专题02 二次函数与反比例函数（期中真题汇编）九年级数学上学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦二次函数与反比例函数8大高频考点，汇编多地区期中真题，通过基础辨析、图象性质、实际应用等梯度设计，实现知识巩固与能力提升的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约40题|二次函数概念/图象性质、反比例函数性质|结合太阳镜轮廓、无人机轨迹等真实情境，考查数形结合能力| |填空题|约20题|函数解析式、顶点坐标、平移变换|设置动态几何（如点运动形成的圆面积）问题，渗透运动变化思想| |解答题|约25题|二次函数与方程综合、实际问题建模|以AI错题笔利润、抛物线形拱桥等为背景，突出数学建模与应用意识，匹配期中阶段性测评需求|

专题02 二次函数与反比例函数 8大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点07 反比例函数的概念 考点08 反比例函数的图象和性质 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）下列关于的函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）下列函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）已知某函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 5 9 5 … 则可以表示以上变化过程的函数解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）二次函数的一次项系数是　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）若函数（是常数）是二次函数，则的取值范围是　　　　　． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）已知，，是抛物线上的点，则（   ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知是二次函数，且函数图象有最低点，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）若开口向下的抛物线顶点在原点，则这条抛物线的解析式是　　　　　　　　　　　　　（写出一个即可）． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象开口方向是（     ） A. 向下 B. 向上 C. 向左 D. 向右 5．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）二次函数的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·福建福州·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）将抛物线向下平移2个单位，得到新抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·山西大同·期中）关于二次函数，下列说法正确的是 A. 函数图象的开口向下 B. 该函数的最大值是5 C. 函数图象的顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 11．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（        ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）对于抛物线的图象，下列判断正确的是（       ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 当时，随增大而减小 14．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，则该抛物线的顶点坐标在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15．（25-26学年九上·福建福州·期中）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）如图，点从点出发沿线段做匀速运动，到点后立即按原路返回．用表示以点为圆心，线段的长为半径的圆的面积，用表示点的运动时间．下列图象适合表示与的对应关系的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）抛物线经过，两点，则的大小关系正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 不能确定 19．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（       ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最小值为1 C. 图象的对称轴为直线x=﹣2 D. 图象的顶点坐标是（1，2） 20．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）把抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，再绕原点旋转所得的抛物线的解析式是（　   　） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）已知点、在抛物线上，则、的大小关系为：　　　　　　　　　（填写“”“”或“”） 22．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）抛物线的对称轴为　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）已知点在抛物线上，则有　　　　　　． 25．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如果将抛物线向上平移3个单位，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）已知点，都在二次函数的图像上，则与的大小关系是　　　　　． 27．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）一个二次函数满足：①开口向下；②经过点．此二次函数的解析式可以是　　　　　　． 28．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的函数解析式为　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·山西大同·期中）已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为　　　　　．（用“”连接） 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·天津河西·期中）函数的最小值为（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 3．（25-26学年九上·山西大同·期中）将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）已知，都在二次函数的图像上，则、的大小关系是（） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A. 图象开口向下 B. 当时，y有最大值为2 C. 对称轴是直线 D. 与y轴的交点坐标为 7．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y2＜y3 9．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线上有两点，下列条件中，一定能判断的是（    ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）已知函数，当时，下列结论：①；②当时，；③当时，；④当时，，其中正确的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）如果，方程的两个不相等的实数根，满足，那么抛物线的顶点在（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14．（25-26学年九上·天津河西·期中）二次函数的图象过点，和点，则（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，四边形的对角线互相垂直，，有下列结论： ①当对角线与互相平分时，四边形是菱形； ②当的长度为或时，四边形的面积均为； ③四边形面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）如图，函数的图象过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是，其中结论正确的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 17．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　   　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 18．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）抛物线上，部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： …… 0 1 2 3 …… …… 1 1 …… 则下列结论：①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根满足，．其中正确的有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 19．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（       ） A. 16 B. 11 C. 7 D. 4 20．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，抛物线（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（       ） A.  B. 3 C.  D.  21．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 22．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①；②；③若且，则；④若，则；其中结论正确的是（     ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 23．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）下表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中． … 1 3 … … 0 2 0 … 根据表中的信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为　　　　　． 25．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）已知二次函数的图象经过点 （1）求的值； （2）在所给的坐标系中画出这个函数的图象． 0 1 0 1 0 26．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是          ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是          ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 27．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小；⑤ ．其中正确的结论有　　　　　　． 28．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数，当时， y的范围　　　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）已知二次函数，经过点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）若点在该函数图象上，求的值． 30．（25-26学年九上·福建福州·期中）若二次函数的图像经过点，，则　　　　　． 31．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，已知抛物线与x轴交于， 两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），连接、，求面积的最大值； 32．（25-26学年九上·天津河西·期中）已知函数，当时的取值范围是　　　　　　． 33．（25-26学年九上·天津河西·期中）写出在抛物线上的一个点　　　　　　　　． 34．（25-26学年九上·天津河西·期中）在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示． x … 0 4 … y … 0 4 0 … （1）求该二次函数的表达式（写成一般式）； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出函数的草图； （3）若将该函数图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移之后的图形所表示的函数解析式为__________（写成一般式，直接写出答案即可）． x … 0 4 6 … y … 0 4 0 … 35．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）已知抛物线． （1）请用配方法将化为的形式，并直接写出对称轴； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出的图象； （3）根据图象，回答下列问题： ①当取何值时，随的增大而增大？ ②当时，直接写出的取值范围． 0 6 8 6 0 36．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； （3）在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 37．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则　　　　　　　　． 38．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，另一交点为，与轴的交点坐标为． （1）求出，的值； （2）求这个二次函数的对称轴、顶点坐标； （3）点是抛物线上一点，且，直接写出点的坐标． 39．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）定义：已知平面直角坐标系中有，两点（点在点左侧），，且轴，若抛物线经过，两点，则称抛物线是线段的“共弦抛物线”． （1）若，，线段的一条“共弦抛物线”的顶点的纵坐标为，求这个抛物线的解析式； （2）在（）的条件下，抛物线与轴相交于，两点，求的面积； （3）若，线段的“共弦抛物线”和的顶点分别为点，，且点，距线段的距离之和为，求的值． 40．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为　　　　　　． 41．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数图象过、、三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，且． （1）求的坐标； （2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值． 42．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，已知二次函数的图象经过点.    （1）求的值和图象的顶点坐标．        （2）点在该二次函数图象上.    ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 43．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知二次函数 （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （2）当时，直接写出函数的取值范围． 44．（25-26学年九上·河南许昌·期中）若二次函数的图象经过点，则　　　　　　． 45．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式； （2）平行于x轴的直线y＝﹣14与抛物线分别交于点D、E，求线段DE的长． （3）点P是线段OB上一点（不与点B、O重合），过点P作PM⊥x轴交抛物线于点M，连接CM、BM，求△BCM面积的最大值，及此时点M坐标． 46．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． X … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 47．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出的长； ②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围． 48．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　　　　　　． 49．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）小明在求抛物线的顶点坐标过程中，初步感受到当自变量x取顶点横坐标的值时，二次项与一次项的值可能存在特殊关系，于是开展了如下探究活动． （1）绘制表格，呈现特殊结果请帮小明完成表格 解析式 顶点横坐标x                                 4                 2         8         ______ ______ ______ （2）猜想：当x取顶点横坐标的值时，m，n的值有何关系？ （3）请证明你的猜想． 50．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）某种弹性小球从地面某处竖直向上弹起，到达最高点后落回原处，再弹起、落回…，小球离地的高度（单位：）是运动时间（单位：）的函数．若，h是t的二次函数，部分对应数据如下表：         0         1         2         0         2         0 若，t取任意值时的小球高度一定是时的． （1）若，求h关于t的函数解析式． （2）若 ①当时，求t的值． ②判断时，h关于t的函数是不是二次函数？若是，求出函数的解析式；若不是，请说明理由． （3）直接写出：小球第几次弹起后的最大高度最接近？ 51．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）已知平面直角坐标系中，开口向上的抛物线经过点 （1）当，时，求该抛物线的对称轴； （2）当时，k的值始终为负数，证明：； （3）在（2）的条件下，该抛物线经过，两点，且当时，都有，试用等式表示m，n之间的数量关系，并说明理由． 52．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在四边形中，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s． （1）当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由； （2）当点M在边上运动时，求面积的最大值； （3）是否存在t的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 53．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点，为抛物线对称轴上两点（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标是　　　　　． 54．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图1，直线l：与x、y轴分别相交于A、B两点，将绕点O逆时针旋转得到，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线． （1）已知直线：，求直线的关联抛物线的表达式； （2）如图2，若直线：，G为中点，H为中点，连接，M为中点，连接．若； ①求直线的关联抛物线的表达式； ②若点E在直线上运动，抛物线上是否存在一点F使得以A，B，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点F坐标；若不存在，请说明理由； 55．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．正确的结论有　　　　　　　　　　（填序号）． 56．（25-26学年九上·福建福州·期中）抛物线（a，b，c是常数，，）经过点，且．下列结论：①；②关于的一元二次方程一定有一个根小于；③；④若，抛物线过点，，，，且，则． 其中正确的结论是　　　　　（填写序号） 57．（25-26学年九上·福建福州·期中）无人机技术正在蓬勃发展，其应用越来越广泛，2025年中国工业级无人机市场规模将达1200亿元．有一个无人机物流配送站，无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线，现以仓库为原点，地面(水平方向)为x轴,垂直于地面的方向(竖直方向)为y轴建立平面直角坐标系．已知无人机飞行轨迹是抛物线的一部分． 【任务一：调整仓库位置】 （1）因周边施工，仓库需向右平移米，并向上平移3米．无人机轨迹形状不变(开口方向与大小均不变)，调整后的轨迹需经过某配送目标对象坐标．求满足这些条件的h的值． 【任务二：优化重型包裹投递路径】 （2）将无人机在水平范围内的飞行高度最大值与最小值之差称为垂直波动量，记作．当无人机投递重型包裹时，因仓库周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与任务一中调整后的轨迹顶点相同，同时需要增大抛物线开口以降低晃动．若垂直波动量米，记新抛物线的二次项系数为，求p的值． 【任务三：评估调整后的投递高度波动性】 （3）任务一中调整后的轨迹在水平范围内的垂直波动量米，且．直接写出这时n的值是___________． 58．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，已知直线交轴正半轴于点，与轴正半轴交于点，抛物线经过、两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标； （3）在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 59．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，其中，． （1）求，的值； （2）点为抛物线的第一象限上一动点，连接，交于点，当取最大值时，求点的坐标； （3）将抛物线沿射线平移得到新抛物线，当抛物线经过点时，抛物线存在两点，，若对于满足的任意实数，总有，求的取值范围． 60．（25-26学年九上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点在抛物线F：上， （1）当时， ①求的值； ②将抛物线F平移后得抛物线G：，设抛物线F与抛物线G的交点为P，过点P的直线与抛物线F的另一个交点为M，与抛物线G的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由． （2）当时，若对于，都有，求的取值范围． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（       ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴交点的坐标是 3．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）二次函数的图象与x轴交点为，则方程的解是（   　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）如图，抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则与x轴的另一交点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·天津河西·期中）下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A. 该函数图象过点 B. 该函数图象的对称轴是直线 C. 该函数图象与x轴有两个交点，且两交点间的距离为4 D. 该函数图象可以看作是将向下平移3个单位 6．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）对于二次函数,下列说法正确的是（ ） A. 当x>0，y随x的增大而增大 B. 当x=2时，y有最大值－3 C. 图像的顶点坐标为（－2，－7） D. 图像与x轴有两个交点 7．（25-26学年九上·河南许昌·期中）关于的二次函数的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）已知二次函数与轴相交于、，则一元二次方程的解是　　　　　． 9．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴有两个公共点，则常数c的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）抛物线如图所示，则一元二次方程的解为　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）已知抛物线y＝x2﹣4x+m的顶点在x轴上，则m＝　　　． 13．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）已知二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，，则的值为　　　　　　． 14．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是　　　　　． 15．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）若、是关于x的方程的两根，且，则a、b、m、n的大小关系是　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）已知m是常数，二次函数，记． （1）若该二次函数的图象与x轴相交的一个点是，求它与x轴的另一个交点的坐标； （2）若该二次函数的图象过点，求T的值． 17．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②5是方程的一个根；③当时，的值随值的增大而增大；④；⑤其中正确的结论有　　　　　　． 18．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）通过“列表—描点—连线”得到函数图象，再结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法．小宇在课后对函数进行自主探究，请补全以下探究过程． （1）①列表： … 0 1 2 … … 2 0 1 a b 2 … 其中，______，______； ②请补全函数图象； ③根据函数的图象，任写一条函数图象性质：______； （2）根据图象直接写出不等式的取值范围． 19．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，则不等式的解集为　　　　　． 20．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）小明用“试根法”探索关于的一元二次方程的解．当的值分别取时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为　　　　　　． 的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 2 5 9 … 等号右边的值 … 1 3 5 7 … 21．（25-26学年九上·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），，与y轴交于点C，作交该抛物线对称轴于点D，且点D关于x轴的对称点为E． （1）求点B的坐标； （2）延长交抛物线于点P，当的面积为6时，求a的值； （3）沿x轴平移线段至，点A、D的对应点分别是点F、G，当取最小值时，求a的值和点G的坐标． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）之间的关系式是（）．有下列结论错误的是（） A. 小球从抛出到落地需要 B. 小球运动时和时的高度一样 C. 小球运动时的高度小于运动时的高度 D. 小球运动中的高度可以是 2．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，点E、F、G、H分别位于边长为3的正方形的四条边上，四边形也是正方形，正方形的面积最小时，的值是（     ） A. 1 B.  C. 2 D.  3．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）为拓宽高端市场，某水产品养殖基地正规划开展特定高端水产品的专业化养殖项目．经过市场调查得到如下信息： （1）若该水产品的总产量为，求x的值； （2）养殖面积定为多少时，基地利润最大？最大利润是多少？ 4．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m． （1）求抛物线的解析式； （2）现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？ 5．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，某拱桥的主桥拱近似的看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为　　　　　米． 6．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面上升1m时，水面的宽为　　　　　　． 7．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）在投掷铅球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，铅球从出手到落地的过程中，它的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系，记出手点与落地点的水平距离为投掷距离．小亮投掷铅球时，记录部分数据如下表． 1 2 4 6 7 … 3 … （1）求与的函数表达式； （2）当铅球的投掷距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小亮在此次投掷中是否得满分． 8．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）下面的三个问题中都有两个变量： ①直角三角形两条直角边的和等于，直角三角形的面积与一直角边长； ②钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加，钢球滚动的距离与滚动的时间； ③用长度一定的篱笆围成矩形场地，矩形面积与一边长． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是　　　　　　（填序号） ． 9．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现，当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）． （2）若商场要尽快减少库存，并使每天获得的销售利润为2 000元，则销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，该商场销售这种文具每天所得的销售利润最大？最大利润是多少元？ 10．（25-26学年九上·山西大同·期中）项目式学习 材料一 大同公园是大同市最早的公园，承载着一代又一代大同人的美好记忆．下图为某项目小组为大同公园设计的公园大门上半部分的截面示意图，如图1所示，大门顶部呈抛物线型，水平横梁米，的最高点到的距离米，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 材料二   经过小组讨论，只有一条抛物线设计有些单一，为让大门更加美观，在原设计中再加入，两条抛物线型的结构，如图2所示，其中两条抛物线，关于所在直线对称．，，为框架，点是与的交点，点是与的交点，，，． 材料三   为了大门更加稳固，在图2的基础上再加入一个矩形的框架，如图3所示，其中点，在上，点，分别在，上，且，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数关系式为 ①直接写出的长； ②要做一个与矩形框架同样大小的牌匾，上书“大同公园”四个大字，为使牌匾美观大气，需要矩形框架的宽度尽量做到最宽，请你求出的最大值． 11．（25-26学年九上·山西大同·期中）2025年，某教育科技公司推出一款适配新课标的“AI错题整理笔”，以每支150元的成本价生产，根据销售渠道数据，该款错题笔的日销售量（支）与销售价格（元/支）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格（元/支） 300 250 日销售量（支） 80 180 （1）试求出关于的函数表达式． （2）设该经销商销售这种AI错题整理笔的日销售利润为元，如果不考虑其他因素，求每支笔的销售价格为多少元时，日销售利润最大？最大的日销售利润是多少元？ 12．（25-26学年九上·山西大同·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 飞机着陆后滑行距离与滑行时间的关系探究 一架飞机着陆后滑行一段距离才能停下来，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间/秒 0 3 6 9 12 15 18 … 滑行距离/米 0 306 504 594 … 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系（如图），以为横坐标，为纵坐标． 任务： （1）请你描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们； （2）观察图象，可以看出这条曲线像我们学过的函数图象的一部分，请你直接写出该函数的解析式； （3）请问飞机着陆后滑行多远才能停下来． 13．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） （1）求当时，y与x的函数关系式； （2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 14．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）小星和小丽在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．小星在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为拋物线：（为常数，）的一部分，小丽恰在点处接住沙包，然后竖直跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线：（为常数）的一部分． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线经过点，求的值； （3）若小星在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值．（假设小星，小丽，沙包一直在同一个水平面内） 15．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）掷实心球是某市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．小祎在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）下表为某市初中学业水平体育与健康学科投掷实心球项目评分表，按此评分标准，该生在此项考试中得分为多少?请说明理由．（） 项目 分数成绩 20分 19分 18分 17分 16分 15分 14分 13分 12分 11分 原地掷实心球（米） 男生 12.10 11.70 11.30 10.90 10.50 10.10 9.70 9.30 8.90 8.50 女生 9.10 8.70 8.30 7.90 7.50 7.10 6.70 6.30 5.90 5.50 16．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． （1）用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． （2）当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？ （3）如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 17．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B．        （1）求抛物线解析式； （2）是x轴上一动点．过点E作轴交于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． ①点E在线段上运动，当线段的长度最大时，求点P的坐标； ②点E在线段上运动，若是等腰三角形时，求点E的坐标． 18．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）根据以下内容，完成问题 探究主题 拱桥水位的变化 呈现问题 某景区有一座抛物线形石拱桥，工作人员需研究水位变化对桥面下水面宽度的影响．测量发现：当拱顶离水面时，水面宽，当水面上涨3m时，水面宽度减少多少? 数学抽象 从实际问题抽象出数学问题为：已知抛物线顶点为，，垂足为，交于点，，，，求． 自主建模 求线段长，需要先求点的坐标，就需要建立平面直角坐标系． 小组展示对比优化 小组一：以顶点为原点，抛物线的对称轴为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组二：以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系． 小组三：以原水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组四：以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 问题解决： （1）选择一种建模思路求出水面上涨，水面宽度减少多少？ （2）把呈现问题中的“当水面上涨时”改为“当水面宽度为时”，水面是下降还是上涨?水位变化是多少? 19．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … （1）求h关于s的函数表达式． （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． （3）求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 20．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为26米），其余用长为49米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） （1）设菜地的宽为x米，则___________米（用含x的代数式表示）； （2）当x为何值时，围成的菜地面积为200平方米？ （3）当x为何值时，围成的菜地面积最大？ 21．（25-26学年九上·河南许昌·期中）十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件元的服装，规定销售期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量件与销售单价元符合一次函数． （1）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为元？ （2）设该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ 22．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表： 刹车时车速(千米/时) 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离(米) 0 0.1 0.3 0.6 1 1.6 2.1 （1）在如图所示的直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到某函数的大致图象； （2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式； （3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶． 23．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在中，，，，点是线段上一点，且满足，动点，同时出发，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，当点运动到点时，速度变为每秒1个单位长度继续运动，点的速度保持不变．当，有一点运动到点A时，都停止运动．设运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）函数与的图象有且只有两个交点，请直接写出的取值范围． 24．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图1，抛物线的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线解析式； （2）点M是直线上方的抛物线上一动点，M点的横坐标为m，四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； （3）如图2，，连接，将绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转得到，O、B、D的对应点分别为．若点两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标． 25．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图1，在正方形中，E为的中点，点 P 从点 B 出发，沿B→C→D匀速运动，同时点Q从点 E出发，沿E→B→C 匀速运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为，的面积为S．当点Q在上运动时，S关于t的函数图象是图2所示的抛物线的一段． （1）的长为_____；当点Q与点B重合时，的面积为_____． （2）当点Q在上运动时，求S关于t的函数解析式，并在图2的平面直角坐标系中画出该函数的图象． （3）若存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，且   求的值． 考点07 反比例函数的概念 1．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图像上，则的值为（     ） A.  B. 2 C.  D. 4 2．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）在下列函数表达式中，属于二次函数的是（　　） A.  B.  C.  D.  考点08 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）已知反比例函数下列结论中不正确的是（     ） A. 图像必经过点 B. 图像位于第二、四象限 C. 若，则 D. 在每个象限内，随的增大而增大 2．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（       ） A.      B.      C.      D.      3．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为　　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，则的面积______； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集______． 5．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与轴重合，点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，点在线段上，且为等腰直角三角形． （1）求反比例函数的表达式． （2）直接写出直线与反比例函数的图象的交点横坐标． 6．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是_______； （2）下表是y与x的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 4 1 … 表中的________； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数的性质：_______； （4）结合函数图象，点和点在函数的图象上，且成立，则a的取值范围是______． 7．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，，为反比例函数图象上的两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接和，图中阴影部分面积的和为，直线与反比例函数的图象交于点，则的值为　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与反比例函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点07 反比例函数的概念 考点08 反比例函数的图象和性质 考点01 二次函数的概念 1．D 2．C 3．B 4．【答案】 【分析】 根据二次函数一次项系数的定义，解答即可． 【详解】 解：∵二次函数的一次项为， ∴二次函数的一次项系数是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的系数，解本题的关键在熟练掌握二次函数一次项系数的定义．在中，二次项前面的系数叫做二次项系数，一次项前面的系数叫做一次项系数，叫做常数项． 5．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的定义；根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，计算即可． 【详解】 解：∵函数是二次函数， 因此二次项系数，解得． 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．D 2．D 3．【答案】答案不唯一 【分析】 本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据抛物线顶点在原点时解析式为，开口向下则，即可写出． 【详解】 解：顶点在原点的抛物线解析式为， 当时开口向下，例如取， 则解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．C 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．A 8．D 9．B 10．C 11．C 12．B 13．C 14．C 15．D 16．C 17．A 18．A 19．B 20．A 21．【答案】 【分析】 分别求出和时的函数值，即可得到答案． 【详解】 解：当时，，即， 当时，，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】 此题考查二次函数的性质，准确计算是解题的关键． 22．【答案】 【分析】 由抛物线顶点式：，顶点为即可求解． 【详解】 解：由抛物线得 顶点为； 故答案：． 【点睛】 本题考查了根据抛物线的顶点式求顶点，掌握求法是解题的关键． 23．【答案】直线 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握该知识点是关键．由的对称轴为，即可得出答案． 【详解】 解：由条件可知：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线． 24．【答案】 【分析】 本题考查二次函数比较函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质得到二次函数的开口向下，对称轴为轴，从而得到抛物线上的点到对称轴距离越近值越大，求出点到抛物线对称轴的距离，比较距离大小即可得到答案． 【详解】 解：二次函数的开口向下，对称轴为轴， ∴由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越大， ∴点到对称轴的距离为、， ∵， ∴， 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】 解：如果将抛物线向上平移3个单位，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是， 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质，把和分别代入，求出、的值，根据求出的值进行比较即可． 【详解】 解：当时，， 当时，， ． 故答案为：． 27．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握二次函数的性质是关键．根据题意，只要二次函数的解析式满足：二次项系数为负，将点看作二次函数的顶点，即可求解． 【详解】 解：∵二次函数的图象开口向下，二次函数经过点， ∴，二次函数与轴交于点， 即的值可以是， 当，点是二次函数的顶点时，二次函数解析式为． 经验证，二次函数，满足开口向下且过点． 故答案为：（答案不唯一）． 28．【答案】 【分析】 本题考查函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】 解：二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得到，即． 故答案为：． 29．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质． 分别计算各点的函数值，进而比较即可． 【详解】 解：，，， 由于为常数，比较的大小即比较的大小． ， 因此． 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．C 7．A 8．D 9．C 10．D 11．C 12．C 13．D 14．C 15．C 16．C 17．C 18．D 19．A 20．D 21．C 22．D 23．C 24．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据题意可设该二次函数的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】 解：设该二次函数的解析式为， 将带入得：， 解得：， 该二次函数的表达式为：， 故答案为：． 25．【答案】（1）     （2） 函数图象如下： 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的图象与性质． （1）把代入，解方程即可求得答案； （2）利用描点法画出函数图象． (1) 小问详解： 解：二次函数的图象经过点， ， 解得， 的值为； (2) 小问详解： 解：由（1）可知函数解析式为， 列表： 0 1 0 1 0 26．【答案】（1）① ③ ；（2）直线；（3）时，最小值为；（4） 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质， （1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可； （2）根据二次函数的性质，直接求对称轴即可； （3）将代入函数的解析式，即可求最小值； （4）先求出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】 解：（1）①的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ②的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ③的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； 故答案为：① ③ ． （2）函数 的对称轴是直线； 故答案为：直线． （3）当时，函数 有最小值 （4）∵，，． ∴ ∴当时，的最小值为． 27．【答案】②③ ④  【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，二次函数与坐标轴的交点等知识是解题的关键． 根据二次函数图象可得二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴可得，，由此二次函数对称轴直线为，可得，再根据二次函数图象与坐标轴的交点等知识进行判定即可求解． 【详解】 解：根据图示可得，二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数对称轴直线为， ∴，故① 错误； ∴当时，二次函数有最大值，最大值为，故② 正确； ∵， ∴，故③ 正确； ∵二次函数对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故④ 正确； ∵二次函数与轴有两个交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故⑤ 错误； 综上所述，正确的有②③ ④ ， 故答案为：②③ ④ ． 28．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，先根据开口确定最大值，再分别计算出，时的函数值，即可求解取值范围． 【详解】 解：∵，， ∴开口方向向下，对称轴为直线：，在对称轴处取得最大值， 则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，， ∴当时，y的范围是， 故答案为：． 29．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质： （1）代入点求出值即可得到二次函数的表达式； （2）将点坐标代入（1）中的解析式即可得到值． (1) 小问详解： 将点代入二次函数得：， 二次函数解析式为：． (2) 小问详解： 将点坐标代入得：， 解得：． 30．【答案】 【分析】 本题主要考查了根据抛物线的对称性求对称轴， 由于点A和点B的纵坐标相同，它们关于二次函数的对称轴对称，利用对称轴公式或代入坐标解方程即可求解． 【详解】 解：∵二次函数的图像经过点和，且两点纵坐标相等， ∴它们关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为， 解得． 故答案为：． 31．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，面积问题； （1）利用待定系数法即可求得； （2）令，，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （3）首先可求得所在的直线表达式为，再过点作轴，交于点，设点坐标为，则点坐标为，再由可得BCN面积的最大值． (1) 小问详解： 解：把， 代入，得 ，解得 ∴二次函数表达式为：． (2) 小问详解： 解：∵，当，，则 ∴， ∴ ∴ (3) 小问详解： 设所在的直线表达式为， 把点，的坐标代入得 ，解得 所在的直线表达式为． 过点作轴，交于点， 设点坐标为，则点坐标为． ∴ ∴ ∵， ∴当时，． 把代入，得． 32．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据x的范围得出时，求得函数的最大值，进而即可求解． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时， 当时，y的最小值为， 当时，y的值为， 当时，y的值为， ∴y的取值范围是， 故答案为：． 33．【答案】（0，﹣4）(答案不唯一） 【分析】把（0，﹣4）点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，即可解答． 【详解】将（0，﹣4）代入， 得到 ， 故（0，﹣4）在抛物线上， 故答案为（0，﹣4）. 【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把点代入解析式. 34．【答案】（1）     （2）， 如图：      （3）      【分析】 本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，画二次函数图象，求顶点坐标以及二次函数图象的平移问题． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先配方成顶点式，再写出顶点坐标，然后列表、描点、连线即可作图； （3）利用“左加右减，上加下减”求出平移后的顶点式，再化为一般式即可． (1) 小问详解： 解：由表格得， ， 解得 ， ∴二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：， ∴顶点坐标为， 列表为： 描点，连线作图： x … 0 4 6 … y … 0 4 0 … (3) 小问详解： 解：抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位， 得到，即， ∴一般式为 35．【答案】（1），对称轴为直线     （2）如图：      （3）①当时，y随x的增大而增大；②      【分析】 本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，二次函数的图象与性质，正确画出图象是解答本题的关键． （1）直接利用配方法将一般式化为顶点式即可求； （2）利用顶点式，结合“五点画图法”即可画出函数图象； （3）① 观察图象即可求解； ② 根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：如图所示， 0 6 8 6 0 (3) 小问详解： 解：① 由图象知，当时，y随x的增大而增大； ②∵，对称轴为直线， ∴当，随的增大而减小， 当时，，时，， ∴当，的取值范围是． 36．【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 （1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． (1) 小问详解： 解：把，代入， ∴ ， 解得： ， 则抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； (3) 小问详解： 解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 37．【答案】1 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解； 【详解】 解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1 38．【答案】（1）     （2）对称轴为直线，顶点坐标为     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）代入点、的坐标即可解题； （2）根据二次函数的性质解题即可； （3）根据列方程即可． (1) 小问详解： 解：把，代入得： ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：由（1）得，函数解析式为， 整理得， 则该二次函数对称轴为直线，顶点坐标为； (3) 小问详解： 解：如图： 当时，， 解得：或， ∴； 由图可知， 其中， ∴有， 解得：， ∵点在抛物线上，抛物线顶点纵坐标为， ∴， 代入解析式有， 解得：或， ∴或． 39．【答案】（1）抛物线解析式为；     （2）的面积为；     （3）的值为或．      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，解一元二次方程，二次函数图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，线段的一条“共弦抛物线”，顶点的纵坐标为，则顶点坐标为，然后代入，求出的值即可； （）由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为，当时，，求出，，然后利用的面积为求解即可； （）由线段的“共弦抛物线”和，则对称轴为直线 ，故有，，抛物线的顶点坐标为，所以抛物线的顶点距线段线段的距离为，点距线段的距离为，从而得到抛物线的顶点为或，然后分当顶点为时，当顶点为时两种情况分析即可． (1) 小问详解： 解：∵，，线段的一条“共弦抛物线”， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵顶点的纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为：，且过点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：如图， 由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为， 当时，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴的面积为； (3) 小问详解： 解：∵线段的“共弦抛物线”和， ∴对称轴为直线， ∵， ∴，，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点距线段线段的距离为， ∴点距线段的距离为， ∴抛物线的顶点为或， 当顶点为时，， 将代入得，， 解得：， 当顶点为时，， 将代入得，， 解得：， ∴的值为或． 40．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键是掌握二次函数图象的性质． 【详解】 解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向下， ∴图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，，， ∴， 故答案为：． 41．【答案】（1）点的坐标为     （2），最大值      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数解析式的求法，解答此题的关键是熟知二次函数的解析式为，顶点坐标公式为，． （1）根据、两点的坐标及点在轴正半轴上，且，求出点的坐标即可； （2）设二次函数的解析式为，把、、三点的坐标代入解析式，可求出、、的值，然后利用二次函数的性质求其最大值即可，也可通过两点式求出函数解析式，再求最值． (1) 小问详解： ，， ，， ， ，即点的坐标为； (2) 小问详解： 解法：设图象经过、、三点的二次函数的解析式为， 由于这个函数图象过点，可以得到， 又由于该图象过点，， 则 ， 解方程组，得 ， 所求的函数解析式为． ， 当时，有最大值； 解法：设图象经过、、三点的二次函数的解析式为， 点在图象上， 把坐标代入得：，解得：， 所求的二次函数解析式为， 点，的坐标分别是点，， 线段的中点坐标为，即抛物线的对称轴为直线， ， 当时，有最大值，为． 42．【答案】（1）；（2）① 11；②. 【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a； （2）① 把m=2代入解析式即可求n的值； ② 由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得. ∵， ∴顶点坐标为. （2）① 当m=2时，n=11， ② 点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴-2＜m＜2， ∴2≤n＜11. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键． 43．【答案】（1）抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）用配方法将表达式化为顶点式即可； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得的取值范围． (1) 小问详解： 解： ； ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (2) 小问详解： ，， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 时函数最小值为， ∵ ∴的取值上界由处的函数值决定， 将代入得， 当时，的取值范围． 44．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，代数式求值；将点代入二次函数解析式，得到关于和的方程，化简后求出的值，再代入所求表达式计算． 【详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入得：， 即， 整理得：， 两边同时除以2得：， ∴． 故答案为：． 45．【答案】（1）；（2）9；（3）最大值是8，M（2，6） 【分析】 （1）把A、C两点坐标代入到抛物线解析式求解即可； （2）把代入（1）中求出的抛物线解析式中求出，，则； （3）先求出B点坐标为（4，0），即可求出直线BC的解析式为，设PM与线段BC交于点Q，M（m，），则Q（m，）   MQ=，则，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 （1） 抛物线经过 ， 两点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为； （2）当 时，， 整理得： ， 解得，，         ∴； （3）令，则，即， 解得或， ∴B点的坐标为（4，0）； 设直线BC的解析式为， ， ∴ ， ∴直线BC的解析式为， 设PM与线段BC交于点E，M（m，），则E（m，）   ME=， ∴ ∵， ∴当m=2时， 取得最大值是8， ∴M的坐标为（2，6）． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的自变量的值，二次函数与图形面积的最值问题，一次函数与几何问题，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 46．【答案】（1）     （2）见解析     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，画出二次函数的图象，掌握相关知识是解答此题的关键． （1）抛物线变形为，可得顶点坐标； （2）列表，描点，连线即可； （3）因为抛物线开口向上，所以当时抛物线有最小值，再求、时的函数值结合函数图象可求的范围． (1) 小问详解： 解：， ∴顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：列表： 描点并连线： X … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … (3) 小问详解： 解：由题意，当时抛物线有最小值； 当时，； 当时，， 由图象可知，当时，． 故答案为：． 47．【答案】（1）     （2）①7；②      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）① 求出时两个函数的函数值，则可得到点M和点N的坐标，进而可得的长；② 可求出直线与抛物线交于点和点，则当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值；再求出点M和点N的坐标，进而表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象与x轴的交点为、两点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：①在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴； ② 联立 ，解得 或 ， ∴直线与抛物线交于点和点， ∴当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值； 在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，随t的增大而减小． 48．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 二次函数开口向上，在对称轴左侧函数递减。根据条件“当时，y随x的增大而减小”，要求整个区间位于对称轴左侧，因此必须小于或等于对称轴的位置． 【详解】 二次函数的二次项系数， 因此抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 当时，函数递减；当时，函数递增， 由题意，当时函数递减， 故需； 故答案为 ． 49．【答案】（1）；     （2）；     （3） 证明：二次函数的顶点的横坐标为， ∴ ， ． ∵， ∴．      【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点坐标，规律探索，分式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据所给函数解析式求出顶点横坐标，然后代入求值完成表格的填写即可； （2）根据所填表格，猜想m，n值得关系即可； （3）二次函数的顶点的横坐标为，代入求出m，n进行证明． (1) 小问详解： 解：∵二次函数解析式为， ∴顶点的横坐标为， 则，． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由表格可知， 当取顶点横坐标的值时，，的值的关系为； (3) 小问详解： 略 50．【答案】（1）     （2）①或；② 是，     （3）小球第四次弹起后的最大高度最接近      【分析】 本题考查二次函数的应用，二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由表格数据，用待定系数法求出函数解析式； （2）① 根据，t取任意值时的小球高度一定是时的，求出函数解析式； ② 根据① 的解析式判断即可； （3）求出第一次，第二次，第三次，第四次最高高度即可判断． (1) 小问详解： 解：当时，由表格数据可知，二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数的顶点坐标为， 二次函数的解析式为， 把代入函数解析式得：， 解得， 二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：，t取任意值时的小球高度一定是时的， 时， ， 当时，， 整理得：， 解得， 当时，t的值为或； ② 由① 可知，， 关于t的函数是二次函数； (3) 小问详解： 解：第一次弹起时，最大高度为； 第二次弹起时，最大高度为； 第三次弹起时最大高度是第二次弹起时最大高度的，即； 第四次弹起时最大高度是第三次弹起时最大高度的，即； 小球第四次弹起后的最大高度最接近 51．【答案】（1）     （2） 证明：在中，令，得 解得或， 该抛物线与x轴交于点， 当时，k的值始终为负数， ∴且抛物线开口向上， ， ， ；     （3） 解：m，n之间的数量关系为，理由如下： 设， ， 令得， ， 解得或， 是t的二次函数，其函数图象与横轴交于点， 在（2）的条件下， ， 图象开口向上， 当时，都有，即， ， ， 又由（2）知，， ．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，对称轴，结合一元二次方程的求解求出与横轴的交点坐标，利用交点坐标和函数值的正负分析关系式是解决本题的关键． （1）根据抛物线的对称轴公式求解即可； （2）根据抛物线开口向上得出，又可以求出抛物线与x轴的交点坐标，根据时，k的值始终为负数，得出，可以证明结论； （3）设，得到z是t的二次函数，由（2）并结合函数图象与横轴的交点横坐标不大于，即可得出m，n之间的数量关系． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点， 将代入，得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 52．【答案】（1）相等． 当时，点在边上， 此时，，， 则；     （2）．     （3）．      【分析】 本题主要查了二次函数的应用，一元二次方程的应用， （1）当时，点在上，求出、即可； （2）利用三角形面积公式求出△的面积，利用二次函数的性质计算求解； （3）分两种情况：当点在上时，点在上，结合△的面积为列出方程，求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时，点在边上， 此时，，， 则， 当 时，△的面积取最大值，为； (3) 小问详解： 当时，点在边上，△的面积最大值为33.75，不满足， 当时，点在边上， 过点作垂直于射线，交射线于点， 则， ∴， ∴边上的高， ， 此时，， 令， 解得或9.5（舍去）． 综上，，使得△的面积为． 53．【答案】 【分析】 先求出抛物线与坐标轴的交点以及对称轴，在轴上取点，连接，可得四边形为平行四边形，则，那么，当点共线时，取得最小值，即为，此时点为与抛物线对称轴的交点，由待定系数法求出直线表达式即可求解点． 【详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，， 当时，， 解得：， ∴， 在轴上取点，连接， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵抛物线关于直线对称，且点是抛物线与轴交点， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值，即为， 此时点为与抛物线对称轴的交点， 设直线表达式为， 代入点，得 ， 解得： ， ∴直线表达式为， 当时，， ∴点E坐标为． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 54．【答案】（1）：y=     （2）① 直线的关联抛物线；②；      【分析】 （1）分别将、代入，求出、两点坐标，根据旋转的性质可得，由此求出的坐标，再用待定系数法求的表达式； （2）① 连接、，易得是等腰直角三角形，由此计算出，再由直角三角形斜边上的中线的性质可得的长，利用勾股定理求出，从而得点的坐标，再利用待定系数法求的表达式； ② 根据四边形是平行四边形，可得，，过点作直线于点，证明，可得，所以点的横坐标为，进而可以求出点的坐标． (1) 小问详解： 解：， 当时，， ； 当时，即，解得， ， 由旋转的性质可知，， ． 设的解析式为， ，解得 ， 直线的关联抛物线； (2) 小问详解： 解：① 如图，连接、， 为中点，为中点， 由旋转的性质可知：，， 是等腰直角三角形， 为中点， ， ， 在中，， 在中，， ， 直线，当时，， 点，即． 由旋转的性质可知，， 点． 在中，， ， 设的解析式为， ， 解得 ， 直线的关联抛物线； ② 如图，点在直线上运动，点在抛物线上， 四边形是平行四边形， ，， 过点作直线的垂线于点， ， ， ,， ， ， 点的横坐标为， ； 【点睛】 本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数与一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，一元一次不等式，旋转的性质，二次函数的性质与应用，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用． 55．【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 由图象可知，则可判断① 符合题意；由当时，，即，可判断② 符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③ 符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④ 不符合题意． 【详解】 解：观察图象，可知， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故① 结论正确； ∵抛物线与x轴交于， ∴当时，，即，故② 结论正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③ 结论正确； 当时，函数有最大值， 若m为任意实数，则， ∴，故④ 结论不正确， 综上，正确的结论是① ② ③ ． 故答案为：① ② ③ ． 56．【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质， 将点代入抛物线解析式可得b的表达式，结合条件判断符号；根据二次函数与一元二次方程的关系，结合函数值符号判断根的范围；利用对称性和函数单调性判断函数值符号． 【详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴， 令，得， 由根与系数的关系，，， ∴两根均为负， 又∵当时，， ∴抛物线与x轴的一个交点在与之间，另一个交点小于， 故②正确； ∵，且， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴当时，， ∴点 在抛物线上，与点 对称， ∴对称轴为， 点到对称轴距离为，点距离为，点距离为，点距离为 ， ∵抛物线开口向下， ∴函数值随距离增大而减小， 故， ∵，且， ∴，， ∴，， ∴，故④正确． 所以正确的是① ② ④． 故答案为：① ② ④． 57．【答案】（1）5；（2）；（3）6 【分析】 本题考查的是二次函数的应用，涉及二次函数的平移、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值，理解题意是解题的关键． （1）平移后的抛物线解析式为，再代入到抛物线，求出的值即可解答； （2）由题意得，新抛物线的解析式为，根据二次函数的性质可知，当时，飞行高度取得最小值；当时，飞行高度取得最大值，再结合垂直波动量米，列出方程，求出的值即可解答； （3）分4种情况讨论：①；②；③；④，用含的代数式表示出飞行高度的最大值和最小值，再结合垂直波动量米，列出方程，求出的值即可解答． 【详解】 解：（1）由题意得，平移后的抛物线解析式为， 代入，得， 解得，（舍去）， ∴h的值为5； （2）由（1）得，任务一中调整后的轨迹解析式为， ∴调整后的轨迹顶点为， ∴新抛物线的解析式为， ∵， ∴当时，随增大而增大， 当时，飞行高度取得最小值，此时， 当时，飞行高度取得最大值，此时， ∵垂直波动量米， ∴， 解得， ∴p的值为； （3）任务一中调整后的轨迹解析式为， ∴对称轴为， ① 当时， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得； ② 当时，即， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得，，均不符合题意，舍去； ③ 当时，即， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得，，均不符合题意，舍去； ④ 当 时，即， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得，不符合题意，舍去； ∴综上所述，n的值是6． 故答案为：6． 58．【答案】（1）     （2）     （3）存在点，点的坐标为或或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，利用平行四边形的判定和性质求点的坐标，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． （1）利用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴，交直线于点，根据三角形的面积列出二次函数，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况进行讨论，然后根据平行四边形的判定定理和性质进行求解即可． (1) 小问详解： 解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由于当四边形面积等于和面积之和，而的面积为定值， 故面积最大时，四边形面积最大， 如图1，过点作轴，交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值，当时，最大值为18， ∴将代入得，， ∴； (3) 小问详解： 解：在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， ∴对称轴是直线， ∴根据对称性，由得， ∵点是抛物线对称轴上的动点， ∴的横坐标为， ① 如图2，以为边时，当时，四边形是平行四边形，由（2）可得点的横坐标为3， ∵点在直线上， ∴点的坐标是， 又∵点的坐标是，点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ② 如图3，以为边时，四边形是平行四边形， 由（2）可得，点的横坐标为3， ∵点的坐标是，且点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ③ 如图4，以为对角线时， 根据到的平移规律可知，到的平移规律， ∴点的横坐标为，代入得，， ∴； 综上，点的坐标为或或． 59．【答案】（1），；     （2）；     （3）或．      【分析】 （1）利用待定系数法，将点、的坐标代入二次函数解析式，建立方程组求解、的值． （2）先求出点坐标和直线的解析式，过作轴交于，通过相似三角形转化为，再将问题转化为求二次函数的最大值，进而确定点坐标． （3）先确定抛物线沿射线的平移规律，得到的解析式，再根据的条件，结合二次函数的性质求出的取值范围． (1) 小问详解： 解：把，代入，得 ，即 解得，； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴得， 令，则，即， 或， ． 设直线的解析式为，把，代入，得 ， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 过作轴交于，设，则． ． 轴， ， ． ， ． 对于二次函数，，对称轴为． 当时，有最大值，此时点纵坐标为， ． (3) 小问详解： 解：抛物线， ∴抛物线的顶点为(1,4)， ∵，， ∴点向右平移3个单位，向下平移3个单位得， ∵将抛物线沿射线平移得到新抛物线，当抛物线经过点， ∴新抛物线：， 对称轴为． 当时，． 新抛物线：中，当时，， 解得或， 要使时恒成立，则点要在的下方， ∴或， 解得或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的待定系数法、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、抛物线的平移及二次函数的单调性等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 60．【答案】（1）①；② 是定值，为     （2）      【分析】 （1）①在抛物线F：上，再根据对称轴公式即可求解； ② 设，，，由① 得，抛物线：，联立 整理得到，则有，同理可得，推出，再利用勾股定理求出的长即可解答； （2）由可得，则问题转化为对于，都有，设，则函数图象开口向上，对称轴为，根据二次函数的性质可知当时，随着的增大而减小，要满足题意只需当时，据此列出关于的不等式，即可求解． (1) 小问详解： 解：① 当时，， ∵在抛物线F：上， ∴， ∴； ②的长为定值， 设，，， 由① 得，抛物线：， 联立 ， 整理得：， ∴， 联立 ， 整理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴的长为定值； (2) 小问详解： 解：∵点在抛物线：上，且， ∴， ∴， ∵对于，都有， ∴对于，都有， 设，则函数图象开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．B 7．C 8．【答案】， 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程的根，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数与x轴交点的横坐标即为一元二次方程的根，即可解答． 【详解】 解：由二次函数与x轴相交于、， 可知一元二次方程的根为或． 故答案为，． 9．【答案】 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 二次函数的图象与轴有两个公共点，得到关于的不等式求解即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象与x轴有两个公共点， ∴有两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 根据图像中二次函数与轴的交点，即可得到答案． 【详解】 解：由图象可得二次函数与轴的交点为， 故的解为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根，熟知上述概念是解题的关键． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】 解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 12．【答案】4 【分析】 因为抛物线顶点在x轴上，故函数图象与x轴只有一个交点，由此可得＝0，由此即可求出m的值． 【详解】 解：∵抛物线y＝x2﹣4x+m的顶点在x轴上， ∴＝（﹣4）2﹣4×1×m＝0， 解得：m＝4， 故答案为：4． 【点睛】 此题考查了二次函数图象与x轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：＞0时，图象与x轴有两个交点；＝0，图象与x轴有一个交点；＜0，图象与x轴无交点． 13．【答案】 【分析】 本题考查二次函数与x轴的交点问题，掌握知识点是解题的关键． 由二次函数与x轴的交点横坐标可得一元二次方程的根，利用根与系数的关系求解 【详解】 解：∵二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，， ∴，是方程的两个根， 由根与系数的关系，得 ，， ∴， 故答案为：． 14．【答案】或 【分析】 此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数图象在二次函数图象下方时，，据此可得的取值范围． 【详解】 解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点， ∴一次函数图象在二次函数图象下方时，，即或， 故答案为：或． 15．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象性质、一元二次方程与二次函数的关系，准确分析判断是解题的关键． 通过构造二次函数，利用函数图像分析方程根的位置关系． 【详解】 函数，该函数为二次函数，开口向上，与 x 轴交于点和， 方程，即，表示求函数与水平线的交点， 二次函数顶点在轴下方，且在轴上方， 方程有两个实数根，分别位于的左侧和的右侧， 已知， 故． 故答案是：． 16．【答案】（1）另一个交点坐标为或     （2）的值为      【分析】 本题考查二次函数的性质及代数式的求值，熟练掌握代数式的化简是解题的关键． （1）先根据二次函数与x轴交点的性质，令求出函数与x轴交点的横坐标表达式，再结合已知交点坐标求出的值，进而得到另一个交点坐标； （2）先将已知点代入二次函数解析式得到，再将代入T的表达式，进而求出T的值． (1) 小问详解： 解：二次函数解析式为， 令，得或， 故二次函数的图象与轴交点为和， 图象与轴相交于， 分两种情况：若，则另一个交点为，坐标为； 若，则，即另一个交点为，坐标为； (2) 小问详解： 由图象过点，代入解析式得，即． 化简：，即，得， 将代入， 得， 将代入，得 ． 17．【答案】② ④ ④ ② 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与坐标轴的交点问题，具有一定的综合性，运用了数形结合的思想． 根据抛物线的开口方向、对称轴和与、y轴交点可知，从而易判断① ② ；由图知，当时，函数值为0，即有，再结合由对称轴得到，从而易判断④ ；由图象易判断③ ；由于函数在时取得最大值，对任意的实数m，其函数值不超过函数的最大值，从而易判断⑤ ． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，图象过点， ∴，图象过点 ∴，， ∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴， ∴， ∴，故① 错误； ∵图象过点， ∴5是方程的一个根，故② 正确； 当时，函数值为0，即有， ∵， ∴，即，故④ 正确； 观察图象知，当时，随自变量的增加，函数值有增大有减小，故③ 错误； ∵函数在时取得最大值， ∴对任意的实数m，都有， 即，故⑤ 错误， ∴正确的有② ④ ， 故答案为：② ④ ． 18．【答案】（1）①0，； ② 函数图象如下： ③ 函数的图象关于直线对称（答案不唯一）     （2）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键． （1）① 把，代入，即可求出a，b； ② 描点连线即可画出该函数的图象； ③ 由图象得到函数的一条性质即可； （2）根据图象即可得不等式的取值范围． (1) 小问详解： 解：① 把代入，得， 把代入，得． 故答案为：0，； ② 略 ③ 函数图象性质：函数的图象关于直线对称， 故答案为：函数的图象关于直线对称；（答案不唯一） (2) 小问详解： 解：当时，或， 根据图象可知不等式的取值范围为：或． 19．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与不等式，先求出点C的坐标，根据点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，得到点B的坐标，再根据图象即可解答． 【详解】 解：∵二次函数的图象与y轴交点C， ∴， ， 点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称， ， ∵二次函数与一次函数的图象经过点和点， ∴不等式的解集为二次函数在一次函数的图象下方时，自变量x的取值范围，即， 故答案为：． 20．【答案】， 【分析】 通过表格数据，设等式左边与x的关系为，代入对于的数值求出a、b、c的值得出；由表可知，x的值每增加1，等号右边的值增加2，则等式右边与x的关系为，则方程为，然后解方程即可． 【详解】 解：由表可知， 设等式左边与x的关系为， 则 ， 解得 ， ∴； 当时，，符合题意； 由表可知，x的值每增加1，等号右边的值增加2， ∴等式右边与x的关系为 ∴方程为， 化简得， 解方程，． 21．【答案】（1）     （2）     （3），．      【分析】 （1）先求出对称轴，再根据对称性可得点坐标； （2）由题易得，进而可得点、、坐标，进而可证出，所以三角形的面积和三角形的面积相等，据此求解； （3）由题易得，．作点关于直线的对称点为，点在直线上，四边形和四边形是平行四边形，则，所以，当，，三点共线时，取得最小值，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：二次函数， 对称轴为直线， 点和点关于对称轴对称，， ； (2) 小问详解： 将点代入抛物线得：， 点的坐标为． 如图， ，且点在该抛物线对称轴上， 点的坐标为． 点关于轴的对称点为， 点的坐标为． 点，关于对称， 与互相平分． 四边形是平行四边形． ． 三角形的面积和三角形的面积相等． 且， ； (3) 小问详解： 点关于轴的对称点为，点在轴上， ． 同理，． 作点关于直线的对称点为，点在直线上， ．点的坐标为． ． 又， 四边形是平行四边形． ． 沿轴平移线段至， ，且， 四边形也是平行四边形． ， ， 当，，三点共线时，取得最小值． ，且， 解得：． ， 解得：． ，， 直线的解析式为， 点的坐标为．． 将点向右平移个单位长度可得点的坐标为． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数点的坐标特征、平行四边形的判定和性质、二次函数的几何变换等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 考点06 实际问题与二次函数 1．D 2．D 3．【答案】（1）；     （2）养殖面积定为亩时，基地利润最大，最大利润是万元      【分析】 本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，销售问题(实际问题与二次函数)，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意，列出一元二次方程求解； （2）根据题意，列出二次函数关系式，再求出最大利润． (1) 小问详解： 解：由题意，得， 解得：， 答：x的值为； (2) 小问详解： 解：设基地利润为y万元， 当时，y有最大值， 答：养殖面积定为亩时，基地利润最大，最大利润是万元． 4．【答案】（1）； （2）能，理由： ∵货运卡车的宽为2.4m， ∴当时，， ， 这辆货运卡车能通过隧道． 【分析】 （1）根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式； （2）根据题意可以求得当时的的值，然后与4.4比较即可解答本题． 【详解】 解：（1）由题意可得：顶点E的坐标为（0，6）， ∴设抛物线的解析式为：， 由已知可得：点的坐标为在此抛物线上， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）略 【点睛】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 5．【答案】20 【分析】 本题考查二次函数的实际应用，根据顶点坐标公式求出点的坐标，进而求出的坐标，即可得出结果． 【详解】 解：∵， ∴点的坐标为， 由题意，点和点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为（米）； 故答案为：20． 6．【答案】 【分析】 根据题意建立合适的平面直角坐标系，求出解析式，然后令时求出对应的的值，此时水面的宽为两个的差． 【详解】 解：建立如图平面直角坐标系， 设抛物线解析式为：， ∵函数图像过点（0，0）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， 解得，或； ∴水面宽度是：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，明确题意，求出相应解析式，并根据函数值求值是解题的关键． 7．【答案】（1）     （2）小亮在此次投掷中没有得满分      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，通过待定系数法计算可以得解； （2）依据题意，将代入，求出的值与满分标准比较，进而判断得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，抛物线顶点为， 可设抛物线的解析式为， 根据表格中的数据，将代入，得， 解得， ， 即与的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由（1）可得与的函数表达式为， 将代入， ， 则， 解得（不合题意，舍去）， 当铅球的投掷距离超过时，得分为满分，而， 小亮在此次投掷中没有得满分． 8．【答案】① ③ 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，涉及一次函数图象与性质等知识，根据题意判断出相应的函数解析式是解决本题的关键． 根据题中描述，分别得到三个问题中关于的函数解析式，由函数图象与性质逐个分析判断是否与所给函数图象一致即可得到答案． 【详解】 解：①直角三角形一直角边长，且两条直角边的和等于， 另一条直角边为， 则直角三角形的面积， 此函数为二次函数，开口向下，并且过原点，符合题意； ② 由速度每秒增加，可得钢球滚动的距离与滚动的时间满足：， 此函数为正比例函数，不符合题意； ③ 设矩形篱笆长为（为常数，且）， 矩形篱笆的一边长， 另一边长为， 则矩形面积， 此函数为二次函数，开口向下，并且过原点，符合题意； 故答案为：① ③ ． 9．【答案】（1）；     （2）销售单价应定为30元     （3）当销售单价为35元时，该商场销售这种文具每天所得的销售利润最大，最大利润是2 250元      【分析】 本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每个利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质是解题关键． （1）根据销量为：，再利用销量×每件利润=总利润，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式，当时，列出方程，进而求出x值，取较小的值即可； （3）利用二次函数最值求法得出答案． (1) 小问详解： 解：   ， ∴销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式为； (2) 小问详解： 当时，得， 解得：， 当时，销量：（件）， 当时，销量：（件）， ∵要尽快减少库存， ∴取， 所以，商场要每天获得销售利润元，销售单价应定为元； (3) 小问详解： ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴函数图象开口向下，w有最大值， 当时，， 故当单价为元时，该文具每天的利润最大，最大利润为元． 10．【答案】（1）的函数解析式为     （2）①12米；②的最大值为米      【分析】 本题考查了二次函数的应用，理解题意求得函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意得到，，，然后利用待定系数法即可解答； （2）① 先联立与的解析式，求得点的横坐标，然后根据抛物线的对称性得到点的和坐标，即可解答；② 设，其中，则，表示出，然后利用二次函数的性质求得最大值即可． (1) 小问详解： 解：由题可知，，， 设抛物线的函数解析式为， 将，代入得 ， 解得： 的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：① ∵点是与的交点， ∴联立与的解析式，得 解得：或， ∴点是的横坐标为， ∵抛物线，关于所在直线对称，点是与的交点，，，， ∴点和点关于y轴对称， ∴点的横坐标为6， ∴， ∴的长为12； ② 设，其中，则， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：的最大值为米． 11．【答案】（1）与的函数表达式为     （2）每支的销售价为245元时，日销售利润最大，最大利润为18050元      【分析】 本题主要考查一次函数，二次函数的实际应用； （1）设关于的函数表达式为，待定系数法解二元一次方程组即可求出； （2）根据每日总利润每支利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：设与的函数表达式为， 由题意可知， ，解之得 ， 与的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：， ， 当时，有最大值，， 答：每支的销售价为245元时，日销售利润最大，最大利润为18050元． 12．【答案】（1） 如图所示为所求，      （2）     （3）飞机着陆后滑行600米才能停下      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． （1）根据表格数据描点，然后用平滑的曲线依次连接各点即可； （2）由（1）中图象可知，该函数为二次函数，且经过原点，故设该函数解析式为，然后利用待定系数法解答即可； （3）根据（2）的解析式，利用二次函数的性质求得最值即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）中图象可知，该函数为二次函数，且经过原点， 故设该函数解析式为， 把，代入解析式， 得 解得 ， ∴该函数的解析式为； (3) 小问详解： 解：∵当滑行距离为最大值时，飞机停下， 由（2）可知，，其中，， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴的最大值为（米）， 答：飞机着陆后滑行600米才能停下． 13．【答案】（1）     （2）第35天时，最大利润为4050元     （3）2      【分析】 本题考查了一次函数和二次函数的应用，利用函数的性质求最值，求出函数的解析式是关键． （1）根据单个利润乘以数量，可得利润，列出函数关系式可得答案； （2）分两种情况，分别得出最大值，比较可得答案； （3）根据题意表示出，然后根据二次函数的性质和最大利润为3872列方程求出或，然后根据排除不符合的答案即可． (1) 小问详解： 当时，； (2) 小问详解： 当时， ， ∵二次项系数为， 二次函数开口向下，二次函数对称轴为， 当时，， 当时，，随的增大而减小， 当时，， 综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元； (3) 小问详解： 解：∵在销售的前45天内 ∴ 根据题意得，， 函数的对称轴， 当时，， ∴， 解得或， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴舍去， ． 14．【答案】（1）抛物线，     （2）n的值为     （3）4和5      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）将点代入抛物线，求出a的值即可； （2）将点代入抛物线，求出n的值即可； （3）根据题意可知，点的坐标范围是，将根据点的坐标分别代入抛物线，求出的取值范围，即可求解； (1) 小问详解： 解：点在抛物线上， ， ， 抛物线， (2) 小问详解： 将点代入抛物线，得 ， 解得， 答：n的值为． (3) 小问详解： 解：小星在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包， 点的坐标范围是， 当经过时，，解得：， 当经过时，，解得：， ， 为整数， 符合条件的的整数值为4和5． 15．【答案】（1）     （2） 解：该生得分为19分，理由： 由（1）得，令，则， 解得：，（不合题意，舍去）， （米）， ∵， 根据上表可得该生得分为19分．      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）令解析式中的，求出自变量的值，对照表格即可解题． (1) 小问详解： 解：由题意得：函数顶点坐标为且经过， 设函数解析式为，把代入上式得： ， 解得：； ∴函数表达式为：； (2) 小问详解： 略 16．【答案】（1）；     （2）当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件．     （3）55元件      【分析】 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）① 根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出每件商品的利润；② 根据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数； （2）根据总利润单件利润销售量列方程求解即可； （3）根据总利润单件利润销售量，可以写出关于的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． (1) 小问详解： ① 每件商品的利润为元， 故答案为：； ② 每星期卖出商品的件数为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 设每件商品降价元，依题意得： 关于的函数关系式是：， 解得：（不合题意，舍去），， 当时，售价为（元）． 答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件． (3) 小问详解： 解：设总利润为，依题意得： ， ∴， 当时，取得最大值6750，此时售价为（元， 答：当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元． 17．【答案】（1）     （2）①；②，，      【分析】 （1）将点A代入直线，求得n，因而可求得点B，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）① 根据点E的坐标求得点D和点P的坐标，利用两点之间的距离公式即可求得PD的最大值，对应求得点P的坐标；② 利用勾股定理和两点之间的距离分别求出含有字母m的边，因为是等腰三角形，分别讨论腰和底的情况，求出对应m的值，即可求得此时点E的坐标． (1) 小问详解： 解：∵直线与x轴交于点， ∴得， 则直线， 当时，，点， 又∵，抛物线经过A，B， ∴ 解得， 则抛物线． (2) 小问详解： ① ∵轴， ∴， ∵点， ∴点，点， ， 当时，有最大值， 故点． ② 根据上问得：，，， 当时，化简得或(舍去)； 当时，化解得或(舍去)； 当时，化解得或(舍去)； 那么或或． 故点E的坐标为，，． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求得一次函数和二次函数的解析式，根据两点之间的距离和勾股定理求得两点的距离，转化为求二次函数最值或解等式． 18．【答案】（1）水面宽度减少值为．     （2）故水面下降，水位变化量为．      【分析】 本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的建模（建立平面直角坐标系、求解析式）是解题的关键． （1）针对四个小组的建模思路，均通过建立平面直角坐标系，确定抛物线的顶点或过点坐标，求出抛物线解析式，再根据水面上涨后的纵坐标求出对应水面宽度，进而计算宽度减少的值． （2）根据水面宽度求出对应纵坐标，与原水面纵坐标比较判断水位升降并计算变化量． (1) 小问详解： 解：小组一建模（以顶点为原点，抛物线对称轴为轴）， 以为原点，抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系，则，原水面距拱顶，故所在直线，，则，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，水面所在直线，代入解析式得 ， 解得， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． （1）小组二建模（以中点为原点，所在直线为轴） 以中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，，代入解析式得 ， 解得， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． 小组三建模（以原水面左侧端点为原点，所在直线为轴）， 以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，拱顶． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，，代入解析式得 ， 解得或， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． 小组四建模（以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴） 以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设， ，则 ， ∵原水面距拱顶，故 ∴原水面所在直线，， ∴，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 又因原水面过，且原抛物线在小组二建模中解析式为，其对称性可知，即． 水面宽度减少值为． (2) 小问详解： 解：以小组二坐标系为例，抛物线解析式． 当水面宽度为时，，代入得， 原水面，，故水面下降． 水位变化量为． 19．【答案】（1）     （2）若守门员选择原地接球，不能防守成功， 理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴若守门员选择原地接球，不能防守成功；     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解表格中的数据求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）计算出当时h的值即可得到答案； （3）当守门员刚好接到球时，则，求出此高度下s的值，进而求出球运动的时间，进而求出守门员运动的最小路程，即可求出最小速度． (1) 小问详解： 解：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴h关于s的函数表达式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当守门员刚好接到球时，则， 把代入中得：， 解得， ∴此时球的飞行时间为， ∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于， ∴守门员的速度要大于等于， ∴守门员的最小速度为． 20．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据，结合篱笆总长为49米列式求解即可； （2）根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （3）设围成的菜地的面积为S平方米，根据矩形面积计算公式用含x的式子表示出S，再利用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，米； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：当时，围成的菜地面积为200平方米； (3) 小问详解： 解：设围成的菜地的面积为S平方米， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，符合题意， ∴当时，S有最大值，最大值为， 答：当围成的菜地面积最大． 21．【答案】（1）70元     （2）；销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元      【分析】 本题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是求出二次函数解析式和一元二次方程． （1）根据商场获得的利润每件服装的利润销售量列出方程，并根据销售单价不低于成本单价，且获利不得高于求出自变量的取值范围，然后求出的值即可； （2）根据商场获得的利润每件服装的利润销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 整理得：， 解得，， 销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，即， ， ， 答：销售单价定为元时，该商场获得的利润恰为元． (2) 小问详解： 解：由题意得： ， 由二次函数的性质可知，在内，随的增大而增大， 则当时，取得最大值，最大值为， 答：利润与销售单价之间的关系式为；销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． 22．【答案】（1）如图所示； （2） ； （3）汽车已超速行驶． 【分析】 （1）依题意描点连线即可． （2）设抛物线为，解出a，b即可． （3）当x=100时，代入函数关系式解出y，比较即可． 【详解】 （1）略 （2）该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数． ∵图象经过原点， ∴设二次函数的表达式为． 选取（20,1）和（10,0.3）代入表达式，得 解得 ∴二次函数的表达式为． 代入各点检验，只有（25,1.6）略有误差，其它点均满足所求表达式． （3）∵当x=100时，y=21<40，    ∴汽车已超速行驶． 【点睛】 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 23．【答案】（1）     （2） 如图所示； 性质：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；     （3）函数与y的图象有且只有两个交点，k的取值范围为      【分析】 （1）根据勾股定理得到，求得，，当时，过A作于H，当时，如图，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出函数图象并根据函数图象得到函数性质即可； （3）由，得到直线过点，如图，当函数过点，，时为临界点，将点代入即可得到结论． (1) 小问详解： 解：在中，，，， ∴， ∵， ∴，， 当时， 过A作于H， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， 综上所述， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴直线过点，如图， 当函数过点，，时为临界点， 将点代入得：， 解得：； ∴函数与y的图象有且只有两个交点，k的取值范围为． 【点睛】 本题一次函数综合题，考查了三角形的面积公式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，正确地画出函数的图象是解题的关键． 24．【答案】（1）     （2），S的最大值为     （3）      【分析】 （1）先求出点A坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）过M作y轴的平行线，与直线交于点N．先求出直线的解析式，待定点M，N的坐标，用m表示线段的长度，进而求出S的最大值； （3）根据中心对称的性质，明确与平行且相等，待定点的坐标，代入抛物线解析式求解即可得出的坐标，而后运用中点公式求出中心的坐标即可． (1) 小问详解： 解：由，且可得， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得，，解得， ∴抛物线解析式为． (2) 小问详解： 如图1， 设直线解析式为， ∵， ∴ ， 解得 ， ∴直线解析式为， 设，则， 则， ， ∴， ， ∴时，此时S最大， ∴四边形的最大面积． (3) 小问详解： 如图2中，旋转后，对应线段互相平行且相等，则与互相平行且相等． ∵， 设，则， ∵在抛物线上，则， 解得，，则的坐标为， P是点和点的对称中心， ，， ∴． 【点睛】 此题主要考查二次函数综合问题，会用待定系数法求解析式，能运用二次函数模型分析线段的最值问题，会运用旋转的性质合理的待定点的坐标并结合方程求解时解题的关键． 25．【答案】（1）4，8     （2）， 函数图象为：      （3）      【分析】 本题考查动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质； （1）由函数图象可得，当时，，此时与重合，则，得到； （2）当点Q在上运动时，点在上运动，，，，，根据计算即可； （3）由图（2）中函数图象可得，当存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，，其中，再根据和的函数值相等，且都在上，得到，求出，即可求出3个时刻 其对应的 相等的面积，再代入计算求出即可． (1) 小问详解： 解：∵正方形中，E为的中点， ∴， 由函数图象可得，当时，，此时与重合，则， ∴， 故答案为：4，8； (2) 小问详解： 解：当时，与重合，此时运动的路程，即与重合， ∴当点Q在上运动时，点在上运动， ∵当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动， ∴， ∴当点Q在上运动时，点在上运动，， ∴，，， ∴ ， ∴当点Q在上运动时，， (3) 小问详解： 解：由图（2）中函数图象可得，当存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，，其中， ∵和的函数值相等，且都在上， ∴， ∵ ∴， 当时，点Q在上运动，此时，，，， ∴是方程的两个解， 整理得 解得，． 考点07 反比例函数的概念 1．A 2．C 考点08 反比例函数的图象和性质 1．A 2．D 3．【答案】6 【分析】 由反比例函数的系数k的几何意义可知：，然后可求得的值，从而可求得矩形的面积． 【详解】 解：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴． ∴矩形的面积． 故答案为：6． 【点睛】 本题主要考查的是反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 4．【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；     （2）     （3）      【分析】 （）利用待定系数法解答即可； （）求出点和点坐标，再根据解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的几何应用，反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：把，代入得， ，解得 ， ∴一次函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：把代入，得， ∴， ∴， 由 ，解得 或 ， ∴， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，关于的不等式的解集是， 故答案为：． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 （）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立函数解析式解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，正确求出函数解析式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵点的坐标为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：∵点的坐标为，四边形是矩形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 由，得， 解得， ∵， ∴， 即直线与反比例函数的图象的交点横坐标为． 6．【答案】（1）     （2）     （3）解：由（2）中表格可作函数图象如下： ；图象关于直线对称（答案不唯一）     （4）且      【分析】 （1）根据分式有意义的条件可进行求解； （2）把代入函数解析式进行求解即可； （3）根据列表、描点、连线可进行作图，然后根据函数图象可进行求解； （4）根据（3）中函数图象可进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 解得：， ∴函数的自变量x的取值范围是； (2) 小问详解： 解：把代入函数得：， 即； (3) 小问详解： 解：图略； 由图象可知：该函数的图象关于直线对称（答案不唯一）； (4) 小问详解： 解：由（3）的图象可知：当点和点在函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴， 综上所述：a的取值范围是且． 7．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，函数图象上点的坐标特征，完全平方公式的变形运算，由反比例函数比例系数的几何意义可得，即得，得到反比例函数解析式为，再根据函数图象上点的坐标特征可得，，再根据完全平方公式进行变形运算即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：由题意可得，， ∵阴影部分面积的和为， ∴， ∴， ∵反比例函数图象分布在第一象限， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点是两函数图象的交点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与反比例函数 8大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点07 反比例函数的概念 考点08 反比例函数的图象和性质 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）下列关于的函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 一般地，我们把形如（其中是、、为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可． 本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】 A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）下列函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义：形如，逐一判断各选项即可． 【详解】 解：A、当时，是二次函数，故本选项不符合题意； B、不是二次函数，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C 3．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）已知某函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 5 9 5 … 则可以表示以上变化过程的函数解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查函数表示法，通过代入给定的x值计算y值，验证哪个函数解析式匹配所有对应值. 【详解】 解：A、当时，，故此函数解析式不符合题意； B、当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； C、当时，故此函数解析式不符合题意； D、当时，，故此函数解析式不符合题意． 故选：B． 4．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）二次函数的一次项系数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次函数一次项系数的定义，解答即可． 【详解】 解：∵二次函数的一次项为， ∴二次函数的一次项系数是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的系数，解本题的关键在熟练掌握二次函数一次项系数的定义．在中，二次项前面的系数叫做二次项系数，一次项前面的系数叫做一次项系数，叫做常数项． 5．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）若函数（是常数）是二次函数，则的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的定义；根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，计算即可． 【详解】 解：∵函数是二次函数， 因此二次项系数，解得． 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）已知，，是抛物线上的点，则（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，分别求出时的值，即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，，是抛物线上的点， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故选：D． 2．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知是二次函数，且函数图象有最低点，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的定义，二次函数的图象和性质，由二次函数的定义可得，即得，再根据二次函数的图象和性质可得，即得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵是二次函数， ∴， 解得， 又∵函数图象有最低点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）若开口向下的抛物线顶点在原点，则这条抛物线的解析式是　　　　　　　　　　　　　（写出一个即可）． 【答案】答案不唯一 【分析】 本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据抛物线顶点在原点时解析式为，开口向下则，即可写出． 【详解】 解：顶点在原点的抛物线解析式为， 当时开口向下，例如取， 则解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故选C． 2．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答． 【详解】 解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=x2-1的顶点坐标是（0，-1）． 故选：B． 【点睛】 本题考查抛物线的顶点坐标，即抛物线y=（x-k）2+h中，其顶点坐标为（k，h）． 3．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了二次函数的性质，根据顶点式写出顶点坐标是解题的关键．由抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是． 故选：D． 4．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象开口方向是（     ） A. 向下 B. 向上 C. 向左 D. 向右 【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 根据的性质，时，开口向上；时，开口向下，即可． 【详解】 解：∵二次函数中，， ∴二次函数图象开口向下， 故选A． 5．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）二次函数的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图像，二次函数顶点式中，顶点坐标为，确定,的取值即可． 【详解】 ∵在二次函数顶点式中，顶点坐标为， ∵在函数中，，， ∴顶点坐标为， 故选C． 6．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式． 【详解】 解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：． 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键． 7．（25-26学年九上·福建福州·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据二次函数顶点式的性质即可进行解答． 【详解】 解：∵二次函数， 该函数的顶点坐标为， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标为． 8．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）将抛物线向下平移2个单位，得到新抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】 解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移2个单位，得到的抛物线是：． 故选：D． 9．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】 解：的顶点坐标为， 故选：． 10．（25-26学年九上·山西大同·期中）关于二次函数，下列说法正确的是 A. 函数图象的开口向下 B. 该函数的最大值是5 C. 函数图象的顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象及其性质，包括开口方向、顶点坐标、最值以及增减性，根据二次函数性质判断即可． 【详解】 解：A、，则开口向上，故本选项不符合题意； B、开口向上，函数有最小值5，无最大值，故本选项不符合题意； C、二次函数顶点坐标为，故本选项符合题意； D、对称轴为 ，开口向上，当时，y随x增大而增大，故本选项不符合题意； 故选：C． 11．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】 解：将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线所对应的函数表达式为：． 故选：C． 12．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．先根据左边抛物线的解析式得出其顶点C的坐标，进而可得右边抛物线的顶点F的坐标，再根据左右轮廓相同可得右轮廓所在抛物线的解析式． 【详解】 解：∵左轮廓所在抛物线的解析式为， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 13．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）对于抛物线的图象，下列判断正确的是（       ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 当时，随增大而减小 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】 解：A：在中，，函数图象开口向下，故A错误； B：抛物线的顶点坐标是，故B错误； C：对称轴是直线，说法正确，故C正确； D：，函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，随增大即有增大部分也有减小部分，故D错误； 故选：C． 14．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，则该抛物线的顶点坐标在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 由二次函数解析式可知开口向上，对称轴为，顶点坐标为．根据当时随增大而增大，可知对称轴，从而顶点横坐标负、纵坐标负，在第三象限． 【详解】 解：∵二次函数开口向上，对称轴为，顶点为， 又∵当时，随的增大而增大， ∴对称轴， ∴顶点坐标中横坐标负、纵坐标负， ∴顶点在第三象限． 故选：C． 15．（25-26学年九上·福建福州·期中）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：，即抛物线的顶点坐标为， 把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， 所以平移后得到的抛物线解析式为． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【详解】 16．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是抛物线的平移．抛物线图象的平移规律：左加右减，上加下减，直接利用规律解题即可． 【详解】 解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是， 故选：C． 17．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）如图，点从点出发沿线段做匀速运动，到点后立即按原路返回．用表示以点为圆心，线段的长为半径的圆的面积，用表示点的运动时间．下列图象适合表示与的对应关系的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了动点问题的函数图象及二次函数的图象，注意分类讨论；设线段，点P运动速度为1，当点P从A向B运动时，，则可得S的表达式；当点P从B返回时，，亦可得S的表达式，即可确定函数图象． 【详解】 解：设线段，点P运动速度为1． 当点P从A向B运动时，此时，， 则； 当点P从B返回时，此时，， 则， 综上： ． 其图象如下： 故选：A． 18．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）抛物线经过，两点，则的大小关系正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 不能确定 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线的点离对称轴的水平距离越远，函数值越大，进而由即可判断求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线的点离对称轴的水平距离越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：． 19．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（       ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最小值为1 C. 图象的对称轴为直线x=﹣2 D. 图象的顶点坐标是（1，2） 【答案】B 【分析】 根据二次函数的图象和性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】 解：二次函数y=2（x-2）2+1，a=2＞0， ∴该函数的图象开口向上，故选项A错误， 函数的最小值是y=1，故选项B正确， 图象的对称轴是直线x=2，故选项C错误， 抛物线的顶点坐标为（2，1），故选项D错误， 故选：B． 【点睛】 考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 20．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）把抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，再绕原点旋转所得的抛物线的解析式是（　   　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数图象的平移和旋转．先通过平移变换得到新抛物线的解析式，再根据绕原点旋转的性质，确定旋转后的顶点坐标和开口方向，从而得出解析式． 【详解】 解：把抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，解析式为； ∵绕原点旋转，顶点变为，开口方向由向上变为向下， ∴旋转后的解析式为． 故选：A． 21．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）已知点、在抛物线上，则、的大小关系为：　　　　　　　　　（填写“”“”或“”） 【答案】 【分析】 分别求出和时的函数值，即可得到答案． 【详解】 解：当时，，即， 当时，，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】 此题考查二次函数的性质，准确计算是解题的关键． 22．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由抛物线顶点式：，顶点为即可求解． 【详解】 解：由抛物线得 顶点为； 故答案：． 【点睛】 本题考查了根据抛物线的顶点式求顶点，掌握求法是解题的关键． 23．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）抛物线的对称轴为　　　　　　　　　　． 【答案】直线 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握该知识点是关键．由的对称轴为，即可得出答案． 【详解】 解：由条件可知：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线． 24．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）已知点在抛物线上，则有　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数比较函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质得到二次函数的开口向下，对称轴为轴，从而得到抛物线上的点到对称轴距离越近值越大，求出点到抛物线对称轴的距离，比较距离大小即可得到答案． 【详解】 解：二次函数的开口向下，对称轴为轴， ∴由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越大， ∴点到对称轴的距离为、， ∵， ∴， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如果将抛物线向上平移3个单位，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】 解：如果将抛物线向上平移3个单位，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）已知点，都在二次函数的图像上，则与的大小关系是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质，把和分别代入，求出、的值，根据求出的值进行比较即可． 【详解】 解：当时，， 当时，， ． 故答案为：． 27．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）一个二次函数满足：①开口向下；②经过点．此二次函数的解析式可以是　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握二次函数的性质是关键．根据题意，只要二次函数的解析式满足：二次项系数为负，将点看作二次函数的顶点，即可求解． 【详解】 解：∵二次函数的图象开口向下，二次函数经过点， ∴，二次函数与轴交于点， 即的值可以是， 当，点是二次函数的顶点时，二次函数解析式为． 经验证，二次函数，满足开口向下且过点． 故答案为：（答案不唯一）． 28．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的函数解析式为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】 解：二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得到，即． 故答案为：． 29．（25-26学年九上·山西大同·期中）已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为　　　　　．（用“”连接） 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质． 分别计算各点的函数值，进而比较即可． 【详解】 解：，，， 由于为常数，比较的大小即比较的大小． ， 因此． 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数和一次函数的图象综合．利用过，过，可知两图象交于，据此排除A、C，然后根据a的正负和函数图象的关系进而求解即可．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】 解：已知与， ∴过，过， ∴A、C选项不符合题意； 当时，抛物线开口向上，直线图象上升，D选项不符合题意； 当时，抛物线开口向下，直线图象下降，B选项符合题意． 故选：B． 2．（25-26学年九上·天津河西·期中）函数的最小值为（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的最值．该函数为二次函数，由于二次项系数为正，函数图像开口向上，故有最小值，且最小值在顶点处取得，即可作答． 【详解】 解：∵函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，函数有最小值， ∴顶点横坐标， 当时，， ∴ 函数的最小值为1． 故选：B． 3．（25-26学年九上·山西大同·期中）将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，先把一般式化为顶点式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】 解：依题意， ∵向右平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴ 故选：D． 4．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】 解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）已知，都在二次函数的图像上，则、的大小关系是（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查二次函数的图像和性质；通过将点A和点B的x坐标代入二次函数解析式，分别求出m和n的值，然后比较大小即可． 【详解】 解：∵点在二次函数的图像上， ∴． ∵点在二次函数的图像上， ∴． ∴， 故． 故选：A． 6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A. 图象开口向下 B. 当时，y有最大值为2 C. 对称轴是直线 D. 与y轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数（a，b，c为常数，）的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 对于二次函数，可化为顶点式再根据其性质分析即可． 【详解】 解：∵二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∴选项A不符合题意， ∵ ， ∴当时，y有最小值为2， ∴选项B不符合题意， ∵， ∴二次函数的对称轴是直线， ∴选项C符合题意， 当时， ， ∴与y轴的交点坐标为， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 7．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】 解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 8．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y2＜y3 【答案】D 【分析】 求得抛物线对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质，开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案． 【详解】 解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m， ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1， ∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大， ∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近， ∴y1＜y2＜y3． 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大． 9．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先联立两个函数求出交点坐标，然后由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】 解：由 ，解得 或 ， ∴一次函数与二次函数的交点为，， A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误，不符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，由一次函数与二次函数可知，两图象交于点，则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意； C、由抛物线可知，，由直线可知，，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 10．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数性质，以及解一元二次方程，解题的关键在于灵活运用相关知识． 根据题意求出，再将其代入一元二次方程求解，即可解题． 【详解】 解：二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为， ， 解得， ， ， 解得， 故选：D． 11．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线上有两点，下列条件中，一定能判断的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查抛物线的图象与性质，涉及二次函数图形与轴交点与一元二次方程的根关系、二次函数的对称性等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 先由二次函数图形与轴交点与一元二次方程的根关系得到抛物线的对称轴为，再结合抛物线上点的对称性分析，若，则由抛物线上点的对称性可知，对称轴，据此分析各个选项即可得到答案． 【详解】 解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 则抛物线的对称轴是， 抛物线上有两点， 若，则由抛物线上点的对称性可知，， A、当时，，不符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：C． 12．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）已知函数，当时，下列结论：①；②当时，；③当时，；④当时，，其中正确的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，利用不等式求自变量或函数值的范围，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 由函数开口向下及顶点坐标，确定使的x范围，从而判断p的范围；再代入各x值，结合函数性质判断y的取值范围． 【详解】 解：∵函数开口向下，顶点为， 令，得， 解得：或， ∴当时，． 已知时， ∴， 故① 正确； 当时， ∵， ∴． 当（即）时，，不满足， 故② 错误； 当时，∵， ∴． ∵时， ∴恒成立， 故③ 正确； 当时，∵， ∴． ∵时， 且时， ∴， 故④ 正确． ∴正确结论为① 、③ 、④ ，共3个， 故选：C． 13．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）如果，方程的两个不相等的实数根，满足，那么抛物线的顶点在（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，由根与系数的关系可得，则，再由判别式可推出，根据顶点坐标公式可得顶点坐标为，据可得答案． 【详解】 解：∵方程的两个不相等的实数根，满足， ∴， ∴， ∵， ∵方程的两个不相等的实数根，， ∴，即， ∵， ∴， ∵抛物线的顶点坐标为，且， ∴抛物线的顶点在第四象限， 故选：D． 14．（25-26学年九上·天津河西·期中）二次函数的图象过点，和点，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，求得对称轴，然后根据对称轴和增减性即可判断． 【详解】 解：二次函数的图象过点，点和点， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ，， ， ， 故选：C． 15．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，四边形的对角线互相垂直，，有下列结论： ①当对角线与互相平分时，四边形是菱形； ②当的长度为或时，四边形的面积均为； ③四边形面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，菱形的判定和面积求法，关键是掌握二次函数的性质， 先判断出四边形是菱形，再根据菱形的面积公式，二次函数的性质进行判断求解． 【详解】 解：因为四边形的对角线互相垂直，所以当对角线与互相平分时，四边形是菱形，故① 正确； 因为，所以当的长度为或时，四边形的面积均为 ，故② 正确； 设，则，所以，因为，所以当时，四边形的面积有最大值，最大值为，故③ 错误. 综上所述，正确的个数为2. 故选：C. 16．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）如图，函数的图象过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是，其中结论正确的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象和性质，会根据图象获取所需要的信息是解答本题的关键．根据对称轴，开口方向判断① ，根据时的函数图象判断② ，根据时的函数图象判断③ ，根据对称性求得函数的图象与轴的另一个交点为，进而根据函数图象在轴上方部分判断④ ． 【详解】 解：根据图象可知： ① 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴，，即， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴，则， ∴，故① 正确； ② 函数的图象过点，则， 又，则，即；故② 正确； ③ ∵时，，代入，则，即，故③ 错误， ④ ∵函数的图象过点，对称轴为直线， ∴函数的图象与轴的另一个交点为， ∴当时，的取值范围是，故④ 正确， ∴正确的有① ② ④ ，共3个， 故选：C． 17．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　   　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，，，即可判断结论① ；由处的函数值可判断结论② ；由处函数值可判断结论③ ；根据得到点到对称轴的距离等于点到对称轴的距离可判断结论④ ． 【详解】 解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，， ∴，故① 正确； ∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时，， ∴，故② 正确； 时，， ， ，即，故③ 错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，故④ 正确． 综上所述，正确的选项是① ② ④ ，共3个． 故选： C． 18．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）抛物线上，部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： …… 0 1 2 3 …… …… 1 1 …… 则下列结论：①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根满足，．其中正确的有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据表格数据，利用二次函数的对称性、开口方向及根的存在性判断各结论即可． 【详解】 解：∵当时，，且中时， ∴，故②正确； ∵当和时，，且函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，故③正确； ∵对称轴为直线，且值随增大先减后增（从到，从减至；从到，从增至）， ∴抛物线开口向上，即，故①正确； ∵当时，时， ∴方程 在内有一根，即； ∵当时，时， ∴在内有一根，即，故④正确； 因此，所有结论正确； 故选：D． 19．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（       ） A. 16 B. 11 C. 7 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题，由题意可得，，，求出，再结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值随着的增大而增大， ∴当时，的值最小为， 故选：A． 20．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，抛物线（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（       ） A.  B. 3 C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D，求出A、B、C三点的坐标，再根据点A在直线y＝x上建立关于a的方程，求出a值，最后求得OA长度． 【详解】 抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D， ， 又点C恰为线段AB中点 ，； 又点A在直线y＝x上， ， 解得：或（舍去）； ， ． 故选D． 【点睛】 本题考查二次函数、正比例函数的性质，解决本题的关键是熟练应用各性质． 21．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，从而可得，，求出，即可判断① ；根据抛物线图象与轴有两个交点即可判断② ；由图象可得，时，，即可判断③ ；由图象可得，当时，，即可判断④ ；由图象可得，当时，二次函数有最小值为，即可判断⑤ ；由图象可得，当时，随的增大而减小，即可判断⑥ ；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】 解：由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故① 正确； ∵抛物线图象与轴有两个交点， ∴， ∴，故② 正确； 由图象可得，时，，故，故③ 错误； 由图象可得，当时，，故，故④ 正确； 由图象可得，当时，二次函数有最小值为， ∴为任意实数，，即，故⑤ 正确； 由图象可得，当时，随的增大而减小，故⑥ 正确； 综上所述，正确的有① ② ④ ⑤ ⑥ ，共个， 故选：C． 22．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①；②；③若且，则；④若，则；其中结论正确的是（     ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与轴的交点，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．根据所给函数图象，得出的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可． 【详解】 解：由所给图象可知， ， 所以，， 故① ② 正确． ∵且， ∴且， ∴点和都在抛物线上，且关于对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， 故③ 错误． ∵抛物线与轴的正半轴交于点， ∴, ∴点A的坐标为， ∴把代入得， 整理得 ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，且点A的坐标为， ∴点B的坐标为，， ∴，， 代入得， ∴， ∴， 故④ 正确． 综上所述，结论正确的是：① ② ④ ， 故选：D． 23．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）下表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中． … 1 3 … … 0 2 0 … 根据表中的信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数图象与性质，根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点坐标，利用交点式得到，从而得到二次函数解析式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论．掌握二次函数表达式的求法是解题的关键． 【详解】 解：∵抛物线过点、， ∴抛物线的对称轴为， 又∵抛物线过点，， ∴， ∴抛物线与轴的交点为、， 设抛物线解析式为， 整理得： 又∵二次函数 ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，最大值， ∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：C． 24．（25-26学年九上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据题意可设该二次函数的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】 解：设该二次函数的解析式为， 将带入得：， 解得：， 该二次函数的表达式为：， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）已知二次函数的图象经过点 （1）求的值； （2）在所给的坐标系中画出这个函数的图象． 【答案】（1）     （2） 函数图象如下： 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的图象与性质． （1）把代入，解方程即可求得答案； （2）利用描点法画出函数图象． (1) 小问详解： 解：二次函数的图象经过点， ， 解得， 的值为； (2) 小问详解： 解：由（1）可知函数解析式为， 列表： 0 1 0 1 0 26．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是          ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是          ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 【答案】（1）① ③ ；（2）直线；（3）时，最小值为；（4） 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质， （1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可； （2）根据二次函数的性质，直接求对称轴即可； （3）将代入函数的解析式，即可求最小值； （4）先求出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】 解：（1）①的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ②的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ③的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； 故答案为：① ③ ． （2）函数 的对称轴是直线； 故答案为：直线． （3）当时，函数 有最小值 （4）∵，，． ∴ ∴当时，的最小值为． 27．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小；⑤ ．其中正确的结论有　　　　　　． 【答案】②③ ④  【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，二次函数与坐标轴的交点等知识是解题的关键． 根据二次函数图象可得二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴可得，，由此二次函数对称轴直线为，可得，再根据二次函数图象与坐标轴的交点等知识进行判定即可求解． 【详解】 解：根据图示可得，二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数对称轴直线为， ∴，故① 错误； ∴当时，二次函数有最大值，最大值为，故② 正确； ∵， ∴，故③ 正确； ∵二次函数对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故④ 正确； ∵二次函数与轴有两个交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故⑤ 错误； 综上所述，正确的有②③ ④ ， 故答案为：②③ ④ ． 28．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数，当时， y的范围　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，先根据开口确定最大值，再分别计算出，时的函数值，即可求解取值范围． 【详解】 解：∵，， ∴开口方向向下，对称轴为直线：，在对称轴处取得最大值， 则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，， ∴当时，y的范围是， 故答案为：． 29．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）已知二次函数，经过点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）若点在该函数图象上，求的值． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质： （1）代入点求出值即可得到二次函数的表达式； （2）将点坐标代入（1）中的解析式即可得到值． (1) 小问详解： 将点代入二次函数得：， 二次函数解析式为：． (2) 小问详解： 将点坐标代入得：， 解得：． 30．（25-26学年九上·福建福州·期中）若二次函数的图像经过点，，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了根据抛物线的对称性求对称轴， 由于点A和点B的纵坐标相同，它们关于二次函数的对称轴对称，利用对称轴公式或代入坐标解方程即可求解． 【详解】 解：∵二次函数的图像经过点和，且两点纵坐标相等， ∴它们关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为， 解得． 故答案为：． 31．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，已知抛物线与x轴交于， 两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），连接、，求面积的最大值； 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，面积问题； （1）利用待定系数法即可求得； （2）令，，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （3）首先可求得所在的直线表达式为，再过点作轴，交于点，设点坐标为，则点坐标为，再由可得BCN面积的最大值． (1) 小问详解： 解：把， 代入，得 ，解得 ∴二次函数表达式为：． (2) 小问详解： 解：∵，当，，则 ∴， ∴ ∴ (3) 小问详解： 设所在的直线表达式为， 把点，的坐标代入得 ，解得 所在的直线表达式为． 过点作轴，交于点， 设点坐标为，则点坐标为． ∴ ∴ ∵， ∴当时，． 把代入，得． 32．（25-26学年九上·天津河西·期中）已知函数，当时的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据x的范围得出时，求得函数的最大值，进而即可求解． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时， 当时，y的最小值为， 当时，y的值为， 当时，y的值为， ∴y的取值范围是， 故答案为：． 33．（25-26学年九上·天津河西·期中）写出在抛物线上的一个点　　　　　　　　． 【答案】（0，﹣4）(答案不唯一） 【分析】把（0，﹣4）点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，即可解答． 【详解】将（0，﹣4）代入， 得到 ， 故（0，﹣4）在抛物线上， 故答案为（0，﹣4）. 【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把点代入解析式. 34．（25-26学年九上·天津河西·期中）在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示． x … 0 4 … y … 0 4 0 … （1）求该二次函数的表达式（写成一般式）； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出函数的草图； （3）若将该函数图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移之后的图形所表示的函数解析式为__________（写成一般式，直接写出答案即可）． 【答案】（1）     （2）， 如图：      （3）      【分析】 本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，画二次函数图象，求顶点坐标以及二次函数图象的平移问题． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先配方成顶点式，再写出顶点坐标，然后列表、描点、连线即可作图； （3）利用“左加右减，上加下减”求出平移后的顶点式，再化为一般式即可． (1) 小问详解： 解：由表格得， ， 解得 ， ∴二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：， ∴顶点坐标为， 列表为： 描点，连线作图： x … 0 4 6 … y … 0 4 0 … (3) 小问详解： 解：抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位， 得到，即， ∴一般式为 35．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）已知抛物线． （1）请用配方法将化为的形式，并直接写出对称轴； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出的图象； （3）根据图象，回答下列问题： ①当取何值时，随的增大而增大？ ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），对称轴为直线     （2）如图：      （3）①当时，y随x的增大而增大；②      【分析】 本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，二次函数的图象与性质，正确画出图象是解答本题的关键． （1）直接利用配方法将一般式化为顶点式即可求； （2）利用顶点式，结合“五点画图法”即可画出函数图象； （3）① 观察图象即可求解； ② 根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：如图所示， 0 6 8 6 0 (3) 小问详解： 解：① 由图象知，当时，y随x的增大而增大； ②∵，对称轴为直线， ∴当，随的增大而减小， 当时，，时，， ∴当，的取值范围是． 36．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； （3）在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 （1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． (1) 小问详解： 解：把，代入， ∴ ， 解得： ， 则抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； (3) 小问详解： 解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 37．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解； 【详解】 解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1 38．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，另一交点为，与轴的交点坐标为． （1）求出，的值； （2）求这个二次函数的对称轴、顶点坐标； （3）点是抛物线上一点，且，直接写出点的坐标． 【答案】（1）     （2）对称轴为直线，顶点坐标为     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）代入点、的坐标即可解题； （2）根据二次函数的性质解题即可； （3）根据列方程即可． (1) 小问详解： 解：把，代入得： ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：由（1）得，函数解析式为， 整理得， 则该二次函数对称轴为直线，顶点坐标为； (3) 小问详解： 解：如图： 当时，， 解得：或， ∴； 由图可知， 其中， ∴有， 解得：， ∵点在抛物线上，抛物线顶点纵坐标为， ∴， 代入解析式有， 解得：或， ∴或． 39．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）定义：已知平面直角坐标系中有，两点（点在点左侧），，且轴，若抛物线经过，两点，则称抛物线是线段的“共弦抛物线”． （1）若，，线段的一条“共弦抛物线”的顶点的纵坐标为，求这个抛物线的解析式； （2）在（）的条件下，抛物线与轴相交于，两点，求的面积； （3）若，线段的“共弦抛物线”和的顶点分别为点，，且点，距线段的距离之和为，求的值． 【答案】（1）抛物线解析式为；     （2）的面积为；     （3）的值为或．      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，解一元二次方程，二次函数图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，线段的一条“共弦抛物线”，顶点的纵坐标为，则顶点坐标为，然后代入，求出的值即可； （）由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为，当时，，求出，，然后利用的面积为求解即可； （）由线段的“共弦抛物线”和，则对称轴为直线 ，故有，，抛物线的顶点坐标为，所以抛物线的顶点距线段线段的距离为，点距线段的距离为，从而得到抛物线的顶点为或，然后分当顶点为时，当顶点为时两种情况分析即可． (1) 小问详解： 解：∵，，线段的一条“共弦抛物线”， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵顶点的纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为：，且过点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：如图， 由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为， 当时，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴的面积为； (3) 小问详解： 解：∵线段的“共弦抛物线”和， ∴对称轴为直线， ∵， ∴，，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点距线段线段的距离为， ∴点距线段的距离为， ∴抛物线的顶点为或， 当顶点为时，， 将代入得，， 解得：， 当顶点为时，， 将代入得，， 解得：， ∴的值为或． 40．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键是掌握二次函数图象的性质． 【详解】 解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向下， ∴图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，，， ∴， 故答案为：． 41．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数图象过、、三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，且． （1）求的坐标； （2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值． 【答案】（1）点的坐标为     （2），最大值      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数解析式的求法，解答此题的关键是熟知二次函数的解析式为，顶点坐标公式为，． （1）根据、两点的坐标及点在轴正半轴上，且，求出点的坐标即可； （2）设二次函数的解析式为，把、、三点的坐标代入解析式，可求出、、的值，然后利用二次函数的性质求其最大值即可，也可通过两点式求出函数解析式，再求最值． (1) 小问详解： ，， ，， ， ，即点的坐标为； (2) 小问详解： 解法：设图象经过、、三点的二次函数的解析式为， 由于这个函数图象过点，可以得到， 又由于该图象过点，， 则 ， 解方程组，得 ， 所求的函数解析式为． ， 当时，有最大值； 解法：设图象经过、、三点的二次函数的解析式为， 点在图象上， 把坐标代入得：，解得：， 所求的二次函数解析式为， 点，的坐标分别是点，， 线段的中点坐标为，即抛物线的对称轴为直线， ， 当时，有最大值，为． 42．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，已知二次函数的图象经过点.    （1）求的值和图象的顶点坐标．        （2）点在该二次函数图象上.    ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2）① 11；②. 【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a； （2）① 把m=2代入解析式即可求n的值； ② 由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得. ∵， ∴顶点坐标为. （2）① 当m=2时，n=11， ② 点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴-2＜m＜2， ∴2≤n＜11. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键． 43．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知二次函数 （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （2）当时，直接写出函数的取值范围． 【答案】（1）抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）用配方法将表达式化为顶点式即可； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得的取值范围． (1) 小问详解： 解： ； ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (2) 小问详解： ，， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 时函数最小值为， ∵ ∴的取值上界由处的函数值决定， 将代入得， 当时，的取值范围． 44．（25-26学年九上·河南许昌·期中）若二次函数的图象经过点，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，代数式求值；将点代入二次函数解析式，得到关于和的方程，化简后求出的值，再代入所求表达式计算． 【详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入得：， 即， 整理得：， 两边同时除以2得：， ∴． 故答案为：． 45．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式； （2）平行于x轴的直线y＝﹣14与抛物线分别交于点D、E，求线段DE的长． （3）点P是线段OB上一点（不与点B、O重合），过点P作PM⊥x轴交抛物线于点M，连接CM、BM，求△BCM面积的最大值，及此时点M坐标． 【答案】（1）；（2）9；（3）最大值是8，M（2，6） 【分析】 （1）把A、C两点坐标代入到抛物线解析式求解即可； （2）把代入（1）中求出的抛物线解析式中求出，，则； （3）先求出B点坐标为（4，0），即可求出直线BC的解析式为，设PM与线段BC交于点Q，M（m，），则Q（m，）   MQ=，则，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 （1） 抛物线经过 ， 两点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为； （2）当 时，， 整理得： ， 解得，，         ∴； （3）令，则，即， 解得或， ∴B点的坐标为（4，0）； 设直线BC的解析式为， ， ∴ ， ∴直线BC的解析式为， 设PM与线段BC交于点E，M（m，），则E（m，）   ME=， ∴ ∵， ∴当m=2时， 取得最大值是8， ∴M的坐标为（2，6）． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的自变量的值，二次函数与图形面积的最值问题，一次函数与几何问题，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 46．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． 【答案】（1）     （2）见解析     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，画出二次函数的图象，掌握相关知识是解答此题的关键． （1）抛物线变形为，可得顶点坐标； （2）列表，描点，连线即可； （3）因为抛物线开口向上，所以当时抛物线有最小值，再求、时的函数值结合函数图象可求的范围． (1) 小问详解： 解：， ∴顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：列表： 描点并连线： X … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … (3) 小问详解： 解：由题意，当时抛物线有最小值； 当时，； 当时，， 由图象可知，当时，． 故答案为：． 47．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出的长； ②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围． 【答案】（1）     （2）①7；②      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）① 求出时两个函数的函数值，则可得到点M和点N的坐标，进而可得的长；② 可求出直线与抛物线交于点和点，则当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值；再求出点M和点N的坐标，进而表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象与x轴的交点为、两点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：①在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴； ② 联立 ，解得 或 ， ∴直线与抛物线交于点和点， ∴当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值； 在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，随t的增大而减小． 48．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 二次函数开口向上，在对称轴左侧函数递减。根据条件“当时，y随x的增大而减小”，要求整个区间位于对称轴左侧，因此必须小于或等于对称轴的位置． 【详解】 二次函数的二次项系数， 因此抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 当时，函数递减；当时，函数递增， 由题意，当时函数递减， 故需； 故答案为 ． 49．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）小明在求抛物线的顶点坐标过程中，初步感受到当自变量x取顶点横坐标的值时，二次项与一次项的值可能存在特殊关系，于是开展了如下探究活动． （1）绘制表格，呈现特殊结果请帮小明完成表格 解析式 顶点横坐标x                                 4                 2         8         ______ ______ ______ （2）猜想：当x取顶点横坐标的值时，m，n的值有何关系？ （3）请证明你的猜想． 【答案】（1）；     （2）；     （3） 证明：二次函数的顶点的横坐标为， ∴ ， ． ∵， ∴．      【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点坐标，规律探索，分式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据所给函数解析式求出顶点横坐标，然后代入求值完成表格的填写即可； （2）根据所填表格，猜想m，n值得关系即可； （3）二次函数的顶点的横坐标为，代入求出m，n进行证明． (1) 小问详解： 解：∵二次函数解析式为， ∴顶点的横坐标为， 则，． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由表格可知， 当取顶点横坐标的值时，，的值的关系为； (3) 小问详解： 略 50．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）某种弹性小球从地面某处竖直向上弹起，到达最高点后落回原处，再弹起、落回…，小球离地的高度（单位：）是运动时间（单位：）的函数．若，h是t的二次函数，部分对应数据如下表：         0         1         2         0         2         0 若，t取任意值时的小球高度一定是时的． （1）若，求h关于t的函数解析式． （2）若 ①当时，求t的值． ②判断时，h关于t的函数是不是二次函数？若是，求出函数的解析式；若不是，请说明理由． （3）直接写出：小球第几次弹起后的最大高度最接近？ 【答案】（1）     （2）①或；② 是，     （3）小球第四次弹起后的最大高度最接近      【分析】 本题考查二次函数的应用，二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由表格数据，用待定系数法求出函数解析式； （2）① 根据，t取任意值时的小球高度一定是时的，求出函数解析式； ② 根据① 的解析式判断即可； （3）求出第一次，第二次，第三次，第四次最高高度即可判断． (1) 小问详解： 解：当时，由表格数据可知，二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数的顶点坐标为， 二次函数的解析式为， 把代入函数解析式得：， 解得， 二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：，t取任意值时的小球高度一定是时的， 时， ， 当时，， 整理得：， 解得， 当时，t的值为或； ② 由① 可知，， 关于t的函数是二次函数； (3) 小问详解： 解：第一次弹起时，最大高度为； 第二次弹起时，最大高度为； 第三次弹起时最大高度是第二次弹起时最大高度的，即； 第四次弹起时最大高度是第三次弹起时最大高度的，即； 小球第四次弹起后的最大高度最接近 51．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）已知平面直角坐标系中，开口向上的抛物线经过点 （1）当，时，求该抛物线的对称轴； （2）当时，k的值始终为负数，证明：； （3）在（2）的条件下，该抛物线经过，两点，且当时，都有，试用等式表示m，n之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 证明：在中，令，得 解得或， 该抛物线与x轴交于点， 当时，k的值始终为负数， ∴且抛物线开口向上， ， ， ；     （3） 解：m，n之间的数量关系为，理由如下： 设， ， 令得， ， 解得或， 是t的二次函数，其函数图象与横轴交于点， 在（2）的条件下， ， 图象开口向上， 当时，都有，即， ， ， 又由（2）知，， ．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，对称轴，结合一元二次方程的求解求出与横轴的交点坐标，利用交点坐标和函数值的正负分析关系式是解决本题的关键． （1）根据抛物线的对称轴公式求解即可； （2）根据抛物线开口向上得出，又可以求出抛物线与x轴的交点坐标，根据时，k的值始终为负数，得出，可以证明结论； （3）设，得到z是t的二次函数，由（2）并结合函数图象与横轴的交点横坐标不大于，即可得出m，n之间的数量关系． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点， 将代入，得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 52．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在四边形中，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s． （1）当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由； （2）当点M在边上运动时，求面积的最大值； （3）是否存在t的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）相等． 当时，点在边上， 此时，，， 则；     （2）．     （3）．      【分析】 本题主要查了二次函数的应用，一元二次方程的应用， （1）当时，点在上，求出、即可； （2）利用三角形面积公式求出△的面积，利用二次函数的性质计算求解； （3）分两种情况：当点在上时，点在上，结合△的面积为列出方程，求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时，点在边上， 此时，，， 则， 当 时，△的面积取最大值，为； (3) 小问详解： 当时，点在边上，△的面积最大值为33.75，不满足， 当时，点在边上， 过点作垂直于射线，交射线于点， 则， ∴， ∴边上的高， ， 此时，， 令， 解得或9.5（舍去）． 综上，，使得△的面积为． 53．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点，为抛物线对称轴上两点（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标是　　　　　． 【答案】 【分析】 先求出抛物线与坐标轴的交点以及对称轴，在轴上取点，连接，可得四边形为平行四边形，则，那么，当点共线时，取得最小值，即为，此时点为与抛物线对称轴的交点，由待定系数法求出直线表达式即可求解点． 【详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，， 当时，， 解得：， ∴， 在轴上取点，连接， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵抛物线关于直线对称，且点是抛物线与轴交点， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值，即为， 此时点为与抛物线对称轴的交点， 设直线表达式为， 代入点，得 ， 解得： ， ∴直线表达式为， 当时，， ∴点E坐标为． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 54．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图1，直线l：与x、y轴分别相交于A、B两点，将绕点O逆时针旋转得到，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线． （1）已知直线：，求直线的关联抛物线的表达式； （2）如图2，若直线：，G为中点，H为中点，连接，M为中点，连接．若； ①求直线的关联抛物线的表达式； ②若点E在直线上运动，抛物线上是否存在一点F使得以A，B，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点F坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）：y=     （2）① 直线的关联抛物线；②；      【分析】 （1）分别将、代入，求出、两点坐标，根据旋转的性质可得，由此求出的坐标，再用待定系数法求的表达式； （2）① 连接、，易得是等腰直角三角形，由此计算出，再由直角三角形斜边上的中线的性质可得的长，利用勾股定理求出，从而得点的坐标，再利用待定系数法求的表达式； ② 根据四边形是平行四边形，可得，，过点作直线于点，证明，可得，所以点的横坐标为，进而可以求出点的坐标． (1) 小问详解： 解：， 当时，， ； 当时，即，解得， ， 由旋转的性质可知，， ． 设的解析式为， ，解得 ， 直线的关联抛物线； (2) 小问详解： 解：① 如图，连接、， 为中点，为中点， 由旋转的性质可知：，， 是等腰直角三角形， 为中点， ， ， 在中，， 在中，， ， 直线，当时，， 点，即． 由旋转的性质可知，， 点． 在中，， ， 设的解析式为， ， 解得 ， 直线的关联抛物线； ② 如图，点在直线上运动，点在抛物线上， 四边形是平行四边形， ，， 过点作直线的垂线于点， ， ， ,， ， ， 点的横坐标为， ； 【点睛】 本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数与一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，一元一次不等式，旋转的性质，二次函数的性质与应用，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用． 55．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．正确的结论有　　　　　　　　　　（填序号）． 【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 由图象可知，则可判断① 符合题意；由当时，，即，可判断② 符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③ 符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④ 不符合题意． 【详解】 解：观察图象，可知， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故① 结论正确； ∵抛物线与x轴交于， ∴当时，，即，故② 结论正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③ 结论正确； 当时，函数有最大值， 若m为任意实数，则， ∴，故④ 结论不正确， 综上，正确的结论是① ② ③ ． 故答案为：① ② ③ ． 56．（25-26学年九上·福建福州·期中）抛物线（a，b，c是常数，，）经过点，且．下列结论：①；②关于的一元二次方程一定有一个根小于；③；④若，抛物线过点，，，，且，则． 其中正确的结论是　　　　　（填写序号） 【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质， 将点代入抛物线解析式可得b的表达式，结合条件判断符号；根据二次函数与一元二次方程的关系，结合函数值符号判断根的范围；利用对称性和函数单调性判断函数值符号． 【详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴， 令，得， 由根与系数的关系，，， ∴两根均为负， 又∵当时，， ∴抛物线与x轴的一个交点在与之间，另一个交点小于， 故②正确； ∵，且， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴当时，， ∴点 在抛物线上，与点 对称， ∴对称轴为， 点到对称轴距离为，点距离为，点距离为，点距离为 ， ∵抛物线开口向下， ∴函数值随距离增大而减小， 故， ∵，且， ∴，， ∴，， ∴，故④正确． 所以正确的是① ② ④． 故答案为：① ② ④． 57．（25-26学年九上·福建福州·期中）无人机技术正在蓬勃发展，其应用越来越广泛，2025年中国工业级无人机市场规模将达1200亿元．有一个无人机物流配送站，无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线，现以仓库为原点，地面(水平方向)为x轴,垂直于地面的方向(竖直方向)为y轴建立平面直角坐标系．已知无人机飞行轨迹是抛物线的一部分． 【任务一：调整仓库位置】 （1）因周边施工，仓库需向右平移米，并向上平移3米．无人机轨迹形状不变(开口方向与大小均不变)，调整后的轨迹需经过某配送目标对象坐标．求满足这些条件的h的值． 【任务二：优化重型包裹投递路径】 （2）将无人机在水平范围内的飞行高度最大值与最小值之差称为垂直波动量，记作．当无人机投递重型包裹时，因仓库周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与任务一中调整后的轨迹顶点相同，同时需要增大抛物线开口以降低晃动．若垂直波动量米，记新抛物线的二次项系数为，求p的值． 【任务三：评估调整后的投递高度波动性】 （3）任务一中调整后的轨迹在水平范围内的垂直波动量米，且．直接写出这时n的值是___________． 【答案】（1）5；（2）；（3）6 【分析】 本题考查的是二次函数的应用，涉及二次函数的平移、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值，理解题意是解题的关键． （1）平移后的抛物线解析式为，再代入到抛物线，求出的值即可解答； （2）由题意得，新抛物线的解析式为，根据二次函数的性质可知，当时，飞行高度取得最小值；当时，飞行高度取得最大值，再结合垂直波动量米，列出方程，求出的值即可解答； （3）分4种情况讨论：①；②；③；④，用含的代数式表示出飞行高度的最大值和最小值，再结合垂直波动量米，列出方程，求出的值即可解答． 【详解】 解：（1）由题意得，平移后的抛物线解析式为， 代入，得， 解得，（舍去）， ∴h的值为5； （2）由（1）得，任务一中调整后的轨迹解析式为， ∴调整后的轨迹顶点为， ∴新抛物线的解析式为， ∵， ∴当时，随增大而增大， 当时，飞行高度取得最小值，此时， 当时，飞行高度取得最大值，此时， ∵垂直波动量米， ∴， 解得， ∴p的值为； （3）任务一中调整后的轨迹解析式为， ∴对称轴为， ① 当时， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得； ② 当时，即， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得，，均不符合题意，舍去； ③ 当时，即， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得，，均不符合题意，舍去； ④ 当 时，即， 飞行高度在时取得最大值，在时取得最小值， 则， 解得，不符合题意，舍去； ∴综上所述，n的值是6． 故答案为：6． 58．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，已知直线交轴正半轴于点，与轴正半轴交于点，抛物线经过、两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标； （3）在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在点，点的坐标为或或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，利用平行四边形的判定和性质求点的坐标，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． （1）利用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴，交直线于点，根据三角形的面积列出二次函数，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况进行讨论，然后根据平行四边形的判定定理和性质进行求解即可． (1) 小问详解： 解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由于当四边形面积等于和面积之和，而的面积为定值， 故面积最大时，四边形面积最大， 如图1，过点作轴，交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值，当时，最大值为18， ∴将代入得，， ∴； (3) 小问详解： 解：在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， ∴对称轴是直线， ∴根据对称性，由得， ∵点是抛物线对称轴上的动点， ∴的横坐标为， ① 如图2，以为边时，当时，四边形是平行四边形，由（2）可得点的横坐标为3， ∵点在直线上， ∴点的坐标是， 又∵点的坐标是，点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ② 如图3，以为边时，四边形是平行四边形， 由（2）可得，点的横坐标为3， ∵点的坐标是，且点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ③ 如图4，以为对角线时， 根据到的平移规律可知，到的平移规律， ∴点的横坐标为，代入得，， ∴； 综上，点的坐标为或或． 59．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，其中，． （1）求，的值； （2）点为抛物线的第一象限上一动点，连接，交于点，当取最大值时，求点的坐标； （3）将抛物线沿射线平移得到新抛物线，当抛物线经过点时，抛物线存在两点，，若对于满足的任意实数，总有，求的取值范围． 【答案】（1），；     （2）；     （3）或．      【分析】 （1）利用待定系数法，将点、的坐标代入二次函数解析式，建立方程组求解、的值． （2）先求出点坐标和直线的解析式，过作轴交于，通过相似三角形转化为，再将问题转化为求二次函数的最大值，进而确定点坐标． （3）先确定抛物线沿射线的平移规律，得到的解析式，再根据的条件，结合二次函数的性质求出的取值范围． (1) 小问详解： 解：把，代入，得 ，即 解得，； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴得， 令，则，即， 或， ． 设直线的解析式为，把，代入，得 ， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 过作轴交于，设，则． ． 轴， ， ． ， ． 对于二次函数，，对称轴为． 当时，有最大值，此时点纵坐标为， ． (3) 小问详解： 解：抛物线， ∴抛物线的顶点为(1,4)， ∵，， ∴点向右平移3个单位，向下平移3个单位得， ∵将抛物线沿射线平移得到新抛物线，当抛物线经过点， ∴新抛物线：， 对称轴为． 当时，． 新抛物线：中，当时，， 解得或， 要使时恒成立，则点要在的下方， ∴或， 解得或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的待定系数法、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、抛物线的平移及二次函数的单调性等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 60．（25-26学年九上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点在抛物线F：上， （1）当时， ①求的值； ②将抛物线F平移后得抛物线G：，设抛物线F与抛物线G的交点为P，过点P的直线与抛物线F的另一个交点为M，与抛物线G的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由． （2）当时，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）①；② 是定值，为     （2）      【分析】 （1）①在抛物线F：上，再根据对称轴公式即可求解； ② 设，，，由① 得，抛物线：，联立 整理得到，则有，同理可得，推出，再利用勾股定理求出的长即可解答； （2）由可得，则问题转化为对于，都有，设，则函数图象开口向上，对称轴为，根据二次函数的性质可知当时，随着的增大而减小，要满足题意只需当时，据此列出关于的不等式，即可求解． (1) 小问详解： 解：① 当时，， ∵在抛物线F：上， ∴， ∴； ②的长为定值， 设，，， 由① 得，抛物线：， 联立 ， 整理得：， ∴， 联立 ， 整理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴的长为定值； (2) 小问详解： 解：∵点在抛物线：上，且， ∴， ∴， ∵对于，都有， ∴对于，都有， 设，则函数图象开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（       ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】 解：由表格可得： 当时，； 当时，， 又∵一元二次方程的根为，，且， ∴，， 故选：A． 【点睛】 本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，结合表格中的数据找出方程（，a，b，c为常数）的一个解的近似值是解题的关键． 2．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴交点的坐标是 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，包括对称轴、顶点、开口方向和增减性，以及求与y轴的交点． 根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性，并计算与y轴的交点即可解答． 【详解】 解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴应为直线，不是，故A错误，不符合题意； 选项B：顶点坐标应为，不是，故B错误，不符合题意； 选项C：∵， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，故C正确，符合题意； 选项D：当时，， ∴与y轴交点坐标为 ，不是，故D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）二次函数的图象与x轴交点为，则方程的解是（   　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，得到二次函数的图象与二次函数的图象关于y轴对称是解题的关键．根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点的横坐标求得即可解答． 【详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线，二次函数的对称轴为， ∴二次函数的图象与二次函数的图象关于y轴对称， ∵二次函数的图象与x轴交点为， ∴二次函数的图象与x轴交点为， ∴方程的解是， 故选：D． 4．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）如图，抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则与x轴的另一交点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称． 根据抛物线对称性及对称轴为直线求解． 【详解】 解：∵抛物线对称轴为直线，与x轴交于点， ∴， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标是． 故选：B． 5．（25-26学年九上·天津河西·期中）下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A. 该函数图象过点 B. 该函数图象的对称轴是直线 C. 该函数图象与x轴有两个交点，且两交点间的距离为4 D. 该函数图象可以看作是将向下平移3个单位 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将代入，得，令，解得，，可知该函数图象过点，，；该函数图象的对称轴是直线；该函数图象与轴有两个交点，且两交点间的距离为；根据，可知该函数图象可以看作是将向右平移1个单位，向下平移4个单位． 【详解】 解：将代入， 得， 该函数图象过点． 令， 解得，， 该函数图象过点，． 故选项不正确，不符合题意； 该函数图象的对称轴是直线， 故选项不正确，不符合题意； 该函数图象过点，， 该函数图象与轴有两个交点，且两交点间的距离为， 故选项正确，符合题意； ， 该函数图象可以看作是将向右平移1个单位，向下平移4个单位， 故选项不正确，不符合题意． 故选：C． 6．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）对于二次函数,下列说法正确的是（ ） A. 当x>0，y随x的增大而增大 B. 当x=2时，y有最大值－3 C. 图像的顶点坐标为（－2，－7） D. 图像与x轴有两个交点 【答案】B 【详解】 二次函数, 所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误，不符合题意； 当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确，符合题意； 顶点坐标为（2，-3），选项C错误，不符合题意； 顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，不符合题意， 故答案选B 7．（25-26学年九上·河南许昌·期中）关于的二次函数的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．确定该函数图像与轴交于正半轴，开口向上，顶点坐标在第四象限，即可获得答案． 【详解】 解：对于函数， 当时，可得， ∵， ∴，即该函数图像与轴交于正半轴， ∵， ∴该函数图像的顶点坐标为， 又∵， ∴该函数图像的开口向上，顶点坐标在第四象限， ∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 8．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）已知二次函数与轴相交于、，则一元二次方程的解是　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程的根，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数与x轴交点的横坐标即为一元二次方程的根，即可解答． 【详解】 解：由二次函数与x轴相交于、， 可知一元二次方程的根为或． 故答案为，． 9．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴有两个公共点，则常数c的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 二次函数的图象与轴有两个公共点，得到关于的不等式求解即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象与x轴有两个公共点， ∴有两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）抛物线如图所示，则一元二次方程的解为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据图像中二次函数与轴的交点，即可得到答案． 【详解】 解：由图象可得二次函数与轴的交点为， 故的解为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根，熟知上述概念是解题的关键． 11．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】 解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）已知抛物线y＝x2﹣4x+m的顶点在x轴上，则m＝　　　． 【答案】4 【分析】 因为抛物线顶点在x轴上，故函数图象与x轴只有一个交点，由此可得＝0，由此即可求出m的值． 【详解】 解：∵抛物线y＝x2﹣4x+m的顶点在x轴上， ∴＝（﹣4）2﹣4×1×m＝0， 解得：m＝4， 故答案为：4． 【点睛】 此题考查了二次函数图象与x轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：＞0时，图象与x轴有两个交点；＝0，图象与x轴有一个交点；＜0，图象与x轴无交点． 13．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）已知二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数与x轴的交点问题，掌握知识点是解题的关键． 由二次函数与x轴的交点横坐标可得一元二次方程的根，利用根与系数的关系求解 【详解】 解：∵二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，， ∴，是方程的两个根， 由根与系数的关系，得 ，， ∴， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是　　　　　． 【答案】或 【分析】 此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数图象在二次函数图象下方时，，据此可得的取值范围． 【详解】 解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点， ∴一次函数图象在二次函数图象下方时，，即或， 故答案为：或． 15．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）若、是关于x的方程的两根，且，则a、b、m、n的大小关系是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象性质、一元二次方程与二次函数的关系，准确分析判断是解题的关键． 通过构造二次函数，利用函数图像分析方程根的位置关系． 【详解】 函数，该函数为二次函数，开口向上，与 x 轴交于点和， 方程，即，表示求函数与水平线的交点， 二次函数顶点在轴下方，且在轴上方， 方程有两个实数根，分别位于的左侧和的右侧， 已知， 故． 故答案是：． 16．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）已知m是常数，二次函数，记． （1）若该二次函数的图象与x轴相交的一个点是，求它与x轴的另一个交点的坐标； （2）若该二次函数的图象过点，求T的值． 【答案】（1）另一个交点坐标为或     （2）的值为      【分析】 本题考查二次函数的性质及代数式的求值，熟练掌握代数式的化简是解题的关键． （1）先根据二次函数与x轴交点的性质，令求出函数与x轴交点的横坐标表达式，再结合已知交点坐标求出的值，进而得到另一个交点坐标； （2）先将已知点代入二次函数解析式得到，再将代入T的表达式，进而求出T的值． (1) 小问详解： 解：二次函数解析式为， 令，得或， 故二次函数的图象与轴交点为和， 图象与轴相交于， 分两种情况：若，则另一个交点为，坐标为； 若，则，即另一个交点为，坐标为； (2) 小问详解： 由图象过点，代入解析式得，即． 化简：，即，得， 将代入， 得， 将代入，得 ． 17．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②5是方程的一个根；③当时，的值随值的增大而增大；④；⑤其中正确的结论有　　　　　　． 【答案】② ④ ④ ② 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与坐标轴的交点问题，具有一定的综合性，运用了数形结合的思想． 根据抛物线的开口方向、对称轴和与、y轴交点可知，从而易判断① ② ；由图知，当时，函数值为0，即有，再结合由对称轴得到，从而易判断④ ；由图象易判断③ ；由于函数在时取得最大值，对任意的实数m，其函数值不超过函数的最大值，从而易判断⑤ ． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，图象过点， ∴，图象过点 ∴，， ∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴， ∴， ∴，故① 错误； ∵图象过点， ∴5是方程的一个根，故② 正确； 当时，函数值为0，即有， ∵， ∴，即，故④ 正确； 观察图象知，当时，随自变量的增加，函数值有增大有减小，故③ 错误； ∵函数在时取得最大值， ∴对任意的实数m，都有， 即，故⑤ 错误， ∴正确的有② ④ ， 故答案为：② ④ ． 18．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）通过“列表—描点—连线”得到函数图象，再结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法．小宇在课后对函数进行自主探究，请补全以下探究过程． （1）①列表： … 0 1 2 … … 2 0 1 a b 2 … 其中，______，______； ②请补全函数图象； ③根据函数的图象，任写一条函数图象性质：______； （2）根据图象直接写出不等式的取值范围． 【答案】（1）①0，； ② 函数图象如下： ③ 函数的图象关于直线对称（答案不唯一）     （2）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键． （1）① 把，代入，即可求出a，b； ② 描点连线即可画出该函数的图象； ③ 由图象得到函数的一条性质即可； （2）根据图象即可得不等式的取值范围． (1) 小问详解： 解：① 把代入，得， 把代入，得． 故答案为：0，； ② 略 ③ 函数图象性质：函数的图象关于直线对称， 故答案为：函数的图象关于直线对称；（答案不唯一） (2) 小问详解： 解：当时，或， 根据图象可知不等式的取值范围为：或． 19．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，则不等式的解集为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与不等式，先求出点C的坐标，根据点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，得到点B的坐标，再根据图象即可解答． 【详解】 解：∵二次函数的图象与y轴交点C， ∴， ， 点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称， ， ∵二次函数与一次函数的图象经过点和点， ∴不等式的解集为二次函数在一次函数的图象下方时，自变量x的取值范围，即， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）小明用“试根法”探索关于的一元二次方程的解．当的值分别取时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为　　　　　　． 的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 2 5 9 … 等号右边的值 … 1 3 5 7 … 【答案】， 【分析】 通过表格数据，设等式左边与x的关系为，代入对于的数值求出a、b、c的值得出；由表可知，x的值每增加1，等号右边的值增加2，则等式右边与x的关系为，则方程为，然后解方程即可． 【详解】 解：由表可知， 设等式左边与x的关系为， 则 ， 解得 ， ∴； 当时，，符合题意； 由表可知，x的值每增加1，等号右边的值增加2， ∴等式右边与x的关系为 ∴方程为， 化简得， 解方程，． 21．（25-26学年九上·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），，与y轴交于点C，作交该抛物线对称轴于点D，且点D关于x轴的对称点为E． （1）求点B的坐标； （2）延长交抛物线于点P，当的面积为6时，求a的值； （3）沿x轴平移线段至，点A、D的对应点分别是点F、G，当取最小值时，求a的值和点G的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3），．      【分析】 （1）先求出对称轴，再根据对称性可得点坐标； （2）由题易得，进而可得点、、坐标，进而可证出，所以三角形的面积和三角形的面积相等，据此求解； （3）由题易得，．作点关于直线的对称点为，点在直线上，四边形和四边形是平行四边形，则，所以，当，，三点共线时，取得最小值，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：二次函数， 对称轴为直线， 点和点关于对称轴对称，， ； (2) 小问详解： 将点代入抛物线得：， 点的坐标为． 如图， ，且点在该抛物线对称轴上， 点的坐标为． 点关于轴的对称点为， 点的坐标为． 点，关于对称， 与互相平分． 四边形是平行四边形． ． 三角形的面积和三角形的面积相等． 且， ； (3) 小问详解： 点关于轴的对称点为，点在轴上， ． 同理，． 作点关于直线的对称点为，点在直线上， ．点的坐标为． ． 又， 四边形是平行四边形． ． 沿轴平移线段至， ，且， 四边形也是平行四边形． ， ， 当，，三点共线时，取得最小值． ，且， 解得：． ， 解得：． ，， 直线的解析式为， 点的坐标为．． 将点向右平移个单位长度可得点的坐标为． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数点的坐标特征、平行四边形的判定和性质、二次函数的几何变换等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）之间的关系式是（）．有下列结论错误的是（） A. 小球从抛出到落地需要 B. 小球运动时和时的高度一样 C. 小球运动时的高度小于运动时的高度 D. 小球运动中的高度可以是 【答案】D 【分析】 本题主要考查实际问题与二次函数；通过计算落地时间验证A，计算和的高度验证B，计算和的高度验证C，通过判别式验证D是否可能． 【详解】 解：∵落地时， ∴， 即， 解得或， ∵为抛出时刻， ∴落地时间，故A正确； 当时，， 当时，， ∴h相同，故B正确； 当时，， 当时，， ∵， ∴C正确； 设，则， 即， ， ∴方程无实数解，高度不可能为，故D错误． 综上，错误结论是D． 故选：D． 2．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，点E、F、G、H分别位于边长为3的正方形的四条边上，四边形也是正方形，正方形的面积最小时，的值是（     ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 因为正方形的边长为3，设，则，易证，再利用勾股定理求出的长，进而得到正方形的面积，利用二次函数的性质即可求出面积的最小值． 【详解】 解：正方形的边长为3，设， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 同理可证， ，， ， 正方形的面积， 即：当（即在边上的中点）时，正方形的面积最小， ． 故选：D． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等． 3．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）为拓宽高端市场，某水产品养殖基地正规划开展特定高端水产品的专业化养殖项目．经过市场调查得到如下信息： （1）若该水产品的总产量为，求x的值； （2）养殖面积定为多少时，基地利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；     （2）养殖面积定为亩时，基地利润最大，最大利润是万元      【分析】 本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，销售问题(实际问题与二次函数)，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意，列出一元二次方程求解； （2）根据题意，列出二次函数关系式，再求出最大利润． (1) 小问详解： 解：由题意，得， 解得：， 答：x的值为； (2) 小问详解： 解：设基地利润为y万元， 当时，y有最大值， 答：养殖面积定为亩时，基地利润最大，最大利润是万元． 4．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m． （1）求抛物线的解析式； （2）现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？ 【答案】（1）； （2）能，理由： ∵货运卡车的宽为2.4m， ∴当时，， ， 这辆货运卡车能通过隧道． 【分析】 （1）根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式； （2）根据题意可以求得当时的的值，然后与4.4比较即可解答本题． 【详解】 解：（1）由题意可得：顶点E的坐标为（0，6）， ∴设抛物线的解析式为：， 由已知可得：点的坐标为在此抛物线上， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）略 【点睛】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 5．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，某拱桥的主桥拱近似的看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为　　　　　米． 【答案】20 【分析】 本题考查二次函数的实际应用，根据顶点坐标公式求出点的坐标，进而求出的坐标，即可得出结果． 【详解】 解：∵， ∴点的坐标为， 由题意，点和点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为（米）； 故答案为：20． 6．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面上升1m时，水面的宽为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意建立合适的平面直角坐标系，求出解析式，然后令时求出对应的的值，此时水面的宽为两个的差． 【详解】 解：建立如图平面直角坐标系， 设抛物线解析式为：， ∵函数图像过点（0，0）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， 解得，或； ∴水面宽度是：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，明确题意，求出相应解析式，并根据函数值求值是解题的关键． 7．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）在投掷铅球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，铅球从出手到落地的过程中，它的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系，记出手点与落地点的水平距离为投掷距离．小亮投掷铅球时，记录部分数据如下表． 1 2 4 6 7 … 3 … （1）求与的函数表达式； （2）当铅球的投掷距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小亮在此次投掷中是否得满分． 【答案】（1）     （2）小亮在此次投掷中没有得满分      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，通过待定系数法计算可以得解； （2）依据题意，将代入，求出的值与满分标准比较，进而判断得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，抛物线顶点为， 可设抛物线的解析式为， 根据表格中的数据，将代入，得， 解得， ， 即与的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由（1）可得与的函数表达式为， 将代入， ， 则， 解得（不合题意，舍去）， 当铅球的投掷距离超过时，得分为满分，而， 小亮在此次投掷中没有得满分． 8．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）下面的三个问题中都有两个变量： ①直角三角形两条直角边的和等于，直角三角形的面积与一直角边长； ②钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加，钢球滚动的距离与滚动的时间； ③用长度一定的篱笆围成矩形场地，矩形面积与一边长． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是　　　　　　（填序号） ． 【答案】① ③ 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，涉及一次函数图象与性质等知识，根据题意判断出相应的函数解析式是解决本题的关键． 根据题中描述，分别得到三个问题中关于的函数解析式，由函数图象与性质逐个分析判断是否与所给函数图象一致即可得到答案． 【详解】 解：①直角三角形一直角边长，且两条直角边的和等于， 另一条直角边为， 则直角三角形的面积， 此函数为二次函数，开口向下，并且过原点，符合题意； ② 由速度每秒增加，可得钢球滚动的距离与滚动的时间满足：， 此函数为正比例函数，不符合题意； ③ 设矩形篱笆长为（为常数，且）， 矩形篱笆的一边长， 另一边长为， 则矩形面积， 此函数为二次函数，开口向下，并且过原点，符合题意； 故答案为：① ③ ． 9．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现，当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）． （2）若商场要尽快减少库存，并使每天获得的销售利润为2 000元，则销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，该商场销售这种文具每天所得的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；     （2）销售单价应定为30元     （3）当销售单价为35元时，该商场销售这种文具每天所得的销售利润最大，最大利润是2 250元      【分析】 本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每个利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质是解题关键． （1）根据销量为：，再利用销量×每件利润=总利润，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式，当时，列出方程，进而求出x值，取较小的值即可； （3）利用二次函数最值求法得出答案． (1) 小问详解： 解：   ， ∴销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式为； (2) 小问详解： 当时，得， 解得：， 当时，销量：（件）， 当时，销量：（件）， ∵要尽快减少库存， ∴取， 所以，商场要每天获得销售利润元，销售单价应定为元； (3) 小问详解： ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴函数图象开口向下，w有最大值， 当时，， 故当单价为元时，该文具每天的利润最大，最大利润为元． 10．（25-26学年九上·山西大同·期中）项目式学习 材料一 大同公园是大同市最早的公园，承载着一代又一代大同人的美好记忆．下图为某项目小组为大同公园设计的公园大门上半部分的截面示意图，如图1所示，大门顶部呈抛物线型，水平横梁米，的最高点到的距离米，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 材料二   经过小组讨论，只有一条抛物线设计有些单一，为让大门更加美观，在原设计中再加入，两条抛物线型的结构，如图2所示，其中两条抛物线，关于所在直线对称．，，为框架，点是与的交点，点是与的交点，，，． 材料三   为了大门更加稳固，在图2的基础上再加入一个矩形的框架，如图3所示，其中点，在上，点，分别在，上，且，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数关系式为 ①直接写出的长； ②要做一个与矩形框架同样大小的牌匾，上书“大同公园”四个大字，为使牌匾美观大气，需要矩形框架的宽度尽量做到最宽，请你求出的最大值． 【答案】（1）的函数解析式为     （2）①12米；②的最大值为米      【分析】 本题考查了二次函数的应用，理解题意求得函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意得到，，，然后利用待定系数法即可解答； （2）① 先联立与的解析式，求得点的横坐标，然后根据抛物线的对称性得到点的和坐标，即可解答；② 设，其中，则，表示出，然后利用二次函数的性质求得最大值即可． (1) 小问详解： 解：由题可知，，， 设抛物线的函数解析式为， 将，代入得 ， 解得： 的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：① ∵点是与的交点， ∴联立与的解析式，得 解得：或， ∴点是的横坐标为， ∵抛物线，关于所在直线对称，点是与的交点，，，， ∴点和点关于y轴对称， ∴点的横坐标为6， ∴， ∴的长为12； ② 设，其中，则， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：的最大值为米． 11．（25-26学年九上·山西大同·期中）2025年，某教育科技公司推出一款适配新课标的“AI错题整理笔”，以每支150元的成本价生产，根据销售渠道数据，该款错题笔的日销售量（支）与销售价格（元/支）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格（元/支） 300 250 日销售量（支） 80 180 （1）试求出关于的函数表达式． （2）设该经销商销售这种AI错题整理笔的日销售利润为元，如果不考虑其他因素，求每支笔的销售价格为多少元时，日销售利润最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】（1）与的函数表达式为     （2）每支的销售价为245元时，日销售利润最大，最大利润为18050元      【分析】 本题主要考查一次函数，二次函数的实际应用； （1）设关于的函数表达式为，待定系数法解二元一次方程组即可求出； （2）根据每日总利润每支利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：设与的函数表达式为， 由题意可知， ，解之得 ， 与的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：， ， 当时，有最大值，， 答：每支的销售价为245元时，日销售利润最大，最大利润为18050元． 12．（25-26学年九上·山西大同·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 飞机着陆后滑行距离与滑行时间的关系探究 一架飞机着陆后滑行一段距离才能停下来，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间/秒 0 3 6 9 12 15 18 … 滑行距离/米 0 306 504 594 … 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系（如图），以为横坐标，为纵坐标． 任务： （1）请你描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们； （2）观察图象，可以看出这条曲线像我们学过的函数图象的一部分，请你直接写出该函数的解析式； （3）请问飞机着陆后滑行多远才能停下来． 【答案】（1） 如图所示为所求，      （2）     （3）飞机着陆后滑行600米才能停下      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． （1）根据表格数据描点，然后用平滑的曲线依次连接各点即可； （2）由（1）中图象可知，该函数为二次函数，且经过原点，故设该函数解析式为，然后利用待定系数法解答即可； （3）根据（2）的解析式，利用二次函数的性质求得最值即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）中图象可知，该函数为二次函数，且经过原点， 故设该函数解析式为， 把，代入解析式， 得 解得 ， ∴该函数的解析式为； (3) 小问详解： 解：∵当滑行距离为最大值时，飞机停下， 由（2）可知，，其中，， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴的最大值为（米）， 答：飞机着陆后滑行600米才能停下． 13．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） （1）求当时，y与x的函数关系式； （2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 【答案】（1）     （2）第35天时，最大利润为4050元     （3）2      【分析】 本题考查了一次函数和二次函数的应用，利用函数的性质求最值，求出函数的解析式是关键． （1）根据单个利润乘以数量，可得利润，列出函数关系式可得答案； （2）分两种情况，分别得出最大值，比较可得答案； （3）根据题意表示出，然后根据二次函数的性质和最大利润为3872列方程求出或，然后根据排除不符合的答案即可． (1) 小问详解： 当时，； (2) 小问详解： 当时， ， ∵二次项系数为， 二次函数开口向下，二次函数对称轴为， 当时，， 当时，，随的增大而减小， 当时，， 综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元； (3) 小问详解： 解：∵在销售的前45天内 ∴ 根据题意得，， 函数的对称轴， 当时，， ∴， 解得或， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴舍去， ． 14．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）小星和小丽在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．小星在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为拋物线：（为常数，）的一部分，小丽恰在点处接住沙包，然后竖直跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线：（为常数）的一部分． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线经过点，求的值； （3）若小星在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值．（假设小星，小丽，沙包一直在同一个水平面内） 【答案】（1）抛物线，     （2）n的值为     （3）4和5      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）将点代入抛物线，求出a的值即可； （2）将点代入抛物线，求出n的值即可； （3）根据题意可知，点的坐标范围是，将根据点的坐标分别代入抛物线，求出的取值范围，即可求解； (1) 小问详解： 解：点在抛物线上， ， ， 抛物线， (2) 小问详解： 将点代入抛物线，得 ， 解得， 答：n的值为． (3) 小问详解： 解：小星在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包， 点的坐标范围是， 当经过时，，解得：， 当经过时，，解得：， ， 为整数， 符合条件的的整数值为4和5． 15．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）掷实心球是某市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．小祎在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）下表为某市初中学业水平体育与健康学科投掷实心球项目评分表，按此评分标准，该生在此项考试中得分为多少?请说明理由．（） 项目 分数成绩 20分 19分 18分 17分 16分 15分 14分 13分 12分 11分 原地掷实心球（米） 男生 12.10 11.70 11.30 10.90 10.50 10.10 9.70 9.30 8.90 8.50 女生 9.10 8.70 8.30 7.90 7.50 7.10 6.70 6.30 5.90 5.50 【答案】（1）     （2） 解：该生得分为19分，理由： 由（1）得，令，则， 解得：，（不合题意，舍去）， （米）， ∵， 根据上表可得该生得分为19分．      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）令解析式中的，求出自变量的值，对照表格即可解题． (1) 小问详解： 解：由题意得：函数顶点坐标为且经过， 设函数解析式为，把代入上式得： ， 解得：； ∴函数表达式为：； (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． （1）用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． （2）当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？ （3）如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 【答案】（1）；     （2）当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件．     （3）55元件      【分析】 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）① 根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出每件商品的利润；② 根据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数； （2）根据总利润单件利润销售量列方程求解即可； （3）根据总利润单件利润销售量，可以写出关于的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． (1) 小问详解： ① 每件商品的利润为元， 故答案为：； ② 每星期卖出商品的件数为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 设每件商品降价元，依题意得： 关于的函数关系式是：， 解得：（不合题意，舍去），， 当时，售价为（元）． 答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件． (3) 小问详解： 解：设总利润为，依题意得： ， ∴， 当时，取得最大值6750，此时售价为（元， 答：当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元． 17．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B．        （1）求抛物线解析式； （2）是x轴上一动点．过点E作轴交于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． ①点E在线段上运动，当线段的长度最大时，求点P的坐标； ②点E在线段上运动，若是等腰三角形时，求点E的坐标． 【答案】（1）     （2）①；②，，      【分析】 （1）将点A代入直线，求得n，因而可求得点B，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）① 根据点E的坐标求得点D和点P的坐标，利用两点之间的距离公式即可求得PD的最大值，对应求得点P的坐标；② 利用勾股定理和两点之间的距离分别求出含有字母m的边，因为是等腰三角形，分别讨论腰和底的情况，求出对应m的值，即可求得此时点E的坐标． (1) 小问详解： 解：∵直线与x轴交于点， ∴得， 则直线， 当时，，点， 又∵，抛物线经过A，B， ∴ 解得， 则抛物线． (2) 小问详解： ① ∵轴， ∴， ∵点， ∴点，点， ， 当时，有最大值， 故点． ② 根据上问得：，，， 当时，化简得或(舍去)； 当时，化解得或(舍去)； 当时，化解得或(舍去)； 那么或或． 故点E的坐标为，，． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求得一次函数和二次函数的解析式，根据两点之间的距离和勾股定理求得两点的距离，转化为求二次函数最值或解等式． 18．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）根据以下内容，完成问题 探究主题 拱桥水位的变化 呈现问题 某景区有一座抛物线形石拱桥，工作人员需研究水位变化对桥面下水面宽度的影响．测量发现：当拱顶离水面时，水面宽，当水面上涨3m时，水面宽度减少多少? 数学抽象 从实际问题抽象出数学问题为：已知抛物线顶点为，，垂足为，交于点，，，，求． 自主建模 求线段长，需要先求点的坐标，就需要建立平面直角坐标系． 小组展示对比优化 小组一：以顶点为原点，抛物线的对称轴为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组二：以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系． 小组三：以原水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组四：以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 问题解决： （1）选择一种建模思路求出水面上涨，水面宽度减少多少？ （2）把呈现问题中的“当水面上涨时”改为“当水面宽度为时”，水面是下降还是上涨?水位变化是多少? 【答案】（1）水面宽度减少值为．     （2）故水面下降，水位变化量为．      【分析】 本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的建模（建立平面直角坐标系、求解析式）是解题的关键． （1）针对四个小组的建模思路，均通过建立平面直角坐标系，确定抛物线的顶点或过点坐标，求出抛物线解析式，再根据水面上涨后的纵坐标求出对应水面宽度，进而计算宽度减少的值． （2）根据水面宽度求出对应纵坐标，与原水面纵坐标比较判断水位升降并计算变化量． (1) 小问详解： 解：小组一建模（以顶点为原点，抛物线对称轴为轴）， 以为原点，抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系，则，原水面距拱顶，故所在直线，，则，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，水面所在直线，代入解析式得 ， 解得， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． （1）小组二建模（以中点为原点，所在直线为轴） 以中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，，代入解析式得 ， 解得， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． 小组三建模（以原水面左侧端点为原点，所在直线为轴）， 以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，拱顶． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，，代入解析式得 ， 解得或， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． 小组四建模（以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴） 以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设， ，则 ， ∵原水面距拱顶，故 ∴原水面所在直线，， ∴，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 又因原水面过，且原抛物线在小组二建模中解析式为，其对称性可知，即． 水面宽度减少值为． (2) 小问详解： 解：以小组二坐标系为例，抛物线解析式． 当水面宽度为时，，代入得， 原水面，，故水面下降． 水位变化量为． 19．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … （1）求h关于s的函数表达式． （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． （3）求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 【答案】（1）     （2）若守门员选择原地接球，不能防守成功， 理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴若守门员选择原地接球，不能防守成功；     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解表格中的数据求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）计算出当时h的值即可得到答案； （3）当守门员刚好接到球时，则，求出此高度下s的值，进而求出球运动的时间，进而求出守门员运动的最小路程，即可求出最小速度． (1) 小问详解： 解：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴h关于s的函数表达式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当守门员刚好接到球时，则， 把代入中得：， 解得， ∴此时球的飞行时间为， ∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于， ∴守门员的速度要大于等于， ∴守门员的最小速度为． 20．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为26米），其余用长为49米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） （1）设菜地的宽为x米，则___________米（用含x的代数式表示）； （2）当x为何值时，围成的菜地面积为200平方米？ （3）当x为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据，结合篱笆总长为49米列式求解即可； （2）根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （3）设围成的菜地的面积为S平方米，根据矩形面积计算公式用含x的式子表示出S，再利用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，米； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：当时，围成的菜地面积为200平方米； (3) 小问详解： 解：设围成的菜地的面积为S平方米， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，符合题意， ∴当时，S有最大值，最大值为， 答：当围成的菜地面积最大． 21．（25-26学年九上·河南许昌·期中）十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件元的服装，规定销售期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量件与销售单价元符合一次函数． （1）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为元？ （2）设该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）70元     （2）；销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元      【分析】 本题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是求出二次函数解析式和一元二次方程． （1）根据商场获得的利润每件服装的利润销售量列出方程，并根据销售单价不低于成本单价，且获利不得高于求出自变量的取值范围，然后求出的值即可； （2）根据商场获得的利润每件服装的利润销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 整理得：， 解得，， 销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，即， ， ， 答：销售单价定为元时，该商场获得的利润恰为元． (2) 小问详解： 解：由题意得： ， 由二次函数的性质可知，在内，随的增大而增大， 则当时，取得最大值，最大值为， 答：利润与销售单价之间的关系式为；销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． 22．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表： 刹车时车速(千米/时) 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离(米) 0 0.1 0.3 0.6 1 1.6 2.1 （1）在如图所示的直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到某函数的大致图象； （2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式； （3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶． 【答案】（1）如图所示； （2） ； （3）汽车已超速行驶． 【分析】 （1）依题意描点连线即可． （2）设抛物线为，解出a，b即可． （3）当x=100时，代入函数关系式解出y，比较即可． 【详解】 （1）略 （2）该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数． ∵图象经过原点， ∴设二次函数的表达式为． 选取（20,1）和（10,0.3）代入表达式，得 解得 ∴二次函数的表达式为． 代入各点检验，只有（25,1.6）略有误差，其它点均满足所求表达式． （3）∵当x=100时，y=21<40，    ∴汽车已超速行驶． 【点睛】 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 23．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在中，，，，点是线段上一点，且满足，动点，同时出发，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，当点运动到点时，速度变为每秒1个单位长度继续运动，点的速度保持不变．当，有一点运动到点A时，都停止运动．设运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）函数与的图象有且只有两个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2） 如图所示； 性质：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；     （3）函数与y的图象有且只有两个交点，k的取值范围为      【分析】 （1）根据勾股定理得到，求得，，当时，过A作于H，当时，如图，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出函数图象并根据函数图象得到函数性质即可； （3）由，得到直线过点，如图，当函数过点，，时为临界点，将点代入即可得到结论． (1) 小问详解： 解：在中，，，， ∴， ∵， ∴，， 当时， 过A作于H， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， 综上所述， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴直线过点，如图， 当函数过点，，时为临界点， 将点代入得：， 解得：； ∴函数与y的图象有且只有两个交点，k的取值范围为． 【点睛】 本题一次函数综合题，考查了三角形的面积公式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，正确地画出函数的图象是解题的关键． 24．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图1，抛物线的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线解析式； （2）点M是直线上方的抛物线上一动点，M点的横坐标为m，四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； （3）如图2，，连接，将绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转得到，O、B、D的对应点分别为．若点两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标． 【答案】（1）     （2），S的最大值为     （3）      【分析】 （1）先求出点A坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）过M作y轴的平行线，与直线交于点N．先求出直线的解析式，待定点M，N的坐标，用m表示线段的长度，进而求出S的最大值； （3）根据中心对称的性质，明确与平行且相等，待定点的坐标，代入抛物线解析式求解即可得出的坐标，而后运用中点公式求出中心的坐标即可． (1) 小问详解： 解：由，且可得， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得，，解得， ∴抛物线解析式为． (2) 小问详解： 如图1， 设直线解析式为， ∵， ∴ ， 解得 ， ∴直线解析式为， 设，则， 则， ， ∴， ， ∴时，此时S最大， ∴四边形的最大面积． (3) 小问详解： 如图2中，旋转后，对应线段互相平行且相等，则与互相平行且相等． ∵， 设，则， ∵在抛物线上，则， 解得，，则的坐标为， P是点和点的对称中心， ，， ∴． 【点睛】 此题主要考查二次函数综合问题，会用待定系数法求解析式，能运用二次函数模型分析线段的最值问题，会运用旋转的性质合理的待定点的坐标并结合方程求解时解题的关键． 25．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图1，在正方形中，E为的中点，点 P 从点 B 出发，沿B→C→D匀速运动，同时点Q从点 E出发，沿E→B→C 匀速运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为，的面积为S．当点Q在上运动时，S关于t的函数图象是图2所示的抛物线的一段． （1）的长为_____；当点Q与点B重合时，的面积为_____． （2）当点Q在上运动时，求S关于t的函数解析式，并在图2的平面直角坐标系中画出该函数的图象． （3）若存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，且   求的值． 【答案】（1）4，8     （2）， 函数图象为：      （3）      【分析】 本题考查动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质； （1）由函数图象可得，当时，，此时与重合，则，得到； （2）当点Q在上运动时，点在上运动，，，，，根据计算即可； （3）由图（2）中函数图象可得，当存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，，其中，再根据和的函数值相等，且都在上，得到，求出，即可求出3个时刻 其对应的 相等的面积，再代入计算求出即可． (1) 小问详解： 解：∵正方形中，E为的中点， ∴， 由函数图象可得，当时，，此时与重合，则， ∴， 故答案为：4，8； (2) 小问详解： 解：当时，与重合，此时运动的路程，即与重合， ∴当点Q在上运动时，点在上运动， ∵当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动， ∴， ∴当点Q在上运动时，点在上运动，， ∴，，， ∴ ， ∴当点Q在上运动时，， (3) 小问详解： 解：由图（2）中函数图象可得，当存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，，其中， ∵和的函数值相等，且都在上， ∴， ∵ ∴， 当时，点Q在上运动，此时，，，， ∴是方程的两个解， 整理得 解得，． 考点07 反比例函数的概念 1．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图像上，则的值为（     ） A.  B. 2 C.  D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，将点代入反比例函数解析式，求解的值． 【详解】 解：∵点 在的图像上， ∴， ∴的值为， 故选：A． 2．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）在下列函数表达式中，属于二次函数的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．分别利用正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义分析得出答案． 【详解】 解：A、是反比例函数关系，故此选项不符合题意； B、是一次函数关系，故此选项不符合题意； C、是二次函数关系，故此选项符合题意； D、不是二次函数关系，故此选项不符合题意． 故选：C． 考点08 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）已知反比例函数下列结论中不正确的是（     ） A. 图像必经过点 B. 图像位于第二、四象限 C. 若，则 D. 在每个象限内，随的增大而增大 【答案】A 【分析】 本题考查了反比例函数的图像性质，逐项判断即可． 【详解】 A、当时，，选项错误，符合题意； B、图像位于第二、四象限，选项正确，不符合题意； C、若，则，选项正确，不符合题意； D、在每个象限内，随的增大而增大，选项正确，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 此题主要考查了二次函数以及反比例函数、一次函数的图象，正确把握图象分布是解题关键．直接利用二次函数图象得出，，的符号，进而得出答案． 【详解】 解：由二次函数图形可得：开口向上，则， 对称轴在轴的右侧，则，故， 图象与轴交在正半轴上，故； 则反比例函数图象分布在第一、三象限， 一次函数图象经过第一、三、四象限， 故选D． 【点睛】 本题考查一次函数、反比例函数和二次函数图象的基本性质，熟练掌握三种函数的图象与系数的关系是解题的关键． 3．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 由反比例函数的系数k的几何意义可知：，然后可求得的值，从而可求得矩形的面积． 【详解】 解：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴． ∴矩形的面积． 故答案为：6． 【点睛】 本题主要考查的是反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 4．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，则的面积______； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集______． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；     （2）     （3）      【分析】 （）利用待定系数法解答即可； （）求出点和点坐标，再根据解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的几何应用，反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：把，代入得， ，解得 ， ∴一次函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：把代入，得， ∴， ∴， 由 ，解得 或 ， ∴， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，关于的不等式的解集是， 故答案为：． 5．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与轴重合，点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，点在线段上，且为等腰直角三角形． （1）求反比例函数的表达式． （2）直接写出直线与反比例函数的图象的交点横坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立函数解析式解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，正确求出函数解析式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵点的坐标为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：∵点的坐标为，四边形是矩形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 由，得， 解得， ∵， ∴， 即直线与反比例函数的图象的交点横坐标为． 6．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是_______； （2）下表是y与x的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 4 1 … 表中的________； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数的性质：_______； （4）结合函数图象，点和点在函数的图象上，且成立，则a的取值范围是______． 【答案】（1）     （2）     （3）解：由（2）中表格可作函数图象如下： ；图象关于直线对称（答案不唯一）     （4）且      【分析】 （1）根据分式有意义的条件可进行求解； （2）把代入函数解析式进行求解即可； （3）根据列表、描点、连线可进行作图，然后根据函数图象可进行求解； （4）根据（3）中函数图象可进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 解得：， ∴函数的自变量x的取值范围是； (2) 小问详解： 解：把代入函数得：， 即； (3) 小问详解： 解：图略； 由图象可知：该函数的图象关于直线对称（答案不唯一）； (4) 小问详解： 解：由（3）的图象可知：当点和点在函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴， 综上所述：a的取值范围是且． 7．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，，为反比例函数图象上的两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接和，图中阴影部分面积的和为，直线与反比例函数的图象交于点，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，函数图象上点的坐标特征，完全平方公式的变形运算，由反比例函数比例系数的几何意义可得，即得，得到反比例函数解析式为，再根据函数图象上点的坐标特征可得，，再根据完全平方公式进行变形运算即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：由题意可得，， ∵阴影部分面积的和为， ∴， ∴， ∵反比例函数图象分布在第一象限， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点是两函数图象的交点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $