专题01 一元二次方程（期中真题汇编）九年级数学上学期新教材人教版

**基本信息** 整合全国多地区九年级期中真题，聚焦一元二次方程6大高频考点，通过基础概念辨析、解法应用及实际问题（如机器人比赛、《九章算术》古题）实现能力梯度考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择题|约40题|概念、解法判别式|结合地域期中真题，基础辨析为主| |填空题|约15题|根与系数关系、方程构造|融入科技情境（算力之城）| |解答题|约30题|实际应用（增长率、面积）、综合证明|设置项目学习（配方法与雅美数）、古算题改编|

专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）已知方程的一个根为，则c的值为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）若是关于x的一元二次方程的解，则a的值为（     ） A. 2 B.  C. 0 D. 1 4．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）一元二次方程的常数项是（     ） A. 2 B.  C.  D. 1 5．（25-26学年九上·福建福州·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．（25-26学年九上·河南许昌·期中）下列是一元二次方程的是（） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 8．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）将方程化成一元二次方程一般式，正确的是（） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为（       ） A. 4 B. 2 C.  D.  10．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）若是一元二次方程，则的值为（     ） A. 2 B. 1 C.  D. 1或 11．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）写出一个关于且二次项系数为2的一元二次方程　　　　　　． 14．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·山西大同·期中）若方程的一个根为，则　　　　　． 16．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）若是关于的一元二次方程，则的值为　　　　　． 17．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于　　　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）将方程配方，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为　　　　　　． 4．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）解下列方程： （1） （2） 5．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． （1）[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是               ． （2）若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为               ； （3）[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值． （4）[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 2．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）一元二次方程的根的情况为（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 3．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 4．（25-26学年九上·天津河西·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 4 6．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 7．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A.  B. 且 C.  D.  8．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  9．（25-26学年九上·河南许昌·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  10．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）解方程： （1） （2） 11．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 12．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）已知一元二次方程有实数根，请写出一个符合要求的正整数的值：　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·福建福州·期中）解方程： 16．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程，且，求证：当时，此方程总有两个不相等的实数根． 17．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围　　　　　　． 18．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）在欧几里得的《原本》中，记载了形如的一元二次方程的图解法．如图，以和b为直角边作，以点B为圆心，的长为半径作弧，与斜边所在的直线交于点D，．已知该方程的正根等于线段的长，而它的负根的绝对值也等于图中某条线段的长，则该线段是　　　　　　． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为(       ) A. 8 B. 11 C. 8或10 D. 8或11 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（   ） A.  B. 或 C. 或 D.  3．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）解一元二次方程：． 4．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）解方程 （1）； （2）； （3）． 5．（25-26学年九上·天津河西·期中）请你利用“配方”和“因式分解”两种方法求解方程． （1）配方法： （2）因式分解法： 6．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是　　　　　　． 7．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）（1）解方程：         ． （2）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：       第一步，       第二步，       第三步，       第四步，             第五步．             第六步 ①任务一：以上运算步骤中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______； ②任务二：请写出正确的解答过程． 8．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）按规定方法解方程： （1）；（公式法） （2）； （因式分解法） 9．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 10．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）解下列方程： （1）； （2）． 11．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）解方程： （1）． （2）． 12．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）解方程：； 13．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）解方程：． 14．（25-26学年九上·福建福州·期中）一元二次方程的根为　　　　　　． 15．（25-26学年九上·山西大同·期中）解方程： （1）； （2）． 16．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）解方程 （1） （2） 17．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）已知一元二次方程． （1）求这个方程的根的判别式； （2）若方程有一个根为，求的值，并求出另一个根． 18．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）解方程 （1）； （2）． 19．（25-26学年九上·河南许昌·期中）解方程． （1） （2） 20．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个实数根； （2）若为正整数，且该方程的根都是正整数，求的值． 21．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）解方程： （1）； （2）． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）如果，是一元二次方程的解，则的值为（） A. 2 B.  C. 1 D.  2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）设方程的两个根为，那么的值等于（       ） A.  B.  C. 4 D. 6 3．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）若一元二次方程的两根之和为，则a的值为（     ） A.  B. 1 C.  D.  4．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）设，是一元二次方程的两个根，则的值是　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 7．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 8．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知一元二次方程的一个根为，则另一个根　　　　　　． 9．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知一元二次方程的两个根分别是，，则　　　　　． 10．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理． 解决问题 （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式； （3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 11．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若两根，满足，求k的值． 12．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知关于x的方程：． （1）求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设，是方程的两个根，且，求m的值． 13．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知关于的方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围； （2）当方程的两个根满足时，求的值． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）某地政府通过下调药品价格来解决老百姓看病贵、看病难的问题，某种药品经过连续两次调价，由每盒元下调至元，求平均每次下调的百分率．设平均每次下调百分率为x，根据题意列方程得（    ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山西大同·期中）转型迈出新步伐，三晋风采谋新篇．近年来，古城大同积极发展算力之城，从地下乌金迈向云端智算．截至2024年底，全市累计报送服务器68万台，预计2026年底达到82.7万台，设2024年到2026年报送服务器的平均增长率为，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）天天奶茶店销售一种奶茶，若每瓶盈利4元，每天可售出160瓶，经市场调查发现，若每瓶涨价1元，每天销售量就减少10瓶，现商店想每天盈利840元，且要让顾客得到实惠，设每瓶应涨价x元，那么可列出的方程应为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了“户高广”的问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”意思是：若长方形门的高比宽多尺寸（尺寸），门的对角线长丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？设门的高为尺，则可以列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组个机器人．若每组共需进行15场比赛，则可列方程为（） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）某商品原价元，连续两次降价的百分率为后售价为元，下列所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）由于国家出台对房屋的限购令，我市某地的房屋价格原价为8400元/米，通过连续两次降价后，售价变为6000元/米，下列方程中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销量，该商场准备降价销售.经市场调查发现，每件恤每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件T恤降价元，则可列方程是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，草坪的面积为，若设道路的宽为，根据题意所列方程为（    ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·福建福州·期中）某种商品原来每件售价为144元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为100元设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·天津河西·期中）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·山西大同·期中）为传递正能量，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是90条，则九年级的班级数为（     ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 17．（25-26学年九上·河南许昌·期中）近年来，某山区践行“绿水青山就是金山银山”理念，大力发展经济林种植．月份新种植经济林果树棵，随着种植技术推广和政策激励，种植量稳步上升，月份种植经济林果树达到棵，若每月经济林果树的种植增长率为，则可列方程为（） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）如图，要在一块长为30米，宽为24米的长方形绿地上修建“两纵两横”四条宽度相等的小路，若剩余绿地面积为520平方米，求小路宽度． 小明的解法是设小路宽度为x米，列出两个方程： ①，得到； ②，得到． （1）请分别判断小明所列的两个方程是否正确？ （2）请推测小路的宽度（要求写出推理过程） 19．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）某体育用品商店销售某款足球，若将销售价格定为x元/个，则销售利润为元/个，年销售量为个． （1）当时，该商店销售该款足球的年利润为多少元？ （2）为获得与（1）一样的年利润，能否将销售单价定为另外一个数量？若能，请求出该数量；若不能，请说明理由． 20．（25-26学年九上·天津河西·期中）一个矩形的面积为，且长比宽多，则这个矩形的周长为　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·天津河西·期中）优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： （1）填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； （2）由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 22．（25-26学年九上·山西大同·期中）为落实劳动教育要求，某中学组织学生用总长为10米的篱笆，在校园直角围墙一角围建矩形种植实践区，最终建成的实践区面积达16平方米，则该矩形的较短边长为　　　　　米． 23．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，求剪去小正方形的边长． 24．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）如图，在矩形中，．点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间（），那么当t为何值时，的面积等于？ 25．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有　　　　　　　　人． 26．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）某公司一月份的生产成本为万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元，设平均每个月的下降率为，则可列方程为　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车业进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，八月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础下，九月、十月的全天包车数持续走高，十月份的全天包车数达到64次．若从八月份到十月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率． 28．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，若要建一个矩形鸡场，鸡场的一面靠墙，墙长18米，有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长36米，且围成的鸡场面积为180平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 29．（25-26学年九上·山西大同·期中）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”，图中是为纪念抗日战争胜利80周年所画的《水上游击队》．该手卷长，宽，引首和拖尾完全相同，其宽度都为，若画心的面积为，“隔水”部分宽度相等，均为，求“隔水”的宽度． 30．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， （1）设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） （2）若的面积为，求的运动时间； （3）的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 31．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本) （1）若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为        件． （2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗?若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 32．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）为丰富学生校园生活，学校计划组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式，计划安排45场比赛，共有多少支球队参加比赛? 33．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，则参赛队伍有 　　　　　　 支． 34．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）根据以下素材，探索并完成任务． 素材1 泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，5月份制作泥塑500件，同年7月份制作泥塑720件． 素材2 泥塑的制作成本为20元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为450件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少15件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到9240元，而且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价应定为多少元？ 35．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 36．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）“开心”农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长30米），另三边用木栏围成，木栏总长度为50米． （1）如果养鸡场总面积是200平方米，那么平行于墙的边有多长？ （2）养鸡场的面积能达到312.5平方米吗？如果能请求出此时的垂直于墙的边长？如果不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）已知方程的一个根为，则c的值为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答． 【详解】 解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， 故选：C. 2．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】 解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：． 3．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）若是关于x的一元二次方程的解，则a的值为（     ） A. 2 B.  C. 0 D. 1 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，列出关于a的方程，通过解方程可以求得a的值． 【详解】 解：是关于x的一元二次方程的解， ， 解得：． 故选：A． 4．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）一元二次方程的常数项是（     ） A. 2 B.  C.  D. 1 【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的一般式．按照定义即可找到常数项． 【详解】 解：已知一元二次方程，则其常数项为． 故选：C． 5．（25-26学年九上·福建福州·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查了由一元二次方程的解求解未知数，解决本题的关键是直接利用根代入方程求解． 根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程即可求出参数值． 【详解】 解：∵ 是方程 的根， ∴ 将代入方程得：， 即， ∴， 解得． 故选：A． 6．（25-26学年九上·河南许昌·期中）下列是一元二次方程的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】 ∵选项A：中含有分式，不是整式方程，∴不是一元二次方程． ∵选项B：中只含一个未知数，且最高次数为2，是整式方程，∴是一元二次方程． ∵选项C：简化方程，得，即，最高次数为1，∴不是一元二次方程． ∵选项D：中含有两个未知数和，∴不是一元二次方程． 故选：B． 7．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 本题考查了方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根．把代入，转化为m的方程求解即可． 【详解】 解：把代入， 得， 解得， 故选：A． 8．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）将方程化成一元二次方程一般式，正确的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程一般式；将方程化为一般式的形式，需将所有项移到等号左边． 【详解】 解：∵原方程为， ∴移项得， 故选：B． 9．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为（       ） A. 4 B. 2 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，将代入方程求出m值即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程的一个根为2， ∴， 解得． 故选：B． 10．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）若是一元二次方程，则的值为（     ） A. 2 B. 1 C.  D. 1或 【答案】B 【分析】 本题考查根据一元二次方程的定义求参数，根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】 解：∵是一元二次方程， ∴， ∴； 故选：B． 11．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】 解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 12．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式的化简求值，熟练掌握方程根的定义并对代数式进行合理变形是解题的关键． 利用一元二次方程的根的定义，得出的值，再对所求分式进行化简，通过变形求出分母的值，进而得出分式的值． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴，即， ∴，则， ∴ ， ∴． 故选：． 13．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）写出一个关于且二次项系数为2的一元二次方程　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，根据二次项系数为2的条件，构造一个简单的一元二次方程即可． 【详解】 解：满足条件的一元二次方程为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的解和代数式求值，解决此题的关键是要熟练掌握整体代入求值．把代入原方程，再整体代入即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·山西大同·期中）若方程的一个根为，则　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程解的定义，得到，再整体代入代数式求值， 【详解】 解：∵方程的一个根为， ∴， 则， 故答案为：1 16．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）若是关于的一元二次方程，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，解答的关键是熟知一元二次方程的定义：方程中未知数x的最高次数为2，且二次项系数不能为零．据此求解即可． 【详解】 解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，解得或， ∵二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 17．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于　　　　　　． 【答案】 【分析】 把代入方程，得到，解答即可，熟练掌握根的定义是解题的关键． 【详解】 把代入方程， ∴， 解得， 故答案为：． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）将方程配方，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，先移项变形为，再将两边同时加9，即可把左边配成完全平方式，进而得到答案，熟练掌握配方法的解法步骤是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，即， 故选A． 3．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】 解：由题意得 ， 即． ∴． 故答案为：10． 4．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键； （1）利用直接开平方法解答，即可求解． （2）利用配方法解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ，． (2) 小问详解： 解： ， ， ， ，． 5．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． （1）[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是               ． （2）若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为               ； （3）[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值． （4）[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【答案】（1）8，10     （2）6     （3）     （4） 解：设，（a、b、c、d为整数）， ∴， ． 又∵a、b、c、d为整数， ∴，均为整数， ∴是“雅美数”．      【分析】 本题主要考查了配方法的应用、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键． （1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后比较，即可求得对应系数的值； （3）配方后根据非负数的性质可得x、y的值，再根据“雅美数”的定义列式计算即可； （4）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论即可． (1) 小问详解： 解：8是“雅美数”，理由：因为； 10是“雅美数”，理由：因为． 故答案为：8，10． (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：6． (3) 小问详解： 解：， 又∵，， ∴ ∴， ∴． (4) 小问详解： 略 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 【答案】B 【分析】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式公式，结合方程中系数的取值，分析判别式的符号，进而判断方程实数根的情况． 【详解】 ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 2．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）一元二次方程的根的情况为（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 先求出，再根据结果可得答案. 【详解】 解：一元二次方程中， ∴这个一元二次方程有两个相等的实数根. 故选：A. 3．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式；根据判别式不正即可求得m的范围，注意二次项系数不为零． 【详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且； 故选：B． 4．（25-26学年九上·天津河西·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】 解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 6．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】C 【分析】 根据一元二次方程有两个实数根可知判别式，解出a的范围，再综合一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】 关于x的一元二次方程有两个实数根 且， 且 故选：C． 【点睛】 本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围，注意“有两个实数根”包括“有两个相等的实数根”（即）的情况；另外还要注意当参数在二次项系数的位置上时，还要考虑二次项系数不为0． 7．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A.  B. 且 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据题意可得 再解不等式组，从而可得答案； 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：且 故选：B． 8．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  【答案】B 【分析】 本题考查方程有实数根的条件，熟练掌握以上知识是解题的关键． 需要讨论和的情况. 当时，方程为一元一次方程，有实数根；当 时，方程为一元二次方程，利用判别式求解． 【详解】 解：当时，方程化为， 解得，有实数根， ∴满足条件； 当时，方程为一元二次方程，有实数根需， ∴， ∴，即， 综上，的取值范围是， 故选：． 9．（25-26学年九上·河南许昌·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，判别式的意义；根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件：二次项系数不为零且判别式大于零，列不等式求解． 【详解】 ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 即 解得：且． 故选：C． 10．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1），；     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解得，； (2) 小问详解： ，， ∴ 解得，． 11．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）将方程变形为，再利用配方法解方程即可得； （2）先求出方程中的，再利用公式法解方程即可得． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 或， ． (2) 小问详解： 解：方程中的， 方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， 所以方程的解为， 即方程的解为． 12．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程根的情况，利用根的判别式求即可． 【详解】 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 13．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， 且△， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，方程有实数根”是解题的关键． 14．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）已知一元二次方程有实数根，请写出一个符合要求的正整数的值：　　　　　　　　　　． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】 本题考查根的判别式，根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，求出m的取值范围，从而写出一个符合条件的正整数m即可． 【详解】 解：∵一元二次方程 有实数根， ∴，解得 ． 故正整数可以是1、2、3或4． 故答案为：（答案不唯一）． 15．（25-26学年九上·福建福州·期中）解方程： 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解法，解决本题的关键是使用公式法求解． 根据一元二次方程的求根公式代入求解即可． 【详解】 解：方程中，， ∴， ∴方程的解为． 16．（25-26学年九上·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程，且，求证：当时，此方程总有两个不相等的实数根． 【答案】解：由题意得： ∵， ∴， ∴当时，此方程总有两个不相等的实数根． 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，熟练掌握相关公式是解题关键． 根据一元二次方程的根的判别式得出，然后对此进行化简，最后根据化简结果进一步求证即可． 【详解】 略 17．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查由一元二次方程、一元二次方程解的情况求参数，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 由一元二次方程定义得到，由一元二次方程有实数根得到，解不等式得到，从而确定答案． 【详解】 解：是一元二次方程， ，解得； 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， ，且， 故答案为：且． 18．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）在欧几里得的《原本》中，记载了形如的一元二次方程的图解法．如图，以和b为直角边作，以点B为圆心，的长为半径作弧，与斜边所在的直线交于点D，．已知该方程的正根等于线段的长，而它的负根的绝对值也等于图中某条线段的长，则该线段是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理和一元二次方程的应用是解题的关键． 解方程，得，则，，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】 解：， ， 解得：， 方程的正根等于线段的长， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由题意可知，， ， 该方程的负根的绝对值等于图中线段的长， 故答案为：． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为(       ) A. 8 B. 11 C. 8或10 D. 8或11 【答案】B 【分析】 本题考查因式分解法解一元二次方程，构成三角形的条件，利用因式分解法求出x的值后，再根据三角形三边间的关系取舍，从而依据三角形周长公式计算可得． 【详解】 解：∵， ∴， 则或， 解得或， 当时，2，2，4不能构成三角形，舍去； 当时，此三角形的周长为， 故选：B． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（   ） A.  B. 或 C. 或 D.  【答案】B 【分析】 此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解． 由，可利用因式分解法求得的值，然后分别从时，是等腰三角形；与时，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】 ， 解得：，， 当时，则三角形是等腰三角形，如图：，，是高， ，， ， 当时，如图，，，， ， 是直角三角形，， ． 故选：B． 3．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）解一元二次方程：． 【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键．利用因式分解法求解即可． 【详解】 解：， ， 则或， 解得 4．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）解方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）     （2），     （3），      【分析】 本题考查了一元二次方程的求解，正确地运用方法求解一元二次方程是解决本题的关键． （1）利用配方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可； （3）利用因式分解法解答即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， 即， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴， ， ∴或， 解得：，； (3) 小问详解： 解： ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 5．（25-26学年九上·天津河西·期中）请你利用“配方”和“因式分解”两种方法求解方程． （1）配方法： （2）因式分解法： 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握 “配方法”和“因式分解法”解一元二次方程的步骤． （1）先将常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方法求解； （2）等号左边直接十字相乘进行因式分解，化为两个一元一次方程求解即可． (1) 小问详解： 解： 或 ∴，； (2) 小问详解： 解： 或 ∴，． 6．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是　　　　　　． 【答案】1525425 【分析】 本题考查因式分解、新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． 将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可． 【详解】 解：多项式 可分解为 ， 其中 可进一步分解为 ， 因此 ， 当 ， 时， ， ， ， 因式码为 15、25、425，按从小到大的顺序排列为 15、25、425， 因此密码为1525425， 故答案为：1525425． 7．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）（1）解方程：         ． （2）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：       第一步，       第二步，       第三步，       第四步，             第五步．             第六步 ①任务一：以上运算步骤中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______； ②任务二：请写出正确的解答过程． 【答案】（1）；， ； (2) ① 四；去括号时符号错误； ② 去分母，得 整理，得 去括号，得 移项、合并同类项，得，      系数化为1，得 【分析】 本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次方程和解一元一次不等式的解法，能正确求解． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程即可；利用因式分解法解方程即可； （2）① 一元一次不等式的去分母步骤，其理论依据是不等式的基本性质，对每一步的运算进行规则校验，尤其是去括号的“符号法则”； ② 通过解一元一次不等式得到这个不等式组正确的解集 ． 【详解】 解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 整理得 或 解得，． （2）① 略 ② 略 8．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）按规定方法解方程： （1）；（公式法） （2）； （因式分解法） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据公式法求解方程即可； （2）利用因式分解法求解方程即可． (1) 小问详解： 解： ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解： ∴或 ∴． 9．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2），      【分析】 此题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法． （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 因式分解得， ∴，， 解得：，． 10．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ，     （2） ，      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键； （1）先移项，然后系数化为1，再利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 解： ， ， ， ∴或， ∴，． 11．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （2）先移项，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 12．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）解方程：； 【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】 解：， 分解因式，得， ∴或， 解得． 13．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 观察到，可移项因式分解解方程． 【详解】 ∵ ∴，即 ∴或 ∴，． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据题意选择适当的方法是解题的关键． 14．（25-26学年九上·福建福州·期中）一元二次方程的根为　　　　　　． 【答案】， 【分析】 先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：移项得， 提取公因式得， 即或， 解得，． 15．（25-26学年九上·山西大同·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法． （1）移项，利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解： 或 ，； (2) 小问详解： 解： 这里， ，． 16．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）解方程 （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）两边同时除以4，根据直接开平方法求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： 解得：，； (2) 小问详解： 解： 或 解得：， 17．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）已知一元二次方程． （1）求这个方程的根的判别式； （2）若方程有一个根为，求的值，并求出另一个根． 【答案】（1）     （2），方程另一个根为      【分析】 本题考查了根的判别式，方程的解，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将，，代入根的判别式化简即可． （2）把代入方程解得：，求得原方程为，求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得：，，， ∴， ∴这个方程的根的判别式为． (2) 小问详解： 解：把代入方程得：， 解得：， ∴原方程为， 解得：，， ∴方程另一个根为， 18．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程的解法： （1）利用求根公式即可求解； （2）利用平方差公式进行因式分解即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 求根公式为，代入得， 因此，； (2) 小问详解： 解： ： 对于，展开得，解得； 对于，展开得，解得． ∴． 19．（25-26学年九上·河南许昌·期中）解方程． （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据配方法解一元二次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ∴， ∴ 解得，． 20．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个实数根； （2）若为正整数，且该方程的根都是正整数，求的值． 【答案】（1） 证明： ， 无论取何值，此方程总有两个实数根     （2）1      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键 （1）表示出根的判别式，判断其取值范围，即可得证； （2）根据因式分解法解一元二次方程，根据题意该方程的根都是正整数，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：关于的一元二次方程，得 ，. 该方程的根都是正整数， ， . 为正整数， 21．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 或 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）如果，是一元二次方程的解，则的值为（） A. 2 B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系；利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和即可． 【详解】 解：∵方程中，，，， ∴， 故选：C． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）设方程的两个根为，那么的值等于（       ） A.  B.  C. 4 D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，代入计算即可得． 【详解】 解：∵方程的两个根为， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）若一元二次方程的两根之和为，则a的值为（     ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．先根据根与系数的关系求出，然后解方程即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根之和为， ∴， 解得， 故选：B． 4．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）设，是一元二次方程的两个根，则的值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 直接利用根与系数的关系求解． 【详解】 根据题意得：αβ=﹣1． 故答案为﹣1 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=． 5．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程根与系数关系得到，然后利用整体代入得方法即可解答． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的两根分别为， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数关系，已知式子的值求得代数式的值，掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 6．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】（1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【分析】 （1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】 解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 7．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）由有实数根可推出，代入对应的系数即可求得m的取值范围； （2）利用根与系数的关系：，即可求得m的值． (1) 小问详解： 解： 有实数根 解得：； (2) 小问详解： 解： ， 又 解得：． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程，熟知一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 8．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知一元二次方程的一个根为，则另一个根　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，代入已知根即可求解． 【详解】 解：设方程的另一个根为． 由根与系数的关系，得． 因为，所以， 解得． 故答案为：2． 9．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知一元二次方程的两个根分别是，，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系．先根据方程求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式的展开式中计算，即可求解． 【详解】 解：一元二次方程中，，，； ∵，分别是一元二次方程的两个根， 故，； ； 将，代入，原式． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理． 解决问题 （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式； （3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1） 解：满足和，理由如下： 解方程， ， ∴或， 解得，， 计算根的和：， 由根与系数的关系，，，则， 计算根的积：， 由根与系数的关系，，，则， ∴满足和；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）、一元二次方程的解法、判别式的应用，熟练掌握根与系数的关系和判别式的意义是解题的关键． （1）先解一元二次方程求出根，再分别计算根的和、积以及利用根与系数关系计算的和、积，进而验证是否满足． （2）根据根与系数的关系，由已知根求出一次项系数和常数项，从而写出一元二次方程的一般形式． （3）先根据根与系数的关系表示出和，再将展开并代入，得到关于的方程，同时结合方程有实数根的条件（判别式）确定的取值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的两个根为，，二次项系数， ∴由根与系数的关系，，即，解得， ，即，解得， ∴这个一元二次方程的一般形式为； (3) 小问详解： 解：∵方程， ∴由根与系数的关系得，， ∵， ∴， ， ， 整理得： 解得或 又∵方程有两个实数根， ∴判别式 解得， ∴不符合条件，舍去， ∴． 11．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若两根，满足，求k的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，因式分解法求一元二次方程，理解并掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）两个不相等的实根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据根与系数的关系可知，，代入得到关于k的一元二次方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 解得：； (2) 小问详解： 解：由题意得，，， ∵ ∴ 整理得， ∴ 或 解得，， ∵， ∴． 12．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知关于x的方程：． （1）求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明： ， 因为， 所以， 所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根；     （2）m的值为3或      【分析】 本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）表示出根的判别式，证明大于零即可； （2）利用根与系数的关系得，，再将变形为，进而可得关于m的方程，解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：因为，是方程的两个根， 所以，， 又因为， 即， 所以， 解得或， 所以m的值为3或． 13．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知关于的方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围； （2）当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之，即可得出m的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，．结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可确定m的值． (1) 小问详解： 解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为； (2) 小问详解： ∵关于的方程的两个根分别为：，， ∴，， ∵， ∴， 即， 整理得， ∴， 解得：，， ∵， ∴m的值为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是∶ （1）牢记“当时，方程有两个实数根”；(2)利用根与系数的关系结合，找出关于m的一元次方程． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·云南昆明五华区·期中）如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意“扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的”，可知扩建后草坪的面积是原来矩形草坪面积的，由此可得方程为．本题考查了列一元二次方程解应用题，读懂题意，找等量关系是解题的关键． 【详解】 解：设该草坪的长和宽各增加，根据题意得 ， 故选：A． 2．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）某地政府通过下调药品价格来解决老百姓看病贵、看病难的问题，某种药品经过连续两次调价，由每盒元下调至元，求平均每次下调的百分率．设平均每次下调百分率为x，根据题意列方程得（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系． 设平均每次下调百分率为x，则每次调价后价格为原价的倍，经过两次调价，列方程求解． 【详解】 解：∵初始价格为元，经过两次下调，每次下调率为x， ∴第一次下调后价格为元， 第二次下调后价格为元， 根据题意，下调后价格为元， ∴． 故选：A． 3．（25-26学年九上·山西大同·期中）转型迈出新步伐，三晋风采谋新篇．近年来，古城大同积极发展算力之城，从地下乌金迈向云端智算．截至2024年底，全市累计报送服务器68万台，预计2026年底达到82.7万台，设2024年到2026年报送服务器的平均增长率为，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的平均增长率问题，根据2024年底，全市累计报送服务器68万台，预计2026年底达到82.7万台，设2024年到2026年报送服务器的平均增长率为，进行分析，建立方程，即可作答． 【详解】 解：∵设平均增长率为，从2024年到2026年经过两年增长， ∴2026年数量为， ∴ 故选：C 4．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据该厂今年十月份以及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：依题意得：． 故选：B． 5．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）天天奶茶店销售一种奶茶，若每瓶盈利4元，每天可售出160瓶，经市场调查发现，若每瓶涨价1元，每天销售量就减少10瓶，现商店想每天盈利840元，且要让顾客得到实惠，设每瓶应涨价x元，那么可列出的方程应为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可得每瓶盈利元，销售量为瓶，再根据总盈利等于每瓶的盈利乘以销售量列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故选：A． 6．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了“户高广”的问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”意思是：若长方形门的高比宽多尺寸（尺寸），门的对角线长丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？设门的高为尺，则可以列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理的实际应用，关键是用方程的思想解决问题； 由于门的高为尺，则宽为尺，根据勾股定理列出方程． 【详解】 解：∵门的高为尺，高比宽多尺， ∴宽为尺， ∵门的对角线长为尺， ∴由勾股定理得：． 故答案选：B． 7．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组个机器人．若每组共需进行15场比赛，则可列方程为（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查实际问题与一元二次方程；每组x个机器人进行单循环比赛，每两人之间只赛一场，比赛总场数为组合数公式，设其等于15即可． 【详解】 解：∵每组x个机器人，每两个机器人之间进行一场比赛， ∴比赛总场数为． 又∵每组共需进行15场比赛， ∴． 故选：C． 8．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）某商品原价元，连续两次降价的百分率为后售价为元，下列所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，知道降价前和降价后的价格，列出方程即可求解． 【详解】 解：∵平均每次降价的百分率为，根据题意得 ． 故选：B． 9．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）由于国家出台对房屋的限购令，我市某地的房屋价格原价为8400元/米，通过连续两次降价后，售价变为6000元/米，下列方程中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 通过连续两次降价后，我省某地的房屋价格原价为8400元/米，售价变为6000元/米，可列方程． 【详解】 解：设连续两次降价， ． 故选：D． 【点睛】 本题考查增长率问题，知道经过两次变化，知道变化前和变化后的结果，从而可列方程． 10．（25-26学年九上·河北石家庄高新区学校·期中）某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销量，该商场准备降价销售.经市场调查发现，每件恤每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件T恤降价元，则可列方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意，每件利润为售价减进价，降价x元后每件利润为元；销售量因降价增加，为件，总利润为每件利润乘以销售量，据此列方程． 【详解】 解：∵降价后每件利润为元，每周销售量为件， ∴由总利润3600元得方程：， 故选：A． 11．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，草坪的面积为，若设道路的宽为，根据题意所列方程为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解题的关键．设道路的宽为x米，可借助平移性质得到长为米、宽为米的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】 解：设道路的宽为x米， 根据题意得， 故选：C． 12．（25-26学年九上·福建福州·期中）某种商品原来每件售价为144元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为100元设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，解决本题的关键是理解题意并由等量关系建立等式． 设平均每次降价的百分率为x，根据连续两次降价列出方程即可． 【详解】 解：∵每次降价率为x， ∴第一次降价后售价为元， 第二次降价后售价为元， 又∵最终售价为100元， ∴． 故选：C． 13．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 根据每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】 解：每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛， 所以： 故选：A． 14．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】 2014年投入为2500（1+x），2015年投入为2500（1+x）（1+x）， ∴可列方程为：2500（1+x）2=3600； 故选：B． 15．（25-26学年九上·天津河西·期中）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 16．（25-26学年九上·山西大同·期中）为传递正能量，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是90条，则九年级的班级数为（     ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【分析】 此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解每个班送出祝福条数与总祝福数的关系是解题关键，通过建立一元二次方程求解 设班级数为n，每个班送出条祝福，总祝福数为，解一元二次方程即可 【详解】 设九年级班级数为n， ， ∴或（舍去）， 故九年级班级数为10， 故选：A 17．（25-26学年九上·河南许昌·期中）近年来，某山区践行“绿水青山就是金山银山”理念，大力发展经济林种植．月份新种植经济林果树棵，随着种植技术推广和政策激励，种植量稳步上升，月份种植经济林果树达到棵，若每月经济林果树的种植增长率为，则可列方程为（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查列一元二次方程增长率问题，从月到月经过两个月增长，每月增长率为，故月份种植量为，据此列出方程即可． 【详解】 解：设每月增长率为， 月份种植棵， 月份种植量为棵，月份种植量为棵， 又月份种植棵， ． 故选：C． 18．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）如图，要在一块长为30米，宽为24米的长方形绿地上修建“两纵两横”四条宽度相等的小路，若剩余绿地面积为520平方米，求小路宽度． 小明的解法是设小路宽度为x米，列出两个方程： ①，得到； ②，得到． （1）请分别判断小明所列的两个方程是否正确？ （2）请推测小路的宽度（要求写出推理过程） 【答案】（1）小明所列的两个方程都不正确     （2）小路的宽度为2米      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设小路宽度为x米，则剩余绿地的长为米，宽为米，即可解决问题； （2）设小路宽度为y米，则剩余绿地的长为米，宽为米，根据剩余绿地面积为520平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设小路宽度为x米，则剩余绿地的长为米，宽为米， 由题意得：， 小明所列的两个方程都不正确； (2) 小问详解： 解：设小路宽度为y米，则剩余绿地的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽度为2米． 19．（25-26学年九上·浙江台州玉环·期中）某体育用品商店销售某款足球，若将销售价格定为x元/个，则销售利润为元/个，年销售量为个． （1）当时，该商店销售该款足球的年利润为多少元？ （2）为获得与（1）一样的年利润，能否将销售单价定为另外一个数量？若能，请求出该数量；若不能，请说明理由． 【答案】（1）该商店销售该款足球的年利润为5000元     （2）可以将销售单价定为另外一个数量，即100元/个      【分析】 （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列得关于x的一元二次方程，解方程并判断即可． 本题考查一元二次方程的应用，理解题意并列得正确的算式及方程式解题的关键． (1) 小问详解： 解： 元， 即当时，该商店销售该款足球的年利润为5000元； (2) 小问详解： 解：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：， ， 可以将销售单价定为另外一个数量，即100元/个． 20．（25-26学年九上·天津河西·期中）一个矩形的面积为，且长比宽多，则这个矩形的周长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，设矩形的宽为，则长为 ，根据面积公式列出一元二次方程，求解得到宽和长，再计算周长； 【详解】 解：设矩形的宽为，则长为 ， 由题意得，整理得； 解得或（舍去负值）； ∴宽为8，长为， ∴矩形的周长为； 故答案为： 21．（25-26学年九上·天津河西·期中）优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： （1）填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； （2）由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 【答案】（1）； ；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：；即可求解； （2）由题意，即， 即可求解； (1) 小问详解： 解：由题意得：； ∴，； (2) 小问详解： 解：由题意，即， ，两边同时乘以x，得， 解得（舍去）， 黄金分割数为． 22．（25-26学年九上·山西大同·期中）为落实劳动教育要求，某中学组织学生用总长为10米的篱笆，在校园直角围墙一角围建矩形种植实践区，最终建成的实践区面积达16平方米，则该矩形的较短边长为　　　　　米． 【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设该矩形的较短边长为米，根据面积达16平方米，列一元二次方程，求较小值即可． 【详解】 解：设该矩形的较短边长为米，则较长边长为米， 由题意得， 整理得：， 解得：，（舍）， 即该矩形的较短边长为米， 故答案为：2． 23．（25-26学年九上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，求剪去小正方形的边长． 【答案】剪去小正方形的边长是5cm 【分析】 设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程并解答． 【详解】 解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， 根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600． 整理得：（x﹣5）（x﹣30）＝0． 解得：x1＝30（舍去），x2＝5， 答：剪去小正方形的边长是5cm． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，其中涉及正方形的面积、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 24．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）如图，在矩形中，．点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间（），那么当t为何值时，的面积等于？ 【答案】或 【分析】 当运动时间为时，利用三角形的面积计算公式，结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值. 【详解】 解：当运动时间为时， 依题意得 整理得 ， 解得 ； ∴当为或时, 的面积等于. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 25．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有　　　　　　　　人． 【答案】11 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设参加酒会的有x人，根据每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设参加酒会的有x人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为：11． 26．（25-26学年九上·青海西宁二中教·期中）某公司一月份的生产成本为万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元，设平均每个月的下降率为，则可列方程为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键．设平均每个月的下降率为，根据公司月份的生产成本及月份的生产成本，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：设平均每个月的下降率为， 根据题意得：， 故答案为：． 27．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车业进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，八月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础下，九月、十月的全天包车数持续走高，十月份的全天包车数达到64次．若从八月份到十月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率． 【答案】全天包车数的月平均增长率为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设全天包车数的月平均增长率为，利用十月份的全天包车数八月份的全天包车数（全天包车数的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】 解：设全天包车数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：全天包车数的月平均增长率为． 28．（25-26学年九上·宁夏吴忠盐池县·期中）如图，若要建一个矩形鸡场，鸡场的一面靠墙，墙长18米，有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长36米，且围成的鸡场面积为180平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 【答案】养鸡场的宽是10米，长为18米 【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意长的取值范围．先设养鸡场的宽为x米，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意． 【详解】 解：设养鸡场的宽为x米，根据题意得：， 解得：，， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是10米，长为18米． 29．（25-26学年九上·山西大同·期中）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”，图中是为纪念抗日战争胜利80周年所画的《水上游击队》．该手卷长，宽，引首和拖尾完全相同，其宽度都为，若画心的面积为，“隔水”部分宽度相等，均为，求“隔水”的宽度． 【答案】“隔水”的宽度为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意用“隔水”的宽度表示出“画心”的面积，列出方程，是解题的关键．由“隔水”的宽度为，则“画心”的长为，宽为，结合“画心”的面积为了，列出方程，即可解答． 【详解】 解：由题意得， 化简得， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：“隔水”的宽度为． 30．（25-26学年九上·广西南宁武鸣区·期中）在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， （1）设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） （2）若的面积为，求的运动时间； （3）的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 【答案】（1）     （2）     （3） 不能，理由如下： 若面积为，则可列方程得：， 解得：， ∵， ∴不合题意， ∴面积不能为．      【分析】 本题考查了动点问题、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意即可解题； （2）设运动时间为，用代数式表示出的面积，进而解方程即可； （3）根据题意列出方程，发现无解，即可解题． (1) 小问详解： 解：由题意知，； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设运动时间为，由（1）得：，则， 列方程得：， 解得：，， ∵且， ∴， ∴； 的运动时间为； (3) 小问详解： 略 31．（25-26学年九上·新疆地区阿克苏·期中）暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本) （1）若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为        件． （2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗?若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）     （2）元或39元     （3） 解：不能，理由如下： 设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件， 依题意得， 整理得， ， 故该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元．      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系是解题的关键，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据当天销售量增加的销售单价，即可得到答案； （2）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，列出一元二次方程即可得到答案； （3）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，列出一元二次方程根据根的判别式判断即可． (1) 小问详解： 解：（件）， 故答案为：230； (2) 小问详解： 解：设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件， 依题意得， 整理得， 整理解得，， 答：当该纪念品的销售单价定价为元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元． (3) 小问详解： 略 32．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）为丰富学生校园生活，学校计划组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式，计划安排45场比赛，共有多少支球队参加比赛? 【答案】10 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数计算公式（其中为球队数量）是解题的关键．通过设球队数量为未知数，根据单循环赛制的比赛场数计算公式建立方程，进而求解球队数量． 【详解】 解：设共有支球队参加比赛．由题意可得 ， ， 解得，（球队数量不能为负数，舍去）， 答：共有支球队参加比赛. 33．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，则参赛队伍有 　　　　　　 支． 【答案】10 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了45场比赛”是解决本题的关键．设有x支参加队伍，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故篮球赛的总场数为场，从而即可建立方程，求解并检验即可． 【详解】 解：设有x支参加队伍， 由题意得， 解得（舍）， ∴有10支参加队伍参加比赛． 故答案为：10． 34．（25-26学年九上·广东汕头濠江区·期中）根据以下素材，探索并完成任务． 素材1 泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，5月份制作泥塑500件，同年7月份制作泥塑720件． 素材2 泥塑的制作成本为20元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为450件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少15件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到9240元，而且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价应定为多少元？ 【答案】（1）该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为；（2）每件泥塑的售价应定为元 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出一元二次方程，是解题的关键： （1）设该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为，根据5月份制作泥塑500件，同年7月份制作泥塑720件，列出方程进行求解即可； （2）设每件泥塑的售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：（1）设该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得或（舍去）； 答：该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为； （2）设每件泥塑的售价应定为元，由题意，得：， 解得或； ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：每件泥塑的售价应定为元． 35．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 【答案】（1）     （2）70      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量=该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每个该品牌头盔的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 解得，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． ∴该品牌头盔的实际售价应定为70元/个． 36．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）“开心”农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长30米），另三边用木栏围成，木栏总长度为50米． （1）如果养鸡场总面积是200平方米，那么平行于墙的边有多长？ （2）养鸡场的面积能达到312.5平方米吗？如果能请求出此时的垂直于墙的边长？如果不能，请说明理由． 【答案】（1）平行于墙的一边长为10米     （2）能，垂直于强的边长为12.5米      【详解】 （1）设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的一边长为米， 由题意得：， 解得：， 墙长为30米 ， ，      ， 答：平行于墙的一边长为10米． （2）能，理由如下： 由题意得： 整理得： 解得： 养鸡场的面积可以达到312.5平方米， 此时垂直于强的边长为米 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．C 2．A 3．A 4．C 5．A 6．B 7．A 8．B 9．B 10．B 11．C 12．C 13．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，根据二次项系数为2的条件，构造一个简单的一元二次方程即可． 【详解】 解：满足条件的一元二次方程为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 14．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的解和代数式求值，解决此题的关键是要熟练掌握整体代入求值．把代入原方程，再整体代入即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程解的定义，得到，再整体代入代数式求值， 【详解】 解：∵方程的一个根为， ∴， 则， 故答案为：1 16．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，解答的关键是熟知一元二次方程的定义：方程中未知数x的最高次数为2，且二次项系数不能为零．据此求解即可． 【详解】 解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，解得或， ∵二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 把代入方程，得到，解答即可，熟练掌握根的定义是解题的关键． 【详解】 把代入方程， ∴， 解得， 故答案为：． 考点02 配方法 1．A 2．A 3．【答案】10 【分析】 本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】 解：由题意得 ， 即． ∴． 故答案为：10． 4．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键； （1）利用直接开平方法解答，即可求解． （2）利用配方法解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ，． (2) 小问详解： 解： ， ， ， ，． 5．【答案】（1）8，10     （2）6     （3）     （4） 解：设，（a、b、c、d为整数）， ∴， ． 又∵a、b、c、d为整数， ∴，均为整数， ∴是“雅美数”．      【分析】 本题主要考查了配方法的应用、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键． （1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后比较，即可求得对应系数的值； （3）配方后根据非负数的性质可得x、y的值，再根据“雅美数”的定义列式计算即可； （4）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论即可． (1) 小问详解： 解：8是“雅美数”，理由：因为； 10是“雅美数”，理由：因为． 故答案为：8，10． (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：6． (3) 小问详解： 解：， 又∵，， ∴ ∴， ∴． (4) 小问详解： 略 考点03 公式法 1．B 2．A 3．B 4．A 5．C 6．C 7．B 8．B 9．C 10．【答案】（1），；     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解得，； (2) 小问详解： ，， ∴ 解得，． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）将方程变形为，再利用配方法解方程即可得； （2）先求出方程中的，再利用公式法解方程即可得． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 或， ． (2) 小问详解： 解：方程中的， 方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， 所以方程的解为， 即方程的解为． 12．【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程根的情况，利用根的判别式求即可． 【详解】 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 13．【答案】且 【分析】 根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， 且△， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，方程有实数根”是解题的关键． 14．【答案】4（答案不唯一） 【分析】 本题考查根的判别式，根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，求出m的取值范围，从而写出一个符合条件的正整数m即可． 【详解】 解：∵一元二次方程 有实数根， ∴，解得 ． 故正整数可以是1、2、3或4． 故答案为：（答案不唯一）． 15．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解法，解决本题的关键是使用公式法求解． 根据一元二次方程的求根公式代入求解即可． 【详解】 解：方程中，， ∴， ∴方程的解为． 16．【答案】解：由题意得： ∵， ∴， ∴当时，此方程总有两个不相等的实数根． 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，熟练掌握相关公式是解题关键． 根据一元二次方程的根的判别式得出，然后对此进行化简，最后根据化简结果进一步求证即可． 【详解】 略 17．【答案】且 【分析】 本题考查由一元二次方程、一元二次方程解的情况求参数，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 由一元二次方程定义得到，由一元二次方程有实数根得到，解不等式得到，从而确定答案． 【详解】 解：是一元二次方程， ，解得； 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， ，且， 故答案为：且． 18．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理和一元二次方程的应用是解题的关键． 解方程，得，则，，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】 解：， ， 解得：， 方程的正根等于线段的长， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由题意可知，， ， 该方程的负根的绝对值等于图中线段的长， 故答案为：． 考点04 因式分解法 1．B 2．B 3．【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键．利用因式分解法求解即可． 【详解】 解：， ， 则或， 解得 4．【答案】（1）     （2），     （3），      【分析】 本题考查了一元二次方程的求解，正确地运用方法求解一元二次方程是解决本题的关键． （1）利用配方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可； （3）利用因式分解法解答即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， 即， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴， ， ∴或， 解得：，； (3) 小问详解： 解： ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握 “配方法”和“因式分解法”解一元二次方程的步骤． （1）先将常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方法求解； （2）等号左边直接十字相乘进行因式分解，化为两个一元一次方程求解即可． (1) 小问详解： 解： 或 ∴，； (2) 小问详解： 解： 或 ∴，． 6．【答案】1525425 【分析】 本题考查因式分解、新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． 将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可． 【详解】 解：多项式 可分解为 ， 其中 可进一步分解为 ， 因此 ， 当 ， 时， ， ， ， 因式码为 15、25、425，按从小到大的顺序排列为 15、25、425， 因此密码为1525425， 故答案为：1525425． 7．【答案】（1）；， ； (2) ① 四；去括号时符号错误； ② 去分母，得 整理，得 去括号，得 移项、合并同类项，得，      系数化为1，得 【分析】 本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次方程和解一元一次不等式的解法，能正确求解． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程即可；利用因式分解法解方程即可； （2）① 一元一次不等式的去分母步骤，其理论依据是不等式的基本性质，对每一步的运算进行规则校验，尤其是去括号的“符号法则”； ② 通过解一元一次不等式得到这个不等式组正确的解集 ． 【详解】 解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 整理得 或 解得，． （2）① 略 ② 略 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据公式法求解方程即可； （2）利用因式分解法求解方程即可． (1) 小问详解： 解： ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解： ∴或 ∴． 9．【答案】（1），；     （2），      【分析】 此题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法． （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 因式分解得， ∴，， 解得：，． 10．【答案】（1） ，     （2） ，      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键； （1）先移项，然后系数化为1，再利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 解： ， ， ， ∴或， ∴，． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （2）先移项，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 12．【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】 解：， 分解因式，得， ∴或， 解得． 13．【答案】， 【分析】 观察到，可移项因式分解解方程． 【详解】 ∵ ∴，即 ∴或 ∴，． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据题意选择适当的方法是解题的关键． 14．【答案】， 【分析】 先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：移项得， 提取公因式得， 即或， 解得，． 15．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法． （1）移项，利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解： 或 ，； (2) 小问详解： 解： 这里， ，． 16．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）两边同时除以4，根据直接开平方法求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： 解得：，； (2) 小问详解： 解： 或 解得：， 17．【答案】（1）     （2），方程另一个根为      【分析】 本题考查了根的判别式，方程的解，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将，，代入根的判别式化简即可． （2）把代入方程解得：，求得原方程为，求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得：，，， ∴， ∴这个方程的根的判别式为． (2) 小问详解： 解：把代入方程得：， 解得：， ∴原方程为， 解得：，， ∴方程另一个根为， 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程的解法： （1）利用求根公式即可求解； （2）利用平方差公式进行因式分解即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 求根公式为，代入得， 因此，； (2) 小问详解： 解： ： 对于，展开得，解得； 对于，展开得，解得． ∴． 19．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据配方法解一元二次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ∴， ∴ 解得，． 20．【答案】（1） 证明： ， 无论取何值，此方程总有两个实数根     （2）1      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键 （1）表示出根的判别式，判断其取值范围，即可得证； （2）根据因式分解法解一元二次方程，根据题意该方程的根都是正整数，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：关于的一元二次方程，得 ，. 该方程的根都是正整数， ， . 为正整数， 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 或 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．C 2．C 3．B 4．【答案】 【分析】 直接利用根与系数的关系求解． 【详解】 根据题意得：αβ=﹣1． 故答案为﹣1 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=． 5．【答案】 【分析】 根据一元二次方程根与系数关系得到，然后利用整体代入得方法即可解答． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的两根分别为， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数关系，已知式子的值求得代数式的值，掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 6．【答案】（1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【分析】 （1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】 解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 7．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）由有实数根可推出，代入对应的系数即可求得m的取值范围； （2）利用根与系数的关系：，即可求得m的值． (1) 小问详解： 解： 有实数根 解得：； (2) 小问详解： 解： ， 又 解得：． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程，熟知一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 8．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，代入已知根即可求解． 【详解】 解：设方程的另一个根为． 由根与系数的关系，得． 因为，所以， 解得． 故答案为：2． 9．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系．先根据方程求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式的展开式中计算，即可求解． 【详解】 解：一元二次方程中，，，； ∵，分别是一元二次方程的两个根， 故，； ； 将，代入，原式． 故答案为：． 10．【答案】（1） 解：满足和，理由如下： 解方程， ， ∴或， 解得，， 计算根的和：， 由根与系数的关系，，，则， 计算根的积：， 由根与系数的关系，，，则， ∴满足和；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）、一元二次方程的解法、判别式的应用，熟练掌握根与系数的关系和判别式的意义是解题的关键． （1）先解一元二次方程求出根，再分别计算根的和、积以及利用根与系数关系计算的和、积，进而验证是否满足． （2）根据根与系数的关系，由已知根求出一次项系数和常数项，从而写出一元二次方程的一般形式． （3）先根据根与系数的关系表示出和，再将展开并代入，得到关于的方程，同时结合方程有实数根的条件（判别式）确定的取值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的两个根为，，二次项系数， ∴由根与系数的关系，，即，解得， ，即，解得， ∴这个一元二次方程的一般形式为； (3) 小问详解： 解：∵方程， ∴由根与系数的关系得，， ∵， ∴， ， ， 整理得： 解得或 又∵方程有两个实数根， ∴判别式 解得， ∴不符合条件，舍去， ∴． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，因式分解法求一元二次方程，理解并掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）两个不相等的实根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据根与系数的关系可知，，代入得到关于k的一元二次方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 解得：； (2) 小问详解： 解：由题意得，，， ∵ ∴ 整理得， ∴ 或 解得，， ∵， ∴． 12．【答案】（1） 证明： ， 因为， 所以， 所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根；     （2）m的值为3或      【分析】 本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）表示出根的判别式，证明大于零即可； （2）利用根与系数的关系得，，再将变形为，进而可得关于m的方程，解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：因为，是方程的两个根， 所以，， 又因为， 即， 所以， 解得或， 所以m的值为3或． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之，即可得出m的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，．结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可确定m的值． (1) 小问详解： 解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为； (2) 小问详解： ∵关于的方程的两个根分别为：，， ∴，， ∵， ∴， 即， 整理得， ∴， 解得：，， ∵， ∴m的值为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是∶ （1）牢记“当时，方程有两个实数根”；(2)利用根与系数的关系结合，找出关于m的一元次方程． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．A 2．A 3．C 4．B 5．A 6．B 7．C 8．B 9．D 10．A 11．C 12．C 13．A 14．B 15．B 16．A 17．C 18．【答案】（1）小明所列的两个方程都不正确     （2）小路的宽度为2米      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设小路宽度为x米，则剩余绿地的长为米，宽为米，即可解决问题； （2）设小路宽度为y米，则剩余绿地的长为米，宽为米，根据剩余绿地面积为520平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设小路宽度为x米，则剩余绿地的长为米，宽为米， 由题意得：， 小明所列的两个方程都不正确； (2) 小问详解： 解：设小路宽度为y米，则剩余绿地的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽度为2米． 19．【答案】（1）该商店销售该款足球的年利润为5000元     （2）可以将销售单价定为另外一个数量，即100元/个      【分析】 （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列得关于x的一元二次方程，解方程并判断即可． 本题考查一元二次方程的应用，理解题意并列得正确的算式及方程式解题的关键． (1) 小问详解： 解： 元， 即当时，该商店销售该款足球的年利润为5000元； (2) 小问详解： 解：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：， ， 可以将销售单价定为另外一个数量，即100元/个． 20．【答案】 【分析】 本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，设矩形的宽为，则长为 ，根据面积公式列出一元二次方程，求解得到宽和长，再计算周长； 【详解】 解：设矩形的宽为，则长为 ， 由题意得，整理得； 解得或（舍去负值）； ∴宽为8，长为， ∴矩形的周长为； 故答案为： 21．【答案】（1）； ；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：；即可求解； （2）由题意，即， 即可求解； (1) 小问详解： 解：由题意得：； ∴，； (2) 小问详解： 解：由题意，即， ，两边同时乘以x，得， 解得（舍去）， 黄金分割数为． 22．【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设该矩形的较短边长为米，根据面积达16平方米，列一元二次方程，求较小值即可． 【详解】 解：设该矩形的较短边长为米，则较长边长为米， 由题意得， 整理得：， 解得：，（舍）， 即该矩形的较短边长为米， 故答案为：2． 23．【答案】剪去小正方形的边长是5cm 【分析】 设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程并解答． 【详解】 解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， 根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600． 整理得：（x﹣5）（x﹣30）＝0． 解得：x1＝30（舍去），x2＝5， 答：剪去小正方形的边长是5cm． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，其中涉及正方形的面积、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 24．【答案】或 【分析】 当运动时间为时，利用三角形的面积计算公式，结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值. 【详解】 解：当运动时间为时， 依题意得 整理得 ， 解得 ； ∴当为或时, 的面积等于. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 25．【答案】11 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设参加酒会的有x人，根据每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设参加酒会的有x人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为：11． 26．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键．设平均每个月的下降率为，根据公司月份的生产成本及月份的生产成本，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：设平均每个月的下降率为， 根据题意得：， 故答案为：． 27．【答案】全天包车数的月平均增长率为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设全天包车数的月平均增长率为，利用十月份的全天包车数八月份的全天包车数（全天包车数的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】 解：设全天包车数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：全天包车数的月平均增长率为． 28．【答案】养鸡场的宽是10米，长为18米 【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意长的取值范围．先设养鸡场的宽为x米，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意． 【详解】 解：设养鸡场的宽为x米，根据题意得：， 解得：，， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是10米，长为18米． 29．【答案】“隔水”的宽度为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意用“隔水”的宽度表示出“画心”的面积，列出方程，是解题的关键．由“隔水”的宽度为，则“画心”的长为，宽为，结合“画心”的面积为了，列出方程，即可解答． 【详解】 解：由题意得， 化简得， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：“隔水”的宽度为． 30．【答案】（1）     （2）     （3） 不能，理由如下： 若面积为，则可列方程得：， 解得：， ∵， ∴不合题意， ∴面积不能为．      【分析】 本题考查了动点问题、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意即可解题； （2）设运动时间为，用代数式表示出的面积，进而解方程即可； （3）根据题意列出方程，发现无解，即可解题． (1) 小问详解： 解：由题意知，； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设运动时间为，由（1）得：，则， 列方程得：， 解得：，， ∵且， ∴， ∴； 的运动时间为； (3) 小问详解： 略 31．【答案】（1）     （2）元或39元     （3） 解：不能，理由如下： 设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件， 依题意得， 整理得， ， 故该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元．      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系是解题的关键，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据当天销售量增加的销售单价，即可得到答案； （2）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，列出一元二次方程即可得到答案； （3）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，列出一元二次方程根据根的判别式判断即可． (1) 小问详解： 解：（件）， 故答案为：230； (2) 小问详解： 解：设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件， 依题意得， 整理得， 整理解得，， 答：当该纪念品的销售单价定价为元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元． (3) 小问详解： 略 32．【答案】10 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数计算公式（其中为球队数量）是解题的关键．通过设球队数量为未知数，根据单循环赛制的比赛场数计算公式建立方程，进而求解球队数量． 【详解】 解：设共有支球队参加比赛．由题意可得 ， ， 解得，（球队数量不能为负数，舍去）， 答：共有支球队参加比赛. 33．【答案】10 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了45场比赛”是解决本题的关键．设有x支参加队伍，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故篮球赛的总场数为场，从而即可建立方程，求解并检验即可． 【详解】 解：设有x支参加队伍， 由题意得， 解得（舍）， ∴有10支参加队伍参加比赛． 故答案为：10． 34．【答案】（1）该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为；（2）每件泥塑的售价应定为元 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出一元二次方程，是解题的关键： （1）设该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为，根据5月份制作泥塑500件，同年7月份制作泥塑720件，列出方程进行求解即可； （2）设每件泥塑的售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：（1）设该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得或（舍去）； 答：该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为； （2）设每件泥塑的售价应定为元，由题意，得：， 解得或； ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：每件泥塑的售价应定为元． 35．【答案】（1）     （2）70      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量=该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每个该品牌头盔的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 解得，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． ∴该品牌头盔的实际售价应定为70元/个． 36．【答案】（1）平行于墙的一边长为10米     （2）能，垂直于强的边长为12.5米      【详解】 （1）设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的一边长为米， 由题意得：， 解得：， 墙长为30米 ， ，      ， 答：平行于墙的一边长为10米． （2）能，理由如下： 由题意得： 整理得： 解得： 养鸡场的面积可以达到312.5平方米， 此时垂直于强的边长为米 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $