综合测试卷2-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 综合训练卷整合函数、几何、概率等模块，通过典例提炼构造函数、空间向量等通性通法，体现知识网络构建与逻辑推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|14题|数列下标性质、导数求最值、分层抽样方差计算|代数（数列、函数）、几何（双曲线、球）、概率统计的概念生成与应用| |解答题|5题|构造函数证不等式、空间向量求二面角、概率递推模型|从概念推导（如椭圆离心率）到综合应用（如投篮概率递推），形成完整逻辑链条|

综合测试卷二 一、单选题 1．记等差数列的前项和为，则（    ） A．120 B．140 C．160 D．180 2．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（    ） A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差 B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1 C．已知随机变量服从正态分布，若，则 D．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则 3．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 5．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（    ）． A． B． C．2 D． 6．如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 10．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是的极大值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正整数k，使得恒成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 11．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 三、填空题 12．已知是等比数列的前项和，，，则 ． 13．某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为 ． 14．如图所示，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，上的动点（包含端点），当，分别为棱，的中点时，则过，，三点作正方体的截面，所得截面为 边形 四、解答题 15．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B；(2)若的面积为，求c． 16．如图，三棱柱的底面是等边三角形，，，D，E，F分别为，，的中点. (1)在线段上找一点，使平面，并说明理由； (2)若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值. 17．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 18．已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值. 19．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 2．C 【分析】对于A项，由分层抽样的方差公式判断即可；对于B项，运用越大相关性越强可判断；对于C项，由正态分布的对称性可求得结果；对于D项，运用百分位数计算公式即可求得结果. 【详解】对于A项，总体方差与样本容量有关，故A项错误； 对于B项，相关性越强，越接近于1；故B项错误； 对于C项，若，则，所以，故C项正确； 对于D项，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为，乙组：第30百分位数为，第50百分位数为， 所以，解得：，故.故D项错误. 故选：C. 3．A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 4．B 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 5．A 【分析】求导，求出切点坐标，利用点线距求解. 【详解】∵，设为所求的点， 则 得，，则点P到直线的最小距离为． 故选:A. 6．D 【分析】 由球的表面积求出球的半径，然后通过轴截面求出圆台的高，进一步求出圆台的体积. 【详解】 因为圆台外接球的表面积，所以球的半径， 设圆台的上､下底面圆心分别为，在上､下底面圆周上分别取点， 连接，如图， 因为圆台上､下底面的半径分别为3和4， 所以，， 所以，, 所以， 所以圆台体积. 故选：D. 7．D 【分析】根据，构造函数，利用导数判断其在上单调递减，把不等式的解集等价转化为，进一步得到答案. 【详解】因为，所以的图像关于直线对称，所以， 设，则 ，因为，所以,所以在上为减函数， 又 ，因为，所以 ，所以. 故选：. 8．A 【详解】因为函数与函数的图象关于x轴对称， 根据已知得函数的图象与函数的图象有交点， 即方程在上有解， 即在上有解． 令，， 则， 可知在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由于，，且， 所以． 故选：A． 9．ABD 【分析】变换得到，令，可得A正确，，B正确，令，计算C错误，两边同时求导，令，得到D正确，得到答案. 【详解】， 展开式的通项为， 对选项A：令，可得，正确； 对选项B：，所以，正确； 对选项C：令，可得，错误； 对选项D：，两边同时求导，得，令，，正确． 故选：ABD 10．BD 【分析】分析导函数可作判断A；考查函数的单调性可作判断B；分离参数，再分析函数最值情况而作出判断C；构造函数讨论其单调性，确定即可判断D. 【详解】对于A，定义域为，， 时,时，是的极小值点，A错误； 对于B，令， 在上递减，，有唯一零点，B正确； 对于C，令， 令，时,时,， 在上递减，在上递增，则， ，在上递减，图象恒在x轴上方， 与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误； 对于D，由A选项知，在上递减，在上递增， 由正实数，且，，得， 当时，令， ，即在上递减， 于是有，从而有， 又 ，所以，即成立，D正确. 故选：BD 11．AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC.    12．/7.75 【分析】由条件结合等比数列通项公式求首项和公比，再利用求和公式求. 【详解】设等比数列的公比为， 由，， 可得，， 解方程得，或， 当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 13． 【分析】根据题意，分析可得含1个二等品零件的包数占，进而由对立事件和互斥事件的概率公式计算可得答案． 【详解】解：根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占，则含1个二等品零件的包数占， 在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率， 在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率， 则小张决定采购该企业产品的概率； 故答案为：． 14．五 【分析】利用线线、线面平行的性质作出截面即可判断. 【详解】    如图，取中点，连接，有，且， 则四边形是平行四边形，有，过作的平行线交于点， 此时，则，即为过，，三点的平面与平面的交线， 连接，在上取点，使得，连接，同证的方法得， 在棱上取点，使，连接并延长交直线于，则， 即，而，于是四边形是平行四边形， 有，则为过，，三点的平面与平面的交线， 连接，则可得五边形即为正方体中过，，三点的截面． 故答案为：五 15．(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16．(1)点为的中点，理由见解析 (2) 【分析】（1）当点为的中点，为中点，可以证明四边形为平行四边形，从而有，进而证明平面. （2）取中点，连接，首先证明三线两两互相垂直，建立空间直角坐标系后分别求出两平面的法向量，进一步利用相应公式即可求解. 【详解】（1）如图所示： 当点为的中点时，平面，证明如下： 设为中点，连接. 因为在三棱柱中，， 分别为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形. 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）如图所示： 取中点，连接. 因为，， 所以为正三角形，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 因为为等边三角形，所以. 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 依题意得， 所以，. 设平面的法向量， 则由，得，令，得. 取平面的法向量， 设平面与平面所成二面角的大小为， 则. 所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 17．(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论求解导函数为正为负的不等式解集即得. （2）由（1）中信息，求出函数的最小值，再构造函数，结合不等式性质推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，由，得，函数在上单调递减， 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 令函数，求导得，当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减，则， 于是，有，当时，则， 因此， 所以. 18．(1) (2) 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆的方程； （2）分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，求出线段的垂直平分线的方程，可求得点的坐标，分析可得，利用两点间的距离公式可求得的值. 【详解】（1）由题设得，解得，，， 所以椭圆的方程为. （2）由，得， 由，得. 设、，则，， 所以点的横坐标，纵坐标， 所以直线的方程为. 令，则点的纵坐标，则， 因为，所以点、点在原点两侧. 因为，所以，所以. 又因为，， 所以，解得，所以. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $