江苏省海门中学2027届高三数学一轮复习作业01

**基本信息** 高三数学暑期作业聚焦集合、立体几何等基础，通过创新定义（如差集）、折叠问题等设计，融合抽象能力与空间观念，适配暑期分层巩固需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|6|集合运算、空间线面关系、不等式恒成立|第5题新定义“差集”“对称差集”，考查抽象能力| |多选题|2|正方体线面关系、基本不等式|第7题结合正方体动态问题，体现几何直观| |填空题|2|命题真假判断、函数最值|第10题分层设问函数最值，培养运算能力| |解答题|3|平行六面体动态问题、函数与不等式应用、三棱锥折叠证明|第13题折叠问题综合空间证明与二面角计算，发展推理能力与空间观念|

江苏省海门中学2027届高三数学暑期作业01 一、单选题 1．已知集合，集合，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】求出集合 ,根据集合的并集运算求得结果. 【详解】解：因为  ，或， 所以或， 故选：C. 2．在空间中，l，m是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】若，，，则或是异面直线，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确； 3．已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，在的情况下讨论；对于B，取，讨论即可；对于C，在的情况下讨论；对于D，通过不等式变换即可. 【详解】选项A：若，则，错误. 选项B：若，，，，错误. 选项C：若，，，错误. 选项D：因为，所以，故成立，正确. 4．对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A正确. 5．对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 6．在三棱锥中，底面是直角三角形且，平面，当该三棱锥的外接球表面积为时，则它的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先补形得到长方体，进而求出，再利用等体积思想求出. 【详解】设三棱锥的外接球半径为，则其外接球的表面积，得， 因为，且是直角三角形，所以， 又因为三棱锥的外接球的直径就是以，，为棱的长方体的体对角线， 设，则根据长方体体对角线公式可得， 把代入，即，解得， 因为， 所以三棱锥的体积， 又， ，， 所以三棱锥的表面积为， 设三棱锥的内切球半径为， 根据等体积法，即， 则． 二、多选题 7．在正方体中，下列说法正确的是（    ） A．直线与平面所成的角为 B． C．平面平面 D．当在棱上运动时，三棱锥的体积与该正方体的棱长有关 【答案】BCD 【分析】法一找到线面角，利用定义法判断A，利用线面垂直的判定定理得到面，进而得到判断B，利用面面垂直的判定定理判断C，求出底面面积，利用等体积法求出点到平面的距离，利用棱锥的体积公式得到，进而判断D即可，法二空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用线面角的向量求法判断A，利用空间位置关系的向量证明判断B，C，求出底面三角形面积和点到平面的距离，利用棱锥的体积公式得到，进而判断D即可. 【详解】法一：对于A，如图，作出符合题意的图形，连接， 由正方体性质得面，则直线与平面所成的角为， 设正方体的棱长为，由勾股定理得，，， 则，故A错误， 对于B，由正方体性质得，， 而，面，可得面， 而面，则，故B正确， 对于C，因为面，所以平面平面，故C正确， 对于D，如图，作出符合题意的图形，连接， 由正方体性质得，因为面，面， 所以面，而在棱上运动， 可得到面的距离等于到面的距离， 由勾股定理得，由正方体性质得面， 而面，则， 由三角形面积公式得， 设到面的距离为，由等体积公式得， 则，解得， 由棱锥的体积公式得， 可得三棱锥的体积与该正方体的棱长有关，故D正确. 法二：对于A，如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，连接，作出符合题意的图形， 由题意得，，，则， 由题意得平面的法向量为， 则， 则直线与平面所成的角不为，故A错误； 对于B，由题意得，，则， 可得，则，故B正确； 对于C，由题意得，， 设平面的法向量，可得， 令，解得，则， 由题意得，，设面的法向量为， 可得，令，解得，则， 则，得到平面平面，故C正确， 对于D，设正方体的棱长为，由题意得，，， 则，，设平面的法向量， 可得，令，解得， 则，由题意得，，，， 则，，设， 可得，解得，则， 则，设到面的距离为， 由点到平面的距离公式得， 因为，，，所以， 由两点间距离公式得，， 由勾股定理得，则， 由三角形面积公式得， 由棱锥的体积公式得， 可得三棱锥的体积与该正方体的棱长有关，故D正确. 8．若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】利用（为正实数）和基本不等式逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A，由正实数，满足，易得，故A正确； 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，由B项知，则， 即有最小值为，无最大值，故C错误； 对于D，因为，且为正实数，所以， 当且仅当时，有最小值，故D正确. 三、填空题 9．已知“，”为假命题，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据命题的否定为真命题，写出命题的否定，然后分和两种情况讨论求解. 【详解】因为“，”为假命题，所以其否定“，”是真命题， 当时，不等式变为，解得，这与矛盾，所以. 当时，要使，恒成立， 则得. 故答案为： 10．设函数，若，则的最小值为________；若有最小值，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】第一空，分段分别求值域，对比两段取值得到全局最小；第二空，利用指数函数下界，约束二次函数最小值小于等于该下界，解参数范围. 【详解】第一空，当时，，，函数在区间单调递增，则值域为；，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，则值域为，则函数在定义域内最小值为； 第二空，当时，函数右段最小值，不满足要求； 当时，函数右段最小值，则， 综上所述，. 四、解答题 11．如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设基向量，利用基底表示，根据三点共线即可求出； （2）根据基底以及得出即可求出. 【详解】（1）设基向量， 则， 因为， 所以， 因为三点共线，设， 则， 所以，得. （2）因为，且， 所以， 得，即， 故，即，所以的最大值为. 12．已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 【答案】(1) (2)时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）由的解集为，得 1和3是方程的两个根，结合韦达定理列方程求解参数，即可得到的解析式； （2）将代入并因式分解，根据确定对应方程的两个根，比较两个根的大小关系，根据一元二次不等式大于0的解集规律得到结果； （3）由得，根据，，结合基本不等式求最小值. 【详解】（1）的解集为，1和3是方程的两个根，且. ，解得； . （2），，. 令，得，则，. ，. 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综合所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. （3），，，得. . ，，. . 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 13．已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边的边长为3，，. ，. 由余弦定理得，解得； ，，； 为直角三角形，即. . 平面平面，平面平面，平面 平面； 平面，. (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求出，根据三角形三边满足勾股定理，证得，由面面垂直得到线面垂直，再由线面垂直证得线线垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，从而确定线面的夹角，根据直角三角形的边的关系，求得线面夹角的正弦值； （3）以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据异面夹角的计算公式即可求得. 【详解】（1）略 （2）由（1），得. 由折叠得，. 平面平面，平面平面，平面 平面. 为直线与平面所成的角. ，，，，，. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为 （3）线段上存在一点，使得二面角的大小为，且线段的长度为，理由如下： 平面，平面，平面，，. 平面，平面，. 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，. . 点在线段上，设，得. ，. 平面，平面的法向量可取. 设平面的法向量为，则，即； 令，则，. 平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ，解得或. ，. ，则. 即线段的长度为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学2027届高三数学暑期作业01 一、单选题 1．已知集合，集合，则（    ） A．或 B． C．或 D． 2．在空间中，l，m是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．已知，且，则（     ） A． B． C． D． 4．对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C．或 D． 5．对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 6．在三棱锥中，底面是直角三角形且，平面，当该三棱锥的外接球表面积为时，则它的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在正方体中，下列说法正确的是（    ） A．直线与平面所成的角为 B． C．平面平面 D．当在棱上运动时，三棱锥的体积与该正方体的棱长有关 8．若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 三、填空题 9．已知“，”为假命题，则的取值范围是________. 10．设函数，若，则的最小值为________；若有最小值，则的取值范围是________． 四、解答题 11．如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； 12．已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 13．已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $