第五章 一元函数的导数及其应用（知识清单）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学“一元函数的导数及其应用”知识清单系统涵盖导数的概念、几何意义、基本公式、运算法则、复合函数导数，以及单调性、极值、最值的判定与应用等核心内容，构建从基础概念到实际应用，结合易错点分析与分层练习的递进式学习支架。 清单通过表格梳理基本初等函数导数公式，分类标注三大易错点（如“在一点与过一点的切线问题”对比解析），例题与练习题分级对应知识点，体现知识体系的完整性和条理性。借助易错点推理分析培养数学思维，分层练习设计助力数学语言表达，既便于学生自主系统复习，也为教师精准教学提供实用辅助。

第五章一元函数的导数及其应用 1.导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′. f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x). 5.复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 6.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 7.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 8.函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 9.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 易错点1 混淆在一点与过一点的切线问题 错误：求切线问题时看错题中的问法 注意：求解时注意是在一点还是过一点 例题1 已知函数，点. (1)求在点处的切线方程； (2)求过点的切线方程. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程； （2）设切点为，求得切线的斜率，可得切线的方程，代入 ，解方程可得，即可得到所求切线的方程. 【详解】（1）函数的导数为， 可得在点处的切线斜率为， 切线方程为， 所以在点处的切线方程为； （2）设切点为，即，可得切线的斜率为， 切线的方程为， 代入点，可得， 化为， 即为， 解得或， 当时，切点为，故切线斜率为，则切线方程为，即， 当时，切点为，故切线斜率为，则切线方程为，即， 所以过点的切线方程为或. 例题2 （1）已知函数，求曲线在处的切线的斜率与方程； （2）已知函数，求过点且与曲线相切的直线方程． 【答案】（1）切线斜率为，方程为；（2） 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线斜率和方程； （2）设出切点，由点斜式方程得到所求切线的方程，代入，解方程可得切点，进而得到切线方程. 【详解】（1）， ，， 所以曲线在处的切线的斜率为， 切线方程为即. （2），设切点坐标为，则， 则所求切线方程为， 代入点的坐标得，解得， 则过点且与曲线相切的直线方程为，即. 易错点2 混淆函数的单调区间与函数在区间上的单调性 错误：混淆函数的单调区间与函数在区间上的单调性 注意：注意函数的单调区间和函数在指定区间上单调性的区别 例题3 已知函数． (1)若的单调减区间是，求实数的值； (2)若在上为严格减函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导后，由题意可得的解集为，从而可求出实数的值； （2）由题意可得在上恒成立，转化为在上恒成立，利用函数的范围，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）由， 得， 因为的单调减区间是， 所以的解集为， 所以方程的两个根为0和4，且， 所以，解得； （2）因为在上为严格减函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为在上单调递减， 所以，所以， 因为，所以， 即实数的取值范围为. 例题4 已知函数. (1)若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数的单调递减区间是，求实数a的值； (3)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出导函数，进而转化为导数恒大于等于0，然后求出a的范围； （2）根据题意，-1和1应该是导函数的零点，进而解出答案； （3）由题意，导函数在区间上恒小于等于0，进而解得答案. 【详解】（1）易知. 因为在R上单调递增，所以恒成立，即恒成立， 故. 经检验，当时，符合题意，故实数a的取值范围是. （2）由（1），得. 因为的单调递减区间是，所以不等式的解集为， 所以-1和1是方程的两个实根，所以. （3）由（1），得. 因为函数在区间上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 又函数在上的值域为，所以. 故实数a的取值范围是. 易错点3 由函数的极值求参数时没有验证结果 错误：由函数的极值求参数时没有验证结果 注意：利用条件求得的结果需要验证，否则可能会有不合题意的结果产生 例题5 已知函数在处有极值0，则的值为 ． 【答案】11 【分析】根据，解得或，再验证函数在时是否取得极值，即可得解． 【详解】因为，所以， 由题意可知，，即，解得或， 当时，， 函数为上的递增函数，此时函数无极值，不合题意； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在和上递增，在上递减， 所以在时取得极大值，符合题意，所以， 故答案为：11． 例题6 已知函数在处取得极小值，则的值为 ． 【答案】 【分析】将函数求导，依题可得，求得或，代入函数式，进行检验，舍去，即得结论. 【详解】由求导，， 依题意，，即，解得或. 当，时，，， ， 当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增， 即时，函数取得极小值，符合题意，此时； 当，时，，， 因 ， 即函数在上为增函数，无极值，与题意不符，舍去. 故答案为：. 四、易错点04区别在一点与过一点的切线问题 1、已知曲线，点是曲线上一点． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，由导数可得切线的斜率，即可根据点斜式求解直线方程， （2）设切点，根据导数得，结合两点斜率公式即可求解，进而可求解. 【详解】（1），切线的斜率， 切线方程为，即． （2）不在曲线上． 设切点为，则切线的斜率． 又切线的斜率，，即， ，， 切线方程为，即． 2、已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点处的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由导数的几何意义可知在点处的切线的斜率为，利用导数的运算法则求得， 再利用直线的点斜式即可求得在点处切线方程； （2）注意是过点，所以首先要设切点坐标，利用直线的点斜式写出切线方程，再结合过点求出切点坐标， 代入即可得过点处的切线方程. 【详解】（1）函数 的导函数为 ，则， 由导数的几何意义可知在点处的切线的斜率为，又， 由直线的点斜式方程可得切线方程为，即； （2）设切点坐标为，且，由（1）知， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 ， 由切线经过点，代入可得， 化简得 解得 或，又， 结合切线过点可得切线的方程为 或 . 3、已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，然后在某点处的切线方程即可； （2）设切点，然后由导数的几何意义求出切线的斜率，求解切线的方程即可. 【详解】（1）. . 在处的切线方程为，即. （2）设所求直线与曲线相切于点， 则曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为. 因为切线过点，所以， 解得或，则或. 故所求直线方程为或. 4、已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程： (3)求斜率为4的曲线的切线方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）求导，根据导数几何意义求出切线的斜率，写出切线的点斜式方程，再化为一般式方程即可； （2）设，求出切线方程，代入点，建立关于的方程，解方程的的值，从而得出斜率，写出切线的点斜式方程，再化为一般式方程即可； （3）设切点，根据导数几何意义求出切线的斜率，令斜率等于4，求出方程的解即可得到切点的横坐标，从而得出切点坐标，写出切线的点斜式方程，再化为一般式方程即可． 【详解】（1）在曲线上，且， 在点处的切线的斜率为． 曲线在点处的切线方程为，即； （2）设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率， 切线方程为， 点在切线上，， ， 解得或，所以或 故所求的切线方程为或． （3）设切点为， 则切线的斜率为，．切点为， 切线方程为或， 即或． 5、已知函数，在处取得极值． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)4047 (2) (3)或 【分析】（1）首先由极值的定义列方程求得参数的值，再由平均变化率的公式即可求解； （2）依次求出的值即可求解； （3）首先设出切点坐标，利用可求出切点坐标，由此即可进一步求解. 【详解】（1），因为在处取得极值， 所以，解得， 经检验符合题意， 所以， 在区间上的平均变化率为 . （2）由（1）可知，， 从而， 所以曲线在点处的切线方程为,即. （3）设切点为， 则由可得，，即， 解得或， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，显然它过点， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，即，显然它过点， 综上所述，满足题意的切线方程为或. 6、已知曲线，设点坐标为， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程． (3)若曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标 【答案】(1) (2)或 (3)或. 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，再将点代入切线方程中，求出，即可求出切线方程； （3）设，表示出曲线在点处的切线，联立直线与，根据求出，即可求出点的坐标. 【详解】（1）由，可得， 所以， 则曲线在点处的切线方程为，即； （2）设切点为，则， 所以切线方程为，即， 又切线过点，所以，即， 即，即， 即，即，解得或， 则切线方程为或， 所以过点的切线方程为或. （3）设，则，， 所以曲线在点处的切线为， 又曲线在点处的切线与曲线相切， 由，可得， 则，解得或， 则或， 所以或. 五、易错点05混淆函数的单调区间与函数在区间上的单调性 7、已知函数. (1)若在R上为增函数，求a的取值范围； (2)若在上为增函数，求a的取值范围； (3)若在上为减函数，求a的取值范围； (4)若的单调递减区间为，求a的值； (5)若在上不单调，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用导数的正负与函数的单调性之间关系，即可由导数的正负确定单调性. 【详解】（1）因为在R上为增函数，所以在R上恒成立． 所以对恒成立．因为，所以. 又因为时，，在R上为增函数， 所以的取值范围是． （2）因为，且在上为增函数， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 因为，所以，即的取值范围是. （3）因为，且在上为减函数， 所以在上恒成立， 因为，所以， 所以，所以a的取值范围是. （4）. ①当时，，故在R上为增函数，不满足题意； ②当时，由得，解得 . 故的递减区间为. 由题意得，解得. （5）. ①当时，，故在R上为增函数，不满足题意； ②当时，因为在上不单调， 所以在内有解，所以，解得； 所以a的取值范围是. 8、已知函数． (1)若函数在上存在单调增区间，求实数的取值范围． (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）即有解，参变分离得，最后根据二次函数性质求最值，即得实数的取值范围．（2）即恒成立，参变分离得，最后根据二次函数性质求最值，即得实数的取值范围． 【详解】（1）， 由于在上存在单调增区间，故，， ∴，由于在单调递增，且当 时， ∴ （2）， 由于在单调递增，故在 单调递增， 当时， ， ∴． 9、已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 【答案】（1）；（2）3. 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案； （2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案 【详解】（1）因为，且在区间上为增函数， 所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立， 所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是 （2）由题意知.因为，所以. 由，得， 所以的单调递减区间为， 又已知的单调递减区间为， 所以 ， 所以，即. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题. 六、易错点06由函数的极值求参数时没有验证结果 10、已知函数在处取得极大值，则 . 【答案】/ 【分析】根据极值与极值点的定义可得解. 【详解】由， 得， 则， 解得或， 当时，，， 此时函数在，上单调递增，在上单调递减， 即函数在处取极小值，不成立； 当时，，， 此时函数在，上单调递增，在上单调递减， 即函数在处取极大值，成立； 综上所述， 故答案为：. 11、函数在时有极小值，则 ． 【答案】 【分析】根据题给条件列等式，解方程组即可得解，再分别代入，判断时是否取极小值，将不符题意的舍去，再计算的值即可. 【详解】由题意，则，则， 两式作差消去整理得，得或. 当时，；时，. ①当，时， 或时，，时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 则在时有极小值，符合题意. ②，时， 在上单调递增，在单调递减， 则在时有极大值，不符合题意. 所以，，则. 故答案为：. 12、函数在时有极小值0，则 ． 【答案】11 【分析】利用导函数与函数的单调性、极值的关系求解. 【详解】因为， 所以， 因为函数在时有极小值0， 所以，① ，② 联立①②解得或， 当时，， 则函数在上单调递增，无极值，不满足题意； 当时，， 由解得或，由解得， 函数在单调递增，单调递减，单调递增， 满足函数在时有极小值， 所以， 故答案为：11. 13、已知函数在处有极值8，则等于 ． 【答案】 【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可． 【详解】 若函数在处有极值8，则即 解得：或， 当时，，此时不是极值点，故舍去； 当时，， 当或时，，当，故是极值点， 故符合题意， 故， 故. 故答案为：. 14、已知函数在处取得极值，且极值为0，则 ． 【答案】 【分析】根据题意求得或，代入，利用导数求得函数的单调性，结合极值点的概念，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 函数在处取得极值，且极值为0， 可得，解得或， 当时，，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得极值，符合题意． 综上所述，，所以． 故答案为：. 15、若函数的极小值为0，则的值为 【答案】 【分析】求导后，对分类讨论求极小值，结合已知极小值可得解. 【详解】 , 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在时，取得极小值， 所以，解得或（舍去）； 当时，恒成立，为增函数，无极值，不合题意； 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在时，取得极小值， 所以，得（舍去）. 综上所述：. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章一元函数的导数及其应用 1.导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′. f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x). 5.复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 6.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 7.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 8.函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 9.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 易错点1 混淆在一点与过一点的切线问题 错误：求切线问题时看错题中的问法 注意：求解时注意是在一点还是过一点 例题1 已知函数，点. (1)求在点处的切线方程； (2)求过点的切线方程. 例题2 （1）已知函数，求曲线在处的切线的斜率与方程； （2）已知函数，求过点且与曲线相切的直线方程． 易错点2 混淆函数的单调区间与函数在区间上的单调性 错误：混淆函数的单调区间与函数在区间上的单调性 注意：注意函数的单调区间和函数在指定区间上单调性的区别 例题3 已知函数． (1)若的单调减区间是，求实数的值； (2)若在上为严格减函数，求实数的取值范围． 例题4 已知函数. (1)若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数的单调递减区间是，求实数a的值； (3)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围. 易错点3 由函数的极值求参数时没有验证结果 错误：由函数的极值求参数时没有验证结果 注意：利用条件求得的结果需要验证，否则可能会有不合题意的结果产生 例题5 已知函数在处有极值0，则的值为 ． 例题6 已知函数在处取得极小值，则的值为 ． 1、已知曲线，点是曲线上一点． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程． 2、已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点处的切线方程. 3、已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 4、已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程： (3)求斜率为4的曲线的切线方程. 5、已知函数，在处取得极值． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程． 6、已知曲线，设点坐标为， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程． (3)若曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标 7、已知函数. (1)若在R上为增函数，求a的取值范围； (2)若在上为增函数，求a的取值范围； (3)若在上为减函数，求a的取值范围； (4)若的单调递减区间为，求a的值； (5)若在上不单调，求a的取值范围． 8、已知函数． (1)若函数在上存在单调增区间，求实数的取值范围． (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 9、已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 10、已知函数在处取得极大值，则 . 11、函数在时有极小值，则 ． 12、函数在时有极小值0，则 ． 13、已知函数在处有极值8，则等于 ． 14、已知函数在处取得极值，且极值为0，则 ． 15、若函数的极小值为0，则的值为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $