2.2 第2课时 基本不等式的简单应用（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦基本不等式的简单应用，课前预习梳理证明不等式方法与实际问题解题步骤，课中探究通过“1”的代换求最值、证明不等式、实际问题应用三个探究点，结合例题与变式构建递进式学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以问题链驱动深度学习，如“1”的代换例题培养运算能力，矩形菜园问题引导用数学眼光发现数量关系，课后习题结合运货卡车费用等情境强化模型意识。素养小结提炼方法，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

2.2 基本不等式 1 第2课时 基本不等式的简单应用 2 探究点一 “1”的代换求最值 探究点二 利用基本不等式证明不等式 探究点三 基本不等式在实际问题中的应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能用基本不等式证明一些简单的不等式. 2.能用基本不等式解决现实生活中的一些简单的最大（小）值问题. 4 知识点一 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明不等式的形式. 若符合基本不等式的条件,则可以直接利用基本不等式或最值定理证 明.若不符合基本不等式的条件,则可以对代数式进行拆项、变形、配 凑等,使之达到使用基本不等式的条件.若题中还有等式条件,则要分析 等式条件和所证不等式之间的联系，当等式条件含有“1”时，要注意 “1”的代换.最后要注意等号是否取到. 课 前 预 习 5 知识点二 基本不等式在实际问题中的应用 用基本不等式解决实际问题时的常用思路 （1）理解题意,设好变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变 量定义为函数; （2）建立相应的函数关系式,把实际问题转化、抽象为函数的最大值 或最小值问题; （3）根据已知变量的范围,求出函数的最大值或最小值; （4）结合实际意义求出正确的答案,回答实际问题. 课 前 预 习 6 探究点一 “1”的代换求最值 例1（1）已知,且，求 的最小值. 解：因为 ，所以 ，当且仅当，即，时，等号成立，所以 的最小值为9. 课 中 探 究 7 （2）已知，且，求 的最小值. 解：因为，， ，所以 ，所以 ，当且仅当，即，时，等号成立，所以 的最小值为6. 课 中 探 究 8 变式（1）设,且，求 的最小值. 解：由 ，可得 ，当且仅当，即,时取等号，故的最小值为 . 课 中 探 究 9 （2）已知，，且，求 的最小值. 解：由，可得 ，所以 ，当且仅当，即,时取等号，故 的最小值为18. 课 中 探 究 10 （3）已知，，且，求 的最小值. 解：因为，，所以,， 又 ， 所以 ， 当且仅当 ，即, 时取等号，故的最小值为 . 课 中 探 究 11 ［素养小结］ 常数代换法,常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或 积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解 最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. 课 中 探 究 12 探究点二 利用基本不等式证明不等式 例2（1）设，，，求证： . 证明：（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号），（当且仅当 时取等号）， （当且仅当 时等号成立）, . 课 中 探 究 13 （2）已知，，均为正数且不全相等，且 ，求证： . 证明： ， ，当且仅当时取等号， 又，，不全相等，即 ，，中至少有一个成立， 式中等号不成立， . 课 中 探 究 14 变式 设，，均为正数，且 . 证明：（1） ； 证明：因为，， ，所以 ，即，当且仅当 时等号成立，故 . 课 中 探 究 15 变式 设，，均为正数，且 . 证明：（2） . 证明： 因为,,均为正数，所以， ，，所以 ，得，当且仅当 时等号成立，故 . 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 在利用基本不等式证明不等式的过程中，常常需要把数、式合理地 拆成两项或多项或恒等地变形拼凑成适合的数、式，以便于利用基 本不等式. 课 中 探 究 17 探究点三 基本不等式在实际问题中的应用 例3 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙 的长度没有限制）的矩形菜园． （1）若菜园的面积为，则， 为何值时，所用 篱笆的总长最小? 解：由已知可得，所以， . 设所用篱笆的总长为，则，所以 ，当且仅当，即时等号成立，此时，所以当 ， 时，所用篱笆的总长最小. 课 中 探 究 18 所以 ，当且仅当，即 ，时等号成立，所以的最小值为 . 例3 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制） 的矩形菜园． （2）若所用篱笆的总长为，求 的最小值． 解：由已知可得 ，所以，所以 ， 课 中 探 究 19 变式 [2026·温州中学高一期中] 如图所示，学校要 围建一个面积为 的矩形场地，要求矩形场地的 一面利用旧墙（旧墙足够长，利用旧墙时需要维修）， 其他三面围墙要新建，在旧墙对面 的新墙上要留一个宽度为 的 进出口，已知旧墙的维修费用为56元/，新墙的造价为200元/， 设利用旧墙的长度为（单位： ，），修建此矩形场地的 总费用为 （单位：元）. （1）求关于 的函数表达式； 课 中 探 究 20 故 . 解：由题意知，矩形的一边长为 ，另一边长为，则 ， 课 中 探 究 21 变式 [2026·温州中学高一期中] 如图所示，学校要围建一个面积为 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙足够长， 利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上 （2）当时，求总费用 ； 要留一个宽度为 的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/，新墙的 造价为200元/，设利用旧墙的长度为（单位： ，）， 修建此矩形场地的总费用为 （单位：元）. 解：由（1）知，，所以当 时， . 课 中 探 究 22 变式 [2026·温州中学高一期中] 如图所示，学校 要围建一个面积为 的矩形场地，要求矩形 场地的一面利用旧墙（旧墙足够长，利用旧墙时 需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面 （3）试确定 的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小 总费用. 的新墙上要留一个宽度为 的进出口，已知旧墙的维修费用为56元 /，新墙的造价为200元/，设利用旧墙的长度为（单位： ， ），修建此矩形场地的总费用为 （单位：元）. 课 中 探 究 23 解：因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 故当利用旧墙的长度为 时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12 200元. 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 利用基本不等式解决实际问题时，首先要审清题意，然后将实际问 题转化为数学问题，再利用数学知识解决问题. 课 中 探 究 25 课后习题 26 1.已知正数,满足，则 的最小值是( ) A.8 B.6 C.4 D.2 [解析] 因为正数,满足 ，所以 ，当且仅当，即,时取等号，所以 的最小值是8.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 2.用一段长为 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面 积为( ) A. B. C. D. [解析] 设矩形模型一条边的长为,相邻边的长为 ，则，，由题意可得，所以 . 设矩形模型的面积为,则，当且仅当 时等号成立，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 3.已知，，且 ，则下列各式中值最大的是 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，所以， ，所以，又，所以 . 又因为，所以 的值最大，故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 4.“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 当时， 不成立，充分性不成立； 当时，有且， ，即 ，得，必要性成立. 所以“”是“ ” 的必要不充分条件.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 5.（多选题）若， ，则下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. √ √ √ [解析] 对于A，根据基本不等式可知当时， ，当且仅当时等号成立，所以 ，故A恒成立； 对于B，当,时，，当且仅当 时等号成立，，当且仅当 时等号成立， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 所以 ，当且仅当 时等号成立，故B恒成立； 对于C， ，当且仅当时等号成立，故C恒成立； 对于D，当时， , 故D不恒成立.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 6.某食品加工厂生产某种食品，第一个月的产量为 ，第二个月 产量的增长率为，第三个月产量的增长率为 ，若这两个月产量的 平均增长率为，其中，， 均大于零，则( ) A. B. C. D. [解析] 根据题意得 ，则，又 ，当且仅当时取等号，所以 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 7.已知正实数，满足，则 的最小值为___. 9 [解析] 因为,, ，所以 ，当且仅当，即，时，等号成立，故 的最小值为9. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 8.已知,,,则 的最小值为__. [解析] 因为,, ,所以 ,当且仅当,即, 时取等号,故的最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 9.（13分）[2026·湖北武昌实验中学高一月考] 某种型号的特殊运货 卡车以每小时 千米的速度匀速行驶130千米，根据规定. 假设汽油的价格为每升6元，卡车每小时耗油 升，司机的工资 是每小时140元. （1）求这次行车的总费用（单位：元）关于 的函数表达式. 解：卡车行驶的时间为 小时，所以卡车这次行车的油费为 元，司机的工资为 元， 所以 ，故， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 9.（13分）[2026·湖北武昌实验中学高一月考] 某种型号的特殊运货 卡车以每小时 千米的速度匀速行驶130千米，根据规定. 假设汽油的价格为每升6元，卡车每小时耗油 升，司机的工资 是每小时140元. （2）当为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低总费用. 精确到，总费用精确到0.01元， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 解：因为 ， 所以当 时，这次行车的总费用最低，最低总费用为 （元）. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 10.[2026·杭州学军中学高一月考]已知正数， 满足， 那么 的最小值是( ) A.1 B. C.9 D.2 √ [解析] 因为正数，满足，所以 ，即 ， 所以 ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 11.在中，内角，，的对边分别为，，，若 的周 长为3，则 的最小值为( ) A. B. C.3 D. [解析] 由题意可得， ，所以，当且仅当 时取等号.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 12.（多选题）如图，某小区拟建造一个矩形绿地 ，如果在的中点 正北方向25米处立起 一根旗杆，在的中点 正东方向40米处立起 一根旗杆，且 ，， 三点在同一条直线上， 那么该矩形绿地的周长可能为( ) A.米 B.米 C.米 D. 米 √ √ [解析] 设米， 米，由题意知，则 ,又米，米，所以 ，化简得. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 结合选项知，该矩形绿地的周长可能为米，米.故选 . 设矩形绿地的周长为 米，则 ，当且仅当 时取等号. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 13.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产 品可获得的总利润（单位：万元）与机器运转时间 （单位：年） 的关系式为 ，则当每台机器运转___年时，年平 均利润最大. 5 [解析] 每台机器运转年的年平均利润为 万元，由题知，且 ，由基本不等式可得，所以，当且仅当 时等号成立，所以当每台机器运转5年时，年平均利润最大. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 14.（15分）（1）[2026·清华大学附中高一月考] 已知，， . ①求 的最大值; 解：，，，当且仅当 时取等号， 的最大值为1. ②求 的最小值； 解： ，当且仅当，即, 时取等号，的最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 （1）[2026·清华大学附中高一月考] 已知，， . ③求 的最小值. 解： ， ，当且仅当,时取等号，的最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 14.（15分）（2）已知，，都是正实数，且 ，求证： . 证明：，，都是正实数，且 ， ，当且仅当 时，等号成立， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 15.已知,,为正数，且，则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. [解析] 易知 ，当且仅当 时取等号.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 16.（15分）如图，在公路 的两侧规划两全等的 公园，其中，，， 为健身步道，， 为绿化带， ， .已知， 段的造价为每 已知， 段的造价为每 米3万元，， 段的造价为每米4万元， 绿化带的造价为每平方米2万元，设的长为米,的长为 米. （1）若健身步道与绿化带的费用一样，则如何设计使公园面积最小？ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 解：依题意得， ，即 ， 因为，所以 ，可得，当且仅当，即, 时，等号成立， 此时公园的面积 ，故的长为8米, 的长为6米时，公园面积最小. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 16.（15分）如图，在公路 的两侧规划两个全等 的公园，其中，，， 为健身步道， ，为绿化带， ， .已知， 段的造价为每 （2）若公园建设总费用为74万元，则健身步道的总长至少为多少？ 米3万元，， 段的造价为每米4万元，绿化带的造价为每平方米 2万元，设的长为米,的长为 米. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 解：依题意得， ，所以 ，所以 ， 故健身步道的总长至少为14米. 所以 ， 当且仅当，即， 时，等号成立， 此时 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 $