1.4.1 2+3.空间中直线、平面的平行、垂直同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间线面平行垂直，通过基础判断、提升计算、综合探究三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|线面位置关系判断、法向量基本运算|直接应用定义公式，如第1题线面关系判断，培养空间观念| |提升层|面面平行垂直判定、轨迹问题|结合空间坐标系，如第7题动点轨迹计算，发展推理能力| |综合层|折叠问题、面面垂直存在性探究|融入实际情境，如第15题折叠后存在性证明，体现模型观念|

1.4.1 2+3.空间中直线、平面的平行、垂直 1.已知点，，若平面的一个法向量为，则直线AB与平面的位置关系是( ) A. B. C. D.或 2.已知，，为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则( ) A.5 B. C.3 D. 3.在正方体中，PQ与直线、直线AC均垂直且相交，则直线PQ与的关系是( ) A.异面 B.平行 C.垂直不相交 D.垂直且相交 4.如图，在正方体中，E，F分别为BC，CD的中点，则( ) A.平面 B.平面 C.平面 D.平面 5.在空间直角坐标系中，平面的法向量为，直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则下列结论中正确的是( ) A.且 B.且 C.且 D.且 6.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则点M的坐标为( ) A. B. C. D. 7.如图，已知，平面平面ADEF，，，，点P为梯形ADEF内（包括边界）一个动点，且平面CDE，则点P的轨迹长度为( ) A.1 B. C. D.2 8.（多选）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则下列结论正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 9.（多选）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则， 10.在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：①过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；②过点，且以为法向量的平面的方程为.现已知平面，直线则( ) A. B. C. D.l与相交但不垂直 11.已知，分别是平面，的法向量，若，则_____________. 12.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则_________. 13.已知（）是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则________. 14.如图，在直四棱柱中，，，，，分别为AD，AB的中点. （1）求证：. （2）求证：平面平面. 15.如图1，在边长为2的菱形ABCD中，，于点E，将沿DE折起到的位置，使，如图2. （1）求证：平面BCDE. （2）在线段BD上是否存在点P，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 答案以及解析 1.答案：D 解析：因为，，所以，所以或.故选D. 2.答案：B 解析：因为，，为空间内三个不共面的向量，所以可以作为空间的一组基，又平面和平面的法向量分别为和且，所以，则，即，所以解得所以.故选B. 3.答案：B 解析：设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，所以，，设，则即 取，则，所以，又与均不相交，所以PQ与平行. 4.答案：B 解析：以点A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，，.设平面的法向量为，，，则取，可得. 设平面的法向量为，，， 则取，则. 对于A选项，，A错误； 对于B选项，，，且平面，则平面，B正确； 对于C选项，，C错误； 对于D选项，，，D错误.故选B. 5.答案：C 解析：，，，，，即，，所以，.故选C. 6.答案：A 解析：设点M的坐标为，由题知，，，，则，，，因为平面BDE，所以，，所以解得所以点M的坐标为. 7.答案：B 解析：因为平面平面，，平面平面，平面ABF，所以平面ADEF，又，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，， 设，则.因为点P为梯形ADEF内（包括边界）的一个动点，所以可设，则.，，设平面CDE的法向量为，则故可取.因为平面CDE，所以，故，即，取，则，取，则，故点P的轨迹为以点，为端点的线段，长度为. 8.答案：ABD 解析：由，得，则，解得，A正确；由，得，则，解得，B正确；时，，由，得，故或，C错误；时，，由，得，故，D正确. 9.答案：AB 解析：对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，若，则，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，所以，所以，则或，故C错误； 对于D，若，则，则，解得，，故D错误.故选AB. 10.答案：D 解析：由，得，所以平面的一个法向量为，且过点，又由，可得所以，所以直线l的一个方向向量为，且过点，则，所以与不垂直，所以B和C错误，又易知与不共线，则l与不垂直，所以A错误，D正确. 11.答案： 解析：由，可知， 则， 解得， 故答案为：. 12.答案：15 解析：因，依题意，必有， 即存在唯一的实数，使， 即：， 则， 解得：，， 故. 故答案为：15. 13.答案： 解析：由，可知， 即 ， 解得， 故答案为：. 14.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 解析：（1）因为，，所以， 又，，所以，，所以. （2）在直四棱柱中，平面ABCD，又平面ABCD，所以，，所以两两垂直，以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，，，， 设为平面的一个法向量， 则 令，得，所以. 设平面的一个法向量为， 则令，得，则. 故，又平面与平面不重合， 所以平面平面. 15.答案：（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 解析：（1）在题图1中，，所以在题图2中. 又，，平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面，平面BCDE，所以平面BCDE. （2）存在，理由如下： 假设在线段BD上存在一点P，使平面平面. 因为平面BCDE，， 所以以E为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，. 设，， 则，得， 所以. 设平面的一个法向量为， 则 令，此时. 设平面的一个法向量为， 因为，， 所以令，此时. 因为平面平面， 所以，解得， 所以在线段BD上存在点P，使平面平面，且. 学科网（北京）股份有限公司 $