江苏省通州高级中学2026-2027学年高三上学期数学周练二0715

**基本信息** 高三数学周测试卷，覆盖集合、函数、几何、概率等核心知识，通过鳖臑文化情境、比赛概率模型等设计，融合数学抽象、逻辑推理与应用意识，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、复数模、函数极值条件、排列组合、函数性质、三角比较、鳖臑体积、函数零点|7题以《九章算术》鳖臑为情境，考查几何直观与空间观念| |多选题|3/24|统计（百分位数、方差）、立体几何中点线面关系、函数对称性与周期性|11题结合函数对称性与周期性，考查逻辑推理能力| |填空题|3/36|不等式最值、正四棱台体积、比赛概率|14题通过比赛模型考查概率计算，体现数学应用意识|

通州高级中学2027届高三（上）数学 限时训练（二）20260715 一、单选题 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，利用交集的定义可得出集合. 【详解】由得，解得， 故， 又因为，故. 故选：D. 2．若复数，则（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由复数除法、共轭复数的概念、模的计算公式即可求解. 【详解】，. 故选：A. 3．已知函数，则“”是“有极值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若函数有极值，则有变号零点，进而求的取值范围可得结果. 【详解】， 函数的图象关于直线对称， 则有极值的充要条件是，解得. 于是“”是“有极值”的充分不必要条件. 故选：A 4．有四对双胞胎共8人，从中随机选4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 【答案】A 【分析】利用分步计数乘法原理，先选双胞胎，再选人即可. 【详解】第一步：选一对双胞胎有种； 第二步：再选两对双胞胎，并从每对双胞胎中各选一人共有种； 利用分步计数乘法原理可知：从中随机选4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为， 故答案：A. 5．若定义在R上的函数满足：为偶函数，为奇函数，当时，，则＝（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇函数、偶函数的定义导出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】由为偶函数，得，即，， 由为奇函数，得，即， 因此，即，则， 所以. 故选：A 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，分析函数单调性，可判断的大小；再设，利用函数单调性，可判断的大小. 【详解】设，则， 当时，，所以在上单调递减. 且，所以，即，所以. 设，则， 当时，，所以在上单调递增. 又，所以，即，即. 综上可知：. 故选：C 7．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】确定PC的中点O是鳖臑外接球的球心，结合外接球表面积得外接球半径，进而求得，结合勾股定理及基本不等式求得，即可求解. 【详解】 在鳖臑中，四个面都为直角三角形，可知PC的中点O到四个顶点的距离都相等， 所以点O是鳖臑外接球的球心，三棱锥的外接球的表面积为， 得外接球半径，所以. 又，所以， 所以， 即，当且仅当时，取等号， 所以三棱锥的体积的最大值为， 故选：D 8．已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题化为与有两个交点，利用导数研究过原点的切线斜率，数形结合判断参数的范围. 【详解】作出函数的图象，如图示： 当时，，则， 若切点为，则，则切线为， 由切线过原点，则，所以为的一条切线方程， 当时，，则， 若切点为，则，则切线为， 由切线过原点，则，即，所以为的一条切线， 当时，，则， 若切点为，则，则切线为， 由切线过原点，则，即，所以为的一条切线， 综上，考虑直线，，与曲线相切， 由图知，当时与有两个交点， 所以时函数恰有两个零点． 故选：B 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．数据的第80百分位数为11 B．已知随机变量，设，则的方差 C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 D．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8 【答案】AB 【分析】利用第p百分位数意义计算判断A；利用二项分布的方差公式及方差的性质计算判断B；求出简单随机抽样的概率公式计算判断C；利用平均数的性质计算判断D作答. 【详解】对于A，由，得第80百分位数为11，A正确； 对于B，，则，因此，B正确； 对于C，简单随机抽样，从51个个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率相等，都是，C错误； 对于D，依题意，的平均数为，D错误. 故选：AB 10．在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，动点在正方体表面运动，则（    ） A．PN与为异面直线 B．与MN所成的角为 C．平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D．，则点轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】根据异面直线定义可判断A正确，作与平行的直线，作出异面直线的平面角并由勾股定理可判断B正确，作出截面形状可知平面截该正方体所得截面形状为正六边形，可得C错误，利用向量共线定理可找出点轨迹为线段，求出其长度可得结果，即D正确. 【详解】对于A，由异面直线定义可知与不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即A正确； 对于B，取中点为，连，，如下图所示：由正方体性质可知，又， 所以， 因此与所成的角即为与所成的角，即或其补角， 易知，，，满足，即， 所以，因此与所成的角为，即B正确； 对于C，分别取，的中点为，，连接各中点，如上图所示： 易知，，， 即可知，，，，，在同一平面内， 所以平面截该正方体所得截面即为六边形， 又，所以截面形状为正六边形，即C错误； 对于D，因为为的中点，所以， 由可知， 即，因此可知，共线， 所以点轨迹为过点且与平行的线段， 取的中点为，连接，取的中点， 连接，如下图所示： 由正方体性质易知，，又为的中位线， 所以，； 因此点轨迹即为线段，且， 所以点轨迹长度为，可得正确. 故选：ABD 11．已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（    ） A． B．是奇函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】在已知式中令求得，从而得出的图象关于点对称，再由已知得的图象关于直线对称，由两个对称性得函数的周期性，4是它的一个周期，然后根据对称性与周期性求值判断各选项． 【详解】对A，都有，令得，所以，A正确； 对B，由选项A分析知，所以的图象关于点对称， 从而的图象关于点对称，所以是奇函数，B正确； 对C．的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，因此有， 由两个对称性得，C错误； 对D，由以上分析得， 所以，所以是周期函数，4是其一个周期， ，，，，， 所以， 所以 ，D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．设，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，结合已知条件解得，时取等号. 故答案为： 13．正四棱台的下底面棱长是上底面棱长的2倍，高为，侧棱长为3，则该四棱台的体积为__________. 【答案】 【分析】利用勾股定理求出上底面的棱长，再利用棱台的体积公式计算即可得. 【详解】 设上底面棱长为，则下底面棱长为， 则有，解得， 故该四棱台的体积. 故答案为：. 14．甲、乙进行一场台球比赛，每一局甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．两人约定：若一人比另一人多获胜2局，则比赛结束，该人获胜．比赛局数为4局的概率是__________．甲获得比赛胜利（不清楚比赛局数）的概率是__________． 【答案】 / 【分析】根据独立重复试验的概率公式可求得答案． 【详解】比赛局数为4局说明：前两局比分为，第3、4局甲或乙连胜. 设比赛局数为，则. 因为每两局，比分为的概率为，每两局甲连胜的概率为. 设甲获得比赛胜利的概率为，则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州高级中学2027届高三（上）数学 限时训练（二）20260715 一、单选题 本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．若复数，则（    ） A．1 B．5 C． D． 3．已知函数，则“”是“有极值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．有四对双胞胎共8人，从中随机选4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 5．若定义在R上的函数满足：为偶函数，为奇函数，当时，，则＝（   ） A． B．0 C． D． 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 8．已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题本题共3小题，每小题8分，共24分。 9．下列说法正确的是（    ） A．数据的第80百分位数为11 B．已知随机变量，设，则的方差 C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 D．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8 10．在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，动点在正方体表面运动，则（    ） A．PN与为异面直线 B．与MN所成的角为 C．平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D．，则点轨迹长度为 11．已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（    ） A． B．是奇函数 C． D． 三、填空题本题共3小题，每小题12分，共36分。 12．设，则的最小值为___________． 13．正四棱台的下底面棱长是上底面棱长的2倍，高为，侧棱长为3，则该四棱台的体积为__________. 14．甲、乙进行一场台球比赛，每一局甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．两人约定：若一人比另一人多获胜2局，则比赛结束，该人获胜．比赛局数为4局的概率是__________．甲获得比赛胜利（不清楚比赛局数）的概率是__________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $