3.2 勾股定理的逆定理 同步训练 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理逆定理，通过基础辨析、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|逆定理应用、勾股数判断|选择题2、5、9等直接考查概念，强化符号意识与运算能力| |中档|三角形形状判定、简单推理|填空题14结合内角关系，选择题12融合面积计算，发展几何直观| |提升|综合应用与规律探究|解答题20等腰直角三角形翻折、22勾股数规律证明，培养模型意识与创新思维|

苏科版（2024）八年级上册 3.2 勾股定理的逆定理 同步训练 一、选择题 1.五根小木棒，其长度（单位：）分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（    ） A. B.   C.   D.   2.下列各组数中，不是“勾股数”的是(　　) A.3，4，5   B.1，， C.6，8，10   D.5，12，13 3.△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＋|c－3|＝0，则△ABC是(　　) A.等边三角形   B.钝角三角形 C.锐角三角形   D.等腰直角三角形 4.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A和∠BDC都应为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知(　　) A.仅∠A符合要求 B.仅∠BDC符合要求 C.∠A和∠BDC都符合要求 D.∠A和∠BDC都不符合要求 5.下列各组数中，勾股数是(　　) A.13，14，15   B.1，1， C.0.3，0.4，0.5   D.8，15，17 6.△ABC的三边为a、b、c，且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（　　） A.a边的对角是直角 B.b边的对角是直角 C.c边的对角是直角 D.△ABC是钝角三角形 7.五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 8.下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是（   ） A.8，15，17 B.10,24,26 C.，1 D.6，7，8 9.勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.下列各组数中是勾股数的是(　　) A.0.6，0.8，1   B.1，3，10 C.5，10，12   D.3，4，5 10.下列各组数据的三个数，是勾股数的有（    ） ①，，  ②6，8，10  ③7，24，25  ④，，  ⑤1.5，2，2.5 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.下列长度的三条线段中，不能组成直角三角形的是（　　） A.5，12，13 B.6，9，12 C.7，24，25 D.12，16，20 12.三边长为7，24，25的三角形ABC内有一点P到三边的距离相等，则这个距离为（   ） A.2 B. C.4 D.5 二、填空题 13.如图，在△ADC中，AD= cm，AC= cm，DC= cm，点B是CD延长线上的点，连接AB，若AB= cm，则BC的长为　　　cm.  14.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件： ①∠A=∠C-∠B； ②=c2； ③a=32，b=42，c=52； ④∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，其中可以判定△ABC是直角三角形的有　　　个.  15.如图，边长为1的正方形组成的方格网中，A、B、C都在格点上，则的度数为       ． 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD，DE.将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝　　　　. 17.观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数：　       　． 三、解答题 18.如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 19.如图，在中，于点． 请判断的形状，并说明理由． 20.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长. 21.如图，在中的垂直平分线分别交于点D，E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 22.满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． (2)任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 苏科版（2024）八年级上册 3.2 勾股定理的逆定理 同步训练（参考答案） 一、选择题 1.五根小木棒，其长度（单位：）分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（    ） A. B.   C.   D.   【答案】C 【解析】、∵，， ∴它们不能摆成两个直角三角形； 、∵，， ∴它们不能摆成两个直角三角形； 、∵，， ∴它们能摆成两个直角三角形； 、∵，， ∴它们不能摆成两个直角三角形； 故选：． 2.下列各组数中，不是“勾股数”的是(　　) A.3，4，5   B.1，， C.6，8，10   D.5，12，13 【答案】B 【解析】 A中，32+42=25=52，是勾股数，故不符合要求； B中，，不是整数，1，，不是勾股数，故符合要求； C中，62+82=100=102，是勾股数，故不符合要求； D中，52+122=169=132，是勾股数，故不符合要求. 3.△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＋|c－3|＝0，则△ABC是(　　) A.等边三角形   B.钝角三角形 C.锐角三角形   D.等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 ∵(a－b)2＋＋|c－3|＝0， 又∵ ∴ ∴ 解得 ∴a2＋b2＝c2，且a＝b， ∴△ABC为等腰直角三角形. 4.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A和∠BDC都应为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知(　　) A.仅∠A符合要求 B.仅∠BDC符合要求 C.∠A和∠BDC都符合要求 D.∠A和∠BDC都不符合要求 【答案】A 【解析】 ∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=8，BC=12， ∴AB2+AD2=BD2，BD2+DC2≠BC2， ∴△ABD是直角三角形，△BDC不是直角三角形， ∴∠A=90°，∠BDC≠90°， ∠A符合要求，∠BDC不符合要求. 5.下列各组数中，勾股数是(　　) A.13，14，15   B.1，1， C.0.3，0.4，0.5   D.8，15，17 【答案】D 【解析】 A项，132＋142≠152，不是勾股数，该选项不符合题意； B项，不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； C项，0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； D项，82＋152＝172，是勾股数，该选项符合题意. 6.△ABC的三边为a、b、c，且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（　　） A.a边的对角是直角 B.b边的对角是直角 C.c边的对角是直角 D.△ABC是钝角三角形 【答案】A 【解析】∵（a+b）（a﹣b）＝c2， ∴a2﹣b2＝c2， ∴a2＝b2+c2， 又∵△ABC的三边为a、b、c， ∴该三角形为直角三角形，∠A＝90°， ∴a边的对角是直角， 故选：A． 7.五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∴C正确， ，A错误， ，B错误， D错误． 故选：C． 8.下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是（   ） A.8，15，17 B.10,24,26 C.，1 D.6，7，8 【答案】D 【解析】解：A、，能组成直角三角形，则此项不符合题意； B、，能组成直角三角形，则此项不符合题意； C、，能组成直角三角形，则此项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，则此项符合题意； 故选：D． 9.勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.下列各组数中是勾股数的是(　　) A.0.6，0.8，1   B.1，3，10 C.5，10，12   D.3，4，5 【答案】D 【解析】 A项，0.6和0.8不是正整数，不满足定义，选项错误； B项，12+32≠102，不满足定义，选项错误； C项，52+102≠122，不满足定义，选项错误； D项，32+42=52，满足定义，选项正确. 10.下列各组数据的三个数，是勾股数的有（    ） ①，，  ②6，8，10  ③7，24，25  ④，，  ⑤1.5，2，2.5 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】根据勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此解答即可． ①，所以①不是勾股数； ②，所以②是勾股数； ③，所以③是勾股数； ④，所以④不是勾股数； ⑤，但其不是正整数，所以⑤不是勾股数. 综上所述②③是勾股数，共2个. 故选：B. 11.下列长度的三条线段中，不能组成直角三角形的是（　　） A.5，12，13 B.6，9，12 C.7，24，25 D.12，16，20 【答案】B 【解析】A、52+122＝132，故是直角三角形，本选项不符合题意； B、62+92≠122，故不是直角三角形，本选项符合题意； C、72+242＝252，故是直角三角形，本选项不符合题意； D、122+162＝202，故是直角三角形，本选项不符合题意． 故选：B． 12.三边长为7，24，25的三角形ABC内有一点P到三边的距离相等，则这个距离为（   ） A.2 B. C.4 D.5 【答案】B 【解析】， 是直角三角形， 根据题意画图，如图所示：    连接，，． 设， ， ， 则， ． 故选：B 二、填空题 13.如图，在△ADC中，AD= cm，AC= cm，DC= cm，点B是CD延长线上的点，连接AB，若AB= cm，则BC的长为　　　cm.  【答案】 【解析】 在△ADC中，AD= cm，AC= cm，DC= cm， AC2+DC2=3+2=AD2=5， 即AC2+DC2=AD2， 所以△ADC是直角三角形，∠C=90°， 在Rt△ABC中，BC===(cm). 14.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件： ①∠A=∠C-∠B； ②=c2； ③a=32，b=42，c=52； ④∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，其中可以判定△ABC是直角三角形的有　　　个.  【答案】 2 【解析】 ∵∠A=∠C-∠B，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形， 则①正确； ∵(a-b)(a+b)=c2， ∴a2-b2=c2， 即a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形， 则②正确； ∵a2=92=81，b2=162=256，c2=252=625， ∴a2+b2≠c2， ∴△ABC不是直角三角形. 则③不正确； 设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，根据三角形内角和定理，得 3x+4x+5x=180°， 解得x=15°， ∴3x=45°，4x=60°，5x=75°， ∴△ABC不是直角三角形. 则④不正确. 可以判定△ABC是直角三角形的有2个. 15.如图，边长为1的正方形组成的方格网中，A、B、C都在格点上，则的度数为       ． 【答案】 【解析】如图，连接， ∵在边长为的小正方形组成的网格中， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，． 故答案为： 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD，DE.将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝　　　　. 【答案】 【解析】 ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点， ∴CD＝AC＝3， ∴BD＝＝5， ∵将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处， ∴DF＝CD＝3，CE＝EF，∠EFD＝90°， ∴BF＝BD－DF＝2，∠BFE＝90°， 设CE＝x，则EF＝x，BE＝BC－CE＝4－x， 在Rt△BFE中，由勾股定理，得(4－x)2＝x2＋22， 解得x＝， ∴CE＝. 17.观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数：　       　． 【答案】17，144，145 【解析】①3＝2×1+1；4＝2×1×（1+1）；5＝2×1×（1+1）+1． ②5＝2×2+1；12＝2×2×（2+1）；13＝2×2×（2+1）+1． ③7＝2×3+1；24＝2×3×（3+1）；25＝2×3×（3+1）+1． ④9＝2×4+1；40＝2×4×（4+1）；41＝2×4×（4+1）+1． …… 则第n组勾股数的第一个数为：2n+1，第二个数为：2×n×（n+1）＝2n（n+1），第三个数为：2×n×（n+1）+1＝2n2+2n+1， ∴第8组勾股数为：17，144，145， 故答案为：17，144，145． 三、解答题 18.如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】解：连接， 在中，， 所以， 在中，因为， 所以， 所以， 故 ． 19.如图，在中，于点． 请判断的形状，并说明理由． 【答案】解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 20.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长. 【答案】 解　如图，连接BD. ∵在等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点， ∴BD⊥AC，BD平分∠ABC(等腰三角形三线合一)， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°，又易知∠C＝45°. ∴∠ABD＝∠CBD＝∠C， ∴BD＝CD. ∵DE⊥DF，BD⊥AC， ∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF， ∴∠FDC＝∠EDB. 在△EDB与△FDC中，BD＝CD，∠EDB＝∠FDC，∠EBD＝∠C， ∴△EDB△FDC(ASA)， ∴BE＝FC＝3. ∴AB＝7，则BC＝7. ∴BF＝4. 在Rt△EBF中，EF＝＝5. 21.如图，在中的垂直平分线分别交于点D，E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】（1）证明：连接 ∵是的垂直平分线 ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∵，且 ∴ 即 ∴是直角三角形，且（勾股定理的逆定理） 即 （2）解：设的长为x ∵ ∴ ∵ ∴ 在中，由勾股定理得： 即 展开得： 化简得：,即 ∴ ∴的长为． 22.满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． (2)任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 【答案】（1）解：①∵， ∴6，8，10是勾股数； 故答案为：6 ②∵， ∴5，12，13是勾股数； 故答案为：12 ③∵， ∴8，15，17是勾股数． 故答案为：17； （2）证明：∵，， ∴， ∴三个整数，，是勾股数； 学科网（北京）股份有限公司 $