江苏省常州高级中学2026-2027学年高三上学期7月阶段检测数学试题

江苏省常州高级中学2027届高三 数学试卷 命题人：杨元伟审核人：杨丽蕾 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.己知正态分布X~N(3,o2),若P(X≤4)=0.6，则P(2≤X≤4)= A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 2.己知集合M={x|x2+x>0},N={xln(x-1)>0},则M∩N= A.(-o,-I) B.(0,+o) C.(1,+oo) D.(2,o) 3.已知0<a<,cmsg=5,则sna-牙 25 A.2 B.② C.32 10 D.1 5 10 10 4.已知向量a=(1,-1,3),b=（-1,4,-2),c=(（L,5,x),若a,b,c共面，则 A.存在无数个实数x符合题意 B.存在唯一的正整数x符合题意 C.不存在正整数x符合题意 D.不存在任何实数x符合题意 5.当x=1时，函数f=alx+取得最大值-2，则f4= A.1 B.0 C.3 8 6.已知函数f)=sin(@x+pX@>0,0<9<网，对任意xeR均有f浮+刘+f经-x刘=0， 且f≤孕，在0 上单调递减，则p的值为 A. c.8 3 D. 7.旅游博主小胡自驾出行东南亚，已知各地燃油价格高低不一，出行中小胡有两种加油 方案：第一种，每次均加相同体积的燃油：第二种，每次均加相同总价的燃油，则下列 说法正确的是 高三数学学科 第1页共4页 A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 C.两种方案一样 D.无法确定 8.已知函数f(x)= e*(x-2),x>0, (x)=f(x)-f(-x),若函数g(x)恰有4个零点，则 k(x+I),x<0, 实数k的取值范围是 A.（-0,-2) B.(2,+∞) c.(0,2) D.（-2,0) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分， 9.已知口袋里有3个小球，其中2个红球，1个白球，甲、乙2人依次随机摸出1个小球.记 事件A为“甲摸到红球”，事件B为“乙摸到红球”，则下列说法正确的有 A.若摸球后放回，则P(A)=P(B) B.若摸球后不放回，则P()=P(B) C.若摸球后放回，则P(B)=P(B|) D.若摸球后不放回，则P(B)=P(B|A) 10.在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D中，E为棱AB,的中点，F为棱BC的中点， 则下列结论正确的有 A.EF⊥AD B.异面直线F与4C所成角余弦值为2 3 C.三棱锥E-ABF的体积为 D.直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 11.己知△ABC三条边的长度为连续的三个正整数n,n+1,n+2,且最小角的余弦值 为名，则下列结论正确的有 A.△ABC是锐角三角形 B.△MBC的面积为3西 C.△ABC外接圆半径为4W叵 D.若C是最大角， 15 则cos2C=-7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数f)=0sX的最小正周期为人一 sinx+cosx 13.若函数f(x)=lnx+ml（其中meR)为偶函数，则曲线y=f(x)在x=-1处的切线 方程为▲ 高三数学学科第2页共4页 14,设e是自然对数的底数。已知幂函数网的图象经过点争， 幂函数g(x)的图象经 过点WE,V),则不等式f-g>10x>0)的解集为▲一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分) 己知函数f(x)=m·2+2r,其中meR. (1)讨论函数f(x)的奇偶性： (2)当m=1时，若存在x∈(0，+oo),使得f(x)=t2+1成立，求实数t的取值范围. 16.（本题满分15分) 在△MBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,osC=2b+c 2a (1)求A; (2)设AB边的垂直平分线交BC边于点D.若CD=3,AD=2,求cosB. 17.（本题满分15分) 如图，已知四棱台ABCD-AB,CD的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， 平面A4DD⊥平面ABCD,AA=D,D=√7，点P是棱DD,的中点，点2在棱BC上. (1)若BQ=3QC,证明：P2M平面ABB,A: (2)若二面角P-QD-C的正弦值为5V2 6 ,求B2的长. 高三数学学科第3页共4页 18.(本题满分17分) 一生物实验室进行某种细菌培养实验，假定初始时该实验拥有1个该种活性细菌，每 个活性细菌1分钟后分裂成2个细菌的概率为2，死亡的概率也为2分裂生成的新细菌 亦如此，当细菌数为0个或4个时，停止培养实验，之后细菌数不再发生变化.记第 (n∈N)分钟后，该实验室拥有此种细菌数为X,. (1)求P(X2=4): (2)求P(X2=0|X4=0); (3)求E(Xn) 19.（本题满分17分) 已知函数f闭=ae+bcosx+(a,b∈R)的图象在点(0，了0)处的切线方程为 2 y=x. (1)求实数a,b的值： (2)证明：方程f(x)Hnx+sinx|有且只有一个实根. 高三数学学科第4页共4页江苏省常州高级中学2027届高三 数学试卷答案与评分标准 一、选择题： 1.A 2.D 3.D 4.B 5.c 6.C7.B 8.A 二、选择题： 9.ABC 10.BCD 11.BD 三、填空题： 12.π 13.y=-x-1 14.(e2,+0) 四、解答题： 15.解：(1)f(x)=m2x+2x,所以f(-x)=m.2x+2x, 当=1时，f(x)=2x+2x=f(x),f(x)为偶函数， 当m=-1时，f(x)=-2+2”=-f(x),f()为奇函数， 当m≠1时，则0-)-(m+岁+2)=多0m-)0, 2 f0+f(-=(2m+3+m+2)-m+)≠0，从而-)土/0， 5 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数 …6分 (2)当m=1时，fx)=2+2x,存在x∈(0，+0)，使得2x+2x=1·2*+1成立， 令w=2,因为x∈(0，+o0）,所以ue(0,1),即1=2-M+1在ue(0,1上有解， 1 因为u∈(0,1)，所以实数t的取值范围为 …13分 16.解：（1)由cosC-2b+C及正弦定理，得cosC=2sim8+snC 2a 2sin A 2sin Acos C=2sin B+sinC, …2分 高三（数学）第1页共7页 因为A+B+C=元，所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cos AsinC, 所以2 sin Acos C=2(sin Acos C+cos Asin C)+sinC, 化简得2 cosAsinC+simC=0,而sinC≠0，所以cosA=-, 2 …5分 又A∈(0，，所以A=2亚 3 …7分 (2) 因为D在AB的垂直平分线上，所以AD=BD=2, 因为CD=3,所以BC=BD+CD=5,即a=BC=5, 在△ADB中，AD=BD=2,所以∠BAD=B,∠ADB=π-2B,∠ADC=2B, 在△ADC中，AC=b,AD=2,CD=3,∠ADC=2B, 因为AC2=AD2+CD2-2AD.CD.cos∠ADC, 所以b2=22+32-2×2×3×c0s2B,即b2=13-12cos2B①， 在△4c中，由品ag用mx品，b-10n 5b 3 ②， 将②代入①中，得10smB-13-12cos2B,即100sB-13-121-2im2B),解得sm2B= 3 3 28 所以cosB=1-sim2B=1-3-25 2828 因为4=亭所以B0到 所以cosB=55 …15分 14 17. A D B B A D 82--- o C 解：(1)证明：取A4的中点M,连接MP,MB. 高三（数学）第2页共7页 在四棱台ABCD-ABCD中，四边形AADD是梯形，AD=2,AD=4, 又点M,P分别是棱4A,AD的中点，所以MP1/AD,且MD=4D+AD=3. 2 在正方形ABCD中，BC∥AD,BC=4,又BQ=3QC,所以BQ=3. 从而MP/IBQ且MP=BQ,所以四边形BMPQ是平行四边形，所以PQ/MB. 又因为MBC平面ABBA,PQI平面ABB,A,所以PQ∥平面ABBA;…6分 (2)在平面AADD中，作AO⊥AD于O. 因为平面AADD⊥平面ABCD,平面AADD∩平面ABCD=AD,AO⊥AD,AOC平面 AA4DD,所以AO⊥平面ABCD. 在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N,则ON⊥OD· …8分 以{ON,OD,OA}为正交基底，建立空间直角坐标系0-w2. 因为四边形A4DD是等腰梯形，AD=2,AD=4,所以AO=1,又AA=DD=V17,所以 404.易得t-0,nQ30,ca0.n@20.0 所以DC=(4,0,0), Dp-(0-5,5=0-4o 法1：设C9=2CB=(0,-42,0)(0≤1≤1)，所以D9=DC+C9=(4,-4,0). m.DP=0 1 设平面PD0的法向量为m=(x,y,z),由 得 2+2z=0,取m=(42,4), DO=0 4x-42y=0 …10分 另取平面DCQ的一个法向量为n=(0,0,1)· …11分 设=面角P-QD-C的平面角为0，由题意得cosl=V-sima= V26 1 1 叉5oes<mnm42+7所以2+7 …13分 解得=±异（含约），因此c0子4=3,0=1. 高三（数学）第3页共7页 所以当二面角P-QD-C的正弦值为5V2时，BQ的长为1. …15分 26 法2：设Q(4t,0)(-1≤t≤3)，所以D0=(4,t-3,0)· 设平面PD0的法向量为m=(x,由mD=0,得+2z=0 1 ，取m=(3-t,4,1), ·DQ=0 4x+(t-3)y=0 …10分 另取平面DCQ的一个法向量为n=(0,0,1). …11分 设二面角P-QD-C的平面角为0，由题意得lcos0l=V-sin6= √26 m.n 1 1 又cos0Fcos<mm四3-+17”3-t+1五V26 …13分 解得t=0或6（舍），因此BQ=1. 所以当二面角P-QD-C的正弦值为5V26 时，BO的长为1. …15分 26 法3：在平面AADD中，作PH⊥AD,垂足为H. 因为平面AADD⊥平面ABCD,平面AADD∩平面ABCD=AD,PH⊥AD,PHC平面 AADD,所以PH⊥平面ABCD,又DQC平面ABCD,所以PH⊥DO 在平面ABCD中，作HG L DO,垂足为G,连接PG. 因为PH⊥DQ,HG⊥DO,PH∩HG=H,PH,HGc平面PHG, 所以DQ⊥平面PHG,又PGc平面PHG,所以DQ⊥PG. 因为HG⊥DQ,PGL DO,所以∠PGH是二面角P-QD-A的平面角.…10分 在四棱台ABCD-ABCD中，四边形AADD是梯形， 高三（数学）第4页共7页 AD=2,AD=4,AA=DD=V7,点P是棱DD的中点， 所以m-2,DH=号设B0=0≤x≤4)，则c9=4-,D0=P+4-对灯=F-8x+32, 在△0nD中，号分4方-8+32xG,从面iG 2 Vx2-8x+32 ，因为二面角P-QD-C 的平面角与二面角P-QD-A的平面角互补， 且二面角P-OD-C的正弦值为52，所以m∠PGH-5V 26 ,从而tan∠PGH=5, 26 所以在Rt△PHG中， 班=√-8x+32=5,解得x=1或x=7（舍)· HG 所以当二面角P-QD-C的正弦值为5V26时，B0的长为1. …15分 26 18.解(1)定义状态概率：记a=P(Xn=0),b,=P(Xn=2),ca=P(X=4),neN. 由细商分裂规则，得溢推关系：a6=双+中女，么力，6=6+女： 初始条件：4=号4=行4=0. 1 依次计算秋态率：么-为子64-日因此P(X=到=6专 1 …4分 2 4 4 8 ,1,1,15 1 ,5.111 (2)依次计算相应概率：4=4+4=2+8g,a=a+48+1616 4 11,123 a4=a4+46-16+3232 …7分 由条件概率公式， P(x=0lK=0)-PCx,=0n(x,=0]_Px=04_三-20 …10分 P(X4=0) P(X4=0)42323 32 (3)由数学期望定义，E(X,n)=0.+2b.+4cn=2b,.+4cm, 代入道推关系推号：8（化）=0。+2必a46=0-2x+〔6+)-2攻+女=化)： 即{E(X)}为常数列. …15分 由E(X)=0a+24+46=2x}1,得B(X)=1. …17分 2 19.解：(1)因为f=ae+bcosx+】x,所以f)=ae-bsinx+x. 2 高三（数学）第5页共7页 因为y=fx)的图象在(0，f(O)处的切线为y=x, 所以f0=a+b=0,解得a=l, …6分 f'(0=a=1, b=-1. (2)令函数g(x)=nx+simx,定义域为(0，+). 当x∈[元，+o)时，nx>l,sinx≥-l,所以g(x)=hx+sinx>0: 当x∈[l,)时，nx≥0，sinx>0,所以g(x)=lnx+sinx>0: 当x∈0,1)时，由g(w=1+cosx>0知g(x)在(0，)上单调递增， 又g=siml>0,g白=-1+in上<0且函数连续不间断， 所以3x∈(0，)，有g()=lh+sinx,=0. …8分 综上所述，函数g()在(0，+)有唯一的零点x∈(0，)，且g(x)在(0，x)上恒小于零，在 (,+m)上恒大于零 ……9分 令函数p(x)=f(x)-lnx+sinx|,讨论如下： ①当x∈(0，x)时，p)=f)-nx+sinx=e-cosx+2x2+nx+simx, 21 求导得p()=e*+(sinx+cos)+(x+马. 因为x+≥2：i+osx≥-万：所以g)=e+(inx+cos动+(x+>0, 即函数(x)在(0，)单调增. 又因为）e*-cs+分式+h+sm与=(e-co6)+分刘>0： we)=e-cose3+e-3smne2-e+e+ne-)-6ase<0, 所以函数(x)在(0，玉)存在唯一的零点， 所以方程f(x)hx+sinx在(0，)上有唯一的零点. …13分 ②当xe,+m)时，p()=f)-hx+sinx1=e'-cosx+x-lnx-sinx. 2 法一：由(1)易证e-cosx+1x2>x在(0，+m)上恒成立. 2 事实上，令0)=e-cosx+x2-x,则()=e+sinx+x-1. 因为h"(x)=e+(cosx+1)>0,所以h(x)在(0，+o)上单调递增， 所以h(x)>H(O)=0,即h(x)在(0，+w)上单调递增， 所以h)>O)=0,即e-cosx+x>x在(0，+0)上恒成立. 2 高三（数学）第6页共7页 从而p)=e'-cosx+2x2-lnx-simx>x-lnx-sinx≥x-lnx-1≥0， 所以方程f(x)=nx+sinx在(x,,+o)上无零点. ……16分 综上所述，方程f(x)=lnx+sinx有且只有一个实根. …17分 法二：因为x-1≥nx,所以x≥ln(x+1), 所以e≥x+1,所以e-lnx≥(x+1)-(x-1)=2, 所以e-c0sx+x2-hnx-simx≥2-sinx-cos)+ 20, 所以方程f(x)=hx+sinx|在(，+o)上无零点， ……16分 综上所述，方程f(x)=lnx+sinx有且只有一个实根 …17分 高三（数学）第7页共7页