专题04 圆（期中真题汇编）九年级数学上学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦圆的6大高频考点，精选江苏、浙江等多地区期中真题，融合《九章算术》古题、筒车应用等情境，覆盖基础概念到动态综合问题，适配九年级期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约20题|圆的有关概念、圆周角定理|量角器误放测量角度，考查圆周角性质| |填空|约10题|过三点的圆、弧长计算|格点圆弧半径计算，体现几何直观| |解答|约15题|垂直于弦的直径、动态几何|筒车模型求半径，融合实际应用与方程思想|

专题04 圆 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．A 2．D 3．【答案】点P在外 【详解】 解：已知的半径，点到圆心的距离， 可得， 因此点与的位置关系是点在圆外． 考点02 过三点的圆 1．【答案】 【分析】 此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．直接利用反证法的步骤，即可得出答案． 【详解】 解：用反证法证明“若则”是真命题时， 第一步应先假设：． 故答案为：． 2．【答案】 【分析】 本题考查了由弧确定所在圆的圆心，勾股定理． 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，进而根据勾股定理作答即可． 【详解】 解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：     则圆心是， 则圆的半径为. 故答案为：． 考点03 垂直于弦的直径 1．B 2．B 3．D 4．B 5．D 6．D 7．【答案】（1）该圆的半径为米     （2）1米      【分析】 此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过作于点，交于点，根据垂径定理有米，设圆的半径为米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图所示， 过作于点，交于点，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； (2) 小问详解： 如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面下盛水桶的最大深度为（米）． 8．【答案】过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴BE-DE=AE-CE. 即AC=BD. 【分析】 过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD． 【详解】 略 【点睛】 本题考查垂径定理的实际应用． 9．【答案】或 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：① 当和位于圆心同侧时和② 当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】 解：分类讨论：① 当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．       ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ② 当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．     ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 考点04 圆心角 1．【答案】证明：连接OC． ∵ 是的中点， ∴ ， ∴ ∠AOC=∠BOC， ∵ OA=OB，OC=OC， ∴ △AOC ≌ △BOC（SAS）， ∴ ∠A=∠B． 【分析】 连接OC，由是的中点，得到，则∠AOC=∠BOC，然后证明△AOC ≌ △BOC即可得到∠A=∠B． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，同圆中等弧所对的圆心角相等，解题的关键在于能够熟练掌握同圆中，等弧所对的圆心角相等． 2．【答案】L度 【分析】 根据同弧（或等弧）所对的圆心角相等，得。即可求出的度数． 【详解】 解：在中， ∵，， ∴； ∴． 故答案为： 【点睛】 本题考查圆心角的计算，属于基础题，理解同弧（或等弧）所对的圆心角相等是解题的关键． 3．【答案】证明：连接OC． ∵， ∴∠AOC=∠BOC， ∵OA=OB，D、E分别是半径OA和OB的中点， ∴OD=OE， ∵OC=OC（公共边）， ∴△COD≌△COE， ∴CD=CE． 【分析】 连接OC，构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD=CE． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质，通过弧相等证明圆心角相等是解题关键． 考点05 圆周角 1．B 2．C 3．A 4．B 5．B 6．C 7．A 8．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 如图，点D即为所求． 【分析】 本题考查作图-复杂作图、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可． （2）连接并延长，交于点D，结合圆周角定理可知，则点D即为所求． (1) 小问详解： 解：分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． (2) 小问详解： 解：连接并延长，交于点D，连接，则点D即为所求． 根据作图可知为的直径， ． 9．【答案】（1）；     （2） 证明：， 由（1）知，， 即      （3）      【分析】 本题主要考查了圆周角定理,勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得，即可得解； （2）倒角可证，再证，即可得证； （3）过点A作，垂足为H，易证，则，再建立勾股方程求出即可得解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点A作，垂足为 ， ， 四边形内接于， , , 同理， ， 解得 的周长 ， 的周长为 10．【答案】（1）① ② ，③ ；② ③ ，① ；① ③ ，②     （2）      【分析】 （1）选择若① ② ，则③ ，连接，如图所示，根据圆周角定理、切线的性质、同角的余角相等证明即可； （2）在（1）的条件下，求出，根据弧长公式代值计算，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：若① ② ，则③ ， 证明：连接，如图所示： 是的直径， ，即， 是的切线， ，即， ， ， ， ； 若② ③ ，则① ， 如上图所示， 是的切线， ， ， ， 又 ， ， 是的直径； 若① ③ ，则② ， 如上图所示， ，即， ， ， 又 是的切线， 故答案为：① ② ，③ ；② ③ ，① ；① ③ ，② ． (2) 小问详解： 解：由（1）中，若① ② ，则③ ． 如图所示： ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 的长为：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是切线的性质、圆周角定理、同角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余、弧长的计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 11．【答案】�度 【分析】 本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，应用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可解答. 【详解】 解：构造如图，在下半圆上取点，连接, 设的直径为, 如图： 由题意可知，， ， ， ， ， 故答案为：． 12．【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴， ． 又∵和都对着， ．     （2）      【分析】 此题考查了垂径定理、 圆周角定理、勾股定理等知识． （1）连接．根据垂径定理得到，则，由圆周角定理得到，即可证明结论成立； （2）设，则，由垂径定理得到．在中，由，列方程并解方程即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，则， ∵， ． 在中，由， 得， 解得， ． 13．【答案】（1）的直径为；     （2）．      【分析】 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果 (1) 小问详解： 解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是20； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ， ． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先根据是的直径得出，再由得出的度数，再由圆周角定理即可得出结论； （2）由（1）知，，根据是的平分线可得出，故可得出的度数，由得出的度数，根据是的直径得出，故是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长即可． (1) 小问详解： 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵\overset{\overparen }{AC}=\overset{\overparen }{AC}， ∴； (2) 小问详解： 由（1）知，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 解得． 【点睛】 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 15．【答案】（1） ，理由如下： 为中点， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是综合运用以上知识求解． （1）由垂径定理可得，由三角形中位线定理即可求解； （2）证明，可得，设，则，再根据勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： 是直径， ， ，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 16．【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，连接，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．【答案】（1） 证明：以AB为腰作等腰，底边BC交于点D， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线；     （2）      【分析】 （1）因为以AB为腰作等腰，底边为BC，所以，由AB为的直径，得，而，由，求得，即可证明AC是的切线； （2），得，由，推导出，则，所以，由，得，由，得，则，求得 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为 【点睛】 此题考查等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，切线的判定，勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． 18．【答案】（1）     （2）①，；②在点M，N的运动过程中，是定值，该定值为；③      【分析】 （1）根据圆周角定理可知，利用勾股定理解答即可； （2）①过点N作于点Q，利用勾股定理即可求得，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求得； ②过点P作于点H，设，则，再利用勾股定理和完全平方公式解答即可； ③利用三角形的周长的意义求得，利用完全平方公式求得，再利用完全平方公式解答即可得出结论． (1) 小问详解： 解：的直径，为的直径， ， 当点P与A重合时， ， ； (2) 小问详解： 解：当时，过点N作于点Q，如图， ∴， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， ， ； ②在点M，N的运动过程中，是定值，该定值为理由： 过点P作于点H，如图， 由题意得：， 设，则， 在点M，N的运动过程中，是定值，该定值为； ③当的周长为时， ， ， ， ， 由②知：是定值，该定值为， ， ， 【点睛】 本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，完全平方公式，全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 19．【答案】（1） 解：∵同弧所对的圆心角是圆周角的倍， ∴，， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 （1）利用圆周角定理，将、分别与、关联，结合的关系证明． （2）作的角平分线交于，连接，先证垂直平分，再证，最后利用勾股定理列方程求解半径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作平分交于，交于M，连接， ∵，平分， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∴， 在中，， 设的半径为，则， 在中，， 即， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理和利用全等三角形及勾股定理构造方程求解是解题的关键． 20．【答案】（1） 证明：， \therefore \overset{\overparen }{BC}=\overset{\overparen }{BD}， ， ， ， ；     （2）.      【分析】 本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理．解决本题的关键是根据垂径定理和圆周角定理找角之间的关系． 根据垂径定理可知\overset{\overparen }{BC}=\overset{\overparen }{BD}，根据圆周角定理可知，根据等边对等角可得，利用等量代换可证结论成立； 利用勾股定理求出，再根据垂径定理求出的长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的半径为， ， ， ， 于点， ，， 在中，， ， 弦的长是. 21．【答案】（1）     （2） 证明：连接， ， ， 平分， ， 故， ， ， ， 是的半径，且， 与相切．     （3）      【分析】 （1）结合角平分线与圆内接四边形的性质，转化角度关系进行计算． （2）连接，通过“角平分线+等腰三角形”证，结合得，从而证明切线． （3）设，，可得，结合是中点、，通过证明，得到，再根据勾股定理列方程即可求出圆的半径． (1) 小问详解： 解：，平分， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 答：的度数为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接， ， ， ， 设，，则， D是的中点， ， ，， ， ， ， ， 在中，有， 在中，有， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 半径． 答：的半径为． 【点睛】 本题考查圆的基本性质、角平分线的性质、切线的判定定理、直角三角形的性质以及勾股定理，利用圆的性质与几何变换，关联线段与角度是解题关键． 考点06 弧长和扇形面积 1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．【答案】 【分析】 本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 求得半径为、圆心角为的弧长，即可得出答案． 【详解】 解：观察图象可知，重物上升的高度就是滑轮旋转角度为时所对应的弧长， ， 当滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为时，重物上升， 故答案为：． 7．【答案】（1） 如图，即为所求,．      （2）      【分析】 本题考查旋转变换，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． 根据旋转的性质作图即可； 利用弧长公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ∴点B的运动路径长为 8．【答案】 【分析】 本题考查扇形面积公式，先根据题意得到线段扫过的图形为圆心角为、半径为的扇形，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】 解：由题意，线段扫过的面积为． 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形周长的计算方法是正确解答的关键．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】 解：∵正五边形的边长为4， ∴，， ∴的长为， 阴影部分的周长为， 故答案为：． 10．【答案】（1） 如图，点即为所求，      （2）     （3）内     （4）      【分析】 本题考查了垂径定理、勾股定理、弧长公式、点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂径定理，圆心是线段和垂直平分线的交点，作图即可； （2）由图可得，再结合勾股定理计算即可得解； （3）先求出，计算得出，再结合点与圆的位置关系即可得解； （4）先判断出为直角三角形，即，再利用弧长公式得出弧的长为，由此即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得，， 故由勾股定理可得：， 故的半径长为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴点在内， 故答案为：内； (4) 小问详解： 解：∵的半径长为， ∴， ∵, ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴弧的长为， ∴该圆锥的底面圆半径为， 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了扇形的面积计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点D作于点E，证明是等边三角形，可得，，从而得到，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，过点D作于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了扇形面积的求解，勾股定理解三角形，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理，以及垂直平分线的性质，解决本题的关键是找到圆心 连接与，作与的垂直平分线相交于点O，点O即为圆的圆心，再根据扇形面积公式先求解扇形的面积，根据边长判定的形状，即可求解的面积，再根据半径可求解的长度，由此可求解的面积，即可求解阴影面积． 【详解】 解：连接与，作与的垂直平分线相交于点O， 连接，记与的交点为点Q，如图， ∵点O为圆的圆心，记圆的半径为r， ∴， 根据勾股定理可得，， 即， ∵， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 由垂径定理可知，点Q为中点，且， ∴， ∴， ， ∴ 故答案为： ． 13．【答案】（1）     （2） ① 证明：过点作交的延长线于点， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是中点； ②      【分析】 （）由旋转的性质可得，，，，进而根据等边对等角即可求解； （）① 过点作交的延长线于点，证明得到即可求证； ② 取的中点，连接，，三角形的中位线定理得到，故点在以为圆心，的长为半径的圆上，斜边上的中线得到，得到三点共圆，根据线段交线段于点F，得到点的运动路程为线段交线段与点开始，一直到线段交线段与点结束的一段圆弧，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 由旋转得，，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： ① 略 ② 取的中点，连接，， ∵， ∴， ∴，， ∵旋转， ∴， 由① 可知：点是中点， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，的长为半径的圆上运动，且三点共圆， ∵线段交线段于点F， ∴当线段交线段与点开始出现点，当线段交线段与点时，点开始消失， ∴点的运动路程为线段交线段与点开始，一直到线段交线段与点结束的一段圆弧，如图： 由图可知，当交于点时， ∵旋转， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点的运动路径为，对应的圆心角的度数为， ∴点的移动路程为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，求弧长等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，确定点的轨迹，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆 6大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（     ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 【答案】A 【分析】 本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键．将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】 解：∵的半径为，，且， ∴点在外， 故选：A． 2．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）的半径为，点A在外，则的长可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查点与圆心之间的距离关系，熟练掌握点与圆心之间的距离关系是解题的关键．设点与圆心的距离为，已知点在圆外，则，即可判断． 【详解】 解:当点A在外时，； A、B、C选项均不符合； 故选：D． 3．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为　　　　　　　　． 【答案】点P在外 【详解】 解：已知的半径，点到圆心的距离， 可得， 因此点与的位置关系是点在圆外． 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·福建福州·期中）用反证法证明“若则”是真命题时，第一步应先假设　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．直接利用反证法的步骤，即可得出答案． 【详解】 解：用反证法证明“若则”是真命题时， 第一步应先假设：． 故答案为：． 2．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了由弧确定所在圆的圆心，勾股定理． 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，进而根据勾股定理作答即可． 【详解】 解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：     则圆心是， 则圆的半径为. 故答案为：． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）如图，是的弦，于点若，，则的半径是（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【分析】 本题主要考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理可得的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，连接， 是的弦，于点C， ， ， ， 的半径是5， 故选：B． 2．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，的半径是3，点O到的距离是2，弦的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂径定理是解此题的关键．连接半径，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而求出的长． 【详解】 解：连接，过O点作于C，如图， 于C， ， 在中，，， ， ． 故选：B． 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（       ） A. 12寸 B. 15寸 C. 14寸 D. 13寸 【答案】D 【分析】 连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂径定理得到寸，再利用勾股定理得到，然后解方程求出．本题考查了垂径定理的应用：把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 【详解】 连接， 设的半径为寸，则寸，寸， 寸， 在中，， 解得， 故选：D． 4．（25-26学年九上·山西大同·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，根据垂径定理可得，进而即可求解． 【详解】 解：根据题意得： ， ， ，， ， 在中， ， 故选：B. 5．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）的半径为5，是圆外一点，，，则弦的长为（       ） A. 4 B. 6 C.  D. 8 【答案】D 【分析】 本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦是解此题的关键．过作于，连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可． 【详解】 解：过作于，连接，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，过， ， 即， 故选：D． 6．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，C、D是以为直径的上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，则最大值是（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 2.5 【答案】D 【分析】 本题主要考查垂径定理，添加辅助线，构造中位线，是解题的关键. 延长交于点，连接，根据垂径定理得，结合，可得，进而即可得到答案. 【详解】 延长交于点，连接， ∵， ∴. ∵点是弦的中点， ∴， ∴， ∴当为的直径时，的值最大，此时的值取最大值，最大值为. 故选D． 7．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． （1）求该圆的半径． （2）若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 【答案】（1）该圆的半径为米     （2）1米      【分析】 此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过作于点，交于点，根据垂径定理有米，设圆的半径为米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图所示， 过作于点，交于点，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； (2) 小问详解： 如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面下盛水桶的最大深度为（米）． 8．（25-26学年九上·福建福州·期中）（多选）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD. 【答案】过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴BE-DE=AE-CE. 即AC=BD. 【分析】 过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD． 【详解】 略 【点睛】 本题考查垂径定理的实际应用． 9．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：① 当和位于圆心同侧时和② 当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】 解：分类讨论：① 当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．       ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ② 当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．     ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）如图，，是⊙上的两点，是的中点．求证：． 【答案】证明：连接OC． ∵ 是的中点， ∴ ， ∴ ∠AOC=∠BOC， ∵ OA=OB，OC=OC， ∴ △AOC ≌ △BOC（SAS）， ∴ ∠A=∠B． 【分析】 连接OC，由是的中点，得到，则∠AOC=∠BOC，然后证明△AOC ≌ △BOC即可得到∠A=∠B． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，同圆中等弧所对的圆心角相等，解题的关键在于能够熟练掌握同圆中，等弧所对的圆心角相等． 2．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，是的直径，，，则的大小为　　　　　　． 【答案】L度 【分析】 根据同弧（或等弧）所对的圆心角相等，得。即可求出的度数． 【详解】 解：在中， ∵，， ∴； ∴． 故答案为： 【点睛】 本题考查圆心角的计算，属于基础题，理解同弧（或等弧）所对的圆心角相等是解题的关键． 3．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，弧AC=弧CB，D，E分别是半径OA，OB的中点，求证：CD=CE 【答案】证明：连接OC． ∵， ∴∠AOC=∠BOC， ∵OA=OB，D、E分别是半径OA和OB的中点， ∴OD=OE， ∵OC=OC（公共边）， ∴△COD≌△COE， ∴CD=CE． 【分析】 连接OC，构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD=CE． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质，通过弧相等证明圆心角相等是解题关键． 考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，三点在上，且，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，点、、在上，，连接、．则大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆心角度数是圆周角度数的2倍即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， 故选：C． 3．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，在中，弦，连接交半径于点．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查圆周角，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再由，得到，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选A． 4．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，，，都是上的点，点在上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，理解相关知识是解答关键．在优弧上取一点D，连接，利用同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半求出的度数，再利用圆内接四边形内对角互补来求解． 【详解】 解：在优弧上取一点D，连接， 则． ∵点四点共圆， ， ． 故选：B． 6．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，是的直径，C，D是上位于异侧的两点．若C是的中点，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，然后根据圆周角定理可进行求解． 【详解】 解：连接，如图所示： ∵是的直径，点C是的中点， ∴， ∴； 故选C． 7．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，是的直径，若，则的度数等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】 解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 8．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）如图，已知． （1）尺规作图：求作，使经过A，B，C三点； （2）仅用没有刻度的直尺在上找一点D，使，要求：保留作图或画图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 如图，点D即为所求． 【分析】 本题考查作图-复杂作图、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可． （2）连接并延长，交于点D，结合圆周角定理可知，则点D即为所求． (1) 小问详解： 解：分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． (2) 小问详解： 解：连接并延长，交于点D，连接，则点D即为所求． 根据作图可知为的直径， ． 9．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）如图，四边形内接于，延长，相交于点D，E是上一点，交于点F，且， （1）若，，求的度数； （2）求证； （3）若，，求的周长． 【答案】（1）；     （2） 证明：， 由（1）知，， 即      （3）      【分析】 本题主要考查了圆周角定理,勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得，即可得解； （2）倒角可证，再证，即可得证； （3）过点A作，垂足为H，易证，则，再建立勾股方程求出即可得解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点A作，垂足为 ， ， 四边形内接于， , , 同理， ， 解得 的周长 ， 的周长为 10．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）如图，是的外接圆，是延长线上一点．若______，______，则______． （1）给出下列表述：①是的直径；②是的切线；③．请从中选择适当表述，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明写出一种情况即可； （2）在（1）的条件下，若，的半径为4，则劣弧的长为______． 【答案】（1）① ② ，③ ；② ③ ，① ；① ③ ，②     （2）      【分析】 （1）选择若① ② ，则③ ，连接，如图所示，根据圆周角定理、切线的性质、同角的余角相等证明即可； （2）在（1）的条件下，求出，根据弧长公式代值计算，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：若① ② ，则③ ， 证明：连接，如图所示： 是的直径， ，即， 是的切线， ，即， ， ， ， ； 若② ③ ，则① ， 如上图所示， 是的切线， ， ， ， 又 ， ， 是的直径； 若① ③ ，则② ， 如上图所示， ，即， ， ， 又 是的切线， 故答案为：① ② ，③ ；② ③ ，① ；① ③ ，② ． (2) 小问详解： 解：由（1）中，若① ② ，则③ ． 如图所示： ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 的长为：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是切线的性质、圆周角定理、同角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余、弧长的计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 11．（25-26学年九上·山西大同·期中）在利用量角器进行角度测量时，刘新同学放错了位置，将角的顶点放到了量角器的弧线上（如图），爱动脑筋的李涛同学忽然发现，这样也能测量得到的度数．通过仔细观察，李涛同学发现射线与量角器的交点和对应的刻度分别是和，则的度数为　　　　　　． 【答案】�度 【分析】 本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，应用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可解答. 【详解】 解：构造如图，在下半圆上取点，连接, 设的直径为, 如图： 由题意可知，， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，中，于点，点为上一点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴， ． 又∵和都对着， ．     （2）      【分析】 此题考查了垂径定理、 圆周角定理、勾股定理等知识． （1）连接．根据垂径定理得到，则，由圆周角定理得到，即可证明结论成立； （2）设，则，由垂径定理得到．在中，由，列方程并解方程即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，则， ∵， ． 在中，由， 得， 解得， ． 13．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求的直径； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的直径为；     （2）．      【分析】 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果 (1) 小问详解： 解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是20； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ， ． 14．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，的直径的长为10，，的平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求弦的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先根据是的直径得出，再由得出的度数，再由圆周角定理即可得出结论； （2）由（1）知，，根据是的平分线可得出，故可得出的度数，由得出的度数，根据是的直径得出，故是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长即可． (1) 小问详解： 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵\overset{\overparen }{AC}=\overset{\overparen }{AC}， ∴； (2) 小问详解： 由（1）知，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 解得． 【点睛】 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 15．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，已知为直径的半圆上有点，连结，，为中点，连结，，分别交于点，． （1）求与的数量关系，并说明理由； （2）若，且，求的长． 【答案】（1） ，理由如下： 为中点， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是综合运用以上知识求解． （1）由垂径定理可得，由三角形中位线定理即可求解； （2）证明，可得，设，则，再根据勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： 是直径， ， ，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 16．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，连接，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）（多选）如图，为直径，以为腰作等腰，底边交于点D，连结． （1）如图1，若，求证：是的切线． （2）如图2，的延长线交于点E，，求的面积． 【答案】（1） 证明：以AB为腰作等腰，底边BC交于点D， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线；     （2）      【分析】 （1）因为以AB为腰作等腰，底边为BC，所以，由AB为的直径，得，而，由，求得，即可证明AC是的切线； （2），得，由，推导出，则，所以，由，得，由，得，则，求得 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为 【点睛】 此题考查等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，切线的判定，勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． 18．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）如图，的直径，点P在上，点P与直径构成． （1）如图1，当点P与A重合时，求． （2）如图2，． ①当时，分别求的长． ②在点M，N的运动过程中，是否定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． ③当的周长为时，求 【答案】（1）     （2）①，；②在点M，N的运动过程中，是定值，该定值为；③      【分析】 （1）根据圆周角定理可知，利用勾股定理解答即可； （2）①过点N作于点Q，利用勾股定理即可求得，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求得； ②过点P作于点H，设，则，再利用勾股定理和完全平方公式解答即可； ③利用三角形的周长的意义求得，利用完全平方公式求得，再利用完全平方公式解答即可得出结论． (1) 小问详解： 解：的直径，为的直径， ， 当点P与A重合时， ， ； (2) 小问详解： 解：当时，过点N作于点Q，如图， ∴， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， ， ； ②在点M，N的运动过程中，是定值，该定值为理由： 过点P作于点H，如图， 由题意得：， 设，则， 在点M，N的运动过程中，是定值，该定值为； ③当的周长为时， ， ， ， ， 由②知：是定值，该定值为， ， ， 【点睛】 本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，完全平方公式，全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 19．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，是的外接圆，，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 解：∵同弧所对的圆心角是圆周角的倍， ∴，， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 （1）利用圆周角定理，将、分别与、关联，结合的关系证明． （2）作的角平分线交于，连接，先证垂直平分，再证，最后利用勾股定理列方程求解半径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作平分交于，交于M，连接， ∵，平分， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∴， 在中，， 设的半径为，则， 在中，， 即， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理和利用全等三角形及勾股定理构造方程求解是解题的关键． 20．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，已知为的直径，是的弦，且于点，连接、、． （1）求证：； （2）若的半径为，，求弦的长． 【答案】（1） 证明：， \therefore \overset{\overparen }{BC}=\overset{\overparen }{BD}， ， ， ， ；     （2）.      【分析】 本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理．解决本题的关键是根据垂径定理和圆周角定理找角之间的关系． 根据垂径定理可知\overset{\overparen }{BC}=\overset{\overparen }{BD}，根据圆周角定理可知，根据等边对等角可得，利用等量代换可证结论成立； 利用勾股定理求出，再根据垂径定理求出的长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的半径为， ， ， ， 于点， ，， 在中，， ， 弦的长是. 21．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）如图1，四边形是的内接四边形，是的直径，对角线平分，过点P作，交的延长线于点A． （1）若，求的度数； （2）求证：与相切； （3）如图2，D是的中点，过D作交于C，与的交点为F．若，，求的半径． 【答案】（1）     （2） 证明：连接， ， ， 平分， ， 故， ， ， ， 是的半径，且， 与相切．     （3）      【分析】 （1）结合角平分线与圆内接四边形的性质，转化角度关系进行计算． （2）连接，通过“角平分线+等腰三角形”证，结合得，从而证明切线． （3）设，，可得，结合是中点、，通过证明，得到，再根据勾股定理列方程即可求出圆的半径． (1) 小问详解： 解：，平分， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 答：的度数为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接， ， ， ， 设，，则， D是的中点， ， ，， ， ， ， ， 在中，有， 在中，有， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 半径． 答：的半径为． 【点睛】 本题考查圆的基本性质、角平分线的性质、切线的判定定理、直角三角形的性质以及勾股定理，利用圆的性质与几何变换，关联线段与角度是解题关键． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）数学活动课上，王芳用一张半径为，圆心角是的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子（纸片无损耗），则这个圆锥形帽子的底面圆的周长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了扇形弧长的相关计算，理解题意是解决本题的关键． 圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求解即可． 【详解】 解：由题意得，这个圆锥形帽子的底面圆的周长为： ． 故选C． 2．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，圆锥底面圆的直径为，高为，则它的全面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了圆锥的全面积，勾股定理，熟练地应用圆锥侧面积和底面积公式是解决问题的关键． 先根据勾股定理求出母线长，再求出圆锥侧面积和底面积，然后求出全面积即可． 【详解】 解：∵圆锥底面圆的直径为， ∴圆锥底面半径为，高， ∴母线长， ∴圆锥的侧面积为，底面积为 ∴圆锥的全面积为． 故选：B． 3．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了弧长和圆锥侧面展开图的认识，根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，可求得结果，解题的关键是计算出侧面展开图的圆心角． 【详解】 解：设大圆的半径为，则小圆半径为， ∴圆锥的底面圆周长为， 圆锥侧面展开图扇形的弧长为， ∴， ∴扇形圆心角等于， 只有选项D符合题意， 故选：D． 4．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点和点均在轴上，纵坐标分别为和，点的坐标为，点的坐标为，与交于点，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，圆周角定理，弧长等，由题意可知所在圆的圆心一定在直线上，设圆心的坐标为，如图，连接，由可得，即得，进而可得所在圆的半径为，再根据勾股定理及其逆定理可得是等腰直角三角形，即得，即得到，再根据弧长公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：∵点和点均在轴上，纵坐标分别为和， ∴所在圆的圆心一定在直线上， 设圆心的坐标为，如图，连接， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，即所在圆的半径为， 由网格得，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：． 5．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，一个半径为1的圆从位置A开始，在与它半径相同的其它3个圆上紧贴着滚动，到达B位置(这3个圆的圆心与A，B在同一直线上)时停止，该圆的圆心移动的路程为（　　） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了弧长的计算． 它从A位置开始，滚过与它相同的其他三个圆的上部，到达B位置．则该圆共滚过了3段弧长，其中有2段是半径为，圆心角为120度，1段是半径为，圆心角为60度的弧长，所以可求得． 【详解】 解：如图， 路程， 故选：C． 6．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，这个滑轮的半径是，当它的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为时，重物上升　　　　　　（结果保留）． 【答案】 【分析】 本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 求得半径为、圆心角为的弧长，即可得出答案． 【详解】 解：观察图象可知，重物上升的高度就是滑轮旋转角度为时所对应的弧长， ， 当滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为时，重物上升， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 （1）画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． （2）在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 【答案】（1） 如图，即为所求,．      （2）      【分析】 本题考查旋转变换，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． 根据旋转的性质作图即可； 利用弧长公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ∴点B的运动路径长为 8．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）将长为的线段绕端点A旋转，则线段扫过的面积为　　　　　　（结果保留） 【答案】 【分析】 本题考查扇形面积公式，先根据题意得到线段扫过的图形为圆心角为、半径为的扇形，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】 解：由题意，线段扫过的面积为． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，正五边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形周长的计算方法是正确解答的关键．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】 解：∵正五边形的边长为4， ∴，， ∴的长为， 阴影部分的周长为， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，过这三个点作一条圆弧． （1）用无刻度直尺画出该圆弧的圆心M（保留作图痕迹）． （2）的半径长为___________． （3）点在___________（填“内”“外”“上”）． （4）若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是___________． 【答案】（1） 如图，点即为所求，      （2）     （3）内     （4）      【分析】 本题考查了垂径定理、勾股定理、弧长公式、点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂径定理，圆心是线段和垂直平分线的交点，作图即可； （2）由图可得，再结合勾股定理计算即可得解； （3）先求出，计算得出，再结合点与圆的位置关系即可得解； （4）先判断出为直角三角形，即，再利用弧长公式得出弧的长为，由此即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得，， 故由勾股定理可得：， 故的半径长为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴点在内， 故答案为：内； (4) 小问详解： 解：∵的半径长为， ∴， ∵, ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴弧的长为， ∴该圆锥的底面圆半径为， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了扇形的面积计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点D作于点E，证明是等边三角形，可得，，从而得到，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，过点D作于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，网格中的小正方形的边长均为1，点，，都在小正方形的顶点上，点为弧的中点，连接，则图中阴影部分面积为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了扇形面积的求解，勾股定理解三角形，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理，以及垂直平分线的性质，解决本题的关键是找到圆心 连接与，作与的垂直平分线相交于点O，点O即为圆的圆心，再根据扇形面积公式先求解扇形的面积，根据边长判定的形状，即可求解的面积，再根据半径可求解的长度，由此可求解的面积，即可求解阴影面积． 【详解】 解：连接与，作与的垂直平分线相交于点O， 连接，记与的交点为点Q，如图， ∵点O为圆的圆心，记圆的半径为r， ∴， 根据勾股定理可得，， 即， ∵， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 由垂径定理可知，点Q为中点，且， ∴， ∴， ， ∴ 故答案为： ． 13．（25-26学年九上·福建福州·期中）在中，，将绕点逆时针旋转得． （1）如图1，将绕点A逆时针旋转得，求的大小； （2）如图2，线段交线段于点F，在绕点A旋转一周的过程中： ①求证：点F是的中点； ②点F移动的路程为___________． 【答案】（1）     （2） ① 证明：过点作交的延长线于点， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是中点； ②      【分析】 （）由旋转的性质可得，，，，进而根据等边对等角即可求解； （）① 过点作交的延长线于点，证明得到即可求证； ② 取的中点，连接，，三角形的中位线定理得到，故点在以为圆心，的长为半径的圆上，斜边上的中线得到，得到三点共圆，根据线段交线段于点F，得到点的运动路程为线段交线段与点开始，一直到线段交线段与点结束的一段圆弧，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 由旋转得，，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： ① 略 ② 取的中点，连接，， ∵， ∴， ∴，， ∵旋转， ∴， 由① 可知：点是中点， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，的长为半径的圆上运动，且三点共圆， ∵线段交线段于点F， ∴当线段交线段与点开始出现点，当线段交线段与点时，点开始消失， ∴点的运动路程为线段交线段与点开始，一直到线段交线段与点结束的一段圆弧，如图： 由图可知，当交于点时， ∵旋转， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点的运动路径为，对应的圆心角的度数为， ∴点的移动路程为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，求弧长等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，确定点的轨迹，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆 6大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（     ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 2．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）的半径为，点A在外，则的长可以是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为　　　　　　　　． 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·福建福州·期中）用反证法证明“若则”是真命题时，第一步应先假设　　　　　　． 2．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为　　　　　　　　　　． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）如图，是的弦，于点若，，则的半径是（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 2．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，的半径是3，点O到的距离是2，弦的长是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（       ） A. 12寸 B. 15寸 C. 14寸 D. 13寸 4．（25-26学年九上·山西大同·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）的半径为5，是圆外一点，，，则弦的长为（       ） A. 4 B. 6 C.  D. 8 6．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，C、D是以为直径的上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，则最大值是（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 2.5 7．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． （1）求该圆的半径． （2）若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 8．（25-26学年九上·福建福州·期中）（多选）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD. 9．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是　　　　　　． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）如图，，是⊙上的两点，是的中点．求证：． 2．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，是的直径，，，则的大小为　　　　　　． 3．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，弧AC=弧CB，D，E分别是半径OA，OB的中点，求证：CD=CE 考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，三点在上，且，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，点、、在上，，连接、．则大小为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，在中，弦，连接交半径于点．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，，，都是上的点，点在上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，是的直径，C，D是上位于异侧的两点．若C是的中点，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，是的直径，若，则的度数等于（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）如图，已知． （1）尺规作图：求作，使经过A，B，C三点； （2）仅用没有刻度的直尺在上找一点D，使，要求：保留作图或画图痕迹，不写作法） 9．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）如图，四边形内接于，延长，相交于点D，E是上一点，交于点F，且， （1）若，，求的度数； （2）求证； （3）若，，求的周长． 10．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）如图，是的外接圆，是延长线上一点．若______，______，则______． （1）给出下列表述：①是的直径；②是的切线；③．请从中选择适当表述，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明写出一种情况即可； （2）在（1）的条件下，若，的半径为4，则劣弧的长为______． 11．（25-26学年九上·山西大同·期中）在利用量角器进行角度测量时，刘新同学放错了位置，将角的顶点放到了量角器的弧线上（如图），爱动脑筋的李涛同学忽然发现，这样也能测量得到的度数．通过仔细观察，李涛同学发现射线与量角器的交点和对应的刻度分别是和，则的度数为　　　　　　． 12．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，中，于点，点为上一点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 13．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求的直径； （2）若，求的度数． 14．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，的直径的长为10，，的平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求弦的长． 15．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）如图，已知为直径的半圆上有点，连结，，为中点，连结，，分别交于点，． （1）求与的数量关系，并说明理由； （2）若，且，求的长． 16．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为　　　　　　． 17．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）（多选）如图，为直径，以为腰作等腰，底边交于点D，连结． （1）如图1，若，求证：是的切线． （2）如图2，的延长线交于点E，，求的面积． 18．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）如图，的直径，点P在上，点P与直径构成． （1）如图1，当点P与A重合时，求． （2）如图2，． ①当时，分别求的长． ②在点M，N的运动过程中，是否定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． ③当的周长为时，求 19．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，是的外接圆，，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 20．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，已知为的直径，是的弦，且于点，连接、、． （1）求证：； （2）若的半径为，，求弦的长． 21．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）如图1，四边形是的内接四边形，是的直径，对角线平分，过点P作，交的延长线于点A． （1）若，求的度数； （2）求证：与相切； （3）如图2，D是的中点，过D作交于C，与的交点为F．若，，求的半径． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）数学活动课上，王芳用一张半径为，圆心角是的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子（纸片无损耗），则这个圆锥形帽子的底面圆的周长是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，圆锥底面圆的直径为，高为，则它的全面积为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江苏南通启东·期中）如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点和点均在轴上，纵坐标分别为和，点的坐标为，点的坐标为，与交于点，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，一个半径为1的圆从位置A开始，在与它半径相同的其它3个圆上紧贴着滚动，到达B位置(这3个圆的圆心与A，B在同一直线上)时停止，该圆的圆心移动的路程为（　　） A.  B. 2 C.  D.  6．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，这个滑轮的半径是，当它的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为时，重物上升　　　　　　（结果保留）． 7．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 （1）画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． （2）在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 8．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）将长为的线段绕端点A旋转，则线段扫过的面积为　　　　　　（结果保留） 9．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，正五边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为　　　　　　． 10．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，过这三个点作一条圆弧． （1）用无刻度直尺画出该圆弧的圆心M（保留作图痕迹）． （2）的半径长为___________． （3）点在___________（填“内”“外”“上”）． （4）若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是___________． 11．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，网格中的小正方形的边长均为1，点，，都在小正方形的顶点上，点为弧的中点，连接，则图中阴影部分面积为　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·福建福州·期中）在中，，将绕点逆时针旋转得． （1）如图1，将绕点A逆时针旋转得，求的大小； （2）如图2，线段交线段于点F，在绕点A旋转一周的过程中： ①求证：点F是的中点； ②点F移动的路程为___________． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $