江苏省海门中学2027届高三数学一轮复习作业04

**基本信息** 高三数学暑期作业，聚焦基础巩固与能力提升，涵盖集合、函数、立体几何等核心模块，如单选题考查集合运算与充分条件判断，解答题综合函数零点分析与四棱锥体积证明，注重数学思维与几何直观的培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题|集合运算、充分条件、不等式恒成立、函数图像识别、异面直线成角|基础题为主，第1题集合运算考查抽象能力，第5题立体几何体现空间观念| |多选题|2题|长方体几何性质、函数性质与方程根|多选项设计，第7题综合线面平行与空间角，考查推理能力| |填空题|2题|基本不等式求最值、函数最值与参数范围|简洁设问，第9题基本不等式考查运算能力| |解答题|3题|命题真假与充要条件、函数零点、四棱锥体积/证明/二面角|分层设问，第13题三问从体积到证明再到二面角，提升创新应用能力|

江苏省海门中学2027届高三数学暑期作业04 一、单选题 1．已知集合，，若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，， 若，则. 2．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对进行分类讨论来求解不等式恒成立问题. 【详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 4．下列图象与函数图象最符合的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论函数的性质选取对应的图象即可. 【详解】,所以为偶函数，故排除A. 讨论在时的图象性质. , 令. 根据的符号可知，在单调增，在单调减. 故排除B、C.故答案选D. 5．如图，已知，分别是圆柱的下底面圆直径与母线，点在上底面圆的圆周上，且，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合圆柱的性质，根据异面直线所成角的定义，找到异面直线与所成的角（或补角），分别求得其所在三角形三边的长，利用余弦定理可求得其余弦值. 【详解】设圆柱的底面半径为，则. 如图过点作，交圆于点. 则，所以四边形是矩形， 所以. 则在下底面圆周上，取点，使. 又，所以，所以四边形为菱形， 所以，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以异面直线与所成的角等于与所成的角，即或其补角. 中，， . 所以. 即异面直线与所成角的余弦值为. 6．设函数，若互不相等的实数a，b，c满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出函数的图象，不妨令，则．结合图象可得，从而可得结果． 【详解】画出函数的图象如图所示． 不妨令，则，则． 结合图象可得，故． ∴． 故选：D． 【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有： 1、确定方程根的个数； 2、求参数的取值范围； 3、求不等式的解集； 4、研究函数性质． 二、多选题 7．如图，在长方体中，，，M，N，P分别为AB，CD，的中点，则（    ） A．平面 B．直线与CP所成的角等于 C．点P到平面的距离为 D．二面角的大小为 【答案】BC 【分析】对于选项A，利用反证法证明与平面不平行；对于选项B，通过平移转化为两条相交直线所成的角，解三角形即得；对于选项C，作出点到平面的垂线段，解三角形即得；对于选项D，作出二面角的平面角求解. 【详解】对于选项A，假设平面，因为分别为的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面，又平面，且， 所以平面平面. 根据长方体的性质，有平面平面， 所以平面平面，显然矛盾，故选项A错误； 对于选项B，取的中点，连接，因为分别为的中点， 所以，又，所以， 所以与CP所成的角等于与所成的角，即或其补角. 又，所以，故选项B正确； 对于选项C，如图（1），取的中点分别为，连， 设.根据长方体的性质，则平面， 又平面，所以平面平面，平面平面，过作，则平面， 所以的长即为点到平面的距离. 在图（2）中，设，则， ，，所以， 因此，故选项C正确； 对于选项D，根据长方体的性质知平面平面， 所以即为二面角的平面角，在中，， 所以，故选项D错误. 8．已知函数，则（   ） A．的值域为 B．关于的方程有3个实数根 C．当时，关于的方程有4个实数根 D．若函数，则对于，都有 【答案】ABD 【分析】先分析函数的定义域、值域等基本性质，通过换元法处理含的方程根的个数问题，结合函数单调性判断选项D即可. 【详解】函数的定义域为，为偶函数，令且，则. 对选项A： ∵ . ∴ 当时，，故. 当时，，故. ∴ 的值域为，A正确. 对选项B： 令，方程转化为. 解得（舍去），即，故或. ∵ 时，，共个解. 时，，共个解. ∴ 方程共有个实根，B正确. 对选项C： 令，方程转化为，判别式. 当时，，方程有两个不等实根，由韦达定理得，. 若，则方程根为或，时无解，对应3个实根，总解数为3，不符合“4个实根”的结论，故C错误. 对选项D： 当时，，显然在上单调递减. ∵ 时，，且，即. ∴ ，即，D正确. 【点睛】方法归纳：本题考查含绝对值的分式函数性质，处理复合方程问题常用换元法将复杂方程转化为二次方程求解，结合函数值域判断解的个数；单调性比较函数值大小需先判断自变量大小关系. 三、填空题 9．已知，则的最小值为_______. 【答案】/ 【分析】先由判断，再将配凑，利用乘法结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 10．已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 即， 当时，在上单调递减，此时， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 四、解答题 11．已知命题“存在，使得”为假命题． (1)求实数的取值集合A． (2)设的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据存在量词命题的否定，利用二次函数图象性质解决问题； （2）根据是的必要不充分条件可得集合包含关系，利用子集列出不等式，解决参数范围问题． 【详解】（1）因为“存在，使得”为假命题， 故，使为真命题， 所以，解得， 得到； （2）由整理可得 设，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，所以，所以， 所以， 因为是的必要不充分条件， 故是的真子集，所以（等号不同时成立），解得． 故实数的取值范围为． 12．设函数 (1)若，求的最小值； (2)若恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1). (2)∪[2，＋∞）． 【详解】（1）若，则；作出的图像，如图所示，的最小值为. （2）设， ①若时，与轴有一个交点，则， 此时函数图像在上与轴也只有一个交点，或，， 又因为，所以. ②若函数的图像与轴没有交点，， 若，即，此时或它们均不在范围内， 此时在无零点，此时不符合题意，故舍去 当时，或， 此时函数的图像在与轴有两个交点，符合题意，此时. 综上所述，实数a的取值范围为. 13．在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，． (1)求四棱锥的体积． (2)若为的中点，点满足，证明：平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明：过点作，交于点，连接． 因为，所以．因为为的中点，，所以．    又，所以四边形是平行四边形，则． 因为平面，平面，所以平面，     同理可证平面．    因为，所以平面平面． 因为平面，所以平面． (3) 【详解】（1）解：因为梯形的面积， 所以四棱锥的体积． （2）略 （3）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 设平面的法向量为． 由，得， 取，则． 易知平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学2027届高三数学暑期作业04 一、单选题 1．已知集合，，若，则实数（     ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．下列图象与函数图象最符合的为（    ） A．B．C．D． 5．如图，已知，分别是圆柱的下底面圆直径与母线，点在上底面圆的圆周上，且，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．设函数，若互不相等的实数a，b，c满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，在长方体中，，，M，N，P分别为AB，CD，的中点，则（    ） A．平面 B．直线与CP所成的角等于 C．点P到平面的距离为 D．二面角的大小为 8．已知函数，则（   ） A．的值域为 B．关于的方程有3个实数根 C．当时，关于的方程有4个实数根 D．若函数，则对于，都有 三、填空题 9．已知，则的最小值为_______. 10．已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 四、解答题 11．已知命题“存在，使得”为假命题． (1)求实数的取值集合A． (2)设的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 12．设函数 (1)若，求的最小值； (2)若恰有2个零点，求实数a的取值范围． 13．在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，． (1)求四棱锥的体积． (2)若为的中点，点满足，证明：平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $