专题3.2 代数式的值 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“代数式的值”核心知识点，系统梳理定义、三步法求值步骤及易错提醒，重点突破整体代入求值（核心思想、适用题型与解题方法），通过5类题型（已知字母值、已知式子值、程序流程图、数字及图形规律探索）构建从基础到综合的学习支架。 该资料以探究式学习（如数的性质、平面镶嵌问题）培养创新意识与推理能力，题型设计结合程序流程图、图形规律等现实情境，体现用数学眼光观察世界，整体代入求值训练运算能力与推理意识，课后检测与复盘笔记助力查漏补缺，提升教学效果与学生学习效率。

简一数理 初中专题讲义 专题3.2 代数式的值 （新教材人教版） 知识点一：代数式的值 2 知识点二：整体代入求值（本节重难点、培优必考） 2 【题型1 已知字母的值，求代数式的值】 3 【题型2 已知式子的值，求代数式的值】 3 【题型3 程序流程图与代数式求值】 4 【题型4 数字类规律探索】 4 【题型5 图形类规律探索】 5 【探究式学习】 7 【课后检测】 11 【复盘笔记】 17 知识点一：代数式的值 1. 定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中给定的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 2. 求代数式值的步骤（三步法）： (1) 代入：将字母的取值代入代数式中（字母取负数或分数时，注意加括号）。 (2) 抄写：代入后原样抄写代数式，替换字母为数值。 (3) 计算：按照运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内）计算出结果. 3. 易错提醒（避坑指南）： · 代入负数时，务必加括号，防止符号错误（如 ，当 x=-2 时，应写 (-2)^2 = 4 ，不能写 -2^2 = -4 ）。 · 代入分数时，若涉及乘方也要加括号（如，当 时，应写 。 · 若代数式中有多个字母，要对应代入，不要代错位置。 · 求值后要检查运算顺序是否正确。 知识点二：整体代入求值（本节重难点、培优必考） 1. 核心思想 不单独求字母的值，把整个代数式看成一个整体代入计算，是七年级上册高频拔高考点。 2. 适用题型 题目条件无法求出单个字母、或不用求字母，只给出：、、、等整体式子的值，求复杂代数式的值。 3. 解题方法 ① 观察所求代数式，变形、拆分、提公因式； ② 凑出题目已知的整体结构； ③ 整体替换、直接计算结果。 4. 经典结论模板 已知，则 、。 5. 易错提醒 整体代入不需要解方程、不需要求未知数；凑整体时注意倍数关系、符号变化；切忌强行解未知数造成计算复杂、出错。 【题型1 已知字母的值，求代数式的值】 【例1】若，，且，则（     ） A．7 B．1 C．1或 D．7或 【变式1-1】若，，且，则的值等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-2】如果代数式，当时，代数式的值为，那么当时，该代数式的值为（   ） A． B． C． D． E． 【变式1-3】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 已知式子的值，求代数式的值】 【例2】若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 【变式2-1】当时，代数式的值为2026，当时，这个代数式的值为（     ） A． B． C． D．2019 【变式2-2】已知，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-3】数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（     ） A．6 B． C．7 D． 【题型3 程序流程图与代数式求值】 【例3】有一个数值转换机，原理如图所示，若开始输入的x的值是1，可发现第1次输出的结果是6，第2次输出的结果是3，……依次继续下去，第2026次输出的结果是（     ） A．4 B．6 C．2 D．1 【变式3-1】如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为81，我们看到第一次输出的结果为27，第二次输出的结果为9，…，第2017次输出的结果为（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【变式3-2】按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x的值是，则第2026次计算后输出结果为（   ） A． B． C． D．8 【变式3-3】按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为5的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 数字类规律探索】 【例4】已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】任取一个三位数作为起始数，把百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字；将这个三位数的十位数字和个位数字均进行相同的操作，即完成第一次操作，得到下一个三位数．然后重复这个过程．以“641”作为起始数，百位：，；十位：；个位：，第一次操作后得到的数是382，…第2026次操作后得到的数是（     ） A．674 B．641 C．617 D．358 【变式4-3】小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … … 输出 … … 那么，当输入数据时，输出的数据是（     ） A． B． C． D． 【题型5 图形类规律探索】 【例5】生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，，则第个图案需要用矩形的个数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，棋子按图中的规律摆放，那么第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多（     ） A．49枚 B．36枚 C．13枚 D．9枚 【变式5-2】按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（     ）把椅子 A． B． C． D． 【变式5-3】某学校举行青少年板球锦标赛，买回若干个相同的纸杯方便运动员饮水．如图，将纸杯整齐地叠放在一起，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，依此类推，个这样的纸杯叠放在一起的高度为（     ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．某校数学兴趣小组开展探究活动，他们结合所学内容，决定研究数的一些“神秘”性质． (1)任何一个大于1的整数m的平方都可以写成m个连续奇数之和．举例论证：；；．请你按照规律写出：①______． (2)当m是奇数（如9）时，则等号右边式子中的中间数（即第5个数）为m（即9）．当m为偶数（如10）时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）分别为②______、______（即______、______）． (3)利用上面结论计算：③______． (4)若n表示正整数，则的值为（④______）． 2．综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 3．很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【问题提出】如何利用图形几何意义的方法推证：？ 如图1，表示1个的正方形，即：，表示1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形，因此：，，就可以表示2个的正方形，即：，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． (1)【尝试解决】如图2，请类比上述的推导方法，通过图形面积的几何意义进行推证：_________． (2)【类比归纳】请用上面的表示几何图形面积的方法探究：____________． (3)【拓展应用】根据以上结论，计算：． 4．在数学活动中，小明为了求的值，写出下列解题过程． 设：① 两边同乘以2得： ② 由得： (1)应用结论：______； (2)拓展探究： ①求：的值； ②求：的值． 【课后检测】 1．如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是（     ） A．16 B．32 C．64 D．128 2．如图，若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们一块一块向上叠放并向外延伸．已知积木的长度均为1，在不倾倒的前提下，使得积木组合的最大延伸长度超过1，那么至少需要移动的积木块数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．在《设计自己的运算程序》课上，老师设计了如下运算程序：任意写下一个四位数（四位数字相同的除外）．重新排列各位数字，使其组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，然后用最大的数减去最小的数，得到它们的差．重复这个过程．小星写了一个四位数是1752，按照以上程序进行运算，则第100次得到的两个数的差为（     ） A．6264 B．4176 C．1467 D．6174 4．杨辉三角是我国古代数学的重要成就，其结构如下： 我们把杨辉三角的行从上到下依次记为第行、第行、第行……，把每行的数从左到右依次记为第个数、第个数……．下列说法： ①第行中间的数是； ②第行所有数的和比第行多； ③第行所有数的和为； ④第行第个数与第行第个数相等． 其中正确的个数是（     ）． A． B． C． D． 5．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，……，则第个图形中正方形的个数为（     ） A． B． C． D． 6．按照如图所示规律，用同样长度的火柴棒拼一组“灯笼”图案．第①个图案有根火柴棒，第②个图案有根火柴棒，第③个图案有根火柴棒……按照这一规律，第⑥个图案中火柴棒的根数是（     ）． A． B． C． D． 7．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个十字星，第②个图案中有5个十字星，第③个图案中有10个十字星，第④个图案中有17个十字星，…，按照这一规律，第⑨个图案中十字星的个数是（     ） A．65 B．82 C．95 D．101 8．按如图所示的规律图案，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有4个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有10个圆点，……，按照这一规律，则第⑦个图中圆点的个数是（    ） A．19 B．22 C．25 D．28 9．定义一种对正整数n的“F”运算： ①当为奇数时，； ②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行． 例如：取，则：； 若，则第次“”运算的结果是（     ） A．52 B．13 C．4 D．1 10．下列都是由菱形按一定规律组成的，第①个图形共有4个菱形，第②个图形共有7个菱形，第③个图形共有10个菱形，第④个图形共有13个菱形，按此规律，第⑦个图形共有（     ）个菱形 A．16 B．19 C．22 D．25 11．观察下列运算：；；；； ；；…，则的个位数字是______，的和的个位数字是______． 12．用小棒按照如下方式摆图形： 摆1个八边形需要8根小棒，则摆10个八边形需要( )根小棒，摆n个八边形需要( )根小棒． 13．按照下图的规律，在有个黑色正六边形的图形中，白色正六边形有( )个．在有个黑色正六边形的图形中，白色正六边形有( )个． 14．若一列数依次为，，，，…即这列数从第二个数开始，后一个数总是前一个数的2倍加1，则这列数中的第6个数为__________． 15．【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ， ； ，，； ，． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算______________________________________， 异号两数运算________________________________________________________， 特别地，0与任何数进行运算，或任何数与0进行运算，仍_________________． 【用数学的思维思考】 (2)计算： ①_________； ②_________． (3)若，，求的值． 16．完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想： __________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 17．按如图示的方式摆放餐桌和餐椅． (1)n张餐桌可以摆放多少把餐椅？ (2)8张餐桌可以摆放多少把餐椅？10张呢？15张呢？ 18．国庆期间：某商场有以下促销活动： ①先提价，再打八折销售； ②先提价，再让利30元销售； ③先涨价b元，再打7.5折销售； (1)若商品的原价为a元，用代数式分别表示三种方案的销售价格：①____________元；②____________元；③____________元． (2)若，三种方案哪种最省钱？ 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 29 页 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题3.2 代数式的值 （新教材人教版） 知识点一：代数式的值 2 知识点二：整体代入求值（本节重难点、培优必考） 2 【题型1 已知字母的值，求代数式的值】 3 【题型2 已知式子的值，求代数式的值】 4 【题型3 程序流程图与代数式求值】 6 【题型4 数字类规律探索】 8 【题型5 图形类规律探索】 10 【探究式学习】 12 【课后检测】 17 【复盘笔记】 30 知识点一：代数式的值 1. 定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中给定的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 2. 求代数式值的步骤（三步法）： (1) 代入：将字母的取值代入代数式中（字母取负数或分数时，注意加括号）。 (2) 抄写：代入后原样抄写代数式，替换字母为数值。 (3) 计算：按照运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内）计算出结果. 3. 易错提醒（避坑指南）： · 代入负数时，务必加括号，防止符号错误（如 ，当 x=-2 时，应写 (-2)^2 = 4 ，不能写 -2^2 = -4 ）。 · 代入分数时，若涉及乘方也要加括号（如，当 时，应写 。 · 若代数式中有多个字母，要对应代入，不要代错位置。 · 求值后要检查运算顺序是否正确。 知识点二：整体代入求值（本节重难点、培优必考） 1. 核心思想 不单独求字母的值，把整个代数式看成一个整体代入计算，是七年级上册高频拔高考点。 2. 适用题型 题目条件无法求出单个字母、或不用求字母，只给出：、、、等整体式子的值，求复杂代数式的值。 3. 解题方法 ① 观察所求代数式，变形、拆分、提公因式； ② 凑出题目已知的整体结构； ③ 整体替换、直接计算结果。 4. 经典结论模板 已知，则 、。 5. 易错提醒 整体代入不需要解方程、不需要求未知数；凑整体时注意倍数关系、符号变化；切忌强行解未知数造成计算复杂、出错。 【题型1 已知字母的值，求代数式的值】 【例1】若，，且，则（     ） A．7 B．1 C．1或 D．7或 【答案】C 【分析】由得同号，结合绝对值的取值分两种情况计算． 【详解】解：， ； ， ； ， 同号， 故当，时，； 当，时，． 的值为或． 【变式1-1】若，，且，则的值等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题先根据绝对值的定义得到的所有可能取值，再根据判断同号，分情况计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴与同号， 分两种情况讨论： ①当，时，， ②当，时，， ∴的值等于或． 【变式1-2】如果代数式，当时，代数式的值为，那么当时，该代数式的值为（   ） A． B． C． D． E． 【答案】E 【详解】解：∵当时， 即 ∴当时， ∴ 【变式1-3】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用乘法分配律将每个分数的分子分母进行变形，再计算除法即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴． 【题型2 已知式子的值，求代数式的值】 【例2】若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 【答案】A 【分析】本题运用整体代入法求解代数式的值，先对所求代数式提取公因式变形，再结合已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， ， 对所求代数式变形得：， 将代入得：原式，因此代数式的值为． 【变式2-1】当时，代数式的值为2026，当时，这个代数式的值为（     ） A． B． C． D．2019 【答案】B 【分析】先将代入代数式求出的值，再将代入代数式，利用整体代入法计算求值． 【详解】解：当时，代数式的值为， ， 当时，， 把代入，则， ∴当时，这个代数式的值为． 【变式2-2】已知，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先从已知等式变形得到与的关系，再对所求多项式降次代入化简，即可得到结果． 【详解】解：∵，且， ∴等式两边同乘得， 整理得， 对所求式变形得， 将代入得， 再将代入上式得， ∴的值为． 【变式2-3】数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（     ） A．6 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先根据求出的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 【题型3 程序流程图与代数式求值】 【例3】有一个数值转换机，原理如图所示，若开始输入的x的值是1，可发现第1次输出的结果是6，第2次输出的结果是3，……依次继续下去，第2026次输出的结果是（     ） A．4 B．6 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据数据求出从第一次开始，输出结果为6、3、8、4、2、1，每6次一个循环，由此即可得出答案． 【详解】解：第1次输出的结果是， 第2次输出的结果是， 第3次输出的结果是， 第4次输出的结果是， 第5次输出的结果是， 第6次输出的结果是， 第7次输出的结果是， ……， 以此类推，从第一次开始，输出结果为6、3、8、4、2、1，每6次一个循环， ∵， ∴第2026次输出的结果为4． 【变式3-1】如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为81，我们看到第一次输出的结果为27，第二次输出的结果为9，…，第2017次输出的结果为（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】B 【分析】根据如图的程序，分别求出前6次的输出结果各是多少，总结出规律，求出第2017次输出的结果． 【详解】解：第 1 次输出的结果为 27， 第 2 次输出的结果为 9， 第 3 次输出的结果为， 第 4 次输出的结果为， 第 5 次输出的结果为， 第 6 次输出的结果为， ， 从第 3 次开始，输出的结果以循环， ∵， ∴第2017次输出的结果为3． 【变式3-2】按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x的值是，则第2026次计算后输出结果为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，代数式求值，仔细计算，观察出从第1次输出开始，结果以、、为一个循环组循环出现，总结规律后结合，即可得到答案． 【详解】解：第1次输出的结果为：， 第2次输出的结果为：， 第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：， …… 归纳可知，从第1次输出开始，结果以、、为一个循环组循环出现， ， 所以第2026次计算后输出结果为， 故选：B． 【变式3-3】按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为5的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． 把选项中的x，y值代入检验，即可求解． 【详解】解：A、当时，，输出结果为，不符合题目要求； B、当时，，输出结果为，不符合题目要求； C、当时，，输出结果为，符合题目要求； D、当时，，输出结果为，不符合题目要求． 故选：C． 【题型4 数字类规律探索】 【例4】已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解． 【详解】解：由题意可知，时，，，，，…， 其规律是3个为一次循环， ∵， ∴． 【变式4-1】如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据前面三个图形中的数据再找出一般性的规律进而求解． 【详解】解：第一个图中最上方的数据， 第二个图中最上方的数据， 第三个图中最上方的数据， … 第个图中最上方的数据， 故选：A． 【变式4-2】任取一个三位数作为起始数，把百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字；将这个三位数的十位数字和个位数字均进行相同的操作，即完成第一次操作，得到下一个三位数．然后重复这个过程．以“641”作为起始数，百位：，；十位：；个位：，第一次操作后得到的数是382，…第2026次操作后得到的数是（     ） A．674 B．641 C．617 D．358 【答案】C 【分析】按照题目操作规则计算多次结果，找出循环周期，再通过计算余数得到第2026次操作的结果． 【详解】解：第次操作后为； 第次操作：∵百位，得百位为；十位，，得十位为；个位，得个位为，∴第次操作后得到； 第次操作：∵百位，；十位，；个位，∴第次操作后得到； 第次操作：∵百位；十位，；个位，，∴第次操作后得到； 第次操作：∵百位，；十位；个位，，∴第次操作后得到； 第次操作：∵百位；十位；个位，，∴第次操作后得到； 操作结果每次为一个循环． ∵，余数为， ∴第次操作的结果与第次操作结果相同，为． 【变式4-3】小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … … 输出 … … 那么，当输入数据时，输出的数据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为数字规律探究题，分别观察输出数据的分子分母与输入数据的关系，总结规律即可求解． 【详解】解：设输入数据为，观察表格可得： 当时，输出； 当时，输出； 当时，输出； 当时，输出； ……； 因此总结规律：当输入数据为时，输出数据为； ∴将代入公式，得输出数据为． 【题型5 图形类规律探索】 【例5】生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，，则第个图案需要用矩形的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据3个图中矩形个数的变化，总结出规律即可． 【详解】解：由题意可知，第个图案用了（个）矩形； 第个图案用了（个）矩形； 第个图案用了（个）矩形； ∴第个图案用了（个）矩形． 【变式5-1】如图，棋子按图中的规律摆放，那么第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多（     ） A．49枚 B．36枚 C．13枚 D．9枚 【答案】C 【详解】解：观察可知，第个图中的棋子数为个， ∴第⑦个图中的棋子数为，第⑥个图中的棋子数为， ∴第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多枚. 【变式5-2】按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（     ）把椅子 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形变化，得出张餐桌时，椅子数为把（为正整数），代入即可得出结论． 【详解】解：观察图形，发现每多添一张餐桌多2把椅子， 故张餐桌时，椅子数为（把）（为正整数）． 令，可得（把）． 【变式5-3】某学校举行青少年板球锦标赛，买回若干个相同的纸杯方便运动员饮水．如图，将纸杯整齐地叠放在一起，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，依此类推，个这样的纸杯叠放在一起的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察已知条件中纸杯数量与总高度的变化关系，求出每增加一个纸杯增加的高度，进而推算出8个纸杯的总高度． 【详解】由题意可知：3个纸杯比2个纸杯高，4个纸杯比3个纸杯高， ∴每增加一个纸杯，高度增加， ∴8个纸杯的高度为：． 【探究式学习】 1．某校数学兴趣小组开展探究活动，他们结合所学内容，决定研究数的一些“神秘”性质． (1)任何一个大于1的整数m的平方都可以写成m个连续奇数之和．举例论证：；；．请你按照规律写出：①______． (2)当m是奇数（如9）时，则等号右边式子中的中间数（即第5个数）为m（即9）．当m为偶数（如10）时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）分别为②______、______（即______、______）． (3)利用上面结论计算：③______． (4)若n表示正整数，则的值为（④______）． 【答案】(1) (2)，，9，11 (3)2601 (4) 【分析】（1）根据题干中的规律解答即可； （2）根据题干中的规律求解； （3）首先求出中间数为51，然后根据结论求解即可； （4）首先求出中间数为，然后根据结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴的中间数为51， ∴； （4）解：∵， ∴的中间数为， ∴． 2．综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 【答案】(1)①6，54；② (2) (3)铺设这样的图案，最多能铺11层．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案20层； 由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为 ， 令， ， 因为，，且为正整数， 所以最大取12，即最大取11， 所以最多可以铺设这样的图案11层． 【分析】（1）列出前面几层正方形和三角形个数，找出规律，利用规律求解； （2）观察前面几个式子，找出规律，利用规律求解； （3）先计算出正方形地板可以铺多少层，由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，令，即可求解． 【详解】（1）解：①第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖， 第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，， 第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，， …… 以此类推，第4层包括正方形地板砖6块，正三角形地板砖：（块）； ②由①可知，第层含有正三角形地板砖的数量为； （2）解：由题意知，； （3）略 3．很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【问题提出】如何利用图形几何意义的方法推证：？ 如图1，表示1个的正方形，即：，表示1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形，因此：，，就可以表示2个的正方形，即：，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． (1)【尝试解决】如图2，请类比上述的推导方法，通过图形面积的几何意义进行推证：_________． (2)【类比归纳】请用上面的表示几何图形面积的方法探究：____________． (3)【拓展应用】根据以上结论，计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）类比题干面积拼接方法，、、对应图形面积之和恰好等于边长为的大正方形面积，计算边长平方得到结果． （2）由（1）的规律归纳，前个自然数立方和等于前个自然数和的平方求解即可． （3）先套用立方和公式把根号内转化为，开平方后计算到的和． 【详解】（1）解：如图， 表示1个的正方形，即：，表示1个的正方形，表示1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形， 因此：，，就可以表示2个的正方形，即：，，，，，就可以表示3个的正方形，即：， 而，，，，，，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：； （2）解：∵， ， ， ∴； （3）解： ． 4．在数学活动中，小明为了求的值，写出下列解题过程． 设：① 两边同乘以2得： ② 由得： (1)应用结论：______； (2)拓展探究： ①求：的值； ②求：的值． 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）将代入中即可得解； （2）①模仿题目中的算法计算即可； ②模仿题目中的算法计算即可. 【详解】（1）解：由题干得：， 将代入得：； （2）解：①设， 两边同乘得：， 由得：， ∴； ②设， 两边同乘2得：， 由得：． 【课后检测】 1．如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是（     ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【分析】根据已知条件可得纸面积是纸面积的2倍，纸面积是纸面积的2倍，由此规律即可得出答案． 【详解】解：由题意得：纸面积是纸面积的2倍， 纸面积是纸面积的2倍，则纸面积是纸面积的倍， 纸面积是纸面积的2倍，则纸面积是纸面积的倍， ∴纸面积是纸面积的倍， ∴裁剪一张规格纸最多可得到32张规格纸． 2．如图，若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们一块一块向上叠放并向外延伸．已知积木的长度均为1，在不倾倒的前提下，使得积木组合的最大延伸长度超过1，那么至少需要移动的积木块数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】要使积木不倾倒，每一层积木（及其上方所有积木）的重心必须落在其下方支撑积木的边缘以内．设积木长度为，从上往下数，第块积木相对于第块积木的最大伸出距离为．总延伸长度为各层伸出距离之和． 【详解】解：设从上往下第块积木相对于第块积木向外伸出的最大长度为． 根据重心平衡原理：第块积木放在第块上，重心在处，故最大伸出； 第、块整体放在第块上，整体重心在第块右端左侧处， 故第块相对于第块最大伸出； 以此类推，第块相对于第块最大伸出． 设移动的积木块数为（即上方叠放的块数，最底下块作为基座不动）， 则总延伸长度为：． 当时，； 当时，． 题目要求最大延伸长度超过， 至少需要块积木向上叠放并延伸（总共需要块积木，最底下块不动）． 故至少需要移动的积木块数为． 【点睛】解决此类问题的关键是掌握“堆叠书本”模型的重心规律：第块书（从上往下）相对于第块书的最大伸出长度为书长的．注意题目问的是“移动的积木块数”，即除了最底下基座之外的块数． 3．在《设计自己的运算程序》课上，老师设计了如下运算程序：任意写下一个四位数（四位数字相同的除外）．重新排列各位数字，使其组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，然后用最大的数减去最小的数，得到它们的差．重复这个过程．小星写了一个四位数是1752，按照以上程序进行运算，则第100次得到的两个数的差为（     ） A．6264 B．4176 C．1467 D．6174 【答案】D 【分析】根据题意，按照运算程序依次计算前几次的差，找出运算规律，即可得到第100次运算的结果． 【详解】解： 原四位数为， 第一次运算：排列得到最大数，最小数，差为； 第二次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差为； 第三次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差为； 第四次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差仍为； 从第三次开始，每次运算得到的差都是； 因此第次得到的差为． 4．杨辉三角是我国古代数学的重要成就，其结构如下： 我们把杨辉三角的行从上到下依次记为第行、第行、第行……，把每行的数从左到右依次记为第个数、第个数……．下列说法： ①第行中间的数是； ②第行所有数的和比第行多； ③第行所有数的和为； ④第行第个数与第行第个数相等． 其中正确的个数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数字类规律探索问题，观察图中数字的变化规律，得出第行的数和每行所有数的和，分析其变化规律，从而得出答案． 【详解】解：∵观察杨辉三角的图形，每项的数字等于上一行这一项上方的左右两个数字的和， ∴逐行构建至第行， 第行：， 第行：， 第行：， ∴第行中间的数是，故①正确； ∴第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， ，故②正确； ∵第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， ∴由此可归纳为：第行所有数的和为，故③正确； 观察杨辉三角的形状，是一个等腰三角形，每一行的数字排列具有对称性， 以第行为例：，共个数字， 第个数与第个数相等，第个数与第个数相等， ∴第行的数字关于中间对称，即第个数与第个数相等， 即第行第个数与第行第个数相等，故④正确； 故正确的个数为4个． 5．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，……，则第个图形中正方形的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由前面图形中的正方形个数，归纳出规律即可． 【详解】解：由题意可得第个图形中含有正方形个； 第个图形中含有正方形个； 第个图形中含有正方形个； 第个图形中含有正方形个； 则第个图形中正方形的个数为． 6．按照如图所示规律，用同样长度的火柴棒拼一组“灯笼”图案．第①个图案有根火柴棒，第②个图案有根火柴棒，第③个图案有根火柴棒……按照这一规律，第⑥个图案中火柴棒的根数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形规律，第①个图案有根火柴棒，第②个图案有根火柴棒，第③个图案有根火柴棒，，发现后面一个图案比前面一个图案多个，依此规律，求出第个图案中所用火柴棒的根数，即可求解第⑥个图案中火柴棒的根数． 【详解】∵第①个图案有根火柴棒，第②个图案有根火柴棒，第③个图案有根火柴棒， ∴后面一个图案比前面一个图案多个， ∴第①个：根；第②个：；第③个：， ∴第个： ， ∴第⑥个图案中火柴棒的根数是（根）． 7．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个十字星，第②个图案中有5个十字星，第③个图案中有10个十字星，第④个图案中有17个十字星，…，按照这一规律，第⑨个图案中十字星的个数是（     ） A．65 B．82 C．95 D．101 【答案】B 【分析】观察前四个图案中十字星的数量，分别为2、5、10、17，发现每个数都比序号的平方多1，从而得出第个图案中十字星个数的表达式，代入求解即可． 【详解】解： ∵ 第① 个图案中有个十字星， 第②个图案中有个十字星， 第③个图案中有个十字星， 第④个图案中有个十字星， …… ， ∴ 第个图案中十字星的个数为． 当时，十字星的个数为． 8．按如图所示的规律图案，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有4个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有10个圆点，……，按照这一规律，则第⑦个图中圆点的个数是（    ） A．19 B．22 C．25 D．28 【答案】A 【分析】观察图形中圆点个数的变化规律，发现后一个图形比前一个图形多3个圆点，归纳出第个图形中圆点个数，代入计算即可． 【详解】解：第①个图中有个圆点，； 第②个图中有个圆点，； 第③个图中有个圆点，； 第④个图中有个圆点，； ……； ∴第个图中圆点的个数为； 当时，圆点个数为． 9．定义一种对正整数n的“F”运算： ①当为奇数时，； ②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行． 例如：取，则：； 若，则第次“”运算的结果是（     ） A．52 B．13 C．4 D．1 【答案】D 【分析】根据题意，写出前几次的运算结果，发现其中的规律，通过计算得出从第6次开始，结果就只有1、4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论，从而进行求解． 【详解】解：当时， 则第1次“”运算的结果是：， 第2次“”运算的结果是：， 第3次“”运算的结果是：， 第4次“”运算的结果是：， 第5次“”运算的结果是：， 第6次“”运算的结果是：， 第7次“”运算的结果是：， 第8次“”运算的结果是：， … 观察以上结果，从第6次开始，结果就只有1、4两个数循环出现， 且当次数为奇数时，结果是4，次数为偶数时，结果是1， ∵是偶数， ∴最后结果是1． 10．下列都是由菱形按一定规律组成的，第①个图形共有4个菱形，第②个图形共有7个菱形，第③个图形共有10个菱形，第④个图形共有13个菱形，按此规律，第⑦个图形共有（     ）个菱形 A．16 B．19 C．22 D．25 【答案】C 【分析】观察可知，每个图形的菱形个数等于其序号的3倍加1，据此规律可得答案． 【详解】解：第①个图形共有个菱形， 第②个图形共有个菱形， 第③个图形共有个菱形， 第④个图形共有个菱形， ……， 以此类推，可知，第⑦个图形共有个菱形． 11．观察下列运算：；；；； ；；…，则的个位数字是______，的和的个位数字是______． 【答案】 4 2 【分析】先找出的幂次的个位数字的循环规律，周期为，通过指数除以周期的余数得到对应个位，再计算总和的个位数字． 【详解】解：观察已知运算可得的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，可得个位数字按循环，周期为． ∵ ， ∴ 的个位数字与的个位数字相同，为． 一个周期内的个位数字和为 ，个位数字为． ∵ ， ∴ 原式包含个完整循环，剩余个项的个位数字为和， ∴ 总和的个位数字是的个位数字，即． 12．用小棒按照如下方式摆图形： 摆1个八边形需要8根小棒，则摆10个八边形需要( )根小棒，摆n个八边形需要( )根小棒． 【答案】 71 【分析】根据题干图形得到需要的小棒规律，即可解题． 【详解】解：根据图形可知，摆1个八边形，需要根小棒， 摆2个八边形，需要根小棒， 摆3个八边形，需要根小棒， 摆10个八边形，需要根小棒， 依次类推，摆个八边形，需要根小棒． 13．按照下图的规律，在有个黑色正六边形的图形中，白色正六边形有( )个．在有个黑色正六边形的图形中，白色正六边形有( )个． 【答案】 42 【分析】观察图形，分别数出第1、2、3个图形中白色正六边形的个数，分析其与黑色正六边形个数的关系，归纳出规律公式. ． 【详解】解： 观察图形可知： 第1个图形中，黑色正六边形有1个，白色正六边形有个，； 第2个图形中，黑色正六边形有2个，白色正六边形有个，； 第3个图形中，黑色正六边形有3个，白色正六边形有个，； ， 由此规律可知，白色正六边形的个数等于黑色正六边形个数的4倍加2． 所以，在有个黑色正六边形的图形中，白色正六边形有个． 当时， （个）． 14．若一列数依次为，，，，…即这列数从第二个数开始，后一个数总是前一个数的2倍加1，则这列数中的第6个数为__________． 【答案】 【分析】根据题目给出的递推关系，依次计算即可得到第6个数． 【详解】解：∵从第二个数开始，后一个数总是前一个数的倍加， ∴第2个数为，符合给出的数列， ∴第3个数为，符合给出的数列， ∴第4个数为，符合给出的数列， ∴第5个数为， ∴第6个数为． 15．【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ， ； ，，； ，． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算______________________________________， 异号两数运算________________________________________________________， 特别地，0与任何数进行运算，或任何数与0进行运算，仍_________________． 【用数学的思维思考】 (2)计算： ①_________； ②_________． (3)若，，求的值． 【答案】(1)结果为正，并把两数的绝对值相加；结果为负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；得这个数 (2)①43；② (3)2 【分析】（1）根据已知等式归纳运算法则即可； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出a和b的符号，再结合运算规律即可解答． 【详解】（1）解：两数进行运算时： 同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加； 异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值； 特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． （2）解：① ； ② ． （3）解：∵， ∴a与同号，即， ． ∵， ∴b与1异号，即， ． ∴． 16．完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想： __________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 【答案】(1)解：由图可得，图1由1个小圆圈组成，图2由4个小圆圈组成，图3由9个小圆圈组成，图4由16个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； 还可以发现图1由1个小圆圈组成，图2由个小圆圈组成，图3由个小圆圈组成，图4由个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； (2) (3)(n为正整数） 【分析】（1）根据图形的变化寻找规律进行求解即可； （2）由（1）求解即可； （3）由（1）求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得：(n为正整数）． 17．按如图示的方式摆放餐桌和餐椅． (1)n张餐桌可以摆放多少把餐椅？ (2)8张餐桌可以摆放多少把餐椅？10张呢？15张呢？ 【答案】(1) (2)34；42；62 【分析】（1）观察摆放的餐桌和椅子图示，得到摆放1张，2张，3张桌子，…，放的椅子数依次是6，10，14，…从中得到一个规律，那么根据摆放规律，就能表示出摆放n张餐桌，应放的椅子数为，再进一步解答即可． （2）将，10，15，分别代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由图示，摆放1张，2张，3张，…桌子，放的椅子数依次是6，10，14，… ， ， ， … ∴摆放n张餐桌应放的椅子数为． （2）解：当时，， 当时，， 当时，． 18．国庆期间：某商场有以下促销活动： ①先提价，再打八折销售； ②先提价，再让利30元销售； ③先涨价b元，再打7.5折销售； (1)若商品的原价为a元，用代数式分别表示三种方案的销售价格：①____________元；②____________元；③____________元． (2)若，三种方案哪种最省钱？ 【答案】(1)；； (2)方案③最省钱 【分析】（1）根据三种方案，列出代数式即可； （2）分别求出三种方案的费用，比较大小即可. 【详解】（1）解：由题意，①（元）； ②（元）； ③（元）； （2）解：当时， ①总费用为（元）； ②总费用为（元）； ③总费用为（元）； ∵， ∴方案③最省钱. 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 29 页 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $