1.4.1 第2课时：空间中直线、平面的平行 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 同步练习按“夯基础-提能力-迎挑战”分层，基础题量占比高，梯度衔接合理，从概念运算到综合探究，适配新授课分层教学，培养数学眼光、思维与语言表达。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|单一知识点（法向量、方向向量与平行关系）|选择填空为主，结合阶段检测题，强化概念理解与运算能力| |提能力|综合应用（复杂几何体线面/面面平行）|含多选和参数计算，通过长方体等情境整合知识，提升推理意识| |迎挑战|探究迁移（存在性问题论证）|以四棱锥、正方体为背景，设计存在性探究题，发展创新意识与模型观念|

人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.1 第2课时：空间中直线、平面的平行 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二下·湖南·阶段检测）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 2．（24-25高二上·广东·阶段检测）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 3．（25-26高二上·河南·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．以上答案都不正确 5．（25-26高二下·河南·期末）如图所示，正方体的棱长为，分别为和上的点，，则与平面的位置关系是 A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 6．（25-26高二下·四川·阶段检测）如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·黑龙江·阶段检测）已知空间中两条不同的直线l，m，两个不同的平面，，则下列说法中正确的是（    ） A．若直线l的一个方向向量为，直线m的一个方向向量为，则 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三个点，，，向量是平面的一个法向量，则 8．（25-26高二上·云南·阶段检测）设是平面α的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是（     ）． A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．平行或在平面内 9．（25-26高二上·江苏·阶段检测）若，分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系是______． 10．（24-25高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 11．（25-26高二上·浙江·期中）正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点.求证：MN∥平面A1BD. 提能力 综合用 · 善迁移 12．（24-25高二上·海南·期末）（多选）如图，在正方体中，，，，均是所在棱的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．平面 C．平面平面 D． 13．（25-26高二上·浙江·阶段检测）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为_____. 14．（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，，，分别是棱，，的中点． 求证：（1）直线平面； （2）平面平面． 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，，，问在棱PD上是否存在一点E，使得平面PAB？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由. 16．（25-26高二·湖南·期末）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.1 第2课时：空间中直线、平面的平行 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二下·湖南·阶段检测）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 【答案】C 【分析】利用两个平面平行，可以得到两个平面的法向量也平行，再利用向量共线定理即可求得的值. 【详解】设平面的法向量为，平面的法向量为， ，， 设，即，，. 故选：C. 2．（24-25高二上·广东·阶段检测）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 【答案】A 【详解】由，得， 所以或. 3．（25-26高二上·河南·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】利用给定的坐标，求出向量的坐标，再借助共线向量判断得解. 【详解】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行． 故选：B 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．以上答案都不正确 【答案】C 【分析】由题意得，然后列方程组求解即可. 【详解】由题意知. 因为，， 所以的充要条件是， 所以， 显然符合题意， 当时，由，得， 代入，得. 综上，的值为或. 故选：C 5．（25-26高二下·河南·期末）如图所示，正方体的棱长为，分别为和上的点，，则与平面的位置关系是 A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 【答案】B 【详解】如下图，连接BN交AD于点E,连，，所以与平面平行，选B. 6．（25-26高二下·四川·阶段检测）如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求平面的法向量，根据线面平行可得，根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 设，则． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为平面，则， 即，解得，即点坐标为． 故选：B. 7．（24-25高二上·黑龙江·阶段检测）已知空间中两条不同的直线l，m，两个不同的平面，，则下列说法中正确的是（    ） A．若直线l的一个方向向量为，直线m的一个方向向量为，则 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三个点，，，向量是平面的一个法向量，则 【答案】D 【分析】利用直线的方向向量与直线间的位置关系可知A错误；由直线的方向向量与平面的法向量垂直可知直线在平面内或者直线与平面平行，可得B错误；易知两平面的法向量，不平行，所以C错误；利用坐标可得，再由垂直关系的向量表示可解得，所以D正确. 【详解】对于A，易知向量与向量不平行，由方向向量与直线的位置关系可得与不平行，即A错误； 对于B，易知，即直线方向向量与平面法向量垂直， 由直线的方向向量与平面的法向量的位置关系可知，或，所以B错误； 对于C，易知两平面的法向量，不平行，所以与不平行，即C错误； 对于D，取向量，则需满足， 解得，所以可得，即D正确. 故选：D 8．（25-26高二上·云南·阶段检测）设是平面α的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是（     ）． A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．平行或在平面内 【答案】D 【分析】由题意，根据向量之间的关系，可得答案. 【详解】由，则， 由向量的自由性，直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内， 故选：D. 9．（25-26高二上·江苏·阶段检测）若，分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系是______． 【答案】平行 【分析】判断两平面法向量的位置关系，即可判断出平面与的位置关系. 【详解】由题意，因为，共线，则，所以与共线，所以平面，的位置关系是平行； 10．（24-25高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，由向量共线坐标运算即可求证. 【详解】如图所示，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，，则得下列各点的坐标： ，，，，，. 由即，可得：， 由，即，可得：． ，，． 又与不共线，． 11．（25-26高二上·浙江·期中）正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点.求证：MN∥平面A1BD. 【答案】证明见解析. 【分析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1，求得平面A1BD的一个向量为＝(x，y，z)和的坐标，然后论证·＝0即可. 【详解】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则 D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N， 于是＝，＝(1，0，1)，＝(1，1，0). 设平面A1BD的一个向量为＝(x，y，z)， 则·＝0，且·＝0，得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1. 所以＝(1，－1，－1). 又·＝·(1，－1，－1)＝0， 所以⊥ 又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD. 提能力 综合用 · 善迁移 12．（24-25高二上·海南·期末）（多选）如图，在正方体中，，，，均是所在棱的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．平面 C．平面平面 D． 【答案】ABC 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线的方向向量和平面和平面的法向量，利用空间直线的方向向量与平面的法向量的关系即可求解. 【详解】依题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示    不妨设正方体的棱长为，则 所以， 所以，即，亦即，故A正确； 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则， 所以， 所以，即， 又平面， 所以平面，故B正确； 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则， 所以， 所以，即， 所以平面平面，故C正确； 所以, 所以和不平行，故D错误. 故选：ABC. 13．（25-26高二上·浙江·阶段检测）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为_____. 【答案】. 【分析】由题意可建立分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，设出点P的坐标，然后利用空间向量基本定理可得=λ+μ，从而可求出P的坐标，进而可得AP的长 【详解】解：如图，建立分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系. 设AB=a，P(0，0，b)，则A(0，0，0)，B1(a，0，1)，D(0，1，0)，E. 于是=(a，0，1)，=(0，-1，b). ∵DP∥平面B1AE， ∴存在实数λ，μ，使=λ+μ， 即(0，-1，b)=λ(a，0，1)+μ=. ∴ ∴b=λ=，即AP=. 故答案为： 14．（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，，，分别是棱，，的中点． 求证：（1）直线平面； （2）平面平面． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】取的中点，连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， （1）求出向量和平面的一个法向量为，利用向量法进行证明； （2）设平面的法向量为，利用向量法证明平面平面． 【详解】（1）因为，，是棱的中点，所以，则为正三角形． 因为底面为等腰梯形，所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 令，可得平面的一个法向量为， 则，所以． 又直线平面，所以直线平面． （2）因为，，， 所以，． 设平面的法向量为， 则， 令，可得平面的一个法向量为． 由（1）知，所以，即，所以平面平面． 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，，，问在棱PD上是否存在一点E，使得平面PAB？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，为中点时，平面PAB，理由如下. 由已知得以AB，AD，AP两两垂直， 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图． ∵， ∴P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)， 设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0，2，－1)， ∵E是棱PD上的点， ∴∥，∴，即① ∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，＝(－1，y－1，z)， ∴由CE∥平面PAB，可得⊥， ∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0， ∴y＝1，代入①式得z＝. ∴E是PD的中点， 此时，由于平面, ∴CE∥平面PAB. 故存在满足题意的点E,使得CE∥平面PAB，且点E为棱PD的中点. 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，根据直线与平面平行的条件：直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用空间向量的坐标运算求解. 【详解】略 16．（25-26高二·湖南·期末）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，为的中点. 【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，设点的坐标，结合面面平行的向量证明方法，即可求解. 【详解】当为的中点时，平面平面． 证明如下：设符合题意．连接，，． 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴平面的一个法向量为． 若平面平面，则也是平面的一个法向量． ∵， ∴，∴， 又， ∴当为的中点时，平面平面． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $