江苏省南通中学2026-2027学年高三上学期数学周练(7.10)

南通中学高三数学练习2026.7 一、单选题 L.已知xeR,“4 +1 ≤1”是“x2-2x-3≥0”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.从集合{5,6,7,8,9}的非空子集中随机取出两个不同的集合M,N,则在MN=N的条 件下M⌒N中恰有3个元素的概率为() A.G B 3.已知函数f(x)=x2+mx-m+n(m,n∈R),若非空集合A={xf(x)≤0}， B={xf(f(x)+1)≤4，且A=B,则下列说法中正确的是() A.n的取值与有关 B.n为定值 C.0≤m≤2√2 D.0≤m≤2√5-2 4.已知aeR,设函数f(x)= [x2-2ax+2a,x≤1 ,若关于x的不等式∫(x)≥0在R上恒成 x-alnx,x >1 立，则a的取值范围为() A.[0,] B.[0,1) C.[o,e] D.[0,e) 5.若函数fs)=n-six,则关于a的不等式f(d+a)+f(a-d-)>0的解集是 1+x () B. c（ D.2 6.已知定义在(0，+0)上的函数fw)满足f()=f(x)-fy),且当x>1时，f(w>0, 则() A.f(x2)≥2f(x) B.f(x3)fx)≥f2(x2) C.f(x2)≤2f(x) D.f(x3)f(x)≤f(x2) 二、多选题 7.下列说法正确的是() A.次CR.9x+a+3<0,则实数a的取值范围为(，哭 B.xeR,-x2+9x+a+3<-2x2+5x+3,则实数a的取值范围为 C.3a∈R,x∈R,-2x2-(4-b)x+3<-x2+bx+a+3<10,则实数b的取值范围为 （25,23 D.3x∈(-0.0)，使得不等式0<-x2+9x+a+3<-2x2+5x+3成立，则实数a的取值范 国为3到 8.设，22为复数，则下列结论正确的是() A.若>，则>号 B.若名-=0，则= C.若3-=3+z2,则z22=0 D.若片-2s5,则+4 3+2i 的取值范围是√2,32 9.已知函数f(x)=x(x-a)(e-e),则下列说法正确的是() A.f(x)至少有2个零点 B.若a=1,则f(x)≥0的解集为[0，+m) C.3a∈(0,1)，使得f(x)在(1，+w)上有极值点 D.a∈(-o,0),f(x)在(-∞，1)上恒有最大值 三、填空题 10.已知x>0,y>0,二+0 0+=32,3x+y的最小值为 11.设(x2+x-1)=6+4x++49x9+2ox0,则 24-4-4+24-4-4+…+248-49-400的值为 12.现有一块棱长为6+2√6的正四面体金属材料，将其打磨成若干个球形弹珠用于某机器 的零件（打磨过程中的磨损忽略不计）.若该金属块只打磨成一个最大弹珠，则该弹珠的半 径是；若将该金属块打磨成半径为1的弹珠，则最多可以打磨这种弹珠的个数是 四、解答题 13.己知幂函数f(x)=x22-m(m∈N)在区间(0，+∞)上单调递增. (1)求f(x)的解析式： (2)若关于x的不等式x+x2-6x≤f(x)-a恰有5个整数解，求实数a的取值范围. 14.2026年世界杯足球赛正在火热开展，掀起了大众对足球运动的热爱.与此同时，某网 络平台举办了一场有关足球知识的竞猜游戏，游戏规则如下：每次竞猜时答对得3分，答 错得-3分（竞猜中只有答对和答错两种情况），累计得分X达到6分或-6分时游戏结束， 否则游戏继续进行.当X=6时获胜，获得精美礼品一份，X=-6时落败.已知小王参与 充葡时每避爷对的横率为9Q<?》且每次竞猜答对与香互不影响。 (1)求小王恰好竞猜4次，获得精美礼品一份的概率： (2)记A表示事件“小王竞猜加次，游戏仍未结束，已知P(44)= 8 (i)求P(Ak+2Ak+1)(k∈N): (i)求游戏结束时X的数学期望， 一、单选题 1.己知x∈R,“4 +1 ≤1”是“x2-2x-3≥0的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式4≤1，化简可得4，-1≤0，即3-≤0， x+1 x+1 x+1 所以(x-3)(x+1)>0或x=3, 所以x≥3或x<-1: 解不等式x2-2x-3≥0，得x≥3或x≤-1， 而集合{xx<-1或x≥3}真包含于集合{xx≤-1或x≥3}， 所以4 ≤1”是“x2-2x-3≥0”的充分不必要条件. +1 2.从集合{5,6,7,8,9}的非空子集中随机取出两个不同的集合M,N,则在MUN=N的条 件下M⌒N中恰有3个元素的概率为() A名 5 5 B. C. 1 48 12 D10 【答案】A 【分析】先由MUN=N推出MsN,利用MsN时MON=M转化问题，再分别统计 条件下的总事件数和符合要求的事件数，代入条件概率公式计算. 【详解】原集合{5,6,7,8,9}共5个元素，由MUN=N可得M≤N,且M,N是不同非空 子集， 故M至N,又MsN时，MON=M, 因此M⌒N恰有3个元素，等价于M本身恰有3个元素， 用事件B表示取出两个不同非空子集满足MN,用事件A表示MON恰有3个元素， 对元素数为k的集合N,其非空真子集M的个数为2-2，按N的元素个数分类求和， (B)=C,(2-2)+C(22-2)+C(23-2)+C(24-2)+C(2-2)=0+20+60+70+30=180 先选3元集合M,共C=10种；N需包含M且N≠M, 原集合剩余5-3=2个元素，每个元素可选入或不选入N,减去N=M的情况， 共22-1=3种N,因此n(AB)=10×3=30, P=n(AB_301 n(B)1806 3.已知函数f(x)=x2+mx-m+n(m,n∈R),若非空集合A={x|f(x)≤0}， B=f(fx)+1)≤4，且A=B,则下列说法中正确的是() A.n的取值与m有关 B.n为定值 C.0≤m≤2√2 D.0≤m≤2W5-2 【答案】B 【分析】令u=f(x)+1=x2+x-m+n+1,设f()-4=0的两个根为4,2，得到 4-1≤f(x)s山2-1，再由A=B,由4-1=0,4-1≤[f(x)]求解， 【详解】令u=f(x)+1=x2+x-m+n+1, 所以f(u）-4=2+-+n-4≤0， 设f(u)-4=0的两个根为41,2，则4≤u≤巧，即4≤f(x)+1≤山， 所以4-1≤f(x)≤山2-1， 因为A={xf(x)≤0以，B={xf(f(x)+1)≤4，且A=B, 所以5-1=0,4-1≤[(x)],则4=1,12+m-m+n-4=0,解得n=3, 则f(u)-4=2+l--1=0,由韦达定理得4+42=-m,则4=-m-1, 即4-1=-m-2, 又f(x)=x2+-m+3=x+" 2 m+3 4 所以✉】。=-m+3- 4 则m-2≤m+3-T,解得-25≤m≤25， 又△=m2-4(3-m)≥0，即m2+4m-12≥0，即(m+6)(-2)20, 解得m≥2或m≤-6，综上：2≤m≤2√5 4.已知a∈R,设函数f(x)= x2-2ax+2a,x≤1 x-alnx,x >1 若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成 立，则a的取值范围为() A.[0,] B.[0,1) C.[o.e] D.[o,e) 【答案】C 【分析】对函数f(x)分成两段进行求解，当x≤1时，二次函数的对称轴，分成a≤1和 a>1两种情况讨论；当x>1时，采用参变分离，构造函数求最值 【详解】当x≤1时，(x)=x2-2+2a,过定点(1,1)，对称轴为x=a, 若a≤1时，f(c)m=f(a)=d-2ad+2a=-a2+2a≥0， 解得：0≤a≤2，所以0≤a≤1： 若a>1时，f(x)在(-m,1]单调递减，且∫(1)=1>0，所以a>1: 所以f(x)≥0在(-n,1]恒成立，可得a≥0. 当x>1时，fx)=x-almx≥0恒成立，即a≤x恒成立， Inx 令国则-。 In2x 当l<x<e时，1(x)<0,所以h(x)在(L,e)单调递减， 当x>e时，l(x)>0,所以h(x)在(e,+o)单调递增， c-c. 所以a≤h(x)m=n 综上所述：a的取值范围为[O,e] 5.若函数fx)=n}--si,则关于a的不等式f(d+a+fa-d-)>0的解集是 1+x () A. 【答案】A 【分析】通过奇偶性和单调性去函数符号转化为一元二次不等式进行求解. 【详解】由}->0，解得-1<x<1,f(x)=n(1-x)-lh(1+x)-sinx, 1+x 又y=n(1-x),y=-ln(1+x),y=-sir在(-1,1)上均为减函数， 所以f(x)在定义域(-1,1)上是减函数， 又-刘=h-n(←)=-h兰-m=一，所以f是奇禹数。 于是不等式f(c+a)+f(a-a2-1)>0可化为f(a+a)>-f(a-ad2-1)=f(ad-a+1, 所以-1<d+a<a-a1<1,解得0ca号 6.已知定义在(0，+∞)上的函数fw)满足f()=fx)-fG),且当x>1时，f()>0, 则() A.f(x2)z2f(x) B.f(x)f(x)=f(x2) C.f(x2)≤2f(x) D.f(x)f(x)≤f(x2) 【答案】D 【分析】应用赋值法构造出f(x),f(x),f(x)的等量关系，再结合不等式性质判断即可. 【详解】由题意，x>0,y>0,f()=(x)-fw) 赋值x=y=1,得f=f白=1f0-1f0=0: 照值x-1,得[日)0-1四=0，即了但-)， 当x>1时，f(x)>0, 当0<x<1时，则>1，所以f日=-)>0，即w<0, 统做=，行)）0)0.前物的）0. Ac项，由的-+F),x>0, x 得()2-（+2w. 其中自>0，可知x+22 1 -2=0, 当x>1时，f)>0,x+-2f)≥0，即fx)≥2f: 当0sx<1时，)<0+2/倒<0，即1e)2,故Ac销误： 即项=得 -得 汉f=（x+o,所以-)*f-1+是+t四 则)f)-f(e)++f()-(x++2]f()=子a)s0, 故f(x)f(x)≤f(x),且f(x)不恒为0，故B错误，D正确. 故选：D 二、多选题 7.下列说法正确的是() A.xeR,-x2+9x+a+3<0,则实数a的取值范围为 4 B.x∈R,-x2+9x+a+3<-2x2+5x+3,则实数a的取值范围为 2 C.3a∈R,xeR,-2x2-(4-b)x+3<-x2+br+a+3<10,则实数b的取值范围为 （←25,2W3) D.x∈(-m,0),使得不等式0<-x2+9x+a+3<-2x2+5x+3成立，则实数a的取值范 国为（到 【答案】ACD 【分析】对于A,参变分离得a<(x-9x-3)na;对于B,参变分离得a<(-r-4x)ns: 对于C,根据题意可得(x-4x)<(r-br+7）’再解不等式即可：对于D,不等式可 变形为x2-9x-3<a<-x2-4x,则x2-9x-3<-x2-4x,则 (x2-9x-3,n<a<(-x-4x)a,再求出最值即可. 【详解】对于A:xeR,-x2+9x+a+3<0, 则a-9-儿-一婴赦AF确 对于B:xeR,-x2+9x+a+3<-2x2+5x+3, 则a<(r-4xn=4,故B错误； 对于C:原式子可化为3aeR,xeR,-x2-4x<a<x2-bx+7, 则(-e-4e<e-加+7ne即1<-安+7，解为25<b<25, 所以实数b的取值范围为-2W3,2√3)，故C正确： 对于D:不等式可变形为x2-9x-3<a<-x2-4x,则x2-9x-3<-x2-4x,解得 2<3, 因x<0,则-片0，此时(e-9g-现<a<(r,即-3a牙 所以a的取值范围为 -3, 4 故D正确. 8.设3,2为复数，则下列结论正确的是（) A若>，则> B.若3-=0，则=22 C.若3-=3+2，则22=0 D.若片-2sV2,则日+4 3+2i 的取值范围是[V2,32 【答案】BD 【分析】由复数的基本性质、几何意义与模的运算求解即可. 【详解】对于A选项，设名=1+i,3=1,则=√2，=1，满足>，但 =2i,号=1， 复数不能比较大小，故A错误； 对于B选项，因为3-=0，所以3-22=0，则3=3，所以3=3，故B正确： 对于C选项，设=1,3=i,此时4-z=名+z=V2,但z=i≠0，故C错误； 对于D选项，设名=x+i,x,yER,因为-2≤V2,所以(x-2)+y2≤2， 则点（x,y)在以C(2,0)为圆心，半径为√2的圆形区域内， 3-2≤2可知名≠-2i(因为2i-2=22>√2)故名+2i≠0. 三+4-5+23-2）-7-2i,所以+=5-2列=2+(w-2可， 3+2i 3+2i 3+2i 该式表示圆形区域内的点(x,)到定点D(0,2)的距离，因为CD=√2+2Σ=2√2， 则25-5≤F+0-2s25+5,即+ z1+2i 的取值范围是「V2,3W2,故D正确， 9.已知函数f(x)=x(x-a)(e-e),则下列说法正确的是() A.f(x)至少有2个零点 B.若a=1,则f(x)≥0的解集为[0，+o) C.a∈(0,1)，使得f(x)在(1，+o)上有极值点 D.a∈(-w,0),f(x)在(-∞，1)上恒有最大值 【答案】ABD 【分析】选项A通过利用函数表达式因式分解，直接令各因式为零，从而得到固定零点： 选项B将=1带入函数解析式，再将函数分解为多个因式，分别判断每个因式在不同区间 上的符号，再根据“同号得正，异号得负”确定整体符号，从而求解不等式；选项C先对函 数求导，分析导函数在所给区间上的符号来判断函数的单调性，从而判断是否存在极值 点；选项D利用符号分析确定函数值为正的区间，再结函数图象来判断是否具有最大值： 【详解】对于A,令f(x)=0,即x(x-a)(e-e)=0,解得三个可能的根：x=0,或 x-a=0→x=a,或e-e=0→x=1, 若a≠0且a≠1，则零点为0,1，a,若a=0或a=1,则零点为0,1，所以f(x)的零点 个数至少是2，故A正确： 对于B,当a=1时，f(x)=x(x-1)(e-e),对于不等式x(x-1)(e-e)20,当x<0时， x-l<0,e<e0=1<e-ex-e<0, 此时f(x)<0,不满足，当0≤x≤1时，x-1≤0，e≤e=e→e-e≤0，f(x)20,满 足， 当x>1时，x-1>0,e>e→e-e>0,f(x)>0,满足， 综上，不等式的解集为[0,1]U(1,+∞)=[0，+∞)，故B正确： 对于C,f(x)=(2x-a(e*-e)+x(x-a)e,若0<a<1,当x>1时，x-a>0, 2x-a>0,e*-e>0, 所以'(x)>0恒成立，f(x)在(1，+o)上单调递增，无极值点，故C错误： 对于D,当a<0时，f(x)有3个零点0，a,1,且a<0<1, 易知f(x)在(-o,4)和(0,1)上为负，在(a,0)和(1，+o)上为正， 作出其大致图象如图，可知f(x)在(-0,1)上有最大值，故D正确. 三、填空题 10.已知x>0,y>0,1+6-4 少3x+y的最小值为 【答案】23 【分析】采用目标换元+一元二次方程判别式法求最值，将所求式整体设元，转化为方程 有正根的存在性问题，避免复杂均值配凑，最后务必验证等号可取性， 1+64 【详解】由思，因为子，所以+6=40+6w=4, 令t=3x+y,t>0,则t-9x2=(3x+y)2-9x2=6xy+y2, 故-9x)=4,即r=9r+草，所以3x =12, 时，t2取得最小值12， 因为t>0,所以t=3x+y的最小值为25， 此时y=2√3-√6>0，因此3x+y的最小值为2√5 11.设(x2+x-1)=4+ax++agx9+amx0,则 2-4-42+243-44-4+…+2a8-4g-4200的值为 【答案】2o1 【分析】观察所求式子中系数的循环规律，选择三次单位根代入多项式，利用其幂次实部 的周期循环将目标系数组合提取出来，代入后化简，再取实部并适当整理，即可直接得到 所求表达式的值 )取三次单位根o山，设m=+1,所必以心：了 22 +0+1=15-+5i+1=0, 2222 w=.=(a)w2=d=-15 22 在原太中，令=8，所以-o+8=6号9--， 22 2 则有210=4+40+a,6d++a0, 对上式右边取实部可得：20=4-54-24+424+4e 1 1 1 1 29g 所以2101=2a,-4-a42+2a-44-4+…+248-49-4m 因此所求多项式的值为21 12.现有一块棱长为6+26的正四面体金属材料，将其打磨成若干个球形弹珠用于某机器 的零件（打磨过程中的磨损忽略不计）.若该金属块只打磨成一个最大弹珠，则该弹珠的半 径是 若将该金属块打磨成半径为1的弹珠，则最多可以打磨这种弹珠的个数是 【答案】 I+VG 20 2 【分析】本题相当于是正四面体的内切球问题，可以从空心正四面体内部放球来处理，设 该正四面体的棱长为a,内切球的半径为？， 【详解】(1) 图1 如图1，在正四面体中，放入1个最大球，设内切球半径为r, a 5a-5a 32“ 3 因为8c=号.5D=4× 号，所以9.5=49。 4 34 整理得，=6 a 12 所以放入一个球时最大球的半径，=Y5×6+2V6)-1+Y6 12 (2) 2(n-1)r D 6r B C 图2 图3 要放入若干个球时，为保证球的个数最多，则等价于内部所有球与球之间外切，最外层的 球与正四面体的表面相切.此外，由正四面体的对称性知，在内部放入更多球时，其排列 为分层摆放，其中第一层1个；第二层1+2个，第三层1+2+3个；...第n层： 1+2+3++n个；每一层均为正三角形排布，则只需考虑第n层的一条边上放入n个球 (如图3所示)中的n的值， 如图2，正四面体的内切球的俯视图中，该内切圆不能与正三角形的边相切（因为内切球 与侧面相切，无法与棱相切)， 所以我们需要计算内切球切点D到棱AC的距离DE的长， 其中DE刚好是底面△ABC内切圆的半径， 1 .=3× ·aDE, 2 所以DB= Ga,内切球半径r=O0=6。 所以切点D到棱AC的距离DE是内切球半径的√2倍，则DE=√2r 如图3，若最下面一层，即第n层的俯视图中，靠棱的一侧放入n个球， 其中球心H到棱AC的距离HF=√2r,显然AF=√6r, 则有AC=√6r+2(n-1)r+√6r=a, 代入数据得√6+2(n-1)+√6=6+26，解得n=4, 所以，求得总个数为1+1+2+1+2+3+1+2+3+4=20， 所以该几何体最多可打磨成20个球. 故管案为：1+)°：20 四、解答题 13.己知幂函数f(x)=x22-m*3(meN)在区间(0，+0)上单调递增。 (1)求f(x)的解析式： (2)若关于x的不等式x+x2-6.x≤f(x)-a恰有5个整数解，求实数a的取值范围、 【答案】(1)f(x)=x (2)0<a≤5 【详解】(1)因为f(x)在(0，+o)单调递增，所以-2m2-m+3>0, 解得-3<m<1,因为meN,所以m=0,x)= 2 (2)求解x3+x2-6x≤f(x)-a,即8(x)=-x2+6.x≥a有5个整数解. 因为8(x)=8(3),x=3恰好为整数，由于二次函数的对称性，我们可知另外4个整数解 为x=1,2,4,5, g(1)=8(5)=5,8(0)=g(6)=0,所以0<a≤5 14.2026年世界杯足球赛正在火热开展，掀起了大众对足球运动的热爱.与此同时，某网 络平台举办了一场有关足球知识的竞猜游戏，游戏规则如下：每次竞猜时答对得3分，答 错得-3分（竞猜中只有答对和答错两种情况），累计得分X达到6分或-6分时游戏结束， 否则游戏继续进行.当X=6时获胜，获得精美礼品一份，X=-6时落败.已知小王参与 1 竞猜时每题答对的概率为0<g≤)且每次竞猜答对与否互不影响。 (1)求小王恰好竞猜4次，获得精美礼品一份的概率： ⊙记人表不事作小工竞猜n次，游戏仍未结束，已知P心44)-号 (i)求P(A4k+2lA+H)k∈N): (ⅱ)求游戏结束时X的数学期望. 【答案】(1)2g-2g 回日m等 【详解】(1)记A为事件“小王恰好竞猜4次，获得精美礼品一份”，则前两次竞猜中一次 答对，一次答错，后两次竞猜均答对 故P(A)=Cq(1-q)g2=2q3-2g. (2)由题意得P(A)=1,P(AA)=P(A)=2q-2q, 4)--2刘2. 又A)=后刷g-女-后得q=成=子 1 又0<4≤与所以g=4: ():因为偶数次竞猜的累计得分只能是6，-6,0，累计得分X达到6分或-6分时游戏 结束；若小王竞猜2k次，游戏未结束，则累计得分必为0.（即当1为奇数时，第次与第 i+1次竞猜中仅答对一次) 得：=)[c--图 P4==cs-c-》-图 所以P(4a4)= P(4k+Ak+2） P(Ak+1） ()方法一：由题意知，游戏结束时X的所有可能取值为6、-6，所以 P(X=6)+P(X=-6)=1. 现考虑前两次竞猜，若两次都竞猜答对或都竞猜答错，则游戏结束：若一次竞猜答对， 次竞猜答错，则相当于重新开始 以x---Pr-.x-6d 所以P(X=-60)=1-i010 19 所以)-60(08兰 方法二：由题意知，游戏结束时X的所有可能取值为6、-6，所以 P(X=6)+P(X=-6)=1, 又x-o=+-+c-[c-日+ 用*c-e-e-周 故Px-0-日+c-r=0,解得Px=6=品 所以P(X=-6)=1-1=9 -10101 924