江苏省海门中学2027届高三数学一轮复习作业08

**基本信息** 覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，培养数学思维与空间观念，适配高三暑期复习 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|6题|集合运算、充分条件、立体几何位置关系|正方体线面关系题考查几何直观| |多选|2题|基本不等式、直四棱柱动态问题|结合动点探究考查空间观念| |填空|2题|集合关系、新定义运算|新运算设计培养创新意识| |解答|3题|函数性质、立体几何折叠（证明/二面角/外接球）|折叠问题综合考查推理能力与空间想象|

江苏省海门中学2027届高三数学暑期作业08 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解法，求得集合，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由不等式，解得，所以， 又由集合，所以. 2．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 3．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求出参数的值，再代入分式不等式，移项通分转化为整式不等式求解，注意排除分母为0的情况。 【详解】由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根， 根据韦达定理：，解得，，代入得，解得， 将、代入，得 ， 移项通分： ， 该不等式等价于，即，解二次不等式，得或， 结合，最终解集为. 4．如图，在正方体中，下列结论错误的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【分析】根据正方体的几何性质，利用线面平行、面面平行及线面垂直的判定定理与性质定理逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，则. 又因为平面平面，所以平面，故A正确； 对于，在正方体中，侧棱底面，即平面，故正确； 对于C，平面即平面，在正方形中，. 若平面平面，因为平面平面，且平面. 因为，所以平面，因为平面，所以. 但在正方体中，为等边三角形，所以与不垂直， 这与平面矛盾.所以平面不垂直于平面，故错误； 对于D，由A可知，又平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面平面，故D正确. 5．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用换元法，令，令，逐步求出该复合函数的值域即可. 【详解】令，令， 由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减， 在上单调递增，故， 又易知在上单调递减，故， 即函数的值域为. 故选：A. 6．已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值. 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. 二、多选题 7．已知正数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】正数，满足， 对于A，因为，当且仅当时，等号成立. 所以，， 所以当时，取得最大值，最大值为，故A正确. 对于B，. 因为，当且仅当，即时，等号成立. 所以当时，取得最小值，最小值为. 故B正确. ， 所以当，时，取得最小值，最小值为. 故C正确. ，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故D错误. 8．如图，在直四棱柱中，，，，，点为的中点，点为线段上的动点，则（    ） A． B．平面 C．的最小值为 D．三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】取中点为，连接，根据勾股定理即可判断选项A，取中点为，连接，利用平行四边形得到线线平行，进而利用线面平行判定定理判断选项B，根据的长，即可判断选项C，利用底面外接圆圆心与球心位置关系，结合勾股定理即可判断选项D. 【详解】对于A，取中点为，连接， 因为，，， 所以四边形是正方形， 所以， 所以， 所以，，A正确； 对于B，取中点为，连接， 因为点为的中点， 所以，且， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面，B正确； 对于C，因为， 所以当在上时，满足， 而点为线段上的动点，且与异面， 所以不能为，C错； 对于D，如图，三棱锥中，为外接圆圆心，为其半径， 在中，， 所以， 由正弦定理得，， 所以，记球心到平面的距离为，球半径为， 则， 在中，， 在中，， 上式联立即可得到，， 所以， 所以三棱锥外接球的表面积为，D正确. 三、填空题 9．已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【分析】根据集合A是非空集合且⫋，得到中只有1个元素，即一元二次方程只有一个根，然后由求解. 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 10．在上定义运算：，当时，不等式有解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用运算的定义，结合不等式的性质可得的取值范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】依题意得， 由得，所以 所以，所以. 当时，不等式有解，所以， 即实数的取值范围是. 四、解答题 11．已知函数. (1)当时，若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)若，，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，分情况讨论即可； （2）首先根据代入函数表达式，整理得到与的和为定值；再将所求式与该定值结合，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）当时，，不等式的解集为， 当时，，这是一次函数，解集不可能为，舍去； 当时，二次函数开口向下，的解集不可能为，舍去； 当时，需要满足， 展开并整理：， 因式分解：，解得， 所以实数的取值范围是。 （2）已知，代入函数得：， 整理得：， 因为，所以，且可变形为， 令，则，目标式变为：， ， 由基本不等式，当且仅当即时取等号， 代入，得，，此时，， 因此：， 所以的最小值为. 12．设函数 (1)若，求的最小值； (2)若恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1). (2)∪[2，＋∞）． 【详解】（1）若，则；作出的图像，如图所示，的最小值为. （2）设， ①若时，与轴有一个交点，则， 此时函数图像在上与轴也只有一个交点，或，， 又因为，所以. ②若函数的图像与轴没有交点，， 若，即，此时或它们均不在范围内， 此时在无零点，此时不符合题意，故舍去 当时，或， 此时函数的图像在与轴有两个交点，符合题意，此时. 综上所述，实数a的取值范围为. 13．如图，在矩形ABCD中，为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起到△，使得平面平面，连接． (1)证明：平面； (2)设的中点为，求二面角的正切值； (3)点均在球的球面上，求球的表面积． 【答案】(1)证明：矩形ABCD中，，，为AB的中点， 由勾股定理得， 又，所以， 由勾股定理逆定理得， 因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面； (2)； (3) 【分析】（1）由勾股定理逆定理得，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，结合，得到线面垂直； （2）证明线面垂直，即为二面角的平面角，求出各边长，得到二面角的正切值； （3）作出辅助线，找到球心的位置，并根据半径相等得到方程，求出外接球半径，得到答案 【详解】（1）略 （2）过点在平面内作，垂足为点，连接． 由（1）知平面，因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 由（1）知平面，因为平面，所以， ，由勾股定理得， 因为的中点为，所以． 其中，又， 故，解得， 所以二面角的正切值为； （3）连接BD，设中点为O，由△BCD为直角三角形，则， 则G在过O点且垂直于平面BCD的直线上． 过点作⊥于点，连接，则， ， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 故球心G与在平面BCD两侧．设，球G的半径为R， 过点作⊥，交的延长线于点，则， 则，， 所以，解得． 则，故球的表面积为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学2027届高三数学暑期作业08 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方体中，下列结论错误的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 5．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 二、多选题 7．已知正数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 8．如图，在直四棱柱中，，，，，点为的中点，点为线段上的动点，则（    ） A． B．平面 C．的最小值为 D．三棱锥外接球的表面积为 三、填空题 9．已知非空集合，且⫋，则___________ 10．在上定义运算：，当时，不等式有解，则实数的取值范围是________. 四、解答题 11．已知函数. (1)当时，若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)若，，，求的最小值. 12．设函数 (1)若，求的最小值； (2)若恰有2个零点，求实数a的取值范围． 13．如图，在矩形ABCD中，为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起到△，使得平面平面，连接． (1)证明：平面； (2)设的中点为，求二面角的正切值； (3)点均在球的球面上，求球的表面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $