第五章 一元函数的导数及其应用（15考点+7易错+易错训练）（知识清单）数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 知识点一 平均速度 1．平均速度：我们把位移s看成关于时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间段[t1，t2]上的平均速度＝． 2．物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的快慢． 【方法技巧】求物体运动的平均速度的步骤 (1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)． (2)再计算时间的改变量t2－t1． (3)得平均速度＝． 知识点二 瞬时速度 1．瞬时速度：物体在_______的速度称为瞬时速度． 2．瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 3．设物体运动的时间与位移的函数关系为s＝s(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为v＝． 【注意】(1)“Δt→0”读作“Δt无限趋近于0”，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt始终不能为零． (2)当Δt→0，比值趋近于一个确定的常数时，此常数才称为物体在t＝t0时的瞬时速度． (3)“lim”意为极限，＝l表示当Δt→0时，以常数l为极限． 【方法技巧】求物体运动瞬时速度的主要步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求平均速度＝； (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v，即为瞬时速度，即v＝． 知识点三 求曲线在某点处切线的斜率或方程 1．切线的斜率：当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f (x)在点P0(x0，f (x0))处的切线，则切线P0T的斜率k0＝． 2．切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0． 【注意】(1)不管点P在点P0左侧附近，还是右侧附近，割线P0P的斜率k的表达式是一样的． (2)极限的几何意义：曲线y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率． 知识点四 导数的概念 1．平均变化率 对于函数y＝f (x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f (x0)变化到f (x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 2．导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或，即f ′(x0)＝＝． 【注意】(1)平均变化率＝的几何意义就是函数y＝f (x)图象上的两点(x0，f (x0))与(x0＋Δx，f (x0＋Δx))所在直线的斜率． (2)在导数定义中增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪一种形式，相应的Δy也必须选择对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式． 【方法技巧】求瞬时变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f (x2)－f (x1)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1． (3)得平均变化率＝． (4)得瞬时变化率． 【方法技巧】求一个函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的步骤 (1)求函数值的变化量Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)． (2)求平均变化率＝． (3)取极限，得导数f ′(x0)＝． 知识点五 导数的几何意义 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率是f ′(x0)．相应地，切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)． 【注意】切线的斜率k只与横坐标x0有关，与Δx无关． 【方法技巧】1.利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)． (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． 2.利用导数的几何意义判断函数的变化 若f ′(x0)＝0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f ′(x0)＞0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率_______，则函数在x＝x0附近_______，且f ′(x0)越大，说明函数图象变化得越快； 若f ′(x0)＜0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率_______，且函数在x＝x0附近_______，且|f ′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快． 【注意】f ′(x0)的正负决定增减，|f ′(x0)|的大小决定快慢． 知识点六 导函数(导数) 对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)．y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y′＝． 【注意】(1)f ′(x0)是具体的值，是数值． (2)f ′(x)是函数f (x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数． 知识点七 基本初等函数的求导公式 1．几个常用函数的导数 原函数 导数 f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝_______ f (x)＝x f ′(x)＝_______ f (x)＝x2 f ′(x)＝_______ f (x)＝x3 f ′(x)＝_______ f (x)＝ f ′(x)＝_______ f (x)＝ f ′(x)＝ 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝_______ f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝_______ f (x)＝sin x f ′(x)＝_______ f (x)＝cos x f ′(x)＝_______ f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝_______ f (x)＝ex f ′(x)＝_______ f (x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝ f (x)＝ln x f ′(x)＝ 【注意】(1)对于根式f (x)＝，要先转化为f (x)＝，所以f ′(x)＝． (2)三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的改变．可用口诀记忆：正弦求导数，弦变符不变；余弦求导数，弦变符也变． 知识点八 导数的四则运算法则 f (x)±g(x)的导数 两个函数f (x)和g(x)的和(或差)的导数：[f (x)±g(x)]′＝_______． 【注意】推广式：[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)． f (x)g(x)和的导数 1．[f (x)g(x)]′＝_______，特别地，[cf (x)]′＝cf ′(x)． 2．＝(g(x)≠0)． 【注意】积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用“减号”． 知识点九 简单复合函数的导数 1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))． 2.复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为_______．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【注意】(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则． (2)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． (3)该公式可以推广至多层复合函数． 知识点十 函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)： f ′(x)的正负 f (x)的单调性 f ′(x)＞0 _______ f ′(x)＜0 _______ 【注意】(1)f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数在(a，b)上单调递增(递减)的充分条件． (2)f ′(x)＝0在某个区间内恒成立时，该区间内f (x)为常函数． 【方法技巧】利用导数求函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数y＝f (x)的定义域． (2)求出导数f ′(x)的零点． (3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，进而求出单调区间． 知识点十一 导数的符号与函数单调性的关系 (1)在某区间D上，若f ′(x)＞0⇒函数f (x)在D上_______；在某区间D上，若f ′(x)＜0⇒函数f (x)在D上_______． (2)若函数f (x)在D上单调递增⇒f ′(x)≥0；若函数f (x)在D上单调递减⇒_______．需要检验f ′(x)＝0不能恒成立． (3)若函数f (x)在D上存在单调递增区间⇒f ′(x)＞0有解． 若函数f (x)在D上存在单调递减区间⇒_______． 【注意】(1)单调区间可以写成闭区间，我们习惯上写成开区间． (2)注意以下区别：若单调递增，则f ′(x)≥0恒成立；若存在单调递增区间，则f ′(x)＞0能成立． 【方法技巧】利用函数的单调性求参数，常用方法如下： 1 函数f (x)在区间D上单调递增⇒_______在区间D上恒成立 2 函数f (x)在区间D上单调递减⇒_______在区间D上恒成立 3 函数f (x)在区间D上不单调⇒f ′(x)在区间D上存在变号_______ 4 函数f (x)在区间D上存在单调递增区间⇒∃x0∈D，使得_______成立 5 函数f (x)在区间D上存在单调递减区间⇒∃x0∈D，使得_______成立 6 若已知f (x)在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D是其单调区间的_______，从而求出参数的取值范围 知识点十二 极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_______，右侧_______，则把a叫做函数y＝f (x)的_______，f (a)叫做函数y＝f (x)的_______． (2)极大值点与极大值 函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧_______，右侧_______，则把b叫做函数y＝f (x)的_______，f (b)叫做函数y＝f (x)的_______． (3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为_______． 【注意】1．极值点是函数单调性的转折点，因此若f (x)在(a，b)内有极值，则f (x)在(a，b)内不是单调函数． 2．极值点不是点，出现在区间的内部，端点不能是极值点． 【方法技巧】求可导函数f (x)极值的步骤 (1)定义域：求函数的定义域． (2)求导：求函数的导数f ′(x)． (3)令f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0全部的根x0，即导函数f ′(x)的零点． (4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内． (5)结论：若导数f ′(x)在x＝x0附近左正右负，则函数f (x)在x＝x0处取得极大值；若左负右正，则函数f (x)取得极小值． 知识点十三 函数的最值 1．函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条_______的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的_______； (2)将函数y＝f (x)的_______与_______处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是_______，最小的一个是_______． 【注意】函数的极值与最值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言． (2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个． (3)函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 知识点十四 利用导数解决实际问题 （1）导数在实际问题中应用的步骤 ①审题：阅读理解文字含义，分清条件和结论，找出问题的主要关系； ②建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； ③解模：利用导数知识解模； ④释模：对结果分析验证作出正确的判断，确定其答案. （2）导数在实际问题中应用的注意点 ①在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的含义，不符合实际意义的值应该舍去； ②在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值作比较，也可以得到这就是最大(小)值； ③在生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题.在解决最优化问题中涉及的变量关系用函数关系给予表示，一定要确定函数关系中的自变量的定义区间. 知识点十五 导数与含参不等式 （1）恒成立问题 在函数能取到最值的条件下，一般地： -若对恒成立，则只需； -若对恒成立，则只需. 由此构造不等式，求解参数的取值范围. （2）有解问题 在函数能取到最值的条件下： -若存在，使成立，则只需； -若存在，使成立，则只需. 由此构造不等式，求解参数的取值范围. 易错点1 对导数的定义理解不到位 易错提醒 1. ，要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应。 2.的代数意义表示函数在处的瞬时变化率。 3.的几何意义表示曲线在处切线的斜率。 【对点训练】1．定义在上的函数，若，则（    ） A．-1 B．1 C．2026 D．-2026 2．已知，，则的值为________． 3．“兴宁鸽”是兴宁市标志性特色农产品，有近400年养殖史，获“全国名特优新农产品”“国家地理标志”等认证，亮相广州塔、大湾区推广，是兴宁乡村振兴支柱产业．肉鸽在0～25日龄快速生长期内，体重W（单位：g）与日龄t（单位：天）的函数关系为，则鸽子在日龄时的瞬时生长率为（    ） A．16g/天 B．18g/天 C．20g/天 D．22g/天 4．一个质点P在水平路径上运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则在这段时间里，质点P的平均速度为_______m/s． 易错点2 混淆复合函数的求导法则 易错提醒 1. 复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即。 2. 求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 【对点训练】5．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 6．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 7．（多选）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列求导运算正确的是（     ） A． B． C． D． 易错点3 忽略切点的位置 易错提醒 1.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上。 【对点训练】9．曲线过坐标原点的两条切线的方程为________． 10．已知函数，若，函数过点的切线方程为_______________． 11．求满足下列条件的直线的方程． (1)为曲线在点处的切线； (2)的斜率为且与曲线相切； (3)过原点且与曲线相切． 12．设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D． 易错点4 利用导数求函数单调区间忽略定义域 易错提醒 1.  求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后在定义域上求函数的单调区间。 2.  含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内。 【对点训练】13．已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)求函数在上的最值. 14．求下列函数的单调区间． (1)； (2)； (3)； (4)． 15．函数的单调递增区间为__________. 16．已知函数，求： (1)曲线在点处的切线方程； (2)函数的单调区间． 易错点5 极值（点）问题忘记检验 易错提醒 1. 可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号变号。 2.是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点。 【对点训练】17．若函数在处取得极小值，则的值为（     ） A．1 B．3 C．1或3 D． 18．函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 19．已知函数在处取得极值0，则________． 20．已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 易错点6 极值与最值问题忘记检验 易错提醒 1.函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值。 2.函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点 3.函数的最值必在极值点或区间端点处取得 【对点训练】21．函数的最大值为________，最小值为________． 22．已知函数，，则的最大值为________． （参考数据：） 23．已知函数在时取得极小值4. (1)求实数，的值； (2)求函数在区间上的最值. 24．已知，在处的切线与垂直， (1)求实数的值； (2)求在区间上的值域． 易错点7 利用导数研究不等式恒成立问题 易错提醒 1.①恒成立问题优先分离参数或构造函数求最值；②注意等号能否取到，端点处单独验证；③含参数的分类讨论标准要统一，勿遗漏特殊值；④数形结合时注意临界位置。 【对点训练】25．若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．已知函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 27．已知函数 ，若 对任意 恒成立，利用极点效应求实数 的取值范围. 28．已知，若恒成立，求实数a的取值范围. 1．已知函数且，则（     ） A．8 B．4 C．2 D．1 2．一个质点做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（     ） A．米/秒 B．6米/秒 C．9米/秒 D．12米/秒 3．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若存在过点的直线与曲线和都相切，则（   ） A．或 B． C．或 D． 5．若函数的极小值点为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 6．若函数，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．（多选）下列求导运算正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（多选）下列说法正确的是（ ） A．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30 B．函数在时瞬时变化率为7 C．定义在上的可导函数，已知，若，则 D．定义在上的可导函数，已知，若，，则 10．（多选）已知函数在处有极值，则（    ） A． B．在内单调递增 C．的极大值为 D．在上的最小值是 11．函数过的切线方程为_______________． 12．函数的单调递增区间是_______________． 13．已知关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________． 14．已知函数 (1)判断函数的单调性； (2)求函数在区间的最值； (3)方程有三个实数解，求的取值范围. 15．已知函数． (1)求过原点且与曲线相切的直线方程； (2)若，求的最小值． 16．已知，设，求证：当时，恒成立. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用 知识点一 平均速度 1．平均速度：我们把位移s看成关于时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间段[t1，t2]上的平均速度＝． 2．物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的快慢． 【方法技巧】求物体运动的平均速度的步骤 (1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)． (2)再计算时间的改变量t2－t1． (3)得平均速度＝． 知识点二 瞬时速度 1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 2．瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 3．设物体运动的时间与位移的函数关系为s＝s(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为v＝． 【注意】(1)“Δt→0”读作“Δt无限趋近于0”，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt始终不能为零． (2)当Δt→0，比值趋近于一个确定的常数时，此常数才称为物体在t＝t0时的瞬时速度． (3)“lim”意为极限，＝l表示当Δt→0时，以常数l为极限． 【方法技巧】求物体运动瞬时速度的主要步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求平均速度＝； (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v，即为瞬时速度，即v＝． 知识点三 求曲线在某点处切线的斜率或方程 1．切线的斜率：当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f (x)在点P0(x0，f (x0))处的切线，则切线P0T的斜率k0＝． 2．切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0． 【注意】(1)不管点P在点P0左侧附近，还是右侧附近，割线P0P的斜率k的表达式是一样的． (2)极限的几何意义：曲线y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率． 知识点四 导数的概念 1．平均变化率 对于函数y＝f (x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f (x0)变化到f (x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 2．导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或，即f ′(x0)＝＝． 【注意】(1)平均变化率＝的几何意义就是函数y＝f (x)图象上的两点(x0，f (x0))与(x0＋Δx，f (x0＋Δx))所在直线的斜率． (2)在导数定义中增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪一种形式，相应的Δy也必须选择对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式． 【方法技巧】求瞬时变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f (x2)－f (x1)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1． (3)得平均变化率＝． (4)得瞬时变化率． 【方法技巧】求一个函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的步骤 (1)求函数值的变化量Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)． (2)求平均变化率＝． (3)取极限，得导数f ′(x0)＝． 知识点五 导数的几何意义 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率是f ′(x0)．相应地，切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)． 【注意】切线的斜率k只与横坐标x0有关，与Δx无关． 【方法技巧】1.利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)． (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． 2.利用导数的几何意义判断函数的变化 若f ′(x0)＝0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f ′(x0)＞0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k＞0，则函数在x＝x0附近单调递增，且f ′(x0)越大，说明函数图象变化得越快； 若f ′(x0)＜0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k＜0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f ′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快． 【注意】f ′(x0)的正负决定增减，|f ′(x0)|的大小决定快慢． 知识点六 导函数(导数) 对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)．y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y′＝． 【注意】(1)f ′(x0)是具体的值，是数值． (2)f ′(x)是函数f (x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数． 知识点七 基本初等函数的求导公式 1．几个常用函数的导数 原函数 导数 f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f (x)＝x f ′(x)＝1 f (x)＝x2 f ′(x)＝2x f (x)＝x3 f ′(x)＝3x2 f (x)＝ f ′(x)＝－ f (x)＝ f ′(x)＝ 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝αxα-1 f (x)＝sin x f ′(x)＝cos x f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin x f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝ax ln a f (x)＝ex f ′(x)＝ex f (x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝ f (x)＝ln x f ′(x)＝ 【注意】(1)对于根式f (x)＝，要先转化为f (x)＝，所以f ′(x)＝． (2)三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的改变．可用口诀记忆：正弦求导数，弦变符不变；余弦求导数，弦变符也变． 知识点八 导数的四则运算法则 f (x)±g(x)的导数 两个函数f (x)和g(x)的和(或差)的导数：[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)． 【注意】推广式：[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)． f (x)g(x)和的导数 1．[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf (x)]′＝cf ′(x)． 2．＝(g(x)≠0)． 【注意】积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用“减号”． 知识点九 简单复合函数的导数 1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))． 2.复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【注意】(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则． (2)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． (3)该公式可以推广至多层复合函数． 知识点十 函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)： f ′(x)的正负 f (x)的单调性 f ′(x)＞0 单调递增 f ′(x)＜0 单调递减 【注意】(1)f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数在(a，b)上单调递增(递减)的充分条件． (2)f ′(x)＝0在某个区间内恒成立时，该区间内f (x)为常函数． 【方法技巧】利用导数求函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数y＝f (x)的定义域． (2)求出导数f ′(x)的零点． (3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，进而求出单调区间． 知识点十一 导数的符号与函数单调性的关系 (1)在某区间D上，若f ′(x)＞0⇒函数f (x)在D上单调递增；在某区间D上，若f ′(x)＜0⇒函数f (x)在D上单调递减． (2)若函数f (x)在D上单调递增⇒f ′(x)≥0；若函数f (x)在D上单调递减⇒f ′(x)≤0．需要检验f ′(x)＝0不能恒成立． (3)若函数f (x)在D上存在单调递增区间⇒f ′(x)＞0有解． 若函数f (x)在D上存在单调递减区间⇒f ′(x)＜0有解． 【注意】(1)单调区间可以写成闭区间，我们习惯上写成开区间． (2)注意以下区别：若单调递增，则f ′(x)≥0恒成立；若存在单调递增区间，则f ′(x)＞0能成立． 【方法技巧】利用函数的单调性求参数，常用方法如下： 1 函数f (x)在区间D上单调递增⇒f ′(x)≥0在区间D上恒成立 2 函数f (x)在区间D上单调递减⇒f ′(x)≤0在区间D上恒成立 3 函数f (x)在区间D上不单调⇒f ′(x)在区间D上存在变号零点 4 函数f (x)在区间D上存在单调递增区间⇒∃x0∈D，使得f ′(x0)>0成立 5 函数f (x)在区间D上存在单调递减区间⇒∃x0∈D，使得f ′(x0)<0成立 6 若已知f (x)在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D是其单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围 知识点十二 极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值． (2)极大值点与极大值 函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 【注意】1．极值点是函数单调性的转折点，因此若f (x)在(a，b)内有极值，则f (x)在(a，b)内不是单调函数． 2．极值点不是点，出现在区间的内部，端点不能是极值点． 【方法技巧】求可导函数f (x)极值的步骤 (1)定义域：求函数的定义域． (2)求导：求函数的导数f ′(x)． (3)令f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0全部的根x0，即导函数f ′(x)的零点． (4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内． (5)结论：若导数f ′(x)在x＝x0附近左正右负，则函数f (x)在x＝x0处取得极大值；若左负右正，则函数f (x)取得极小值． 知识点十三 函数的最值 1．函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【注意】函数的极值与最值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言． (2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个． (3)函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 知识点十四 利用导数解决实际问题 （1）导数在实际问题中应用的步骤 ①审题：阅读理解文字含义，分清条件和结论，找出问题的主要关系； ②建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； ③解模：利用导数知识解模； ④释模：对结果分析验证作出正确的判断，确定其答案. （2）导数在实际问题中应用的注意点 ①在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的含义，不符合实际意义的值应该舍去； ②在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值作比较，也可以得到这就是最大(小)值； ③在生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题.在解决最优化问题中涉及的变量关系用函数关系给予表示，一定要确定函数关系中的自变量的定义区间. 知识点十五 导数与含参不等式 （1）恒成立问题 在函数能取到最值的条件下，一般地： -若对恒成立，则只需； -若对恒成立，则只需. 由此构造不等式，求解参数的取值范围. （2）有解问题 在函数能取到最值的条件下： -若存在，使成立，则只需； -若存在，使成立，则只需. 由此构造不等式，求解参数的取值范围. 易错点1 对导数的定义理解不到位 易错提醒 1. ，要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应。 2.的代数意义表示函数在处的瞬时变化率。 3.的几何意义表示曲线在处切线的斜率。 【对点训练】1．定义在上的函数，若，则（    ） A．-1 B．1 C．2026 D．-2026 【答案】C 【详解】 2．已知，，则的值为________． 【答案】 【详解】． 3．“兴宁鸽”是兴宁市标志性特色农产品，有近400年养殖史，获“全国名特优新农产品”“国家地理标志”等认证，亮相广州塔、大湾区推广，是兴宁乡村振兴支柱产业．肉鸽在0～25日龄快速生长期内，体重W（单位：g）与日龄t（单位：天）的函数关系为，则鸽子在日龄时的瞬时生长率为（    ） A．16g/天 B．18g/天 C．20g/天 D．22g/天 【答案】B 【详解】瞬时生长率为，代入得（g/天）． 4．一个质点P在水平路径上运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则在这段时间里，质点P的平均速度为_______m/s． 【答案】 【详解】， 即质点P的平均速度为. 易错点2 混淆复合函数的求导法则 易错提醒 1. 复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即。 2. 求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 【对点训练】5．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）因为， 所以． （2）． （3） ． （4）因为， 所以． （5）因为， 所以 ． 6．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用复合函数的求导法则求导. （2）利用函数积的求导法则，结合复合函数的求导法则求导. （3）可以先利用三角恒等变换公式化简再求导，也可以直接用复合函数的求导法则求导. 【详解】（1）. （2）. （3）方法一： ， 所以． 方法二： ． 7．（多选）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据导数的四则运算和复合函数运算进行判断． 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C错误； D选项，根据复合函数求导法则可得，故D正确． 8．下列求导运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 易错点3 忽略切点的位置 易错提醒 1.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上。 【对点训练】9．曲线过坐标原点的两条切线的方程为________． 【答案】， 【分析】分、讨论，设切点，求导得到切线斜率，利用切线过原点条件解出切点横坐标，求出第一条切线；利用图像关于轴对称直接写出对应的另一条切线． 【详解】当时，， 设切点坐标为， 因为，所以切线的斜率， 所以切线方程为， 又因为切线过原点，所以，解得， 所以切线方程为，即； 当时，，与的图像关于轴对称， 所以切线方程也关于轴对称，所以切线方程为； 曲线过坐标原点的两条切线的方程为，． 10．已知函数，若，函数过点的切线方程为_______________． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】若，则，所以， 设过点的切线与函数的切点为， 则， 所以切线方程为， 代入点得， 即， 解得， 故切线方程为 11．求满足下列条件的直线的方程． (1)为曲线在点处的切线； (2)的斜率为且与曲线相切； (3)过原点且与曲线相切． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以． 又因为，所以所求切线方程为，即． （2）设切点为，因为，所以切线的斜率为． 所以． 因为，所以切点为． 所以切线方程为，即的方程为． （3）设切点为，因为，所以切线的斜率为． 又因为，所以直线的方程为， 将原点代入上式并整理，可得，解得， 因此切点为，切线方程为，即的方程为． 12．设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义写出切线方程，进而求得切线与坐标轴的交点，即可求得结果． 【详解】求导得， 故， 又，可得切线方程为， 当时，；当时，， 因此所求三角形的面积． 易错点4 利用导数求函数单调区间忽略定义域 易错提醒 1.  求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后在定义域上求函数的单调区间。 2.  含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内。 【对点训练】13．已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值． (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）求导，结合导函数判断即可； （2）结合函数的单调性判断最值即可. 【详解】（1）对函数求导，可得， 令，即，解得， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增； 由单调性可知，当时，函数取得极小值，将代入函数可得： ，函数无极大值. （2）由可知函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以函数在上的最小值为，最大值为 14．求下列函数的单调区间． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为． (2)函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． (3)函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． (4)函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】通过对函数求导找出导函数零点来求解单调区间. 【详解】（1）， 令，得，令，得或． 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）函数的定义域为．，令，可得．当变化时，的变化情况如表所示． 3 - - 0 + 单调递减 单调递减 单调递增 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3），令，可得或． 当变化时，的变化情况如表所示． 0 + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 0 单调递增 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． （4）函数的定义域为， 令，则等价于，因为，所以在上单调递减， 又，所以由解得． 当变化时，的变化情况如表所示． 1 + 0 - 单调递增 单调递减 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 15．函数的单调递增区间为__________. 【答案】 【详解】函数的定义域为， 对函数求导得， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 16．已知函数，求： (1)曲线在点处的切线方程； (2)函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为和. 【详解】（1）因为，所以，， 则，则曲线在点处的切线方程为. （2）因为，且的定义域为， 所以由得或；由得或； 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 易错点5 极值（点）问题忘记检验 易错提醒 1. 可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号变号。 2.是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点。 【对点训练】17．若函数在处取得极小值，则的值为（     ） A．1 B．3 C．1或3 D． 【答案】A 【分析】根据题意求出函数的导函数，结合函数在处取得极小值可得，进而得到的值；最后将的值代入导函数，并结合函数的单调性和极值定义即可判断. 【详解】依题意， 所以， 所以，解得，或， 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极大值，不符合题意； 综上，的值为1. 18．函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用函数在处有极值10，求出的值，再代入验证，即可求解. 【详解】函数定义域为R，. 因为函数在处有极值10， 所以，解得：或. 当时，. 令，得或；令，得. 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以函数在处有极值，符合题意. 当时，恒成立. 所以在R上单增，所以函数在处无极值，不符合题意. 综上所述：. 19．已知函数在处取得极值0，则________． 【答案】512 【分析】利用极值与导数关系求出的值即可求解. 【详解】在处有极值，且，， 即，解得：，或． 当时，， 函数在R上为增函数，无极值，舍去； 当时，， 当时，,函数在上单调递减， 当时，,函数在上单调递增，故函数在处取得极小值， 所以，，． 20．已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 【答案】D 【分析】先求出导函数，再根据极值点及极值列式计算求解参数，再检验即可. 【详解】对函数求导可得，， 由题意可得，， ∴， ∴，即得，所以或， 当时，，所以， 所以单调递减，单调递增，在处有极小值，符合题意； 当时，，所以， 所以单调递增，无极值，不符合题意，舍去 ∴ 易错点6 极值与最值问题忘记检验 易错提醒 1.函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值。 2.函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点 3.函数的最值必在极值点或区间端点处取得 【对点训练】21．函数的最大值为________，最小值为________． 【答案】 【详解】由，所以． 当时，，函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最大值． 当时，函数取得最小值． 22．已知函数，，则的最大值为________． （参考数据：） 【答案】 【分析】求导可知在上单调递减，在上单调递增，故，再根据参考数据比较和的大小即可求得的最大值． 【详解】由于， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此是的极小值点，函数最大值在端点或处取得， 又， 且， ， 故，因此在上的最大值为． 23．已知函数在时取得极小值4. (1)求实数，的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）由得，， 因为函数在时取得极小值4，所以，即，解得. （2）由（1）题知，，令，得，， 令，得或，所以在上单调递增， 令，得，所以在上单调递减，如图所示， 因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 24．已知，在处的切线与垂直， (1)求实数的值； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求处的切线斜率，结合两直线垂直的斜率关系求解； （2）通过导数判断函数在上的单调性，比较极小值和端点值的大小得到值域. 【详解】（1）函数的定义域为，对求导得， 则在处的切线斜率， 直线变形为，斜率为， 由两直线垂直时斜率乘积为，得，解得. （2）由（1）得，求导并整理得， 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当 时，，单调递增， 因此在处取得区间内的最小值， 计算端点值，， 比较和的大小：， 由于，故，即区间内最大值为， 综上所述，在上的值域为. 易错点7 利用导数研究不等式恒成立问题 易错提醒 1.①恒成立问题优先分离参数或构造函数求最值；②注意等号能否取到，端点处单独验证；③含参数的分类讨论标准要统一，勿遗漏特殊值；④数形结合时注意临界位置。 【对点训练】25．若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同构构造，通过讨论的单调性，转化为在的恒成立问题，然后再讨论在的最大值，即可得到，即的最小值为. 【详解】若，则，取时，； 此时无法保证对恒成立， 综上可知，. 根据，可得， 于是设，则原不等式转化为对恒成立. 考虑对恒成立， 所以在单调增. 因为时，，且. 所以. 即对恒成立. 考虑函数，则令，解得 所以在单调增，在单调减. 即，所以. 26．已知函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由，利用端点效应得到，求出使不等式成立的必要条件，然后在的条件下，证明充分性成立即可. 【详解】求导得， 必要性：要使对任意恒成立，因为， 所以函数在的右侧附近不能上升，否则会出现， 所以，解得. 充分性：令，则. 因为，所以，当时，， 所以，所以在上单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，所以对恒成立， 综上，实数的取值范围为. 27．已知函数 ，若 对任意 恒成立，利用极点效应求实数 的取值范围. 【答案】 【分析】由得为函数的极值点，利用导数求出的值，再利用二阶导数和三阶导数判断极值点类型，最后验证参数即可. 【详解】定极点：区间R 无明确端点，计算，求导得 ， 令，得，此 为函数的极值点（极点）； 判断极值点类型：求二阶导数 ，当 时，，一阶、二阶导均为 0， 用高阶探路法，求三阶导数 ，故 为极小值点（三阶导为正，拐点处函数递增）； 验证参数：当 时，， 由经典不等式 ，可知 恒成立， 在 R上单调递增，故 ，恒成立； 排除其他情况： 若 ，则 ， 当 时，，，， 但 时，，，，矛盾； 若 ，则 ， 存在 、，使得 ， 在 上单调递减，，矛盾. 综上， 28．已知，若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】构造函数，先由不等式成立的必要条件，即端点值得到，再通过放缩，换元法及构造函数，利用导数证明充分性成立，即可得解. 【详解】必要性：对于，恒成立， 即在上恒成立. 构造函数. 所以，解得. 充分性：当时，. 令，再令， 所以，当时，， 则在上单调递增，所以， 所以恒成立， 综上所述，a的取值范围是. 【点睛】解决本题的关键在于构造函数后利用区间端点值1得到，即必要性探路. 1．已知函数且，则（     ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据导数的运算法则，求得，结合极限的运算法则，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以， 又由， 即，解得. 2．一个质点做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（     ） A．米/秒 B．6米/秒 C．9米/秒 D．12米/秒 【答案】D 【详解】∵∴ ∴ 即当时，该质点的瞬时速度为12米/秒. 3．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以A错误； ，所以B错误； ，所以C正确； ，所以D错误. 4．若存在过点的直线与曲线和都相切，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据题意，由导数的几何意义即可得到切线方程，然后联立，由代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 设过点的直线与曲线相切于点， 则在点处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 又点在切线上，所以，解得或， 当时，由直线与曲线相切可得方程有两个相等的实数根， 此时且，解得； 当时，由直线与曲线相切， 联立直线方程和抛物线方程并消去，得， 此时，解得． 综上所述，或. 5．若函数的极小值点为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定函数定义域并求导，利用极值点处导数为代入求出，再将代回导数式因式分解，分段判断导数正负，验证左侧递减、右侧递增，确认为极小值点，完成求解． 【详解】函数的定义域为， ， 因为是的极值点， 所以，解得， 若，则， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以确实是的极小值点，符合题意， 综上，． 6．若函数，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，通过单调性对不等式进行转化即可得出a的取值范围. 【详解】. 若，恒成立； 若，设，，在上单调递增， 则当时，恒成立； 所以在上恒成立 令，， 当时，,故在上为减函数， 当时，,故在上为增函数， 故在时取得最小值， 所以，所以，即. 7．已知函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数解析式化为，转化为分析的最值，换元后使用导数求解. 【详解】， 令，，则函数转化为，， ， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，最大值为，当时，最小值为0， 故，则， 当，时等号成立， 所以的最小值为：. 8．（多选）下列求导运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由常见函数的导数和求导法则计算可得. 【详解】选项A：这是复合函数求导，令，，代入， 所以，运算正确. 选项B：因为是常数，常数的导数为，因此，并非，运算错误. 选项C：根据商的求导法则， 所以，运算正确. 选项D：根据基本求导公式，，， 因此，并非 ​，运算错误. 9．（多选）下列说法正确的是（ ） A．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30 B．函数在时瞬时变化率为7 C．定义在上的可导函数，已知，若，则 D．定义在上的可导函数，已知，若，，则 【答案】CD 【分析】根据平均变化与与瞬时变化率定义计算可判断A、B，根据导数的定义计算可判断C、D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：因为，可知当时，瞬时变化率为，故B错误 对于C： ，故C正确； 对于D： ，解得，故D正确； 10．（多选）已知函数在处有极值，则（    ） A． B．在内单调递增 C．的极大值为 D．在上的最小值是 【答案】ACD 【分析】根据题意，求得，得到函数，利用导数求得单调性，极值以及区间上的最值，即可求解. 【详解】对于A，由函数，可得， 因为函数在处有极值，可得，解得，经检验满足题意，所以A正确； 对于B，由，令，可得，解得或， 所以在，上单调递增，在上单调递减，所以B错误； 对于C，令，可得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极大值，极大值为，所以C正确； 对于D，由选项C，可得在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以D正确. 11．函数过的切线方程为_______________． 【答案】或 【分析】分点是切点和点不是切点两种情况讨论，再分别求出这两种情况时的切线的斜率即可求出对应的切线方程． 【详解】由， 又，则点在函数的图象上， 又， 当是切点时，切线的斜率为， 此时函数的切线为，即； 当不是切点时，设切点为，， 则切线的斜率为， 整理得，解得，或（舍去）， 则切线的斜率， 此时函数的切线为，即． 综上，切线方程为或． 12．函数的单调递增区间是_______________． 【答案】 【详解】由已知，， 由，可得，解得， 即函数的递增区间为． 13．已知关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】构造函数求导，求得，对进行分情况讨论，结合放缩法、导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】设，则， 当时，设，， 所以在上单调递增， 当时，，当时，， 所以，使得当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，，与矛盾， 当时，时，，，所以. 设，则. 设，则， 所以单调递增，即在上单调递增， 又，所以时，，所以在上单调递减， 而，所以时，，即. 所以当时，. 综上，，即的取值范围为. 14．已知函数 (1)判断函数的单调性； (2)求函数在区间的最值； (3)方程有三个实数解，求的取值范围. 【答案】(1)在递增，在递减，在递增. (2)最大值为，最小值为0. (3). 【分析】（1）先求导，分解导数因式；根据导数正负划分区间，判断增减. （2）算出区间内极值点函数值，再算区间端点函数值，对比大小得到最大、最小值. （3）将方程实数解问题转化为两个函数图像的交点问题，利用极大值、极小值，确定参数的取值范围. 【详解】（1）原式整理得， 对其求导 ， 或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述在递增，在递减，在递增. （2），， 在上，单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，. ， 所以最大值为，最小值为. （3）的极大值，极小值， 当时，趋向于正无穷，趋向0，整体； 当时，. 要使有三个实数根，直线介于极小值0和极大值之间， 即当时，有三个实数解，所以. 【点睛】导数是研究函数单调性、最值、方程解个数的核心工具，极值是划分图像形态、确定参数范围的关键. 15．已知函数． (1)求过原点且与曲线相切的直线方程； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设切点，求出切线方程，将代入求出即可； （2）根据导函数求出单调性，再根据正负性求出最值. 【详解】（1）设切点为， 因为，所以， 所以在点处的切线方程为， 将点代入得，得， 则过原点且与曲线相切的直线方程为； （2）因为， 所以， 由得或；得； 则在，上单调递增，在上单调递减， 因为当时，或时， 所以的最小值为. 16．已知，设，求证：当时，恒成立. 【答案】要证当时，恒成立 ，， 令，则，当时，， 所以在上单调递增，则. 再令，则，当时，， 所以在上单调递增，则. 又，，则，即， 所以当时，恒成立. 【分析】转化问题为证明时，即可，分别构造和，利用导数研究这两个函数的单调性，再结合，的已知条件，即可得出证明. 【详解】略 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $