江苏省南通中学2027届高三第一次教学质量调研练习数学试卷

**基本信息** 2027高三数学调研卷以集合、函数、几何等核心知识为载体，通过新定义（如“调和数列”）、实际情境（车企调研）及综合应用（导数零点讨论），考查数学眼光的抽象性、思维的逻辑性与语言的精确性，适配高三开学诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、向量投影、函数性质|基础概念与辨析，如第5题结合方差分析数据稳定性| |多选题|3/18|向量夹角、新定义数列、概率事件|多维度思维，如第10题“调和数列”关联等差数列性质| |填空题|3/15|圆的公共弦、数列通项、解三角形最值|空间想象与运算，如第14题用基本不等式求三角最值| |解答题|5/77|立体几何证明与夹角、统计独立性检验、椭圆方程、导数应用|分层综合应用，如第17题结合车企调研考独立性检验与期望，体现数学语言表达现实世界；第19题导数零点讨论，培养逻辑推理能力|

2027高三教学质量调研练习卷 数学 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集为U,若,则( ) A. A B. B C. D. 2.,下列不等式恒成立的是 A. B. C. D. 3.已知平面向量,,,设在上的投影向量为,则与的夹角为( ) A. B. C. D. 4.已知等差数列的前n项和,公差,记,,,下列等式不可能成立的是( ) A. B. C. D. 5.已知数据,,…,,2的平均值为2,方差为1,则数据,,…,相对于原数据( ) A. 一样稳定 B. 变得比较稳定 C. 变得比较不稳定 D. 稳定性不可以判断 6.在平面直角坐标系xOy内,将椭圆绕原点O旋转得到椭圆,点是椭圆上任意一点,则下列说法错误的是( ) A. 椭圆的对称轴为 B. 的最大值为 C. 椭圆的离心率为 D. n的最大值为 7.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A. B. C. D. 8.已知函数及其导数的定义域均为R,在R上单调递增,为奇函数,若,,,则( ) A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 9.已知向量,满足,,则( ) A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 10.若数列满足为常数,则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”,下列说法正确的是( ) A. 若,则 B. 若,且,,则 C. 若,中各项均为正数,则 D. 若,,则 11.设A,B是一个随机试验中的两个事件,,则 A. 事件A,B相互独立 B. 若,则 C. D. 若,则必有 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.圆与圆的公共弦的长为 . 13.已知数列满足,,且,则数列的通项公式为 . 14.在斜中,A为锐角,且满足,则的最小值为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 如图,在直三棱柱中,,,E为棱的中点. 证明:平面 求平面与平面的夹角的大小. 16.本小题15分 已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A为钝角,, 若,求c的值; 求面积的最小值. 17.本小题15分 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性,调查100人购买情况,得到如下列联表: 新能源汽车A款 新能源汽车B款 总计 男性 50 10 x 女性 25 15 40 总计 y 25 100 求x,y; 根据小概率值的独立性检验,能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联? 假设用样本估计总体,用频率估计概率,所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人,设被抽取的3人中购买了B款车的人数为X,求X的数学期望. 附:, k 18.本小题17分 已知椭圆的一个顶点为,右焦点为F,且,其中O为原点. 求椭圆的方程; 已知点C满足,点B在椭圆上异于椭圆的顶点,直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程. 19.本小题17分 已知函数 求曲线在处的切线方程; 设,为的导函数,讨论的零点个数; 若存在,使得不等式对任意成立,求b的取值范围.