综合测试卷1-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以高频考点为载体，整合统计概率、数列、立几、函数导数、解几模块，通过问题转化、构造函数等方法，构建知识间逻辑链条，培养数学思维与表达。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计概率|4|分层抽样、条件概率、正态分布|样本估计与概率模型的应用| |数列|3|等比数列证明、错位相减|递推关系到通项公式的转化| |立体几何|3|外接球、线面垂直、二面角|空间几何性质与空间向量结合| |函数导数|5|极值点转化、构造函数、切线方程|导数与函数性质的逻辑推导| |解析几何|3|离心率、抛物线定义、定值问题|圆锥曲线定义与几何性质应用|

高三数学综合训练一 一、单选题 1．下列说法不正确的是（    ） A．甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18 B．设一组样本数据，，…，的方差为2，则数据，，.…，的方差为32 C．在一个列联表中，计算得到的值，则的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大 D．已知随机变量，且，则 2．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（    ） A． B． C． D． 4．三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．若函数在上恰有2个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（    ） A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08 B．该零件是次品的概率为0.03 C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98 D．如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为 10．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CC1的中点，P为线段EF上的动点，则（    ） A．线段DP长度的最小值为2 B．三棱锥D-A1AP的体积为定值 C．平面AEF截正方体所得截面为梯形 D．直线DP与AA1所成角的大小可能为 11．是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 13．已知为等比数列，公比，，且成等差数列，则通项公式 ． 14．已知抛物线：的焦点为，，为上一点，则的最小值为 ． 四、解答题 15．在数列中，，. (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． (1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； (2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； （ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和期望． 附参考数据，若随机变量X服从正态分布，则，，． 17．如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 18．已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值. 19．已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】 根据比例分层抽样的性质可得样本容量，故可判断A的正误，根据两类数据之间的关系结合方差公式可判断B的正误，根据的意义可判断C的正误，根据正态分布的对称性可计算的值，故可判断D的正误. 【详解】对于A：设样本容量为，则，故，故A正确. 对于B：设样本数据，，…，的均值为， 则数据，，.…，的均值为， 故数据，，.…，的方差为： ， 故B正确. 对于C：越大，可以判断两个变量相关的把握性越大，越小则把握性越小，故C错误. 对于D：由正态分布的对称性可得： ， 故D正确. 故选：C. 2．D 【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出，，根据条件概率公式求解即可． 【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B， 事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则， 又，则， 即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为． 故选：D． 3．C 【分析】结合等差数列的前项和，根据等差数列的性质判断． 【详解】是等差数列，∴，又，所以，公差， 因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增， 又，， 所以使得的最大的为11， 故选：C． 4．B 【分析】利用余弦定理先求出底面三角形的外接圆半径，再利用为三棱锥的高，为外接球半径），即可求解． 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，所以， 设的外接圆半径为， 则，所以， 平面，且， 设三棱锥外接球半径为， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：B． 5．A 【分析】函数在上恰有2个极值点，即在上恰有2个变号零点，继而转化为与函数的图象在上恰有2个交点，数形结合，即可求得答案. 【详解】函数的定义域为，， 函数在上恰有2个极值点， 即在上恰有2个变号零点， 令，则， 由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 且，    要使得在上恰有2个变号零点， 需与函数的图象在上恰有2个交点， 故，即a得取值范围为， 故选：A 6．D 【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小. 【详解】设，， 时，，为减函数， 时，，为增函数，所以， ，即. 设，， 时，，为增函数， 时，，为减函数， 所以，，即，所以. 设，， 为增函数，所以，所以，即. 故选：D 7．B 【分析】根据双曲线定义及可得，的长度，再由勾股定理可得离心率. 【详解】由，，可得， 由双曲线定义可知， 所以，，， 由勾股定理可得，可得， 故， 故选:B. 8．B 【分析】根据导数的几何意义求出过点的切线方程为，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为图象与直线在R上有3个交点，结合导数求出函数的极值，根据数形结合的思想即可求解. 【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为， 所以切线方程为， 又切线过点，则，整理得. 要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解， 即函数图象与直线在R上有3个交点， 设，则， 令，令或， 所以函数在上单调递增，在和上单调递减， 且极小值、极大值分别为，如图， 由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点， 即过点的切线有3条. 所以实数a的取值范围为. 故选：B. 9．BC 【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判断A，B；利用条件概率公式、对立事件即可判断C，D． 【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件， 则，，，，，， 对于，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故A错误； 对于，任取一个零件是次品的概率为，故B正确； 对于，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确； 对于，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为 ，故D错误． 故选：BC． 10．BC 【分析】对于A：根据等腰三角形的性质可判断DP的最小值位置，求得即可判断；对于B：线面平行时，线上的点到面的距离相等，再根据三棱锥D-A1AP的体积等于三棱锥P-A1AD的体积可判断；对于C：作出平面AEF截正方体所得截面即可判断；对于D：作出直线DP与AA1所成的角，并求出对应的正切的最小值即可判断. 【详解】 对于A：，当点为的中点时，此时DP长度的最小，最小值为，A错； 对于B：平面，点到平面的距离等于到平面的距离， 故三棱锥D-A1AP的体积等于三棱锥P-A1AD的体积也等于三棱锥E-A1AD的体积， 为，B正确； 对于C：如图平面AEF截正方体所得截面为四边形， 因为，且，所以四边形为梯形，C正确； 对于D：过点作于点,连接,则平面， 所以,则直线DP与AA1所成角的大小为或其补角， 令则， 令， ，当时，， 当，而在上单调递增， 所以，即， 故直线DP与AA1所成角的大小不可能为，D错. 故选：BC 11．AC 【分析】令，求出函数的导数，结合函数的单调性判断即可. 【详解】令， ∵当时，， ∴当时，， ∴在上单调递增； 又为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数， ∴为上的奇函数； ∴在上单调递增. 由，可得，故A正确； 由，可得，故B错误； 由，可得，故C正确； 由，可得，故D错误. 故选：AC. 12． 【分析】由二项式定理得到的通项公式，结合，得到，得到的系数. 【详解】的通项公式为， 令得，，此时， 令得，，此时， 故的系数为 故答案为： 13． 【分析】由成等差数列，得，然后利用等比数列通项公式，代入求出公比即可. 【详解】由成等差数列，且， 得，解得或， 又，所以，所以， 故答案为：. 14．5 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】过作准线的垂线，垂足为，则， 显然点在抛物线内，则当，，三点共线时，最小，其最小值为． 故答案为：    15．(1)证明见解析；； (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明，由等比数列的通项公式化简，可得数列的通项公式； （2）由分组求和法化简求解即可． 【详解】（1）， 当时，， 数列是首项为，公比为的等比数列， ，； （2） 数列的前项和 ． 16．(1)； (2)（i）1587；（ii）分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可； （2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正泰分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列与数学期望即可. 【详解】（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖． 从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为， 设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为， 因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以， 即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为． （2）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值 ， 则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布． （ⅰ）因为，所以． 故参赛学生中成绩超过79分的学生数为． （ⅱ）由，得， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为． 所以随机变量服从二项分布， 所以，， ，． 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 均值． 17．(1)证明见解析 (2)存在；是上靠近的三等分点 【分析】（1）过点作于点，由面面垂直性质定理可得平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点的位置； 【详解】（1）过点作于点， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面．    （2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为， 以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 即取，，， 所以为平面的一个法向量， 因为在线段上（不含端点），所以可设，， 所以， 设平面的一个法向量为， 即， 取，，， 所以为平面的一个法向量， ，又， 由已知可得 解得或（舍去）， 所以，存在点，使得二面角的余弦值为， 此时是上靠近的三等分点．    18．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据离心率以及的几何性质即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，根据两点斜率公式，代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意可知：，又，解得， 所以椭圆方程为 （2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且， 直线的方程为：， 联立直线与椭圆方程：， 设， 则， ， 将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证. 19．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）通过转化构造函数，利用导数求出该函数的最小值即可； （2）通过利用极值点偏移的知识，令，，利用导数相关知识转化为证明即可. 【详解】（1）结合题意：对于任意，都有，所以， 因为，所以只需， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以只需； （2）等价于， 设函数，，易知在区间上单调递增；上单调递减， 由知且，， 设函数，其中， 知， 知在区间上单调递增，即时， 即时，， 即， 又由已知由且， 有且，由在上单调递减， 所以，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $