3.2 勾股定理的逆定理同步练习2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 练习以勾股定理逆定理为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念辨析到实践创新的递进，适配新授课知识内化与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股数判断、直接应用逆定理|选择题1-2、填空7、解答13，以概念辨析题培养推理意识，夯实基础考点| |能力提升|网格图形分析、实际情境应用|选择题3-5、填空8-10、解答14-15，通过网格作图（几何直观）、最长边高计算（运算能力）提升应用能力| |综合应用|规律探究、跨情境建模|选择题6、填空11-12、解答16-18，以数表规律（创新意识）、池塘测量（模型观念）发展综合实践与数学表达能力|

3.2 勾股定理的逆定理 同步练习 一、选择题： 1.下列各组数是勾股数的是(    ) A. B. C. ，， D. 2.的三边长分别为，，下列条件能判断是直角三角形的个数是(    ) ； ； ； ． A. B. C. D. 3.如图是由单位长度均为的小正方形组成的网格，，，，都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为(    ) A. B. C. D. 4.有五根小木棒，其长度分别为，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是(    ) A. B. C. D. 5.若的三边长，，满足，则是(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 6.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每行数的规律，可知的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.在中，，，的对边长分别为，，若，则是          三角形，其中          是直角． 8.一个三角形的三边长分别为，，则这个三角形最长边上的高为          ． 9.如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点，河边有两个入口，，通过道路，可前往观景点因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路点在上经测量：，，则是否为从到河边的最近道路        请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空． 10.如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为______． 11.三角形的三边长为，，，满足，则此三角形的形状是          三角形． 12.如图是由边长相等的小正方形组成的网格，则           点，，，，均在网格线交点处． 三、解答题： 13.判断由下列各组线段，，组成的三角形是不是直角三角形． ，，； ，，； ． 14.如图，校园里有一块四边形的空地，，，，，过点修一条小路，是的中点，且． 证明：． 求这块空地的面积． 15.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． 在图中以格点为顶点画一个面积为的正方形． 在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、、． 如图，点、、是小正方形的顶点，求的度数． 16.综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量，间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： 试判断的形状，并说明理由； 求池塘两端，之间的距离． 17.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： 请你分别观察，，与之间的关系，并用含自然数的代数式表示：                              ． 猜想：以，，为边长的三角形是不是直角三角形为什么 18.某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点运动．已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． 求证：； 海港受台风影响吗？为什么？ 若台风的运动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $3.2勾股定理的逆定理同步练习 一、选择题： 1.下列各组数是勾股数的是() A.2,3,4 B.0.3,0.4,0.5 C.V3,2,√7 D.5,12,13 2.△ABC的三边长分别为a,b,c.下列条件能判断△ABC是直角三角形的个数是() ①LA=∠B-∠C: ②a2=(b+c)(b-c): ③LA:∠B:LC=3:4:5; ④a:b:c=5:12:13. A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A,B,C,D都是网格线的交点，由其中任意三个点连 接而成的三角形是直角三角形的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.有五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是() 24 20 25 25 20 B 24 15 15 24 24 15 15 25 20 20 25 5.若△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则△ABC是() 第1页，共5页 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 6.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每行数的规律，可知x+y的值为() a 3 6 15 24 6 4 6 6 10 … y c 10 17 26 … 65 A.47 B.62 C.79 D.98 二、填空题： 7.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c.若a2=b2-c2,则△ABC是三角形，其中∠是 直角. 8.一个三角形的三边长分别为2,3，√13，则这个三角形最长边上的高为一， 9.如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A,河边有两个入口B,C,通过 道路BA,CA可前往观景点A.因景区改造，需要关闭通道CA,为方便游客观景，分 散人流，决定新修道路AD(点D在BC上).经测量：AB=1.5km,AD=1.2km,BD= B 。。。。。。。。。。。。。 0.9km.则AD是否为从A到河边的最近道路（请从“是”“否”“不确定”中 选择一个填空) 10.如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为 12 11.三角形的三边长为a,b,c,满足2ab=(a+b)2-c2,则此三角形的形状是_三角形. 12.如图是由边长相等的小正方形组成的网格，则∠MDC-∠MAB=(点A,B,C,D,M均在网格线 交点处) 三、解答题： 第2页，共5页 13.判断由下列各组线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形. (1)a=7,b=24,c=25: (2)a=4,b=5,c=6: (3)a:b:c=5:13:12. 14.如图，校园里有一块四边形的空地ABCD,AB=20m,BC=24m,CD=15m,AD=25m,过点A修一 条小路AE,E是BC的中点，且AE=16m. B (1)证明：AE1BC. (2)求这块空地的面积. 15.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点. 图1 图2 图3 (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形. (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、√5、√13. (3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求LABC的度数. 第3页，共5页 16.综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，A,B两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A,B间的距离.综 合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A,B间的距离 测量工具 皮尺 如图所示，图中各点均在同一水平地面内.第一步：沿线 段AB延长线的方向，在池塘边的空地上选点C, 使BC=9m;第二步：在AC的一侧选点D,使点D能直接 到达A,B,C三点，测 测量方案及测量数据 BD =12m,CD =15m,AD 20m. 问题解决： (1)试判断BCD的形状，并说明理由： (2)求池塘两端A,B之间的距离. 17.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 3 4 5 32 42 52 a 22-1 -1 b 4 6 8 10 。 42 52 22+1 32 +1 +1 +1 (1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系，并用含自然数n(m>1)的代数式表示：a=;b=;c= (2)猜想：以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？为什么？ 第4页，共5页 18.某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成 极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B运动.已知点C为一海港，且 点C与直线AB上两点A,B的距离分别为300km和400km,且AB=500km,以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域， →东 B (1)求证：∠ACB=90°； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的运动速度为40k/h,则台风影响该海港持续的时间有多长？ 第5页，共5页答案和解析 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】B 【解析】由勾股定理得AB2=1+2=5,BC2=52=25,AC2=2+42=20,CD2=AD2=12+32=10, BD2=42+32=25, ..AB2+AC2=BC2'AD2+CD2=AC2' △ABC'△ADC是直角三角形， :.任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为2 故选B. 4.【答案】C 【解析】.72=49,152=225,202=400,242=576,252=625， .7+242=252,152+202=252, .长度分别为7,24,25的三根木棒能摆成直角三角形，长度分别为15,20,25的三根木棒能摆成直角 三角形故选C. 5.【答案】B 【解析】提示：将题中等式整理，得(a2-6a+9)+62-8b+16)+(c2-10c+25)=0即 (a-3P+b-4P+(c-5P=0所以a=3°b=4'c=5.因为g2+42=52:所以△ABC为直角三角形. 6.【答案】C 【解析】通过观察题表中的数可得b=2n'a=n2-1'c=n2+1(n为正整数，且n>1小 ∴.当c=65时，n2+1=65,解得n=8(舍负)， 第1页，共1页 .∴.y=2×8=16,x=82-1=63, ∴.x+y=63+16=79.故选C. 7.【答案】直角 B 8.【答案】 6 【解析】：2+3=13=32，：这个三角形是直角三角形，设这个三角形最长边上的高为h:则 之×丽×h×2×3解得6是 13 9.【答案】是 【解析】解：.AB=1.5km,AD=1.2km,BD=0.9m,且1.22+0.92=1.52， .AD2+BD2=AB2 △ABD是直角三角形，且∠ADB=900: .∴.AD⊥BC 由垂线段最短可知AD是从A到河边的最近道路， 故答案为：是. 可证明AD2+BD=AB,则可得到∠ADB=90°，再由垂线段最短可得答案. 10.【答案】24 第2页，共1页 解：作辅助线：连接AB, 13 :4 B 12 因为△ABD是直角三角形，所以AB=VAD+BD=V3+42=5, 因为52+122=132，所以△ABC是直角三角形， 则要求的面积即是两个直角三角形的面积差， 则)×12×5二×3×4=30-6=24 故答案为24 11.【答案】直角 解：，'三角形的三边长为a,b,C, 2ab=(a+b)2-c2 ∴.2ab=a2+2ab+b2-c2 ∴.a2+b2=c2 ·此三角形是直角三角形. 12.【答案】45 【解析】解：如图，连接ME,DE, 则∠MAB=∠EDF, 所以∠MDC-∠MAB=∠MDC-∠EDF=∠MDE. 设正方形网格中每个小正方形的边长为1， 则易知ME2+MD=DE, 第3页，共1页 所以△EMD是直角三角形. 因为ME=MD, 所以∠MDE=45°， 即∠MDC-∠MAB=45° 13.【答案】【小题1】 解：因为7+24=252，即a2+b2=c2,符合勾股定理，所以以a,b,c为边组成的三角形是直角三角形. 【小题2】 因为42+52≠62，即a2+b≠c2,不符合勾股定理，所以以a,b,c为边组成的三角形不是直角三角形. 【小题3】 因为a:b:c=5:13:12 所以设a=5x'b=13xc=12x.因为(5x}+(12xP=13x2,即 a+c2=b2,符合勾股定理，所以以a,b,c为边组成的三角形是直角三角形. 14.【答案】【小题1】 .E是BC的中点，BC=24m, B6=CE=号BC=12m, .AB=20m’AE=16m' ∴.BE2+AE2=400=AB2 ∴.∠AEB=90'∴.AE⊥BC 【小题2】 第4页，共1页 连接AC(图略)， :AE⊥BC'E是BC的中点，AE垂直平分BC'.AC=AB=20m CD=15m'AD=25m'..AC2+CD2=625=A D2'..2 ACD=90 四边形ACD的商积为号BC~AE+号CD~AC=号x24×16+分×15×20=342m, ,这块空地的面积为 42m2 15.【答案】【小题1】 解：如图，正方形ABCD即为所求， B 图1 【小题2】 如图，△竺乙即为所求， 图2 【小题3】 如图，AB2=42+2=20,AC2=1+32=10,BC2=12+32=10, .AB2=AC2+BC2,AC=BC ∴.△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90· .∠ABC=45 第5页，共1页 图3 16.【答案】【小题1】 解：△BCD是直角三角形，理由如下， 在△BCD中，BC=9m,BD=12m,CD=15m, .∴.BC2+BD2=92+12=81+144=225,CD2=225 .∴.BC2+BD2=CD2. ∴.△BCD是直角三角形. 【小题2】 ,△BCD是直角三角形，A,B,C在同一直线上， ∴.∠DBA=∠DBC=90, .AB=VA D2-B D2=V202-122=16m 即池塘两端A,B之间的距离为16m, 17.【答案】【小题1】 n2-1 2n n2+1 【小题2】 以a,b,c为边长的三角形是直角三角形. 理由：a2+b2=(n2-1P+(2n2=n+2n2+1'c2=(n2+12=n+2n2+1' .a2+b2=c2 :.以abc为边长的三角形是直角三角形， 第6页，共1页 18.【答案】【小题1】 证明：.'AC=300km,BC=400am,AB=500km,∴.AC2+BC2=AB.∴.△ABC是直角三角形， 且∠ACB=90°. 【小题2】 解：海港C受台风影响.理由如下：如图，过点C作CD上AB于点 D.S.Anc=AC.BC=AB.CD.CD=AC-BC 300x400-240(km).250km>240km AB500 海港C受台风影响、 B 【小题3】 解：如图，当EC=250km,FC=250km时，台风正好影响海港C.在Rt△CED中，由勾股定理得 ED2=EC2-CD=250-2402=4900,.∴.ED=70km,同理FD=70km,∴.EF=140km,,'台风 的运动速度为40km/h,∴.140÷40=3.5(h).∴.台风影响该海港持续的时间为3.5h. 第7页，共1页