江苏省南通中学2026-2027学年高三上学期数学周练7月24日

数学7月24日小练 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合A={x|0<x≤2}，B={y|y=3+l},则An(CB)= A.(1,2] B.(0,1] C.(-0,1] D.(L,+∞) 2.已知p:1og(x+12,9:≥} 3, 则P是q的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设i为虚数单位，若复数z满足：=1+2i,则三在复平面内对应的点在（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 4.若a b=lo5,c=3,则a,b,c的大小关系为 ) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a 5.己知函数f(x)=log。(x2-ax+2),若对任意两个不相等的实数x1,x3∈(-∞，，f(x)都满 足不等式，)-C)<0,则a的取值范围是() x2-x A.(1,3) B.[2,3) C.[2,+o∞) D.(0,1) 6.已知a,beR且a,b>0,若函数f)=e+e_bcosx有唯一零点，则2a+b的最小 a 值为() A.22 B.3√5 C.42 D.55 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E,F分别为线段PB,PD 上的点，若PG=GC,且4G=x花+F,则x+y=（) B A.1 B.2 c 3-2 D. 1,x为有理数 8.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数(x)= 0,x为无理数 称为狄利克雷函数，则关于函数(x)有以下四个命题： ①f(f(x)=1: ②函数f(x)是偶函数： ③任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立； ④存在三个点A(x,f(x),B(x2,f(x2),C(x3,f(x3)》,使得△ABC为等边三角形. 其中真命题的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 9.已知函数f(x),g(x)定义域均为R,函数f(x-1)为偶函数，函数g(x-1)-2是奇函 数，若g(x-1)=f(x)-3,f()=1,则g()+g(2)+g(3)+…+g(1000)=() A.1000 B.2000 C.3000 D.4000 二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 -2x(-1≤x≤0) 10.已知函数f(x)= VR(0<x≤) 则下列图象正确的是() A.y=f(x-1)的图象 B.y=f(x)的图象 C.y=f(-x)的图象 D.yf(x)的图象 0 11.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在 的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.根据杨辉三角 判断下列说法正确的是( 的展开式中存在常数项 B.已知(x+2)3=a。+a(x+1)+42(x+1)2+…+a(x+1),则4-a+42-a3+a4-a5=1 C.已知(1-3x)”的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为20 D.C2+4C+6C1+4C+C9=C6 12.下列说法正确的是( A.设随机变量X~B 则P(X=1)=P(X=3) B.从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的 个数记为X,则P(X=0)>P(X=) C.设随机变量n服从正态分布N(5,o2),则P(7≥3)+P(?≤7)=1+P(3≤n≤7) D.从集合{0<x<4,x∈☑中任取三个元素x,2,x,且满足x<x<,定义随 机变量X=x+x2+x3,则X的数学期望为0 13.已知正方体ABCD-AB,C,D的棱长为2，在矩形ABCD内（包括边界）的动点E始终满 足DE与平面4BCD所成的角是牙，则下列结论正确的是(） A B B 20 A.多面体BCD-ABCD的体积为 3 B.动点E运动轨迹的长度为π C.不存在点E,使得平面AB,DII平面DEC D.在正四面体D一AB,C的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体的棱长可以 是0.93 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 14.甲、乙、丙、丁、戊五名同学申报4所不同的一流高校的自主招生，要求每名同学只能 申报一所学校，每所学校必须有同学申报，甲、乙或甲、丙均不能申报同一所学校，则不 同的申报方案有种 15.某学校安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内” 两种判断。.现对系统进行测试，结果如下：校内职工被判定为“禁止入内”的概率为， 校外访客被判定为“允许通行”的概率为·已知进入该校的人员中，校外访客和校内职 工的比为1：9，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是校内职工的概率为 16.如图，菱形BCDE的边长为2a,∠BCD=T.现将AEBD沿BD折起，得到四面体 4BCD,设二面角A-BD-C等于O(0<0<),三棱锥A-BCD的体积为VBd 求直线 2 AC与平面BCD所成的角为 E D 17.己知a>0,若x>0,不等式e-≥lnx+1恒成立，则a的取值范围为数学7月24日小练 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合A={x|0<x≤2，B={yy=3x+1,则A∩(CB)= A.1,2] B.(0,1] C.(-∞，1] D.(L,+m) 【答案】B 【解析】解：由题意知B=(L+o), 故CB=(-∞，1]， 所以A⌒(CB)=(0,1].故选B. 2.已知p:1og2(x+1)≤2，q: x3,则P是q的() 1、1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解：p:log2(x+1)≤2→0<x+1≤4→x∈(-1,3]， ,11→3-x0→x∈0,3 4x733x .(0,3](-1,3],∴p是q的必要不充分条件. 3.设i为虚数单位，若复数z满足z=1+2i,则z在复平面内对应的点在（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解答】 解：22=1+2i, :-1+2-0+3-2+i, ∴.z=-2-i 复数三在复平面内所对应的点为（-2，-1)，位于第三象限 故选C. 2 4.若a 3 b=1o:5,c=3,则a,b,c的大小关系为(） A.azb>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a 【答案】C 【解折】6=1og写>log21, -食-[圈-(9产()-()-…面-（周 <1,所以a,b,c 的大小关系为b>a>c. 5.已知函数f()=log。(x2-ax+2),若对任意两个不相等的实数，x∈(n,1],f(x)都满 足不等式f)）f)<0,则a的取值范国是() 大3- A.(1,3) B.[2,3) C.[2,+o) D.(0,1) 【答案】B 【解答】解：由对任意两个不相等的实数x1,x∈(-m,],f(x)都满足不等式 fx-x2<0, x3-X1 可得f(x)在(-∞，]上单调递减， 令t=x2-+2, 所以y=loga t是定义域内的增函数，且t=x-ax+2在(-∽，1]上单调递减，且恒大于 0, a>1 ,解得2≤a<3, 12-a+2>0 故实数α的取值范围是[2,3).故选B. 6.已知a,b∈R且a,b>0,若函数fx)-e+ebcosx有唯一零点，则2a+b的最小 a 2 值为() A.2W2 B.3√2 C.4N2 D.52 【答案】C 【详解】函数f(x)的定义域为R,且 )-ebcos()ebcos(). a 2 a 2 ∴f(x)为偶函数 :f(x)存在唯一零点，若存在非零零点x=,则x=-也为函数零点，与唯一零点矛 盾，故函数f(x)唯一零点为x=0. f(O)=e+ebc0s0=2-为=0，整理得ab=4a>0,b>0). a 由基本不等式可得2a+b>2√2a.b, 将ab=4代入得2a+b>2√2×4=4V2,当且仅当2a=b时等号成立. 2a=b 联立 b=4’解得a=V2,b=2万，满足条件，放等号可取 综上，2a+b的最小值为4√2. 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E,F分别为线段PB,PD 上的点，若PG=GC,且AG=正+M丽，则x+y=《) G E D B A.1 B.2 D. 3-2 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解。 【详解】由复意可得，PG=GC,设Pi=PB,P原-uPD, 且AG=xAE+A丽=x(AP+PE)+y(AP+PF）=(x+y)A+xPB+PD, AG=0+G-+A+c-号0+4c-+西+c), 因为AD=BC, 所以 P+肠+C=号P-D=+号p-丽+D-P+号吸-D 4 所以x+y= 3 1,x为有理数， 8.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f(x)= 0,x为无理数 称为狄利克雷函数，则关于函数∫(x)有以下四个命题： ①f(f(x)=1: ②函数f(x)是偶函数； ③任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立： ④存在三个点A(x,f(x),B(x,f(x,),C(K3,f(x),使得△ABC为等边三角形. 其中真命题的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解答】 解：①：当x为有理数时，f(x)=1；当x为无理数时，f()=0, .当x为有理数时，f(f(x)=f(I)=1:当x为无理数时，f(f(x)=f(O)=1, 即不论x是有理数还是无理数，均有f(f(x)=1,故①正确： ②：有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x∈R,都有f(-x)=f(x),故②正确： ③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数， ∴.根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立，故 ③正确： 5,飞=0,5=5，可得f)=0,f)=1,fs)=0, 3 :450,0).C《50,价好4c为边角后，版0联 即真命题的个数是4个，故选A 9.已知函数f(x),g(x)定义域均为R,函数f(x-1)为偶函数，函数g(x-1)-2是奇函 数，若g(x-1)=f(x)-3,f1)=1,则g(1)+g(2)+g(3)+…+g(1000)=() A.1000 B.2000 C.3000 D.4000 【答案】B 【详解】因为函数f(x-1)为偶函数，所以f(-x-1)=f(x-1),则可得f(-x)=f(x-2) ①， 因为函数g(x-1)-2为奇函数，所以8(-x-1)-2=-「g(x-1)-2],即 g(-x-1)+g(x-1)=4, 已知g(x-1)=f(x)-3,则可得g(x)=f(x+1)-3, 则g(-x-1)+g(x-1)=f(-x)-3+f(x)-3=4,即f(x)+f(-x)=10②， 将①代入，可得f(x)+f(x-2)=10,则得f(x-2)+f(x-4)=10, 两式相减得f(x)=f(x-4),即4为f(x)的1个周期， 由g(x+4)=f(x+5)-3=f(x+1)-3=g(x)可得4也是函数g(x)的1个周期， 因f()=1,由②式，令x=1得f(-1)=10-fI)=9,令x=0,得2f(0)=10,即 f(0)=5 令x=-2,得f(2)=f(4)=f(0)=5,故f(3)=f(-1)=9,f(4)=f(0)=5, 又由g(x)=f(x+1)-3,可得g(1)=f(2)-3=2,g(2)=f(3)-3=6, g(3)=f(4)-3=2,g(4)=g(0)=f1)-3=-2,故有 g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=2+6+2-2=8, 又1000÷4=250，故g(1)+g(2)+…+g(1000)=250x8=2000. 二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 [-2x(-1≤x≤0) 10.已知函数f(x)= G(0<),则下列图象正确的是() A.y=f(x-1)的图象 B.yf(xD的图象 C.y=f(-x)的图象 D.y=f(x)的图象 【答案】ACD [-2x(-1≤x≤0) 【解答】解：函数f(x)= 的图象如图所示： Vx(0<1) 对于A,y=f(x-1)是函数f(x)右移一个单位得到，故图象正确； 对于B,y=f(x)是一个偶函数，当x>0时，图象与f(x)图象相同，故B错误： 对于C,由于y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称，故图象正确： 对于D,由所作图知，此选项正确.故选ACD. 11.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在 的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.根据杨辉三角 判断下列说法正确的是() A.x+ 2 5 的展开式中存在常数项 B.己知(x+2)3=a,+a(x+1)+a,(x+1)2+…+☑(x+1)5,则4-4+4-4+4-45=1 C.己知(1-3x)”的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为210 D.C%+4C9+6C+4C+C=C, 【答案】CD 【保】解：A资项：由展开式的通项公式可得乙C之2C号 若存在常数项，则5-=0，此时r=1”eN,故A错误 2 3 B选项：将(x+2)看成(x+1+1), 则(x+1+1°=a+4(x+1)+a(x+12++a(x+13, 令x=-2，,则4-4+43-43十44-4=0，故B错误： C选项：第3项与第9项的二项式系数相等，可转化为C=C, 则n=10,令x=1,则所有项的系数和为(-2)°=20，故C正确： D选项：根据杨辉三角得C=C+C,C=Cg+C。, C=C+C.C=C+2C+C9 同理可得C6=C8+3C+3C+C=C号+4C9+6C4+4C+C,故D正确.故选CD 12.下列说法正确的是() A设随机变量X~B4》剥P(X=)P(X=) B.从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的 个数记为X,则P(X=0)>P(X=1) C.设随机变量刀服从正态分布N(5,σ2)，则P(7≥3)+P(7≤7)=1+P(3≤n≤7) D.从集合{x0<冈<4，x∈Z中任取三个元素x2:3,且满足￥<x3<为，定义随 机变量X=x+x2+x3,则X的数学期望为0 【答案】ACD 【解】远项A因为x-步则P==固)=名子 PX=列=医月=4名子故PXPx).A正瑞 选项B,X服从超几何分布，拉球数8个取2个，则P(X=0)-答-0A C-2814 P(x=)=C:C15.5,5 2848即P(X=0<P(X=),B错误 选项C,7~N(5,o),正态曲线关于x=5对称，因此P(7≥3)=P(7≤7)， P(7≥3)+P(7≤7)=1-P(7<3)+P(7≤7)=1+P(7≤7)-P(n<3)=1+P(3≤n≤7)，c 正确： 选项D,集合为-3，-2，-1,1,2,3，共6个元素，任取3个的总组合数为Cg=20, 利用期望的线性性质：每个元素被选中的概率均为2)， 962,因此 x)-(号(( 1 1 1 6R23x20,D正确 13.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，在矩形ABCD内（包括边界）的动点E始终满 足D,B与平面ABCD所成的角是？ 则下列结论正确的是() 20 A.多面体BCD-ABCD的体积为 B.动点E运动轨迹的长度为π C.不存在点E,使得平面ABDI1平面DEC D.在正四面体D一AB,C的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体的棱长可以 是0.93 【答案】ABD 【解答】解：对于A,因为多面体B,CD-ABCD的体积 3*2×2×2×2=20 P=yE方k-0=2-×为 ，所以A正确： 对于B,因为在正方体ABCD-AB,C1D中，DD⊥平面ABCD,所以DE在平面ABCD 内的射影为DE,∠AED是A2与平面ABCD所成的角，由己知∠DBD-年所以 DB=D0=2,所以动点卫的轨迹是以D为圆心，2为半径的圆的寻，其长度为 27×2×子，所以B正确： 对于C,因为在正方体ABCD-AB,CD中，BD∥B,D,ADI∥BC1,BDBC1=B, BD,BCC平面BC,D,所以B,D∥平面BCD,AD∥平面BC,D,又 AD⌒BD=D,AD,BDC平面ABD,所以平面ABD∥平面BC1D,当E在BD上 时，C,E∥平面AB,D,这时平面AB,DI1平面DEC1,所以C错误： 对于D,设棱长为a的正四面体的高为h,外接球半径为R,内接球半径为r, 则由h= 32 解得：R=5a,,=h-R= a 12 由已知，正四面体D-A8,C的棱长为2N5,其外接球半径R- 2x2W2=V5, 4 内接球半径r= 0 3 在正四面体D-AB,C的内部有一个可以任意转动的正四面体， 则该正四面体的棱长最大的是正四面体乃A极C的内接球，即半径为√6的球的内接正四 3 面体， 设此正四面体的棱长为4， 则由56 44·得：4=22≈094>0.93，所以D正在 故选ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 14.甲、乙、丙、丁、戊五名同学申报4所不同的一流高校的自主招生，要求每名同学只能 申报一所学校，每所学校必须有同学申报，甲、乙或甲、丙均不能申报同一所学校，则不 同的申报方案有 种 【答案】192 【解析】【分析】 本题考查排列组合的综合应用，属于基础题 必定有两个人报一所学校，有甲丁、甲戊、乙丁、乙丙、乙戊、丙丁、丙戊、丁戊，共 (C-2)=8种可能，将这些分别看作一个整体，再排列组合，即可得到答案 【解答】 解：根据题意，必定有两个人报一所学校，有：甲丁、甲戊、乙丁、乙丙、乙戊、丙丁、 丙戊、丁戊，共(C-2)=8种可能，将这些分别看作一个整体，再排列， 所以总共有(C-2)×A4=192. 故答案为192 15.某学校安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内” 两种判断。现对系统进行测试，结果如下：校内职工被判定为“禁止入内”的概率为2： 校外访客被判定为“允许通行”的概率为)，已知进入该校的人员中，校外访客和校内职 工的比为1：9，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是校内职工的概率为 【将1 【详解】设某人为校内职工为事件A,系统判定为“允许通行”为事件B, 则可得P4名P团0，P(国P叫团)=号P(4到= 21 9.20 P(4B)= P(AB) P(A)P(BA) 1021 60 P(B)P(A)P(BA)+P(A)P(BA920.1I61 -Y 1021107 16如图，菱形BCDB的边长为2a,∠BCD-于现将BBD沿BD折起，得到四面体 ABCD,设二面角A-BD-C等于O(0<0<),三棱锥A-BCD的体积为V5 2 ，求直线 AC与平面BCD所成的角为」 D 答案：骨改号 17.已知a>0,若x>0,不等式e>nx+恒成立，则a的取值范围为一 【答案】[L,+∞) 【解析】解：设函数f)=e-nx-x>0,a>,需满足0对所有x>0恒成 a 立， f"y)=ae-1_1 当x>0时，ae-1随x增大而递增，二随x增大而递减， 因此∫()在(0+∞)上单调递增，令f)=e1_=0,解得x= Q 所以f(存在唯一零点=使得f(6)=0,即：e1=1, a 当0<x<时，f(9<0,f单调递减， 当x时，fw>0,)单调选增 因此f的最小值为，/月 a f-e宁-he+ha-+na- aa a 0. 要求f(x≥0恒成立，即l+na- 设8@=1+ha-2a>0,g@=+1 a d 因a>0,故g(a>0,即g(a在(0，+w)上单调递增， 当a=1时，g0=1+nl--0: 因此1+na->0的解集为心1， a 故a的取值范围为L,+o). 故答案为：山，+0)，