专题3.1 用代数式表示数量关系 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦列代数式表示数量关系，先明确代数式概念及不含关系符号的特征，再通过“审、找、写”三步法及易错提醒讲解列代数式，结合7类题型（用字母表示数、规律探究等）构建从概念到应用的学习支架。 资料亮点在于探究式学习（如圆的等分问题、图形规律）和复盘笔记，通过具体实例培养抽象能力、推理意识与模型意识。课中助力教师系统教学，课后检测与复盘帮助学生查漏补缺，强化用数学语言表达现实问题的能力。

简一数理 初中专题讲义 专题3.1 列代数式表示数量关系 （新教材人教版） 知识点一：代数式 2 知识点二：列代数式 2 【题型1 用字母表示数】 2 【题型2 列代数式】 4 【题型3 正（反）比例关系】 5 【题型4 用代数式表示数、图形的规律】 7 【题型5 代数式的概念】 9 【题型6 代数式书写方法】 11 【题型7 代数式表示的实际意义】 13 【探究式学习】 15 【课后检测】 18 【复盘笔记】 31 知识点一：代数式 代数式：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【例】x，2m，，，，是代数式； ，，不是代数式. 【注】代数式中不含“=”“>”“<”“≠”“≥”“≤”等关系符号。 知识点二：列代数式 1. 定义：把问题中涉及的数量关系，用含有**字母、数及运算符号**的式子表示出来，叫做列代数式。 2. 列代数式的关键步骤（三步法）： · 审：弄清题目中的已知量和未知量，找出关键词（如“和、差、积、商、倍、分、比……多/少”）。 · 找：确定运算顺序，先算什么、后算什么。 · 写：用字母代替未知量，按运算顺序写出代数式。 3. 易错提醒（避坑指南）： · 带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数（如 应写成 。 · 乘号省略规则：数字与字母相乘省略乘号时，数字写在字母前面（如 3a 不写 a3；字母与字母相乘按字母顺序写（如 ab 不写 ba）。 · 除法写成分数形式（如 写为 ）。 · “和、差、积、商”的表达要完整读题，区分“a与b的和的平方”与“a与b的平方和”。 【题型1 用字母表示数】 【例1】一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出不答或答错的题数，列式可得结论． 【详解】解：由题意得，该生不答或答错了道题，则答对得分为分，扣分为分， 所以他的成绩为． 【变式1-1】一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】A地到B地的路程：， 提速后的速度：， 提速后的时间：， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：， 故选：C． 【变式1-2】小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（　　） A．78 B．87 C．23 D．12 【答案】A 【分析】设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为，则，化简可得，据此即可得出答案． 【详解】解：设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意得：， 整理得：， 即小明心里想的那个两位数是78， 故选：A． 【点睛】本题考查了用字母表示数，正确列出等式是解题关键． 【变式1-3】某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若四月份增长率为，五月份增长率为，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用字母表示数，解题的关键是找出三、四、五月份销售量之间的关系． 【详解】解：根据题意得，四月份的销售量是，五月份的销售量为， 故选：B． 【题型2 列代数式】 【例2】活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如下图）．按照这样的规律摆下去，摆条“小鱼”需要火柴棒的根数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形，第一个图形有根火柴，后一个图形比前一个图形多根火柴，进而求出摆条小鱼需要火柴棒的根数． 【详解】解：观察图形可知：第一个图形有根火柴，后一个图形比前一个图形多根火柴， ∴摆条小鱼需要火柴棒的根数为根． 【变式2-1】某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低，中午12时的温度比凌晨的温度高，晚上9时的温度比中午12时的温度低，若该地当天上午9时的温度记为，则当天晚上9时的温度应记为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式化简即可． 【详解】解：由题意得晚上9时温度为． 【变式2-2】如图，数轴的单位长度为1，点A，B表示的数的和为8，数轴上有一点P在点B的右边．若点P表示的数为x，则的值为（   ） A． B．10 C． D．8 【答案】C 【分析】设点A表示的数为，点B表示的数为，根据题意，得，，代入求解即可． 【详解】解：设点A表示的数为，点B表示的数为，根据题意，得， ∵在的左边，P在点B的右边，点P表示的数为x， ∴， 故． 【变式2-3】某商场上月的营业额是 a万元，本月比上月增长，那么本月的营业额是（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】B 【分析】先求出本月增加额为万元，再加上上月的营业额a万元，即可得出本月的营业额． 【详解】解：由题意，得 万元． 【题型3 正（反）比例关系】 【例3】下列各组中的两个量，不成反比例关系的是（） A．甲乙两地相距，汽车行驶的平均速度与时间 B．三角形面积是，它的一条边长与这条边上的高 C．长方形的周长是，它的长和宽 D．车间计划加工500个零件，加工时间与每天加工的零件个数 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量是否成反比例，核心是看二者的乘积是否为定值． 【详解】解：A选项：设平均速度为，时间为， ∵（定值）， ∴二者成反比例，不符合题意； B选项：设底边长为，对应高为， ∵，即（定值）， ∴二者成反比例，不符合题意； C选项：设长为，宽为， ∵，即（定值），二者和为定值，乘积不是定值， ∴二者不成反比例，符合题意； D选项：设每天加工零件个数为，加工时间为， ∵（定值）， ∴二者成反比例，不符合题意． 【变式3-1】下面各选项中，成反比例关系的是（   ） A．修一段公路，工作效率和所用的工作时间成反比例关系 B．比例尺一定，图上距离与实际距离成反比例关系 C．长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系 D．运动员的跳远成绩和身高成反比例关系 【答案】A 【分析】本题考查反比例关系的辨析，需根据反比例关系的定义（两种相关联的量，相对应数的乘积为定值）逐项分析判断． 【详解】解：A选项：修公路的工作总量（公路长度）固定，即工作效率×工作时间=工作总量（定值），符合反比例关系定义，故A选项正确； B选项：比例尺图上距离实际距离，比例尺一定时，图上距离与实际距离的比值为定值，成正比例关系，故B选项错误； C选项：长方形周长(长+宽)，周长一定时，长与宽的和为定值，并非乘积一定，不成反比例关系，故C选项错误； D选项：运动员的跳远成绩和身高无固定的乘积关系，不成比例，故D选项错误． 故选：A． 【变式3-2】下列两个相关联的量中，成反比例关系的是（    ） A．圆锥的底面积一定，圆锥的体积与高 B．汽车的行驶速度一定，行驶的路程与时间 C．购买草莓的单价一定，购买草莓的总价与数量 D．文章的总字数一定，每分钟录入的字数与录入所需的时间 【答案】D 【分析】本题主要考查了成反比例关系的判定，解题的关键是掌握成反比例关系的定义． 根据反比例关系的定义（两种相关联的量，若相对应的两个数的乘积为定值，则成反比例关系），逐一分析各选项中两个量的数量关系，判断是否符合反比例关系的特征． 【详解】解：对于选项A：圆锥体积公式为，当底面积一定时，（定值）， ∴圆锥体积与高成正比例关系； 对于选项B：路程公式为，当速度一定时，（定值）， ∴行驶路程与时间成正比例关系； 对于选项C：总价公式为，当单价一定时，（定值）， ∴总价与数量成正比例关系； 对于选项D：总字数=每分钟录入字数×录入时间，当总字数一定时，每分钟录入字数×录入时间=总字数（定值）， ∴每分钟录入字数与录入所需时间成反比例关系； 故选：D． 【变式3-3】下列问题中的两个量成反比例关系的是（） A．驾驶汽车3小时，行驶里程（单位：公里）与平均时速（单位：公里/小时） B．长方形的周长一定，长方形的长与宽 C．长方形的面积一定，长方形的长与宽 D．每天阅读半小时，阅读总时长与天数 【答案】C 【分析】本题考查了反比例关系．判断两个量是否成反比例关系，需检查它们的乘积是否为常数． 【详解】解：A∶行驶里程=平均时速×时间，时间固定为3小时，∴行驶里程与平均时速成正比，不成反比． B∶周长=2(长+宽)，周长一定，∴长+宽=常数，和一定，不成反比． C∶面积=长×宽，面积一定，∴长×宽=常数，成反比例关系． D∶阅读总时长=每天阅读时间×天数，每天阅读时间固定为0.5小时，∴阅读总时长与天数成正比，不成反比． 故选：C． 【题型4 用代数式表示数、图形的规律】 【例4】用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形共有4个三角形，第②个图形共有9个三角形，第③个图形共有14个三角形，…，按照这一规律，第⑨个图形中三角形的个数为（   ） A．45 B．44 C．47 D．42 【答案】B 【分析】先分别确定第①，②，③图形中三角形的个数，即可得出数字变化特点，再根据规律解答． 【详解】解：第①个图形共有4个三角形； 第②个图形共有个三角形； 第③个图形共有个三角形； 第④个图形共有个三角形， 第⑨个图形共有个三角形． 【变式4-1】如图所示，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…，则第个图形中小正方形的个数为（    ） A．245个 B．246个 C．254个 D．255个 【答案】C 【分析】观察图形可知后面一个图形比前面一个图形多5个小正方形，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形共有小正方形个， 第2个图形共有小正方形个， 第3个图形共有小正方形个， ……， 以此类推，可知第n个图形共有小正方形个， ∴第50个图形中小正方形的总个数为个． 【变式4-2】如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第20个图案中三角形的个数是（   ） A．88 B．78 C．68 D．58 【答案】B 【分析】先根据前几个图案中三角形的个数，找出其变化规律，推导出第个图案中三角形的个数与n的关系，将代入计算即可． 【详解】解：第①个图案有个三角形， 第②个图案有个三角形， 第③个图案有个三角形， ∴第个图案中三角形的个数为个． 将代入，得： ， ， （个）． 【变式4-3】如图所示，将形状、大小完全相同的“”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“”，第②个图案用了11个“”，第③个图案用了16个“”，第④个图案用了21个“”，．．．，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的“”个数是（    ） A．48 B．46 C．41 D．40 【答案】C 【分析】通过观察图形得出点的个数与图案序号之间的关系，归纳出通项公式，即可求解 【详解】解：第①个图案用了个“”， 第②个图案用了个“”， 第③个图案用了个“”， 第④个图案用了个“”， 第个图案用了 个“”， 则第⑧个图案用了 个“”， 【题型5 代数式的概念】 【例5】下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 【答案】D 【分析】利用代数式的意义逐项分析判断即可获得答案． 【详解】解：A. 表示2和相乘，故本选项错误，不符合题意； B. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； C. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； D. 的值随的增大而增大，该说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式的知识，理解代数式的意义是解题关键． 【变式5-1】下列说法不正确的是（　　） A．工作效率一定，工作总量与工作时间成反比例关系 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高成反比例关系 C．速度一定，路程与时间成正比例关系 D．单价一定，总价与数量成正比例关系 【答案】A 【分析】本题考查了正比例和反比例，两个量比值一定成正比例，乘积一定成反比例，据此判断即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：、工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例关系，该选项说法错误，符合题意； 、圆柱的体积一定，它的底面积与高成反比例关系，该选项说正确，不合题意； 、速度一定，路程与时间成正比例关系，该选项说正确，不合题意； 、单价一定，总价与数量成正比例关系，该选项说正确，不合题意； 故选：． 【变式5-2】下面说法错误的是（   ） A．长方形的面积一定，长与宽成反比例 B．在工程问题中，工作总量一定，工作效率与工作时间成正比例 C．在行程问题中，速度一定，路程与时间成正比例 D．圆柱的体积一定，底面积和高成反比例 【答案】B 【分析】本题考查了正比例和反比例，两个量乘积一定成反比例，比值一定成正比例，据此判断即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：、长方形的面积一定，长与宽成反比例，该选项说法正确，不合题意； 、在工程问题中，工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例，该选项说法错误，符合题意； 、在行程问题中，速度一定，路程与时间成正比例，该选项说法正确，不合题意； 、圆柱的体积一定，底面积和高成反比例，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 【变式5-3】下列说法错误的是（   ） A．，3，a，，这些都是代数式 B．的意义是a的3倍与2的和 C．的意义是a与2的和的3倍 D．橙子原价c元/千克，现在按八五折优惠出售，用代数式表示橙子的售价为元/千克 【答案】D 【分析】本题考查代数式的定义、意义以及折扣问题． 解题的关键在于准确理解代数式的概念，能正确解读代数式所表达的实际意义，同时掌握折扣的计算方法． 【详解】选项A：、3、a、均为代数式，正确； 选项B：表示a的3倍与2的和，正确； 选项C：表示a与2的和的3倍，正确， 选项D：∵ 八五折表示原价的，即倍， ∴ 橙子的售价应为元/千克，而非元/千克， ∴ 选项D错误． 故选：D． 【题型6 代数式书写方法】 【例6】下列代数式书写格式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写规范，熟练掌握代数式的书写要求是解题的关键．根据代数式的书写要求进行判断即可． 【详解】A选项错误，代数式中除法运算应写成分数形式，如； B选项错误，数字与字母相乘时，数字应写在字母前且省略乘号，正确写法为； C选项正确，分数形式符合代数式书写规范，分子为，分母为，表达清晰； D选项错误，带分数与字母相乘时，需转化为假分数或明确使用乘号． 故选：C． 【变式6-1】下列代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的书写规则，根据代数式的书写规则：（）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式，据此逐项判断即可求解，掌握代数式的书写规则是解题的关键． 【详解】解：、正确的书写为，该选项不符合题意； 、正确的书写为，该选项不符合题意； 、书写正确，该选项符合题意； 、正确的书写为，该选项不符合题意； 故选：． 【变式6-2】下列代数式中，书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式，依次分析各个选项，选出符合代数式的书写格式的选项即可，正确掌握代数式的书写格式是解题的关键． 【详解】解：A、，当代数式的系数是“1”或“”时，数字“1”往往省略不写，故选项不符合题意； B、，书写代数式时，一般不出现除号，出现除法转化为乘法，并且除号与负号不能相邻，故选项不符合题意； C、，正确的格式为，故选项不符合题意； D、，符合代数式的书写格式，故选项符合题意； 故选：D． 【变式6-3】下列代数式中，符合代数式书写要求的有（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【详解】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个， 故选：． 【题型7 代数式表示的实际意义】 【例7】岳阳市某书店推出优惠活动：单购一种教辅书，若购买数量不超过20本，每本售价10元；若超过20本，超过部分每本降价2元．设购买数量为本，付款金额为y元，则y与x的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的代数式． 根据题意和题目中的数据，当购买数量超过20本时，前20本按每本10元计费，超过部分按每本8元计费．根据此规则列出总费用并化简． 【详解】∵， ∴前20本费用为：元， 超过部分费用为：元， ∴． 故y与x的关系式为． 故选：C． 【变式7-1】下列问题中的数量或数量关系，可以用代数式表示的是（ ）． ①一件衣服标价元，打七折后再优惠50元的实际售价 ②苹果售价为每千克7元，小天买了千克，微信里全部余额为50元（未绑定银行卡），扫码时提示余额不足，他还差的钱数 ③从长米，宽7米的长方形木板上裁去面积为50平方米的一块，剩余的面积 ④小天如果以每天7页的速度读一本书，读了天后还剩50页，这本书的总页数 A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查代数式的实际意义，需要逐一分析每个描述中的数量关系是否与代数式一致． 【详解】解：①∵打七折后售价为元，再优惠50元，实际售价为元，与不符； ②∵苹果总价为元，余额50元，还差的钱数为元，符合； ③∵长方形面积为平方米，裁去50平方米，剩余面积为平方米，符合； ④∵已读页，还剩50页，总页数为页，与不符． ∴只有②和③符合， 故选C． 【变式7-2】下列代数式的意义叙述错误的是（   ） A．的意义是与的差 B．的意义是除以的商 C．的意义是与的平方的差 D．的意义是与的和的 【答案】C 【分析】本题考查代数式的意义，解题的关键是根据代数式的特点逐项判断即可． 【详解】解：A、 表示与的差，故此选项正确，不符合题意； B、 表示除以的商，故此选项正确，不符合题意； C、 表示与的差的平方，而非与的平方的差（平方的差为），故此选项错误，符合题意； D、 表示与的和的，故此选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式7-3】青山村种的水稻2010年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则2012年平均每公顷比2011年增加的产量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了用代数式表示实际意义，根据年平均增长率，先计算2011年和2012年的产量，然后求2012年比2011年的增加量即可，掌握实际问题中各个量的关系是解决此题的关键． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为， ∴ 2011年产量为，2012年产量为， ∴2012年平均每公顷比2011年增加的产量为： ， 故选：C． 【探究式学习】 1．如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长． 【探究】 (1)把分成两条相等的线段，每个小圆的周长__________； (2)把分成三条相等的线段，每个小圆的周长__________； (3)把分成条相等的线段，每个小圆的周长__________； (4)当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是：__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先求出每个小圆的直径，即可解答； （2）先求出每个小圆的直径，即可解答； （3）先求出每个小圆的直径，即可解答； （4）根据大圆直径被等分，得出小圆直径为，即可解答； 【详解】（1）解：把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； （2）解：把分成三条相等的线段，每个小圆的周长； （3）解：把分成条相等的线段，每个小圆的周长； （4）解：以为直径的圆的面积为， 把分成条相等的线段，每个小圆的直径为，即每个小圆的半径为， 则每个小圆的面积， ∵ ∴． 2．规律探究，用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形． 第1个图形中有1张正方形纸片； 第2个图形中有（张）正方形纸片； 第3个图形中有（张）正方形纸片； 第4个图形中有（张）正方形纸片； … (1)根据上面的发现我们可以猜想： 第n个图形中有____=_____ （张）正方形纸片； (2)请根据你的发现计算： ①； ②（提示：可适当进行拆分） 【答案】(1)； (2)①2500；②7500 【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． （1）观察式子是连续的奇数相加可知是，观察图形的变化可得规律，根据发现的规律即可猜想的值； （2）①根据（1）中的规律即可求解；②每个数进行拆分，再根据①的结果，即可求得的值． 【详解】（1）解：∵第1个图形中有（张）正方形； 第2个图形有（张）小正方形； 第3个图形有（张）小正方形； 第4个图形有（张）小正方形； …… 第n个图形有（张）小正方形； ∴． （2）解：， ∴． ． 【课后检测】 1．比少5的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列代数式即可． 【详解】解：比少5的数为． 2．下面数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．长方形的长一定，它的面积与宽的关系 B．总价一定，单价和数量的关系 C．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数的关系 D．速度一定，路程和时间的关系 【答案】B 【分析】判断反比例关系的核心是两种相关联的量对应数值的乘积一定 【详解】解：A. ∵长方形的面积等于长乘以宽，长一定，即面积与宽的比值一定，∴成正比例关系，不符合题意； B. ∵总价等于单价乘以数量，总价一定，即单价与数量的乘积一定，∴成反比例关系，符合题意； C. ∵出勤人数加上缺勤人数等于全班人数，是和一定，∴不成比例，不符合题意； D. ∵路程等于速度乘以时间，速度一定，即路程与时间的比值一定，∴成正比例关系，不符合题意． 3．小明在支付时看到“超过元时，商品按原价打折后，再减少元”，若小明要购买商品的原价为元（），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵商品原价为元（），且按原价打折后，再减少元， ∴实际付款金额为元． 4．小花家造房子，买进水泥m吨，预计每天用0.8吨，用了n天，余下多少吨．算式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用买进水泥的数量减去用掉的数量即为余下的数量． 【详解】解：已用水泥吨数为吨，余下水泥吨数为吨． 5．表示x、y成正比例关系的是（     ） A． B． C． 【答案】C 【分析】对于两个变量，若它们的乘积一定，则这两个变量成反比例，若它们的比值一定，则这两个变量成正比例，据此可得答案． 【详解】解：A、，与的乘积一定，成反比例，故此选项不符合题意； B、由得，与的乘积一定，成反比例，故此选项不符合题意； C、，即，与的比值一定，成正比例，故此选项符合题意． 6．有三个连续自然数，最小的数用字母表示，那么另外两个数表示为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：∵ 相邻两个自然数相差1，三个连续自然数中最小的数为， ∴ 另外两个数分别为和. 7．冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成．若每根竹签穿5个山楂，则穿（为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先明确题目中的数量关系，已知每串冰糖葫芦需要5个山楂，要求n串的总山楂数，确定这是乘法应用问题．因为总个数等于单串所需个数乘以串数，所以可根据这个数量关系列出对应的代数式．结合代数式的书写规范，得到对应表达式后匹配选项即可． 【详解】解：∵每串冰糖葫芦穿5个山楂，共串， ∴需要山楂的个数为． 8．下列各式中，不是代数式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.，是数与字母经过运算得到的式子，是代数式．故A项不符合题意． B.，单独一个字母属于代数式，是代数式．故B项不符合题意． C.，式子中含有等号，是等式，不是代数式．故项符合题意． D.，单独一个数属于代数式，是代数式．故D项不符合题意． 9．如图，把四张形状、大小完全相同的白色小长方形（长为，宽为）卡片不重叠地放在一个底面为长方形（宽为）的盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则阴影部分的面积的和为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式．先求得长方形的面积为，长方形的面积为，据此即可计算出阴影部分的面积． 【详解】解：长方形的面积为，长方形的面积为， ∴阴影部分的面积的和为， 故选：C． 10．如图，一些点组成形如三角形的图形．如果图形的每条“边”上有n个点（包括两个顶点），那么这个图形中点的总数为s．当时，s的值为（    ） A．27 B．33 C．36 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现点的总数依次增加3是解题的关键． 根据所给图形，依次求出点的总数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当时，， 当时，， 当时，， 可知 …， 当时，． 故选：B． 11．如图所示的日历中，用正方形在日历内任意圈出四个数，请用一个等式表示a，b，c，d之间的关系为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题可以有多种表示方法：①横向来看，左右两个数的差都是1；②纵向看，上下两个数字的差相等；③对角线的角度看，两个数字的和相等． 【详解】解：①横向来看，，则； ②纵向看，，则； ③对角线的角度看：． 12．有一根弹簧原长10cm，挂重物后，它的长度会增加，请根据下面表格中的一些数据填空： 所挂重物质量 1 2 3 … n 弹簧伸长量 0.5 1.0 1.5 … 弹簧总长度 10.5 11 11.5 … 【答案】 弹簧伸长量为，弹簧总长度为 【分析】根据已知数据找伸长量和所挂重物质量的规律，再结合原长计算总长度． 【详解】解：观察表格已知数据，挂 重物时，伸长量为 ， 即， 挂 重物时，总长度为 ，可得伸长量为， 挂 g重物时，伸长量为 ，即， 由此可得规律：挂 重物时，弹簧伸长量为， ∵弹簧总长度 = 弹簧原长 + 弹簧伸长量， ∴弹簧总长度为． 13．用相同长度的小木棒和绳子搭建“圆内十字形”图形：每个图形以中心点为起点，向“上、下、左、右”四个方向延伸；每个方向上（不包含中心点）的点数随图形序号依次增加． 前3个图形的构造规律如下： 图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为5． 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为13． 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为21． …… 按照图形的构造规律，图形n的总点数为_________． 【答案】 【详解】解：图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为． 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为． 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为． …… 图形n的总点数为 14．填空： （1）已知操场环形跑道一圈长，甲、乙两人同时同地出发，沿跑道同向跑步，甲的速度为，乙的速度为，甲跑步超过乙一圈需_________s； （2）巧克力糖的单价为每千克a元，奶糖的单价为每千克b元，将巧克力糖和奶糖混合，这样得到的混合糖的平均单价是每千克_________元． 【答案】 【分析】（1）本题是同向追及行程问题，甲超过乙一圈时，两人的路程差为环形跑道一圈的长度，根据时间等于路程差除以速度差可求解； （2）本题考查混合糖平均单价的计算，先求出混合糖的总价和总质量，再根据平均单价等于总价除以总质量可求解． 【详解】解：（1）设甲跑步超过乙一圈需要，根据题意，得： ， 解得； （2）根据题意，巧克力糖的总价为元，奶糖的总价为元，因此混合糖的总总价为元，混合糖的总质量为， 因此平均单价为元每千克． 15．用代数式表示： (1)a的3倍与b的平方的差； (2)x与y平方的和； (3)x、y两数的平方和减去它们积的2倍； (4)x的相反数与y的倒数的和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先求的倍、的平方，再做减法； （2）先求的平方，再与相加； （3）先分别求、的平方，再求和，减去与乘积的倍； （4）先求出的相反数、的倒数，再求和． 【详解】（1）解：的倍：，的平方：， ∴差为：； （2）解：的平方：，和为：； （3）解：平方：，平方：，两数积的倍：， ∴代数式为：； （4）解：的相反数：，的倒数：， ∴和为：． 16．按要求完成下列各题： (1)某种电视机每台定价为m元，商店在节日搞促销活动，降价，促销期间每台实际售价多少元？ (2)将小题（1）的解答与例2中小题（3）的解答比较一下，你有什么发现？有什么想法？（例2中小题（3）解答：某机关原有工作人员m人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有人） (3)请尝试编制一道与小题（1）的解答类似的题目，与同伴交流． 【答案】(1)元． (2) 发现：降价与抽调虽然情境不同，但数量关系相同，均可表示为原量的或； 想法：代数式能简洁统一地表示一类数量关系，具有一般性． (3)示例：某农场去年产小麦吨，今年减产，今年产小麦多少吨？（答案不唯一，合理即可）． 【分析】（1）以定价为单位“1”，降价即现价为原价的，据此列代数式； （2）对比两个代数式的形式与实际意义，总结代数式的一般性特点； （3）围绕“求比一个数少百分之几的数”的数量关系编制实际问题． 【详解】（1）解：∵电视机每台定价为元，降价， ∴促销期间每台实际售价为元； （2）略； （3）略． 17．本学期在数学广角单元我们体会了“数形结合”思想方法的魅力，我们可以用形巧妙地解决有关数的问题，比如聪聪在算这个数的计算问题时，就借用形来思考． (1)他发现___________． (2)仔细观察上面的等式，是不是任意两个数的平方差都具有这样的特征呢？请举两个例子算一算，验证你的发现． 举例1：                               举例2： (3)如果和表示两个数，这样的规律可以表示为 (4)根据以上结论计算：___________ 【答案】(1) (2)举例1：∵，， ∴； 举例2：∵，， ∴； ∴任意两个数的平方差都具有这样的特征． (3)， (4)4051 【分析】（1）通过计算两个算式的结果，即可得出结论； （2）举出两个算式的例子再计算出结果，即可归纳得出结论； （3）结合题干中给出的图，用字母标出边长，通过涂色部分的面积即可得出结论； （4）利用（3）的结论，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵方法一图中的涂色部分是边长为的正方形的面积减去边长为的正方形的面积， ∴， ∵方法二图中的涂色部分为长为，宽为的一个长方形的面积， ∴； ∴． （2）略 （3）解：如图所示： 图1中的涂色部分面积为，图2中的涂色部分面积为， ∵图1与图2中的涂色部分面积相等， ∴， ∴如果和表示两个数，这样的规律可以表示为． （4）解：． 18．阅读以下材料，并解决问题： 欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令① 等式两边同时乘以3，得② 由①得，，代入②中，得， 解得， 所以，． 请解答下列问题： （一）计算： （1）． （2）． （二）数形结合：如图，由图（1）到图（2）是一个正方形衍生出两个小正方形，图（3）是图（2）中每个新生小正方形再衍生出两个正方形，…，按照这个的规律，图（6）中共有正方形的个数是 ． A．                       B．                     C．                  D． 【答案】（一）（1）；（2）；（二）D 【分析】本题考查有理数的混合运算，列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． （一）（1）根据已知先求出，再相减，即可得出答案； （2）仿照（1）中的方法计算即可； （二）第一个图有1个正方形，第二个图中有个，第三个图中有个，第四个图中有个，据此规律可得第六个图形中有个． 【详解】解：（一（1）令①， 等式两边同时乘以5，得②， 由①得，，代入②，得 解得，， ； （2）解：， 令①， 等式两边同时乘以2，得②， 由①得，，代入②，得 ， 解得， 所以； （二数形结合：第一个图有1个正方形， 第二个图中有个， 第三个图中有个， 第四个图中有个， 第五个图中有个， 第六个图中有个， 故答案为：D． 19．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则___________； (2)若点在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒2个单位长度向右运动．请问：运动秒后，点与点之间的距离为多少？(用含的代数式表示) (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点与点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，当秒时，试推出之间的数量关系． 【答案】(1)8 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及线段的长度、代数式表示动点位置以及分类讨论思想，关键是根据运动速度和时间表示出各点表示的数，再结合距离公式推导数量关系． （1）数轴上两点距离为右边的数减去左边的数，点表示，点表示6，直接计算； （2）先表示运动秒后点、的表示的数：点向左运动，表示的数为；点向右运动，表示的数为．两点距离为右边表示的数减左边表示的数，即； （3）先表示运动秒后点、、的表示的数：A为，为，为．分别计算、、的距离表达式：，，，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：8； （2）解：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为， 故； （3）解：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． ∴，，． 当时，，则； 当时，，则； 综上，当时，；当时，． 20．观察下面三行数： ，4，，16，，64，……① 1，7，－5，19，，67，……② ，2，，8，，32，……③ (1)第①行的第8个数是__________． (2)第②行的第8个数是__________第③行的第n个数是_________． (3)取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)256 (2)259， (3) 【分析】本题主要考查了用代数式表示数字变化规律， （1）根据数字变化特点可知第①行的数是的序号数次方，解答即可； （2）第②行的数比第①行的数大3，可得答案，第③行的数的序号数次方，再乘以2的序号数少1次方，可得答案； （3）分别根据数字变化规律得出第9个数，再求出和． 【详解】（1）解：第①行的数是； 故答案为：256； （2）解：第②行的数是； ． 故答案为：259, ； （3）解：第①行中的第9个数是，第②行中的第9个数是，第③行中的第9个数是， 所以． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 32 页 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题3.1 列代数式表示数量关系 （新教材人教版） 知识点一：代数式 2 知识点二：列代数式 2 【题型1 用字母表示数】 2 【题型2 列代数式】 3 【题型3 正（反）比例关系】 3 【题型4 用代数式表示数、图形的规律】 4 【题型5 代数式的概念】 5 【题型6 代数式书写方法】 5 【题型7 代数式表示的实际意义】 6 【探究式学习】 7 【课后检测】 9 【复盘笔记】 15 知识点一：代数式 代数式：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【例】x，2m，，，，是代数式； ，，不是代数式. 【注】代数式中不含“=”“>”“<”“≠”“≥”“≤”等关系符号。 知识点二：列代数式 1. 定义：把问题中涉及的数量关系，用含有**字母、数及运算符号**的式子表示出来，叫做列代数式。 2. 列代数式的关键步骤（三步法）： · 审：弄清题目中的已知量和未知量，找出关键词（如“和、差、积、商、倍、分、比……多/少”）。 · 找：确定运算顺序，先算什么、后算什么。 · 写：用字母代替未知量，按运算顺序写出代数式。 3. 易错提醒（避坑指南）： · 带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数（如 应写成 。 · 乘号省略规则：数字与字母相乘省略乘号时，数字写在字母前面（如 3a 不写 a3；字母与字母相乘按字母顺序写（如 ab 不写 ba）。 · 除法写成分数形式（如 写为 ）。 · “和、差、积、商”的表达要完整读题，区分“a与b的和的平方”与“a与b的平方和”。 【题型1 用字母表示数】 【例1】一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（　　） A．78 B．87 C．23 D．12 【变式1-3】某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若四月份增长率为，五月份增长率为，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（   ） A． B． C． D． 【题型2 列代数式】 【例2】活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如下图）．按照这样的规律摆下去，摆条“小鱼”需要火柴棒的根数是（     ）． A． B． C． D． 【变式2-1】某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低，中午12时的温度比凌晨的温度高，晚上9时的温度比中午12时的温度低，若该地当天上午9时的温度记为，则当天晚上9时的温度应记为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，数轴的单位长度为1，点A，B表示的数的和为8，数轴上有一点P在点B的右边．若点P表示的数为x，则的值为（   ） A． B．10 C． D．8 【变式2-3】某商场上月的营业额是 a万元，本月比上月增长，那么本月的营业额是（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【题型3 正（反）比例关系】 【例3】下列各组中的两个量，不成反比例关系的是（） A．甲乙两地相距，汽车行驶的平均速度与时间 B．三角形面积是，它的一条边长与这条边上的高 C．长方形的周长是，它的长和宽 D．车间计划加工500个零件，加工时间与每天加工的零件个数 【变式3-1】下面各选项中，成反比例关系的是（   ） A．修一段公路，工作效率和所用的工作时间成反比例关系 B．比例尺一定，图上距离与实际距离成反比例关系 C．长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系 D．运动员的跳远成绩和身高成反比例关系 【变式3-2】下列两个相关联的量中，成反比例关系的是（    ） A．圆锥的底面积一定，圆锥的体积与高 B．汽车的行驶速度一定，行驶的路程与时间 C．购买草莓的单价一定，购买草莓的总价与数量 D．文章的总字数一定，每分钟录入的字数与录入所需的时间 【变式3-3】下列问题中的两个量成反比例关系的是（） A．驾驶汽车3小时，行驶里程（单位：公里）与平均时速（单位：公里/小时） B．长方形的周长一定，长方形的长与宽 C．长方形的面积一定，长方形的长与宽 D．每天阅读半小时，阅读总时长与天数 【题型4 用代数式表示数、图形的规律】 【例4】用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形共有4个三角形，第②个图形共有9个三角形，第③个图形共有14个三角形，…，按照这一规律，第⑨个图形中三角形的个数为（   ） A．45 B．44 C．47 D．42 【变式4-1】如图所示，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…，则第个图形中小正方形的个数为（    ） A．245个 B．246个 C．254个 D．255个 【变式4-2】如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第20个图案中三角形的个数是（   ） A．88 B．78 C．68 D．58 【变式4-3】如图所示，将形状、大小完全相同的“”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“”，第②个图案用了11个“”，第③个图案用了16个“”，第④个图案用了21个“”，．．．，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的“”个数是（    ） A．48 B．46 C．41 D．40 【题型5 代数式的概念】 【例5】下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 【变式5-1】下列说法不正确的是（　　） A．工作效率一定，工作总量与工作时间成反比例关系 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高成反比例关系 C．速度一定，路程与时间成正比例关系 D．单价一定，总价与数量成正比例关系 【变式5-2】下面说法错误的是（   ） A．长方形的面积一定，长与宽成反比例 B．在工程问题中，工作总量一定，工作效率与工作时间成正比例 C．在行程问题中，速度一定，路程与时间成正比例 D．圆柱的体积一定，底面积和高成反比例 【变式5-3】下列说法错误的是（   ） A．，3，a，，这些都是代数式 B．的意义是a的3倍与2的和 C．的意义是a与2的和的3倍 D．橙子原价c元/千克，现在按八五折优惠出售，用代数式表示橙子的售价为元/千克 【题型6 代数式书写方法】 【例6】下列代数式书写格式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】下列代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】下列代数式中，书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】下列代数式中，符合代数式书写要求的有（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7 代数式表示的实际意义】 【例7】岳阳市某书店推出优惠活动：单购一种教辅书，若购买数量不超过20本，每本售价10元；若超过20本，超过部分每本降价2元．设购买数量为本，付款金额为y元，则y与x的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】下列问题中的数量或数量关系，可以用代数式表示的是（ ）． ①一件衣服标价元，打七折后再优惠50元的实际售价 ②苹果售价为每千克7元，小天买了千克，微信里全部余额为50元（未绑定银行卡），扫码时提示余额不足，他还差的钱数 ③从长米，宽7米的长方形木板上裁去面积为50平方米的一块，剩余的面积 ④小天如果以每天7页的速度读一本书，读了天后还剩50页，这本书的总页数 A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 【变式7-2】下列代数式的意义叙述错误的是（   ） A．的意义是与的差 B．的意义是除以的商 C．的意义是与的平方的差 D．的意义是与的和的 【变式7-3】青山村种的水稻2010年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则2012年平均每公顷比2011年增加的产量是（   ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长． 【探究】 (1)把分成两条相等的线段，每个小圆的周长__________； (2)把分成三条相等的线段，每个小圆的周长__________； (3)把分成条相等的线段，每个小圆的周长__________； (4)当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是：__________． 2．规律探究，用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形． 第1个图形中有1张正方形纸片； 第2个图形中有（张）正方形纸片； 第3个图形中有（张）正方形纸片； 第4个图形中有（张）正方形纸片； … (1)根据上面的发现我们可以猜想： 第n个图形中有____=_____ （张）正方形纸片； (2)请根据你的发现计算： ①； ②（提示：可适当进行拆分） 【课后检测】 1．比少5的数是（     ） A． B． C． D． 2．下面数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．长方形的长一定，它的面积与宽的关系 B．总价一定，单价和数量的关系 C．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数的关系 D．速度一定，路程和时间的关系 3．小明在支付时看到“超过元时，商品按原价打折后，再减少元”，若小明要购买商品的原价为元（），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（     ） A． B． C． D． 4．小花家造房子，买进水泥m吨，预计每天用0.8吨，用了n天，余下多少吨．算式是（     ） A． B． C． D． 5．表示x、y成正比例关系的是（     ） A． B． C． 6．有三个连续自然数，最小的数用字母表示，那么另外两个数表示为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成．若每根竹签穿5个山楂，则穿（为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（     ） A． B． C． D． 8．下列各式中，不是代数式的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，把四张形状、大小完全相同的白色小长方形（长为，宽为）卡片不重叠地放在一个底面为长方形（宽为）的盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则阴影部分的面积的和为（   ）． A． B． C． D． 10．如图，一些点组成形如三角形的图形．如果图形的每条“边”上有n个点（包括两个顶点），那么这个图形中点的总数为s．当时，s的值为（    ） A．27 B．33 C．36 D．38 11．如图所示的日历中，用正方形在日历内任意圈出四个数，请用一个等式表示a，b，c，d之间的关系为________． 12．有一根弹簧原长10cm，挂重物后，它的长度会增加，请根据下面表格中的一些数据填空： 所挂重物质量 1 2 3 … n 弹簧伸长量 0.5 1.0 1.5 … 弹簧总长度 10.5 11 11.5 … 13．用相同长度的小木棒和绳子搭建“圆内十字形”图形：每个图形以中心点为起点，向“上、下、左、右”四个方向延伸；每个方向上（不包含中心点）的点数随图形序号依次增加． 前3个图形的构造规律如下： 图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为5． 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为13． 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为21． …… 按照图形的构造规律，图形n的总点数为_________． 14．填空： （1）已知操场环形跑道一圈长，甲、乙两人同时同地出发，沿跑道同向跑步，甲的速度为，乙的速度为，甲跑步超过乙一圈需_________s； （2）巧克力糖的单价为每千克a元，奶糖的单价为每千克b元，将巧克力糖和奶糖混合，这样得到的混合糖的平均单价是每千克_________元． 15．用代数式表示： (1)a的3倍与b的平方的差； (2)x与y平方的和； (3)x、y两数的平方和减去它们积的2倍； (4)x的相反数与y的倒数的和． 16．按要求完成下列各题： (1)某种电视机每台定价为m元，商店在节日搞促销活动，降价，促销期间每台实际售价多少元？ (2)将小题（1）的解答与例2中小题（3）的解答比较一下，你有什么发现？有什么想法？（例2中小题（3）解答：某机关原有工作人员m人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有人） (3)请尝试编制一道与小题（1）的解答类似的题目，与同伴交流． 17．本学期在数学广角单元我们体会了“数形结合”思想方法的魅力，我们可以用形巧妙地解决有关数的问题，比如聪聪在算这个数的计算问题时，就借用形来思考． (1)他发现___________． (2)仔细观察上面的等式，是不是任意两个数的平方差都具有这样的特征呢？请举两个例子算一算，验证你的发现． 举例1：                               举例2： (3)如果和表示两个数，这样的规律可以表示为 (4)根据以上结论计算：___________ 18．阅读以下材料，并解决问题： 欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令① 等式两边同时乘以3，得② 由①得，，代入②中，得， 解得， 所以，． 请解答下列问题： （一）计算： （1）． （2）． （二）数形结合：如图，由图（1）到图（2）是一个正方形衍生出两个小正方形，图（3）是图（2）中每个新生小正方形再衍生出两个正方形，…，按照这个的规律，图（6）中共有正方形的个数是 ． A．                       B．                     C．                  D． 19．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则___________； (2)若点在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒2个单位长度向右运动．请问：运动秒后，点与点之间的距离为多少？(用含的代数式表示) (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点与点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，当秒时，试推出之间的数量关系． 20．观察下面三行数： ，4，，16，，64，……① 1，7，－5，19，，67，……② ，2，，8，，32，……③ (1)第①行的第8个数是__________． (2)第②行的第8个数是__________第③行的第n个数是_________． (3)取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 32 页 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $