的半径)是解题的关键. 要证明AE平分∠CAD,可连接OE,利用切线的性质得到OE⊥CD,再结合AC⊥CD推 出OE‖AC,进而通过角的关系证明∠CAE=∠OAE. 【详解】 略 14.【答案】证明：连接BD,如图， B .∠BCD=90▣°， BD是。O的直径， .∠CED=∠CAB'∠CDB=∠CAB' .∠CED=∠CDB .∠CED+∠CDE=90▣° 12113 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CDB+∠CDE=90口：即∠BDE=90口' .BD⊥DE :BD为OO的半径， :DE是O0的切线， 【分析】 本题主要考查了切线的判定定理，同弧所对的圆周角相等，90度的圆周角所对的弦是直径，先证明BD是 ⊙O的直径，再证明∠CED=∠CDB,则可证明∠BDE=90口'，据此可证明结论. 【详解】 略 考点02正多边形与圆 1.D 2.D 3.D 13113函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05直线与圆的位置关系 2大高频考点概览 考点01圆的切线 考点02正多边形与圆 》 考点01圆的切线 1.(25-26学年九上浙江台州玉环·期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90口°，以AC边上一点0为 圆心，OC为半径作⊙O,与AB相切于点D,与AC交于点E,连接DE.若∠ADE=25口°，则∠B 的度数为( B A.45▣ B.50▣ c.55▣° D.60▣ 2.(25-26学年九上·湖南长沙·期中)如图，已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90▣°，⊙O与 BC,AC,AB的切点分别为D,E,F,若AC=8,BC=6,则⊙O的半径为( B A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 3.(25-26学年九上辽宁大连金普新区·期中)对于题目“已知⊙0及圆外一点P,如何过点P作出⊙0 的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接OP,作OP的垂直平分线交OP于 乙的作法连接PO并延长，交⊙O于B,C两点，分 点G,以点G为圆心，OG长为半径画弧交⊙O于 别，以P,O为圆心，PO,BC长为半径作弧，两 M,作直线PM.直线PM即为所求. 弧交于点D,连接OD,交⊙O于点M.作直线 PM.直线PM即为所求. 115 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 米4 D M G M B米 下列说法正确的是() A.乙的作法正确，甲的作法错误 B.甲和乙的作法都错误 C.甲的作法正确，乙的作法错误 D.甲和乙的作法都正确 4.(25-26学年九上·河南许昌·期中)如图，AB是⊙0的直径，AB=8,点M在⊙0上，∠MAB=20°， N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=a,则△PN周长的最小值为( M A B P O A.4 B.4+a C.2+a D.3+a 5.(25-26学年九上·江苏南通启东期中)已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线.若∠ACB=50 则∠BAC= 度 6.(25-26学年九上·江苏南通启东·期中)如图，四边形ABCD是矩形，经过点A的圆分别与边 BC,CD相切于E,F两点. D B (1)∠EAF= 度： (2)若BE=2V口，DF=2,则图中阴影部分的面积是 7.(25-26学年九上山西大同期中)如图，AB与⊙O相切于点C,CA=CB,∠AOB=100▣°， OA与⊙O相交于点E,D为⊙O上一点，连接DE,DC,求∠D的度数. 215 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E 8.(25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点E是直径AD延长 线上一点，连接BD,且∠EBD=∠BAE B (1)求证：BE是⊙O的切线； (2)若∠C=2∠E,AB=2▣，求图中阴影部分的面积. 9.(25-26学年九上湖北武汉汉阳区·期中)如图，PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A,B,点C,D 分别在PA,PB上，CD切⊙O于点E.若△PCD的周长为12，则PA的长为 A DB 10.(25-26学年九上·贵州遵义·期中)如图，线段AB为⊙O的弦，直线CD经过点A,连接OA,OB, ∠OBA+∠BAD=90☐°. E D (1)求证：直线CD为⊙O的切线： (2)E为⊙O的overset(overparen}AEB}上一点，连接EA,EB,判断∠AEB与∠BAD的数量关系， 并说明理由， 11,(25-26学年九上·贵州遵义·期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90口°，AC=3,BC=4,⊙O 与直角边AC,BC相切于点M,N. 315 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M (1)连接OM,ON,则四边形OMCN的形状为 (2)若AB与⊙O相切于点P,求⊙O的半径r: (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积， 12.(25-26学年九上·湖南长沙.期中)已知矩形ABCD,AB=3,2AB<AD,以AD为直径作 ⊙O,点A为⊙0上一点. B 图1 图2 (1)如图1，连接AB,AO交BC于点F,若AB=AB,AD=10 ①求证：AB是⊙O的切线： ②求OF的长： (2)如图2，若点G是BC上的动点，将四边形AOGB沿OG折叠，点A恰好落在A处，点B的对应点为 点B，,GB交⊙O于点H.若BH=▣，求oversetoverparen }A'H的长， 13.(25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中)如图，点O是Rt△ACD斜边AD上的一点，以OA为半 径的⊙O与边CD相切于点E,连接AE.求证：AE平分∠CAD. 14.(25-26学年九上·福建福州期中)如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠BCD=90口°，点E在BC 的延长线上，连接DE,AC,∠CED=∠CAB.求证：DE是⊙O的切线. 415 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 B 》 考点02正多边形与圆 1.(25-26学年九上浙江台州玉环·期中)如果正n边形的一个外角是40°，则n的值为() A.5 B.6 C.8 D.9 2.(25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中)若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是 ( ) A.10 B.9 C.8 D.6 3.(25-26学年九上·福建福州·期中)如果一个正多边形的中心角为60°，那么这个正多边形的边数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5/5 专题05 直线与圆的位置关系 2大高频考点概览 考点01 圆的切线 考点02 正多边形与圆 考点01 圆的切线 1．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）如图，在中，，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点D，与交于点E，连接．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质，掌握切线性质是解答的关键．先根据切线性质得到，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：连接，    ∵与相切于点D， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（     ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【分析】 连接，，由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】 解：连接，， ，，， ， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：B． 【点睛】 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 3．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）对于题目“已知及圆外一点，如何过点作出的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于两点，分别，以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点．作直线．直线即为所求． 下列说法正确的是（     ） A. 乙的作法正确，甲的作法错误 B. 甲和乙的作法都错误 C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 甲和乙的作法都正确 【答案】D 【分析】 本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．对于甲的作法，连接，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确． 【详解】 解：对于甲的作法： 连接 ． 由作法得垂直平分， ∴， ∴点为以为直径的圆与的交点， ∴， ∴， ∴为的切线，所以甲的作法正确； 对于乙的作法： 由作法得，， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，所以乙的作法正确； 故选：D． 4．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝a，则△PMN周长的最小值为（       ） A. 4 B. 4＋a C. 2＋a D. 3＋a 【答案】B 【分析】 根据轴对称的性质得到：点N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P，此时PM+PN最小，即△PMN周长的最小，利用圆的对称性进行计算即可． 【详解】 解：如图，作点N关于AB的对称点N′，则点N′在⊙O上，连接MN′交AB于P，此时PM+PN最小，即PM+PN＝MN′，连接, ∵点N是的中点，∠BAM＝20°， ∴ ∴＝＝， ∴∠BON′＝=20°， ∴∠MON′＝60°， ∵ ∴△MON′是正三角形， ∴OM＝ON′＝MN′＝AB＝4， ∵MN＝a， △PMN周长= ∴△PMN周长的最小值为4+a， 故选：B． 【点睛】 本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键． 5．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）已知是的直径，是的切线．若，则　　　　　　　　　　　　　　度． 【答案】 【分析】 本题考查了切线的性质定理，直角三角形的两个锐角互余等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用切线的意义，得到，再根据三角形内角和定理求解． 【详解】 解：如图， ∵是的直径，是的切线， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）如图，四边形是矩形，经过点的圆分别与边相切于两点． （1）　　　　　　度； （2）若，，则图中阴影部分的面积是　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，解题的关键是掌握切线的性质并灵活运用． （1）求出，根据圆周角定理解答即可； （2）根据切线的性质证明四边形是矩形，求出，同理求出，再根据勾股定理求出，利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】 解：（1）设点为圆心，连接、，如图所示： 四边形是矩形， ， ，与相切于， ， ， ， 故答案为：； （2）延长，交于点，连接，如图所示： 与相切于， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ， 同理， 在中，由勾股定理可得， 阴影部分的面积是， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·山西大同·期中）如图，与相切于点，，，与相交于点，为上一点，连接，，求的度数． 【答案】． 【分析】 本题考查了切线的性质，垂直平分线性质，圆周角定理，等腰三角形三线合一，连接，由切线性质可得，又，则垂直平分，故有，根据等腰三角形三线合一得，最后由圆周角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：连接， ∵与相切于点，为的半径， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，是的内接三角形，点E是直径延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，如下图， ∵， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （1）先由等边对等角得，，结合圆周角定理得，进行角的等量代换，则，即可作答． （2）因为，且在中，，推导出，则，运用勾股定理得，代入数值进行计算得，则，结合割补法列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 设的半径为r，， 则， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积，30度所对的直角边是斜边的一半，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，是的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在上，切于点E．若的周长为12，则的长为　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理，结合题意可知，以及，，再结合的周长为12，即可求出的长． 【详解】 解：是的切线，切点分别为A，B， ， 又切于点E， ，， 的周长为12， ， ， ． 故答案为：6． 10．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，线段为的弦，直线经过点，连接，，． （1）求证：直线为的切线； （2）为的\overset{\overparen }{AEB}上一点，连接，，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵线段为的弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线为的切线；     （2） ，理由如下： ∵，， ∴， ∵为的弧上一点， ∴， 又∵， ∴．      【分析】 本题考查的是切线的判定、圆周角定理，掌握切线的判定定理和圆周角定理是解题的关键． （1）根据得，再根据得，即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理得，然后根据圆周角定理得，再根据，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 11．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，与直角边，相切于点，． （1）连接，，则四边形的形状为______； （2）若与相切于点，求的半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】（1）正方形     （2）1     （3）      【分析】 本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质以及图形面积之间的转化，不规则图形面积的算法一般将它转化为若干个基本规则图形的组合，分析整体与部分的和差关系． （1）根据切线的性质结合已知得，，再根据正方形的判定定理，即可得出结论； （2）如图，连接、、，根据切线的性质得，，，，则，根据勾股定理得，再由可得关于r的方程，解方程即可； （3）根据计算面积即可． (1) 小问详解： 解：∵与直角边，相切于点，，， ∴，， ∴四边形的形状为正方形， 故答案为：正方形； (2) 小问详解： 解：如图，连接、、， ∵与直角边，相切于点，，与相切于点， ∴，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， 由（1）知四边形的形状为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； (3) 小问详解： 解：阴影部分的面积为： ． 12．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知矩形，，以为直径作，点为上一点． （1）如图1，连接，交于点，若，． ①求证：是的切线； ②求的长； （2）如图2，若点是上的动点，将四边形沿折叠，点恰好落在处，点的对应点为点，交于点．若，求\overset{\overparen }{A'H}的长． 【答案】（1） ① 证明：如解图① ，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； ②     （2）      【分析】 本题主要运用矩形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理以及弧长公式等知识求解，灵活运用这些性质定理是解题关键． （1）① 通过证明三角形全等得到直角来判定切线；对于② ，利用全等三角形性质和勾股定理求线段长度； （2）根据折叠性质求出角度，进而确定三角形形状，再用弧长公式求弧长． (1) 小问详解： ① 略 ② 解：如解图① ，由① 可知 ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， ， ， 解得； (2) 小问详解： (2)解：如解图② ，连接，由题意可知， ， ， ． ， 是等边三角形， ， \overset{\overparen }{A'H}的长为． 13．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，点是斜边上的一点，以为半径的与边相切于点，连接．求证：平分． 【答案】解：连接 ． 以 为半径的 与边 相切于点 ， ． ∵， ∴， ． ． ， ． ， ∴ 平分 ． 【分析】 本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质（圆的切线垂直于过切点的半径）是解题的关键． 要证明 平分 ，可连接 ，利用切线的性质得到 ，再结合 推出 ，进而通过角的关系证明 ． 【详解】 略 14．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，连接，，．求证：是的切线． 【答案】证明：连接，如图， ， 是的直径， ，， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线． 【分析】 本题主要考查了切线的判定定理，同弧所对的圆周角相等，90度的圆周角所对的弦是直径，先证明是的直径，再证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】 略 考点02 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）如果正n边形的一个外角是40°，则n的值为（   ） A. 5                                            B. 6                                            C. 8                                            D. 9 【答案】D 【分析】 根据多边形外角和是360°即可求解． 【详解】 ∵n边形的外角和为360°， ∴正n边形的一个外角是 ， ∴=40°， ∴n=9， 故选D. 2．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（       ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】D 【分析】 根据多边形的外角和等于360°计算即可． 【详解】 解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6． 故选：D． 【点睛】 本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键． 3．（25-26学年九上·福建福州·期中）如果一个正多边形的中心角为60°，那么这个正多边形的边数是(       ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【分析】 本题考查了正多边形与圆；正多边形的中心角等于360°除以边数，因此已知中心角可求边数． 【详解】 解：中心角，且中心角， ， ． 因此，边数为，对应选项D． 故选：D． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $