限时训练卷28 平面向量与复数综合训练试卷-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 2027年高考数学一轮限时训练卷（平面向量与复数），120分钟150分，通过基础与综合题梯度设计，考查向量线性运算、复数三角形式等，融入数学抽象与逻辑推理，适配一轮复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8题40分|向量夹角、复数方程根|结合梯形、圆等几何情境，考查数学眼光| |选择题（多选）|3题18分|向量投影、复数纯虚数|多选项设计，区分思维层次| |填空题|3题15分|向量模最值、共轭复数|小切口深挖掘，如外心性质应用| |解答题|5题77分|向量表示与夹角、复数几何意义|综合题如三角形中线交点问题，体现数学思维与语言表达|

2027年高考一轮限时训练卷28　平面向量与复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·山东聊城·期末）在梯形中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将、用、作为基底表示，利用平面向量基本定理列方程求解、，再计算. 【详解】由题意，可得， 则 ， ， 将上述两式代入，整理得： ， 由于、为不共线的非零向量，根据平面向量基本定理，等式两边对应向量的系数相等， 得： 解得，则， 因此. 2．（25-26高三·安徽合肥·期末）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知模长等式平方得到、与的关系，再利用向量夹角的数量积公式求解夹角 【详解】已知非零向量满足， 由，平方得， 展开得，化简得； 由，平方得，将代入，得，即， 设与的夹角为，，根据向量夹角公式： 计算分子： ； 分母：； 代入得，结合，得. 3．（25-26高三·山东菏泽·期中）已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，若复数是大于5的实数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实系数一元二次方程的虚根共轭成对，利用韦达定理，求出实数和的值，再由复数能与实数5比较大小，建立关于的不等式，求解即可. 【详解】已知是实系数方程的根， 根据实系数一元二次方程虚根共轭成对定理，另一个根为 两根和：，得； 两根积：，解得 只有实数才能比较大小，则必须是实数，且大于5. 展开乘积： 若满足大于5，需满足两个条件： 1. 虚部为0： 2. 实部大于5：把代入实部， 得：. 4．（25-26高三·北京·期末）已知向量，，是两两不平行的向量，“且”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性验证：若且. 根据共线向量定理，存在，满足：① ② 由①整理得，代入②得： 整理得. 因为不共线，根据平面向量基本定理，对应系数相等：， 联立消去得，充分性成立. 必要性验证：若，取，满足两两不平行， 此时，，显然，两向量不平行，无法推出题设的两个平行关系，必要性不成立. 综上，题设条件是的充分不必要条件. 5．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知复数满足，则（    ） A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值2 D．有最大值2 【答案】A 【详解】设，则， 由，得，解得， 则，当且仅当时等号成立， 所以有最小值1，无最大值. 6．（25-26高三·四川眉山·期末）若正方形边长为2，是的中点，于点，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过建立平面直角坐标系，求出各点坐标及E点坐标，逐一验证各选项即可 【详解】以A为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立平面直角坐标系： 则，，则， 设，则, 因为，所以，故， 因为E在直线上，所以存在唯一的实数使得，即， 即，即，所以，则， 对于A项，由，则，故A错误； 对于B项，，故，故B错误； 对于C项，，故C正确； 对于D项，，故D错误.    7．（25-26高三·江苏南京·期中）任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式表示，再应用复数的乘方计算结合诱导公式及特殊角三角函数求解. 【详解】由题意可得， 故 ， 即的虚部为. 8．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·期中）半径为4的圆上有三点，线段长为4，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积，结合点的位置求解即可. 【详解】如图，设圆的圆心为点，，则为等边三角形. 过点作，交于点， 当点在点右侧时， 当点在点左侧时，； 当点在点正上方时，，. 当点在点右侧时，由图知当点与点重合时，， 此时，即； 当点在点左侧时，由图知当点与点重合时，， 此时，则， 综上，的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·福建三明·期末）在梯形中，，，，，，，交于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】以为平面向量的基底，利用平面向量基本定理，可表示，，可判断CD的真假，再利用平面向量数量积的运算法则，可判断AB的真假. 【详解】如图， 对A，， 所以， 所以，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，， 因为三点共线，所以，所以. 所以. 又，所以，故C正确； 对D，，故D正确. 10．（25-26高三·江苏宿迁·期末）若复数，，则下列命题中正确的是（） A．当或2时，是纯虚数 B．当时， C．当时，复数在复平面内所对应的点在第三象限 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用复数的基本概念依次分析各选项即可. 【详解】选项A，实部：，解得或. 时，虚部； 时，虚部，此时为实数，不是纯虚数，故A错误. 选项B，当时， ， ， 所以，故B正确. 选项C，复数在复平面内所对应的点在第三象限时， ，解得：，即，故C错误. 选项D，因为，只有实数才能比较大小，因此都必须为实数. 为实数：虚部， 代入，， 满足，故D正确. 11．（25-26高三·贵州毕节·期中）是的外心，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径为 B．在方向上的投影向量等于 C． D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】首先根据余弦定理求解三角形，再根据面积公式求内切圆的半径，判断A，根据投影向量公式判断B，根据向量转化求数量积，判断C，根据几何图形，转化向量，并求数量积，根据数量积的定义，转化为二次函数求最值. 【详解】A.根据余弦定理，，即， 即，得，， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，故A正确； B. 在方向上的投影向量等于，故B正确； C.因为，所以，且，所以， 所以点是斜边的中点， ，故C错误； D. ， 的最小值为，所以 因为，设， 所以， 当时，上式取得最小值， 所以最小值为，当点为中点时，取得最小值，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·湖南怀化·期末）若平面向量，，其中，，且满足，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】因为平面向量，，且，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 13．（25-26高三·安徽阜阳·期中）已知复数,其中,若与互为共轭复数,则____. 【答案】 【详解】 若 与 互为共轭复数，则 ， 解得，所以 故. 14．（2026高三上·全国·专题练习）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为______ 【答案】/ 【分析】利用正弦定理角化边可得，设，，，可得，则是的重心，可得，分别用表示与的面积即可求解. 【详解】由正弦定理,可得， 因，，，， 代入得，因为，所以， 设，，，则得， 则是的重心，从而， 因为，， 所以，所以， 同理可得，， 所以与的面积之比为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·海南海口·阶段检测）已知复数为虚数. (1)若是关于的方程的一个根，求. (2)若是实数，求复数的模； 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由是方程的一个根得，利用求根公式即可求解. （2）是实数得，即可求复数的模. 【详解】（1）由是方程的一个根， 由，所以. （2）由复数为虚数，则， 又， 因为是实数，所以，即， 所以. 16．（25-26高三·甘肃张掖·期末）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，且，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行以及辅助角公式得出，再利用倍角公式即可. （2）利用两角差的正弦公式. 【详解】（1）因为，，所以． 因为，，所以， 则，即． 所以． （2）因为，所以，即，解得． 因为，，所以，． 因为，所以， 所以 ． 17．（25-26高三·安徽蚌埠·期中）已知复数，． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求的取值范围； (3)当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以， 即，解得． （2）因为复数表示的点在第二象限，所以， 即，解得， 即的取值范围为． （3）当时，，则； 当时，，则， 所以，，． 因为向量与的夹角为钝角， 所以且向量与不反向共线， 即且， 解得且，即实数的取值范围是． 18．（25-26高三·广东韶关·期末）如图，在△中，点，满足，，边上的中线与交于点.设，. (1)用，表示，； (2)设，，， 求的余弦值； (3)设， 求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可求解； （2）利用平面向量的数量积公式即可求解. （3）利用平面向量的线性运算即可求解； 【详解】（1）M是中点，则. 由得是中点，由得. 因此. （2）由已知，得. 因为， ， ， 所以. （3）因为在上，设. 因为，所以，故. 又在上，设， 由系数相等得，解得， 因此. 19．（25-26高三·甘肃兰州·期中）完成下列小题： (1)设为内一点，且，则与的面积比是多少？ (2)已知向量，，，请计算的值. (3)已知正方形ABCD的边长为1，若，其中为实数，求的值；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)；的最小值为 【分析】（1）先由已知求得，接着以为邻边作平行四边形，连接交于点，于是有，再结合和三角形同高即可得解. （2）对两边平方展开即可求解. （3）由题意可知，，进而得到的值，从而求解；由平面向量的线性运算得，，再根据数量积的运算可求得，最后结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 即， 所以，即 . 如图所示， 以为邻边作平行四边形，连接交于点， 所以，即， 又在边上的高和在边上的高相等， 所以. （2）因为，所以 ， 即 ， 因为，，所以 ， 即，所以 . （3）以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系， ，则，， 由，所以 ，则， 又， 所以，故. 因为是线段上的动点，设， 所以，， 又为线段的中点，所以，， 所以， 对称轴，由二次函数的性质，可得当时，取得最小值为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮限时训练卷28　平面向量与复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·山东聊城·期末）在梯形中，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·安徽合肥·期末）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·山东菏泽·期中）已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，若复数是大于5的实数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·北京·期末）已知向量，，是两两不平行的向量，“且”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知复数满足，则（    ） A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值2 D．有最大值2 6．（25-26高三·四川眉山·期末）若正方形边长为2，是的中点，于点，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·江苏南京·期中）任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·期中）半径为4的圆上有三点，线段长为4，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·福建三明·期末）在梯形中，，，，，，，交于，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三·江苏宿迁·期末）若复数，，则下列命题中正确的是（） A．当或2时，是纯虚数 B．当时， C．当时，复数在复平面内所对应的点在第三象限 D．若，则 11．（25-26高三·贵州毕节·期中）是的外心，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径为 B．在方向上的投影向量等于 C． D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·湖南怀化·期末）若平面向量，，其中，，且满足，则的最小值为_________． 13．（25-26高三·安徽阜阳·期中）已知复数,其中,若与互为共轭复数,则____. 14．（2026高三上·全国·专题练习）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·海南海口·阶段检测）已知复数为虚数. (1)若是关于的方程的一个根，求. (2)若是实数，求复数的模； 16．（25-26高三·甘肃张掖·期末）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，且，，，求的值． 17．（25-26高三·安徽蚌埠·期中）已知复数，． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求的取值范围； (3)当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 18．（25-26高三·广东韶关·期末）如图，在△中，点，满足，，边上的中线与交于点.设，. (1)用，表示，； (2)设，，， 求的余弦值； (3)设， 求的值. 19．（25-26高三·甘肃兰州·期中）完成下列小题： (1)设为内一点，且，则与的面积比是多少？ (2)已知向量，，，请计算的值. (3)已知正方形ABCD的边长为1，若，其中为实数，求的值；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为多少？ 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $