专题06 相似、锐角三角函数（期中真题汇编）九年级数学上学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦相似与锐角三角函数7大高频考点，汇编辽宁大连、河北石家庄等多地区期中真题，涵盖选择、填空、解答题，注重生活应用与综合探究。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约8题|平行线分线段成比例、位似、正弦余弦正切|结合白瓷瓶测量（相似应用）、平面镜测旗杆（相似应用）等情境| |填空|约4题|相似三角形性质、解直角三角形|设计面积比求线段长、正六边形边心距计算等基础题| |解答|约6题|相似判定与性质、解直角三角形应用|包含旋转与相似综合证明（如武汉汉阳题）、矩形最大面积探究（大连金普新区题）等梯度题|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06相似、锐角三角函数 7大高频考点概览 考点01平行线分线段成比例 考点02三角形相似的判定和性质 考点3相似三角形的应用 考点04位似 考点05正弦、余弦与正切 考点06解直角三角形 考点07应用举例 》 考点01平行线分线段成比例 1.(25-26学年九上·辽宁大连金普新区期中)如图，两条直线被三条平行线所截，若AB:BC=2:3, DE=4,则EF为( B C A.5 B.6 C.7 D.8 》 考点02三角形相似的判定和性质 1.(25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中)如图，在△ABC中，P是边AC的中点.按下列步骤 尺规作图： ①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交线段AB于点D,交线段BC于点E;②以点P为圆心，BD的长 为半径画弧，交线段AP于点F;③以点F为圆心，DE的长为半径画弧，交前一条弧于点G;④作直线 PG,交线段AB于点Q, 嘉嘉： AP_AC PQ BC 淇淇：△APQ与△ABC的相似比为1：2. 对于嘉嘉和淇淇的看法，下列判断正确的是() 117 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.嘉嘉和淇淇都正确 B.嘉嘉正确，淇淇错误 C.嘉嘉错误，淇淇正确 D.嘉嘉和淇淇都错误 2.(25-26学年九上·浙江台州玉环，期中)如图，四边形ABCD内接于⊙O,对角线BD恰好是⊙O的 直径，AC=AD.若AB=1,BC=2,则BD的长为() A.2V▣ B.3 C.2V▣ D.▣ 3.(25-26学年九上·重庆江津区实验中学.期中)如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕 点A顺时针旋转90口'到△ABF的位置，连接EF,过点A作EF的垂线，垂足为点H,与BC交于点G, 若BG=3,CG=2,则CE的长为( A D E F B G B. 15 A. 4 C.4 9-2 D. 4. (25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中)如图，ABCD,AD与BC相交于点O,且△AOB与 △DOC的面积比是1：4，若AB=6,则CD的长为 5.(25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中)一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=150mm, 217 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 高AD=100mm,把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB, AC上. B G DH D H (图1) (图2) (1)求这个正方形零件的边长： (2)如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 6.(25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中)在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90口°， AC=BC,DC=EC,旋转△DEC,使点D在△ABC内. 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△ADC≌△BEC: (2)当ADCE时，延长AD交BC于点F ①如图2，若AB=3V石，CF=1,求BE的长： ②如图3，连接BD,若点F是BC的中点，判断线段AD与线段BD的数量关系，并说明理由. 7.(25-26学年九上·辽宁大连金普新区，期中)已知在△ABC中，AB=AC=5,D,E分别为AB、 AC上一点，AD=AE=3,DE=18 D D E (图1) (图2) (1)如图1，求BC的长： (2)如图2，将图1中的△ADE绕点A按顺时针旋转，当AD‖BC时，且点E在△ABC的内部时， DE与AB交点M,连接CE并延长交AB于点N, ①求证：AE⊥CN: 317 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②求BN的长. 8.(25-26学年九上·河南许昌·期中)在Rt△ABC中，∠C=90☐°.将△ABC绕点A顺时针旋转得 到△ADE,旋转角小于∠CAB,点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,DE交AB于点O,延 长DE交BC于点P. D B B P 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：PC=PE: (2)当ADBC时， ①如图2，若CA=6,CB=8,求线段BP的长； ②如图3，连接BD,CE,延长CE交BD于点F,判断F是否为线段BD的中点，并说明理由. 四 考点03相似三角形的应用 1.(25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在 脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到 旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的 水平距离为10m,则旗杆高度为( A.6.4m B.8m c.9.6m D.12.5m 2.(25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中)邢窑是河北著名瓷窑，也是我国北方最早烧制白瓷的 窑厂如图，嘉嘉用两根木棍AC,BD制成一个测量工具，测量白瓷瓷瓶瓶底内径AB的长若两木棍交于 点E,且△ABE-△CDE,AC=4,CD=2cm,则AB的长为( CE 417 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D1 A.4cm B.8cm C.6cm D.9cm 》 考点04位似 1.(25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是 O0,0,A2,1,B1,2,以原点O为位似中心，在第三象限画△OAB与△OAB位似，若△OAB 与△OAB的相似比为2：1，则点A的对应点A的坐标为( B A.-2,-1 B.-4,-2 c.-1,-2 D.-2,-4 2.(25-26学年九上河北石家庄高新区学校期中)如图，△ABC与△DEF位似，EB的延长线与FC 的延长线交于点O,点A和点D在线段OE上 D (1)△ABC与△DEF的位似中心为点 (2)若△ABC与△DEF的相似比为2，AC=3,求DF的长. (3)若∠O=20☐°，∠E=40口°，求∠BCF的度数. 》 考点05正弦、余弦与正切 1.(25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中)如图，在△ABC中，∠B=90▣°，若AB=3, 517 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC=4,则●=3 被墨迹覆盖的内容可能是( C A.tan A B.sinA C.tanC D.sinC 2.（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校期中)计算：2tan60▣°= 刀 考点06解直角三角形 1.(25-26学年九上·江苏南通启东·期中)已知正六边形的半径是4cm,则它的边心距是( A.2cm B.2WV▣ C.2c/▣ D.4cm 2.(25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中)如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面 镜的反射后在成像图层上形成光点M和N,若入射角∠1=45口°，∠2=60口°，平面镜与成像图层平行， 它们之间的距离为4dm,则M,N两点之间的距离为（ 平面镜 成像图层 0 M A.4dm B.8dm C.(44a口 D.88d□ 3.(25-26学年九上·新疆地区阿克苏.期中)如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=60口°， ∠BAC=∠CAD=45口°，AB+AD=6,则⊙O的半径长为 O 4.(25-26学年九上·浙江台州玉环·期中)我国古代数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接、外切正多边 617 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 形逼近圆，从而估算π范围.如图，设圆半径为r,利用两个正六边形周长为6r,4▣，可得 6r<2πr<4石，即3<π<2口.若利用两个正六边形的面积，则可得π的范围为】 <π<2▣ 》】 考点07应用举例 1.(25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中)图1是一款落地式三杆折叠晾衣架，该晾衣架固定杆 AF,EC,BP,QD的长度都相同，加粗杆AM,EH的长度也都相同，使用中，加粗杆始终与水平地 面HI垂直，晾衣架的宽度HI最宽可拉伸到1200mm,最窄可拉伸到600mm,点A,E始终在加粗杆的 相同高度上，且AC=EF,图2是其最窄状态下的示意图，此时固定杆AF与加粗杆AM的夹角 ∠FAM=17.5▣°，MI:MH=3:2.(固定杆及加粗杆的厚度忽略不计) A 图1 图2 (1)求固定杆AF的长度 (2)将晾衣架从最窄拉伸到最宽，此时MI=MH,求E,F两点之间缩短的距离. (计算过程和结果都精确到1cm;参考数据：sin17.5口°0.30，tan17.5口'≈0.32,2.65/石) 717 专题06 相似、锐角三角函数 考点01 平行线分线段成比例 考点02 三角形相似的判定和性质 考点03 相似三角形的应用 考点04 位似 考点05 正弦、余弦与正切 考点06 解直角三角形 考点07 应用举例 考点01 平行线分线段成比例 1．B 考点02 三角形相似的判定和性质 1．D 2．D 3．B 4．【答案】12 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 5．【答案】（1）这个正方形零件的边长是；     （2）矩形面积最大是．      【分析】 本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值等等，解本题的关键是证明出． （1）先证明，设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果； （2）设，根据（1）可得，根据，可得，即可得，再根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． (1) 小问详解： 解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形零件的边长为，则， ∴． ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴这个正方形零件的边长是； (2) 小问详解： 解：设，同（1）可得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形面积， ∵， 当时，此时矩形面积最大，最大面积是， 即：矩形面积最大是． 6．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即． ∵，， ∴．     （2）①； ②， 理由如下： 如图3，延长交于点． AI ∵， ∴，． ∴． ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． ∴，． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∴．      【分析】 （1）证明，再利用已知，，即可证明结论； （2）① 求出，．证明．则．得到，由（1）可知，，即可得到答案；② 延长交于点．证明四边形是正方形．则，．证明，得到．得到，．即可证明． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴， 即． ∵，， ∴． (2) 小问详解： 解：① ∵， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴ 同（1）可知，， ∴． ② 略 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 7．【答案】（1）；     （2） ① 证明：过点作于． ∴， ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵即， ∴， ∵，， ∴（）． ∴，即． ②      【分析】 （1）通过证明与相似，利用相似三角形对应边成比例的性质来计算的长． （2）① 作辅助线，先求出的长度，再证明（），从而得到，证明． ② 作辅助线，利用相似三角形的性质求出相关线段的比例关系，结合勾股定理和方程思想求出的长度，进而求出． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴．即， 解得； (2) 小问详解： 解：① 略 ② 过点作交于． ，， ． 由① 知，又，，， ∴， ． ∴， 由（）得， ∴， ． ∵， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ， ， ，即 解得，， ， ， ， 设，则， ， 解得即． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【答案】（1） 证明：连接， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴；     （2）①； ②F是线段的中点．理由如下， 连接，延长和交于点G，如图， 由（1）知，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即F是线段的中点．      【分析】 （1）由旋转的性质得到，，，根据证明，即可证明； （2）① 连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可； ② 连接，延长和交于点G，证明，求得，得到，再证明，据此即可证明F是线段的中点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质知，，， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 略 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 考点03 相似三角形的应用 1．B 2．C 考点04 位似 1．B 2．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）位似图形的位似中心是对应点连线的交点，由图中可知交点为，因此位似中心为点． （2）根据与的相似比为，可以得到对应边成比例，即可求解的长． （3）根据相似三角形对应角相等可得到的值，再根据三角形外角的性质求得的度数． (1) 小问详解： 略． (2) 小问详解： 解：与的相似比为， ． ， ． (3) 小问详解： 解：与位似，， ． ， ． 考点05 正弦、余弦与正切 1．C 2．【答案】 【分析】 直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【详解】 解：∵ ∴． 故答案为： 【点睛】 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 考点06 解直角三角形 1．C 2．D 3．【答案】 【分析】 连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接，证明为的直径，，证明，得出，，推出为等腰直角三角形，进而得出，解直角三角形得出，即可得解． 【详解】 解：如图：连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接， ∵， ∴，， ∴为的直径，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，证明是解题的关键． 4．【答案】 【分析】 本题考查正多边形和圆，锐角三角函数，掌握相关知识是是正确解答的关键．根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系求出、的底和高，进而求出正六边形，正六边形的面积，有两个正六边形的面积与圆面积的大小关系得出答案． 【详解】 解：如图，连接，则是正三角形， ，， 作， ， ， 连接， ∵切圆于点， ∴， 在中，， ， ， ， ， 圆的面积为， ， 即， 故答案为： 考点07 应用举例 1．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）连接，求出，判断四边形是矩形，得， 由正弦定义即得的长度约为． （2）当晾衣架最宽时，，，由勾股定理求出；当晾衣架从最窄时，，由正切定义求出．即得E、F之间的距离大约缩短了． (1) 小问详解： 解：连接． 由题意知，，． ∴． ∵垂直于， ∴． ∴ ∵A，E始终在加粗杆的相同高度上， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∴． 答：固定杆的长度约为． (2) 小问详解： 当晾衣架从最宽时， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 当晾衣架最窄时， ∵， ∴． ∴E、F间缩短的距离为． ∴． 答：E、F之间的距离大约缩短了． 【点睛】 本题考查了解直角三角形应用．熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，按比例分配，平行线判定和性质，单位之间的换算，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似、锐角三角函数 7大高频考点概览 考点01 平行线分线段成比例 考点02 三角形相似的判定和性质 考点03 相似三角形的应用 考点04 位似 考点05 正弦、余弦与正切 考点06 解直角三角形 考点07 应用举例 考点01 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平行线所截，可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解此题的关键． 【详解】 解：两条直线被三条平行线所截， ， ，， ， ， 故选：B． 考点02 三角形相似的判定和性质 1．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，在中，是边的中点.按下列步骤尺规作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点；②以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点；④作直线，交线段于点． 嘉嘉：. 淇淇：与的相似比为. 对于嘉嘉和淇淇的看法，下列判断正确的是（     ） A. 嘉嘉和淇淇都正确 B. 嘉嘉正确，淇淇错误 C. 嘉嘉错误，淇淇正确 D. 嘉嘉和淇淇都错误 【答案】D 【分析】 本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由作图过程可得，得出，从而证明判定嘉嘉说法错误；再根据对应边之比是，其值大小不确定确定淇淇说法错误即可． 【详解】 解：由作图过程可得，， ， ，即，故嘉嘉说法错误； 与的对应边之比为，其值大小不确定，故淇淇说法错误； 故选：D． 2．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）如图，四边形内接于，对角线恰好是的直径，若，则的长为（    ） A.  B. 3 C.  D.  【答案】D 【分析】 作于E，由等腰三角形三线合一的性质以及垂径定理证得过圆心，利用三角形中位线定理求得，然后通过证得得到，设圆的半径为r，则，则，根据直径所对的圆周角为直角可得出是直角三角形，由勾股定理可得出，解方程求得即可求得BD的长． 【详解】 解：作于E， ， ， 垂直平分， 过圆心， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 设圆的半径为r，则， ， ， 在中，， ， 整理得，即， （负值舍去）． 故选：D． 【点睛】 本题考查了直径所对的圆周角为，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和判断，等腰三角形三线合一，三角形的中位线，掌握相关知识是解决问题的关键． 3．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为（       ） A.  B.  C. 4 D.  【答案】B 【分析】 根据正方形性质和已知条件可知BC=CD=5,再由旋转可知DE=BF,设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x，然后再证明△ABG∽△CEF，根据相似三角形的性质列方程求出x，最后求CE即可． 【详解】 解：∵， ∴BC=BG+GC=2+3=5 ∵正方形 ∴CD=BC=5 设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x ∵AH⊥EF，∠ABG=∠C=90° ∴∠HFG+∠AGF=90°，∠BAG+∠AGF=90° ∴∠HFG=∠BAG ∴△ABG∽△CEF ∴ ,即，解得x= ∴CE=CD-DE=5-=． 故答案为B． 【点睛】 本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程求出DE的长是解答本题的关键． 4．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 5．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 【答案】（1）这个正方形零件的边长是；     （2）矩形面积最大是．      【分析】 本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值等等，解本题的关键是证明出． （1）先证明，设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果； （2）设，根据（1）可得，根据，可得，即可得，再根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． (1) 小问详解： 解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形零件的边长为，则， ∴． ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴这个正方形零件的边长是； (2) 小问详解： 解：设，同（1）可得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形面积， ∵， 当时，此时矩形面积最大，最大面积是， 即：矩形面积最大是． 6．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）在和中，，，，旋转，使点在内． （1）如图1，求证：； （2）当时，延长交于点． ①如图2，若，，求的长； ②如图3，连接，若点是的中点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即． ∵，， ∴．     （2）①； ②， 理由如下： 如图3，延长交于点． AI ∵， ∴，． ∴． ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． ∴，． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∴．      【分析】 （1）证明，再利用已知，，即可证明结论； （2）① 求出，．证明．则．得到，由（1）可知，，即可得到答案；② 延长交于点．证明四边形是正方形．则，．证明，得到．得到，．即可证明． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴， 即． ∵，， ∴． (2) 小问详解： 解：① ∵， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴ 同（1）可知，， ∴． ② 略 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 7．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）已知在中，，，分别为、上一点，，． （1）如图，求的长； （2）如图，将图中的绕点按顺时针旋转，当时，且点在的内部时，与交点，连接并延长交于点． ①求证：； ②求的长． 【答案】（1）；     （2） ① 证明：过点作于． ∴， ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵即， ∴， ∵，， ∴（）． ∴，即． ②      【分析】 （1）通过证明与相似，利用相似三角形对应边成比例的性质来计算的长． （2）① 作辅助线，先求出的长度，再证明（），从而得到，证明． ② 作辅助线，利用相似三角形的性质求出相关线段的比例关系，结合勾股定理和方程思想求出的长度，进而求出． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴．即， 解得； (2) 小问详解： 解：① 略 ② 过点作交于． ，， ． 由① 知，又，，， ∴， ． ∴， 由（）得， ∴， ． ∵， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ， ， ，即 解得，， ， ， ， 设，则， ， 解得即． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（25-26学年九上·河南许昌·期中）在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由． 【答案】（1） 证明：连接， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴；     （2）①； ②F是线段的中点．理由如下， 连接，延长和交于点G，如图， 由（1）知，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即F是线段的中点．      【分析】 （1）由旋转的性质得到，，，根据证明，即可证明； （2）① 连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可； ② 连接，延长和交于点G，证明，求得，得到，再证明，据此即可证明F是线段的中点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质知，，， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 略 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 考点03 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】 解：如图所示，    由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 2．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）邢窑是河北著名瓷窑，也是我国北方最早烧制白瓷的窑厂.如图，嘉嘉用两根木棍，制成一个测量工具，测量白瓷瓷瓶瓶底内径的长.若两木棍交于点，且，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，由可得，进而根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 考点04 位似 1．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】 解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，与位似，的延长线与的延长线交于点，点和点在线段上． （1）与的位似中心为点________． （2）若与的相似比为，，求的长． （3）若，，求的度数． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）位似图形的位似中心是对应点连线的交点，由图中可知交点为，因此位似中心为点． （2）根据与的相似比为，可以得到对应边成比例，即可求解的长． （3）根据相似三角形对应角相等可得到的值，再根据三角形外角的性质求得的度数． (1) 小问详解： 略． (2) 小问详解： 解：与的相似比为， ． ， ． (3) 小问详解： 解：与位似，， ． ， ． 考点05 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，在中，，若，，则，被墨迹覆盖的内容可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了锐角三角函数，根据正切的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】 解：∵在中，，若，， ∴， 故选：C． 2．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）计算：　　　　　　． 【答案】 【分析】 直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【详解】 解：∵ ∴． 故答案为： 【点睛】 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 考点06 解直角三角形 1．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）已知正六边形的半径是，则它的边心距是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了正多边形和圆的综合，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过构造直角三角形，利用三角函数关系求解． 【详解】 解：设正六边形中心为O，半径为． 从O作于M，则为边心距． ∵正六边形中心角为， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴边心距为， 故选：C． 2．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，两束光线从成像图层的点处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点和，若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则，两点之间的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了光的反射定律与解直角三角形的综合应用，解题的关键是通过作垂线构建直角三角形，利用三角函数求线段长度． 分别过反射点作成像图层的垂线，构建直角三角形，利用三角函数求出和的长度，再通过计算出两点间距离． 【详解】 解：如图，分别过反射点作成像图层的垂线，设平面镜上两个反射点为、，过作于，过作于． 由题意知，平面镜与成像图层平行，且距离为， ． 对于的光线： 根据反射定律，入射角等于反射角， 是等腰直角三角形（）． 在中，，即， 解得． 又垂直平分（反射对称性）， ． 对于的光线： 在中，，即， 解得． 同理，垂直平分， ． ． 故选D 3．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，四边形内接于，，，，则的半径长为　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接，证明为的直径，，证明，得出，，推出为等腰直角三角形，进而得出，解直角三角形得出，即可得解． 【详解】 解：如图：连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接， ∵， ∴，， ∴为的直径，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，证明是解题的关键． 4．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）我国古代数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接、外切正多边形逼近圆，从而估算范围．如图，设圆半径为r，利用两个正六边形周长为，，可得，即．若利用两个正六边形的面积，则可得的范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查正多边形和圆，锐角三角函数，掌握相关知识是是正确解答的关键．根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系求出、的底和高，进而求出正六边形，正六边形的面积，有两个正六边形的面积与圆面积的大小关系得出答案． 【详解】 解：如图，连接，则是正三角形， ，， 作， ， ， 连接， ∵切圆于点， ∴， 在中，， ， ， ， ， 圆的面积为， ， 即， 故答案为： 考点07 应用举例 1．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）图1是一款落地式三杆折叠晾衣架，该晾衣架固定杆，，，的长度都相同，加粗杆，的长度也都相同，使用中，加粗杆始终与水平地面垂直，晾衣架的宽度最宽可拉伸到，最窄可拉伸到，点，始终在加粗杆的相同高度上，且，图2是其最窄状态下的示意图，此时固定杆与加粗杆的夹角，．（固定杆及加粗杆的厚度忽略不计） （1）求固定杆的长度． （2）将晾衣架从最窄拉伸到最宽，此时，求，两点之间缩短的距离． （计算过程和结果都精确到；参考数据：，，） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）连接，求出，判断四边形是矩形，得， 由正弦定义即得的长度约为． （2）当晾衣架最宽时，，，由勾股定理求出；当晾衣架从最窄时，，由正切定义求出．即得E、F之间的距离大约缩短了． (1) 小问详解： 解：连接． 由题意知，，． ∴． ∵垂直于， ∴． ∴ ∵A，E始终在加粗杆的相同高度上， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∴． 答：固定杆的长度约为． (2) 小问详解： 当晾衣架从最宽时， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 当晾衣架最窄时， ∵， ∴． ∴E、F间缩短的距离为． ∴． 答：E、F之间的距离大约缩短了． 【点睛】 本题考查了解直角三角形应用．熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，按比例分配，平行线判定和性质，单位之间的换算，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $