1.4.1 .空间中点、直线和平面的向量表示 同步练习—2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性选修第一册

**基本信息** 高中数学空间向量表示同步练，通过基础-中档-综合三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，适配新授课分层教学需求，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|方向向量概念及简单计算|5道单选，直接考查定义（如方向向量识别）| |中档层|法向量性质及综合判断|3题（多选+单选），结合几何体判断法向量（如直三棱柱中法向量选择）| |综合层|坐标系建立与法向量综合应用|3题（填空+解答），需建模计算（如直角梯形中多平面法向量求解）|

1.4.1 空间中点、直线和平面的向量表示 1.若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为( ) A. B. C. D. 2.在棱长为1的正方体中，O为平面的中心，E为棱BC的中点.以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线OE的一个方向向量为( ) A. B. C. D. 3.在空间直角坐标系中，直线l过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是( ) A. B. C. D. 4.过空间三点，，的平面的一个法向量是( ) A. B. C. D. 5.已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是( ) A. B. C. D. 6.（多选）如图，在直三棱柱中，，，.以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系.以下向量可成为平面的法向量的是( ) A. B. C. D. 7.（多选）下列命题正确的是( ) A.点关于平面对称的点的坐标是 B.零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量 C.若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 D.在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 8.在平行六面体中，，.设，，，则平面的一个法向量为( ) A. B. C. D. 9.平面过点，且平面的一个法向量为，若点，在内，则______，______. 10.平面上三个点，，，写出平面的一个法向量为________. 11.如图，已知ABCD是直角梯形，，，平面，，，试建立适当的坐标系，求： （1）平面ABCD的一个法向量； （2）平面SAB的一个法向量； （3）平面SCD的一个法向量. 答案以及解析 1.答案：C 解析：依题意，直线l的一个方向向量为，其他三个均不符合要求.故选C. 2.答案：B 解析：由题意得，，则，所以为直线OE的一个方向向量. 3.答案：C 解析：依题意，，，则，所以点M的坐标满足的关系式是. 4.答案：A 解析：，.设该平面的一个法向量为，则所以即令，得.因为B，C，D选项中向量不与共线，故选A. 5.答案：C 解析：设点为平面内任意一点，则，所以，可得. 选项A：，故在平面内；选项B：，故在平面内；选项C：，故不在平面内；选项D：，故在平面内.故选C. 6.答案：CD 解析：由题意得，，，，所以，. 设平面的法向量为，则可得即故.故，符合题意.故选CD. 7.答案：ABD 解析：对于A，关于平面对称的点x，y轴的坐标不改变，z轴的坐标相反， 所以点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量，故B正确； 对于C，当时，，不能作为直线l的方向向量，故C错误； 对于D，在z轴所在直线上且垂直于坐标平面， 所以是坐标平面的一个法向量，故D正确. 故选：ABD. 8.答案：D 解析：如图所示. 在平行六面体中，，.设，，，所以，，. 对于A，，故A错误；对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，且，即与，都垂直，则是平面的一个法向量，故D正确.故选D. 9.答案：； 解析：，，由于是平面的一个法向量，所以解得. 10.答案：(答案不唯一) 解析：由，，，则，， 设平面的法向量为，则由，可取. 故答案为：. 11.答案：（1）（答案不唯一） （2）（答案不唯一） （3）（答案不唯一） 解析：（1）以点A为坐标原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 因为平面ABCD， 所以是平面ABCD的一个法向量.（答案不唯一） （2）因为，，，且平面SAB， 所以平面SAB， 所以是平面SAB的一个法向量.（答案不唯一） （3）在平面SCD中，，. 设平面SCD的法向量是， 则，，所以得， 令，得，，所以是平面SCD的一个法向量.（答案不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $