专题02 导数及其应用 8考点+16题型+3易错（期末复习知识清单）高二数学下学期人教A版

专题02 导数及其应用 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y',f'(x0)==. (2)函数y=f(x)的导函数f'(x)= 2.导数的几何意义 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处切线的斜率，相应的切线方程为y－y0＝k（x－x0），其中k＝＝f'（x0）. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝0 f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） F'（x）＝αxα-1 f（x）＝sin x f'（x）＝cos x f（x）＝cos x f'（x）＝－sin x f（x）＝ex f'（x）＝ex f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f '（x）＝axln a f（x）＝ln x f'（x）＝ f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝ 4.导数的运算法则 （1）[f（x）±g（x）]'＝f'（x）±g'（x）； （2）[f（x）g（x）]'＝f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）； （3）［］'＝（g（x）≠0）.　 5．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 6.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 7.函数的极值与导数 条件 f'（x0）＝0 x0附近的左侧f'（x）＞　 　0， 右侧f'（x）＜0 x0附近的左侧f'（x）＜0， 右侧f'（x）＞0 图象 极值 f（x0）为极大值 f（x0）为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 【提醒】f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是极值点. 8.函数的最值与导数 （1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值； （2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值. 导数的基本概念 【例1】已知函数，若，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】解法一：函数， 则， 所以，解得． 解法二：，而， 所以，解得．故选A 【变式】若，则 . 【答案】6. 【解析】. 导数的运算 【例2】下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A选项，，A错误； 对于B选项，，B错误； 对于C选项，，C正确； 对于D选项，，D正确. 故选：CD. 【变式】设函数，若，则 ． 【答案】2 【解析】由可得，，所以，解得. 导数的几何意义及应用 【例3】（2022·新高考全国Ⅱ卷T14）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【解析】 因为，当时，设切点为，由， 所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即 【变式】过点（0，3）且与曲线y＝x3－2x＋1相切的直线方程为（　　） A.x－y－3＝0 B.x－y＋3＝0 C.x＋y＋3＝0 D.x＋y－3＝0 【答案】B 【解析】由y＝x3－2x＋1，得y'＝3x2－2，设切点坐标为（x0，－2x0＋1），则切线的斜率k＝3－2，切线方程为y－（－2x0＋1）＝（3－2）（x－x0），由切线过点（0，3），代入切线方程解得x0＝－1，则切线方程为y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0. 由导数的几何意义求参数的值（范围） 【例4】（2025·新课标Ⅰ卷T12）若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 【变式】已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以由题意得， 所以切点，所以，故选：C 不含参函数的单调性 【例5】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 且， 令，解得， 所以的单调递增区间为，故选：D 【变式】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D．和 【答案】B 【解析】的定义域为，且，所以当时，，单调递增，的单调递增区间为，故选B 含参函数的单调性 【例6】（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 【解】因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式】已知，其中为实数，讨论的单调性． 【解】， ①当时，由得 ；由得， 故在上单调递减，在上单调递增； ②当时，由得；由得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，恒成立， 所以在上单调递增； ④当时，由得；由得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 比较大小或解不等式 【例7】已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴，∴在上为增函数， 由得，，解得，故的取值范围是，故选B. 【变式】已知函数，且，则的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，当时，，所以在单调递增， 因为，所以，即，故选D 已知函数单调性求参数 【例8】（2023·新课标Ⅱ卷T6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为．故选C． 【变式】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得在上恒成立，则. 因为，要使得不等式恒成立，则．故选D. 由图象判断函数的极值 【例9】（多选）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y＝（1－x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A.函数f（x）有极大值f（－2） B.函数f（x）有极大值f（2） C.函数f（x）有极小值f（1） D.函数f（x）有极小值f（2） 【答案】AD　 【解析】由图可知，x∈（－∞，－2）时，1－x＞0，且（1－x）f'（x）＞0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（－∞，－2）上单调递增，当x∈（－2，1）时，1－x＞0，且（1－x）f'（x）＜0，则f'（x）＜0，f（x）在区间（－2，1）上单调递减，当x∈（1，2）时，1－x＜0，且（1－x）·f'（x）＞0，则f'（x）＜0，f（x）在区间（1，2）上单调递减，当x∈（2，＋∞）时，1－x＜0，且（1－x）f'（x）＜0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（2，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）的极大值为f（－2），函数f（x）的极小值为f（2）.故选A、D. 【变式】如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数，在区间上是增函数 C．是的极大值点 D．是的极小值点 【答案】A 【解析】根据图象知，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减，故A错误，故B正确； 当时，取得极大值，是的极大值点，故C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故D正确，故选A. 求函数的极值（极值点） 【例10】（2025·新课标Ⅱ卷T13）若是函数的极值点，则 【答案】 【解析】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 【变式】函数在区间的极大值、极小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由题意，得， 当时，，； 当时，，． 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当时，取得极小值，为； 当时，取得极大值，为． 故选：D． 已知函数的极值求参数 【例11】（2024新高考Ⅱ卷T16节选）已知函数．若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围 ． 【答案】 【解】解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 【变式】若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，可得， 若，此时单调递增，无极值点， 故，令，解得， 当时，，当时，， 故是的极值点 由于函数有大于零的极值点， ，解得． 故选：C． 不含参函数的最值 【例12】（2025·新课标1卷T19节选）设函数，则在的最大值 【答案】 【解析】， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 【变式】函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，，即， 在上单调递增，.故选：D. 含参函数的最值 【例13】函数f(x)＝－x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________. 【答案】[－2，1) 【解析】由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增， 故若函数f(x)在(a，10－a2)上存在最大值， 则即－2≤a＜1. 【变式】若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 利用导数证明不等式 【例14】（2024年全国甲卷T20）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【解析】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 【变式】设函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：. 【解】（1）解：函数的定义域为，所以， 当时，即在上单调递减， 故函数单调递减区间为，无单调递增区间； （2）解：当时，， 要证， 即证 即证 设，则     所以当时，时，所以在上单调递增，在上单调递减， 设     则当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增,   所以 又 所以当时， 利用导数研究不等式恒(能)成立问题 【例15】已知函数为自然对数的底数，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【解】当时，恒成立，此时； 当时，问题转化为对任意的恒成立， 令，则， 令， 则， 因为，所以，则在上单调递增， 又因为，故当时，---3分 则在上单调递减； 当时，则在上单调递增， 所以，所以 当时，问题转化为对任意的恒成立， 仿上设函数，则有， 因为，所以，则函数在上单调递减， 所以， 故当时，， 所以函数在上单调递减， 所以，所以 综上所述，的取值范围为． 【变式】已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 【解】由题意得有解，即有解. 令， 则 若，则， 则，符合题意； 若，即，则，不符合题意； 若，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以 解得. 综上，的取值范围为. 导数中的零点问题 【例16】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若只有一个零点，求的取值范围． 【解】（1）函数的定义域为，， ①若，，则在单调递减； ②若，时，，单调递减，时，，单调递增. 综上：时，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增. （2）若，，. 结合函数的单调性可知，有唯一零点. 若，因为函数在上单调递减，在上单调递减，所以要使得函数有唯一零点，只需，解得或. 综上：或或. 【变式】已知函数. (1)当时，求证：最大值小于； (2)若有两个零点，求实数k的取值范围. 【解】（1）当时，， 先证明：，令，其中，则， 当时， ， 所以 在上单调递增，即， 则不等式在上恒成立， 再证明：，令，其中， 则， 则当时， ，当时， ， 所以在上递增，在上递减， 即， 则不等式在上恒成立， 所以有，证毕； （2）由得：， 构造函数，由，因为，所以， 即函数在上单调递增， 由，根据单调性可得： 再构造，则， 则当时， ，当时， ， 所以在上递减，在上递增，即 当时，由，可知， 当，由对数函数没有一次函数增长得快，可知， 而函数有两个零点等价于直线与函数有两个交点， 根据数形结合可得：. 易错01混淆两类切线的概念 【例1】过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【答案】D 【解析】因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或． 【变式】曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 【答案】 【解析】已知，则， 设切点坐标为，则切线斜率为， 此时切线方程为， 因为曲线的一条切线经过点， 所以，即， 因为恒成立，所以，此时切线斜率，切点坐标为， 则该切线方程为，即. 易错02对“导函数值正负”与“函数单调性”关系不清楚 【例2】若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，则 ， 因为在上存在单调递增区间，所以在上有解， 所以当时，有解， 令，而当时，令 ， 即为， 此时(此时)，所以， 故实数a的取值范围为. 【变式】若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】由题意可知：在区间内恒成立， 可得在区间内恒成立， 因为在区间内单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围为. 易错03“导数为0”与“有极值”不等价 【例3】已知函数在处有极值，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】， 因为函数在处有极值， 所以，解得或， 若，时， ，判别式， 所以是极值点，满足条件； 若，时， ，函数在处没有极值，不满足条件． 综上， 所以． 【变式】已知函数在处取得极小值，则___________． 【答案】1 【解析】由，则， 又在处取得极小值，则，解得或， 当时，， 则若时，，此时单调递增；若时，，此时单调递减， 此时在处取得极大值，不满足条件； 当时，， 则若时，，此时单调递减；若时，，此时单调递增， 此时在处取得极小值，满足条件． 综上所述，． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数及其应用 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y',f'(x0)==. (2)函数y=f(x)的导函数f'(x)= 2.导数的几何意义 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处切线的斜率，相应的切线方程为y－y0＝k（x－x0），其中k＝＝f'（x0）. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝0 f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） F'（x）＝αxα-1 f（x）＝sin x f'（x）＝cos x f（x）＝cos x f'（x）＝－sin x f（x）＝ex f'（x）＝ex f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f '（x）＝axln a f（x）＝ln x f'（x）＝ f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝ 4.导数的运算法则 （1）[f（x）±g（x）]'＝f'（x）±g'（x）； （2）[f（x）g（x）]'＝f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）； （3）［］'＝（g（x）≠0）.　 5．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 6.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 7.函数的极值与导数 条件 f'（x0）＝0 x0附近的左侧f'（x）＞　 　0， 右侧f'（x）＜0 x0附近的左侧f'（x）＜0， 右侧f'（x）＞0 图象 极值 f（x0）为极大值 f（x0）为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 【提醒】f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是极值点. 8.函数的最值与导数 （1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值； （2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值. 导数的基本概念 【例1】已知函数，若，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【变式】若，则 . 导数的运算 【例2】下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】设函数，若，则 ． 导数的几何意义及应用 【例3】（2022·新高考全国Ⅱ卷T14）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【变式】过点（0，3）且与曲线y＝x3－2x＋1相切的直线方程为（　　） A.x－y－3＝0 B.x－y＋3＝0 C.x＋y＋3＝0 D.x＋y－3＝0 由导数的几何意义求参数的值（范围） 【例4】（2025·新课标Ⅰ卷T12）若直线是曲线的切线，则 . 【变式】已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 不含参函数的单调性 【例5】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D．和 含参函数的单调性 【例6】（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 【变式】已知，其中为实数，讨论的单调性． 比较大小或解不等式 【例7】已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】已知函数，且，则的大小关系（    ） A． B． C． D． 已知函数单调性求参数 【例8】（2023·新课标Ⅱ卷T6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【变式】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 由图象判断函数的极值 【例9】（多选）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y＝（1－x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A.函数f（x）有极大值f（－2） B.函数f（x）有极大值f（2） C.函数f（x）有极小值f（1） D.函数f（x）有极小值f（2） 【变式】如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数，在区间上是增函数 C．是的极大值点 D．是的极小值点 求函数的极值（极值点） 【例10】（2025·新课标Ⅱ卷T13）若是函数的极值点，则 【变式】函数在区间的极大值、极小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 已知函数的极值求参数 【例11】（2024新高考Ⅱ卷T16节选）已知函数．若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围 ． 【变式】若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 不含参函数的最值 【例12】（2025·新课标1卷T19节选）设函数，则在的最大值 【变式】函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 含参函数的最值 【例13】函数f(x)＝－x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________. 【变式】若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 利用导数证明不等式 【例14】（2024年全国甲卷T20）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【变式】设函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：. 利用导数研究不等式恒(能)成立问题 【例15】已知函数为自然对数的底数，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【变式】已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 导数中的零点问题 【例16】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若只有一个零点，求的取值范围． 【变式】已知函数. (1)当时，求证：最大值小于； (2)若有两个零点，求实数k的取值范围. 易错01混淆两类切线的概念 【例1】过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【变式】曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 易错02对“导函数值正负”与“函数单调性”关系不清楚 【例2】若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式】若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______. 易错03“导数为0”与“有极值”不等价 【例3】已知函数在处有极值，则（    ） A． B． C． D．或 【变式】已知函数在处取得极小值，则___________． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $