第二十二章 图形的相似 单元测试基础卷 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 华东师大九年级上册“图形的相似”单元基础卷，以相似图形性质与判定为核心，融合杠杆原理、测量实践等真实情境，适配单元复习，强化几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|比例线段、相似三角形判定与性质、位似变换|结合杠杆原理（第6题）考查相似应用，强化模型意识| |填空题|4/20|平行线分线段成比例、坐标与图形性质|以影子测量（第13题）体现生活联系，发展应用意识| |解答题|6/60|相似作图、坐标变换、测量实践（镜子/标杆法）|综合实践题（第19-20题）融合光的反射与平行投影，培养几何直观与推理能力|

华东师大九年级上册 第二十二章 图形的相似 单元测试基础卷 一、单项选择题（每小题4分，满分40分） 1．下列给出的四条线段，是成比例线段的为(　　). A．1 cm，2cm ，3c m，4 cm B．1 cm，2cm ，3c m，6 cm C．cm， cm， cm， cm D．1 cm，3cm，4 cm，7 cm 2．如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形.若要使每一个矩形与原矩形相似，则 的值为(　　) A． B． C． D． 3．如图，点D在△ABC的BC边上，△ABC∽△DBA，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．∠BAD=∠ADC 4．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（　　） A． B． C． D． 5．已知，，若的周长是，则的周长是（　　） A． B． C． D． 6． 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（　　） A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm 7．如图，在正方形网格图中， △ABC与△A'B'C'是位似图形，且△ABC和△A'B'C'的顶点均在格点上，则位似中心是(　　) A．点R B．点O C．点Q D．点P 8．若轴上有一个点，到轴的距离为，则点的坐标为（　　） A． B． C．或 D． 9．如图，菱形 ABDC的顶点A (-1， 0) ， B (3， 0)在 x轴上，点 C在 y轴正半轴上，那么菱形 ABDC的面积是(　　) A．16 B． C．12 D． 10．如图，在正方形中，点在边上且，连接．点为边上一点，过点作于点，交于点，点在边上，连接，，，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题5分，满分20分） 11．如图，直线，如果，那么的长是　 　． 12．如图，点P的坐标是　 　． 13．如图身高为1.6m的学生想测一棵大树的高度，他沿着树影BA由B 向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为　 　m. 14．如图，在 中， AD平分∠BAC交BC于点D，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，连结AE，若BE=5BC=10， 则DE= 　 　. 三、解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 15．在的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围） 16．在如图所示的平面直角坐标系中，线段AB的顶点坐标分别为A(-2，5)，B(4，1). （1）请在图中画出线段AB； （2）在(1)的条件下，将线段AB先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到线段CD，并写出点C的坐标.(点A、B的对应点分别为点C、D) 17．如图，在中，点P，D分别在边，上，，垂足为A，，垂足为P，且． （1）求证： （2）如果，，求的长． 18． 如图， 在 中，AD平分 ， E是AB上一点， 且. （1） 求证： （2） 若.AC=4，AD=6，BE=3， 求AE， BD 的长. 19．某校数学综合实践小组运用所学知识测量物体的高度． （1）如图1，小明将镜子放在距离旗杆底部的点处（即），然后看着镜子沿直线前后移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与点重合，此时小明同学站在点处，测得，若小明的眼睛离地面的高度为，求旗杆的高度．（温馨提示：测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，） （2）已知在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．如图2，小东发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为3.5米，落在地面上的影长为6米，求树的高度． 20．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级(2)班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： 【实地测量】 （1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE=∠ACB.小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度DE=1.5米，小康到镜面的距离EC=3米，镜面到旗杆的距离CB=15米.求旗杆的高度AB. （2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C 和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度DE=1.5米，标杆高CF=4米，EF=3米，BF=9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH 与水平面平行.求旗杆的高度AB. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】比例线段 【解析】【解答】解：A、2×3≠1×4，故A错误，不符合题意； B、2×3=1×6，故B正确，符合题意； 故C错误，不符合题意； D、3×4≠1×7，故D错误，不符合题意. 故选： B. 【分析】根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有 可得ad=bc，再逐项判断即可. 2．【答案】B 【知识点】相似多边形 【解析】【解答】解：∵四个矩形全等，每一个矩形与原矩形相似， 故选： B. 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可. 3．【答案】C 【知识点】相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：， ，，，， A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意， 故答案为：C． 【分析】根据相似三角形的对应边成比例，且对应角相等，逐项判断解答即可． 4．【答案】B 【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 即建筑物的高是． 故选：B． 【分析】根据直线平行判定定理可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案. 5．【答案】B 【知识点】相似三角形的性质-对应周长 【解析】【解答】解：∵，且， ∴相似比为， ∴周长比为， ∵的周长是， ∴的周长是， 故选：． 【分析】根据相似三角形性质即可求出答案. 6．【答案】B 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：由图可知：∠A=∠B=90∘，∠AOC=∠BOD（对顶角相等）， ∴△ACO∽△BDO。 根据相似三角形对应边成比例： 已知OA=150cm，OB=50cm，BD=20cm， 代入：， ， AC=60cm . 故答案为：B . 【分析】由两个直角、一组对顶角相等，判定两个直角三角形相似；由相似三角形对应边成比例列等式，代入已知线段长度解方程求出AC，由直角 + 对顶角相等，证△ACO∽△BDO；由相似三角形边长比例关系建立方程；代入数值计算得到AC长度. 7．【答案】B 【知识点】位似变换 【解析】【解答】解：连接AA'，BB'，交点即为位似中心，如图 由图可得位似中心是点O 故答案为：B 【分析】连接AA'，BB'，交点即为位似中心，即可求出答案. 8．【答案】C 【知识点】点的坐标 【解析】【解答】解：∵ 点在轴上， ∴ 点的纵坐标为， ∵ 点到轴的距离为， ∴ 点的横坐标为或， ∴ 点的坐标为或． 故答案为：C. 【分析】 已知点P在x轴上，因此点P的纵坐标一定为0；同时平面直角坐标系中，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，结合这两个条件就可以完成求解. 9．【答案】B 【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质 【解析】【解答】解：∵菱形ABDC的顶点A(-1，0)，B(3，0)， ∴AB=3-(-1)=4． ∵四边形ABDC是菱形， ∴AC=AB=4． 设点C的坐标为(0，y)（y>0），在Rt△AOC中，OA=1，AC=4， 由勾股定理得，即菱形的高为． ∴菱形面积． 故答案为：B． 【分析】先根据A，B两点的坐标，求出菱形的边长AB=4；再利用菱形的边长相等，得到AC=4，在Rt△AOC中，用勾股定理求出菱形的高；最后根据菱形面积公式（底×高），计算出面积为． 10．【答案】C 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA 【解析】【解答】解：设正方形的边长为， ， ， 在中，， 四边形是正方形， ，， 过点作交于点K， ，，， ，四边形是平行四边形， ，，， ， （） ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 过点作于点，过点作，连接交的延长线于点， ，，， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ，， ，， ，， （） ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：C. 【分析】设出正方形边长为3a，过点作交于点K，然后根据正方形的性质，利用AAS得到，再根据平行四边形的性质得出，根据相似三角形的性质求出的长度，利用等腰三角形的性质求出的长，进而求出、的长，即可得到点是三等分点；过点作于点，过点作，连接交的延长线于点，再根据AAS得到，求出，的长，利用勾股定理出的长解答即可. 11．【答案】14 【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为14． 【分析】 已知 ，由此可以推出 ，又因为ABCDEF，根据平行线分线段成比例定理可得 ，根据这个比例关系即可求解本题. 12．【答案】 【知识点】点的坐标 【解析】【解答】解：由坐标系可得点P的坐标是． 故答案为： 【分析】平面直角坐标系坐标读取规则：过点向x轴作垂线，垂足对应的数字为横坐标；向y轴作垂线，垂足对应的数字为纵坐标，坐标书写格式为(横坐标，纵坐标)；观察图像，点P向x轴垂线交于数字2，向y轴垂线交于数字1；组合横纵坐标写出点P坐标. 13．【答案】8 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：设树的高度为h米， 则， 解得x=8， 故答案为，8 . 【分析】根据同一时刻物体与影长成正比解答即可. 14．【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：设BD=x， ∵BE=5BC=10， ∴DE=10-x， EC=8， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E， ∴AE=DE=10-x， ∴∠EAD=∠EDA， 即 整理得： 解得： 不合题意，舍去)， 则 故答案为： 【分析】设BD=x，根据题意用x表示出DE，根据线段垂直平分线的性质得到AE=DE，得到∠EAD=∠EDA，根据角平分线的定义、三角形的外角性质得到∠EAC=∠B，证明△AEC∽△BEA，根据相似三角形的性质列出比例式，求出x，进而求出DE. 15．【答案】解：如图(1)所示，即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴， ∴即为所求； 如图(2)所示，即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴， ∴即为所求． 【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；作图﹣相似变换 【解析】【分析】（1）根据相似三角形判定定理，结合勾股定理作图即可. （2）根据相似三角形判定定理，结合勾股定理作图即可. 16．【答案】（1）解：见解析； （2）解：作图见解析；点C的坐标为(-5，1). 【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移 【解析】【解答】解：（1）如图，在平面直角坐标系中，描出点A(-2，5)与点B(4，1)，连接AB，即得线段AB. （2）如图，将点A(-2，5)与点B(4，1)分别向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点 C与点D，连接CD. 点C横坐标： - 2-3=-5，点C纵坐标： 5-4=1， ∴ 点C的坐标为(-5，1). 【分析】(1)根据点的坐标在坐标系中描出点A、B，再连接两点画出线段AB； (2)根据平移规律“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”，计算平移后点C的坐标并画出线段CD. 17．【答案】（1）证明：∵，， ∴． 又， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴∠B=∠C ∴AB=AC ∵， ∴AD=1 ∵∠APD=∠C，∠PAD=∠CAP ∴△APD∽△ACP ∴，即 解得： 【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】（1）根据相似三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案. （2）根据相似三角形性质可得∠B=∠C，根据等角对等边可得AB=AC，根据边之间的关系可得AD=1，再根据相似三角形判定定理可得△APD∽△ACP，则，代值计算即可求出答案. 18．【答案】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，即，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：． 【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得到，即可得到、然后根据三角形外角得到，再结合，根据两角对应相等的两三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例求出；然后推理证明，根据对应边成比例解答即可． 19．【答案】（1）解：∵法线，，∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． （2）解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，则有， ， 解得：， ∴树的高度为． 【知识点】相似三角形的实际应用；平行投影 【解析】【分析】（1）由题意易得，根据相似三角形的性质可得，，即可求解； （2）设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．则有，解得，根据题意，求解即可． （1）解：∵法线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． （2）解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米． 则有， ， 解得， ∴树的高度为． 20．【答案】（1）解：∵∠DCE=∠ACB， ∠DEC=∠ABC=90°， ∴AB=7.5. 答： 旗杆的高度AB为7.5米. （2）解：∵DE， CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行， ∴∠CGD=∠AHD=90°， GF=BH=DE=1.5米. ∵∠CDG=∠ADH， ∴△CDG∽△ADH.∴ ∵CG=CF-GF=4-1.5=2.5(米)， DG=EF=3米， DH=BF+EF=9+3=12(米)， ∴AB=AH+BH=10+1.5=11.5(米). 答：旗杆的高度AB为11.5米. 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【分析】（1）首先根据镜面反射的等角条件，结合人与旗杆均垂直于地面得到的两个直角，依据两角分别相等的两个三角形相似，证明；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，代入已知线段长度，通过计算求出旗杆AB的高度。 （2）先根据所有竖直线段均垂直于地面、DH平行于水平面的条件，构造出两个直角三角形，结合公共角证明；先计算出标杆高出人眼的长度CG，以及两个三角形对应的水平边长DG与DH，代入相似三角形的比例式求出AH的长度；最后将AH与人眼高度BH相加，得到旗杆AB的总高度。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $