江苏省如皋中学2026-2027学年高三上学期数学周练3（8.14）

**基本信息** 高三数学滚动练习，涵盖函数性质、复数运算、概率统计等核心知识，解答题结合AI作物健康系统情境，考查数学建模与数据分析能力，体现数学思维与现实应用的融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数单调性、复数几何意义、二面角计算|基础概念与空间想象结合，如第7题将二面角转化为平面几何问题| |多选题|3/18|统计百分位数、函数定义域与奇偶性|辨析性强，如第9题考查回归直线与独立事件的概念辨析| |填空题|3/15|对数运算、幂函数性质、函数值域|多知识点综合，如第14题结合偶函数性质与换元法求值域| |解答题|2/27|函数奇偶性应用、概率分布列与递推关系|情境真实，如第16题以AI作物识别为背景，考查分布列与准确率递推，体现数学建模与数据分析素养|

如皋中学高三数学滚动练习3 一、单选题 本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．复平面上点对应复数，将点绕原点顺时针旋转，再关于虚轴对称，所得点对应复数，则（     ） A． B．2 C． D．4 4．函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 5．已知a，，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 7．已知二面角的大小为，，，若，点到平面的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．下列说法正确的有（    ） A．一组数据1，3，3，4，5，6，7，8的第40百分位数为4 B．对于回归直线方程，若每增加1个单位，一定增加0.5个单位 C．若事件，满足，则事件，是对立事件 D．若事件，满足，则事件，相互独立 10．下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 11．已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于对称 D． 三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，用和表示__________. 13．已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 14．已知函数是偶函数，则____________，函数对于恒有成立，函数，则函数值域是__________________________. 四、解答题 本题共2小题，共27分。 15．（13分）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 16．（14分）某农业科技公司开发了一套AI作物健康系统，每天对于、、三种经济作物进行病虫害识别．系统识别的准确率分别为，，，且三种作物的识别结果相互独立． (1)求第一天AI系统识别准确的作物数量的分布列及均值； (2)针对AI作物健康系统：若前一天识别准确，则第二天识别准确的概率为；若前一天识别错误，则第二天识别准确的概率为．公司规定：当作物的识别准确率不低于时，继续使用当前模型；否则更换此模型．问：一个检测模型最多可以连续使用多少天？参考数据：，． 如皋中学高三数学滚动练习3 一、单选题 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以. 2．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，分别将三个数和比较大小，再对比的大小即可得到结果. 【详解】由于函数在上单调递增，函数在上单调递减，那么 ，即, ，,即， 所以，. 3．复平面上点对应复数，将点绕原点顺时针旋转，再关于虚轴对称，所得点对应复数，则（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用复数变换的保模性及共轭复数的模的性质可直接求解，也可通过逆运算求出原复数后再计算模. 【详解】方法一：由题意可知：， 所以； 方法二：点对应复数，坐标为；关于虚轴对称得点坐标为， 可得坐标为，对应复数， 则，所以. 4．函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】令指数为，可得定点坐标，将其坐标代入到方程中，可得，由，，利用均值不等式求解即可. 【详解】由题，令，可得，则， 所以函数图象恒过定点， 代入方程，可得，则， 因为， 所以， 当且仅当时，可得的最小值为， 5．已知a，，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，则，所以， 又因为增函数，所以；当，即， 则，当时，， 当时，不在定义域内； 综上“”是“”的充分不必要条件. 6．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，所以， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以是以为周期的函数， . 7．已知二面角的大小为，，，若，点到平面的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】通过作垂线将空间问题转化为平面问题，先利用二面角的平面角求出斜线的长度，再在另一个直角三角形中由已知角计算目标线段. 【详解】过点A作平面，垂足为O，由题意得. 因为平面，所以. 过O作，连接AH. 因为平面，，所以平面. 则，因此是二面角的平面角，即. 在中，. 在，，因此.    8．设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得 ，把零点个数问题转化为求解函数的图象与直线的交点个数问题. 【详解】令可得 当时，，联立方程可得，解得， 此时仅一个交点； 当时，，联立方程解得， 此时仅一个交点； 当时，，由图象可知仅有一个交点， 综上所述，函数的图象与直线有3个交点. 二、多选题 9．下列说法正确的有（    ） A．一组数据1，3，3，4，5，6，7，8的第40百分位数为4 B．对于回归直线方程，若每增加1个单位，一定增加0.5个单位 C．若事件，满足，则事件，是对立事件 D．若事件，满足，则事件，相互独立 【答案】AD 【分析】对A，根据百分位数计算规则，算出，非整数时向上取整，对应位置的数据即为第百分位数；对B，回归直线斜率刻画的是预报值的平均变化，不是真实值的确定性变化，据此判断选项正误；对C，对立事件需要同时满足互斥且概率之和为 1，仅有概率和为 1 不能判定两事件对立；对D：利用条件概率公式展开与，令二者相等化简，推导出完成判定. 【详解】对于A：该组数据共8个，已从小到大排序，计算得，不是整数，向上取整为4， 即第40百分位数为第4个数据4，故A正确； 对于B：回归直线方程中的是的估计值，每增加1个单位时，平均增加0.5个单位，并非一定增加0.5个单位，故B错误； 对于C：对立事件需要同时满足两个条件：①互斥（），②， 仅给出无法推出是对立事件，故C错误； 对于D：根据条件概率公式，，， 可得，化简得，即相互独立，故D正确. 10．下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【分析】根据函数的概念和性质依次判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不表示同一函数，故A错误； 对于B，由，可得，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，由，得，联立解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，得，则，可得的定义域为，故D正确． 11．已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于对称 D． 【答案】ABD 【分析】利用函数是偶函数及可得；利用可得的图象关于点中心对称；利用，可得；利用得，再利用即可计算. 【详解】对于选项A，由是偶函数得， 又因为，所以，则，即. 所以，所以的一个周期为，故A正确； 对于选项B，由得，所以的图象关于点对称，故B正确； 对于选项C，由得，即. 由得，即. 因为，所以，即的图象不关于对称，故C错误； 对于选项D，由得，即. 所以，即. 由得，所以函数的周期为. 所以，故D正确. 三、填空题 12．已知，用和表示__________. 【答案】 【分析】根据指数式化为对数式及换底公式，对数的运算性质可得. 【详解】由，得，所以. 故答案为：. 13．已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【详解】由题可设幂函数，则，即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 14．已知函数是偶函数，则____________，函数对于恒有成立，函数，则函数值域是__________________________. 【答案】 / 【分析】由偶函数满足求；由恒成立，比较的系数和常数项求；再将化为，换元求的值域． 【详解】因为是偶函数，所以． 又，所以，即． 整理得对任意恒成立，所以． 由，得，． 因为对任意恒成立，所以，，解得． 于是，所以． 因此． 令，则，且． 所以． 当时，单调递增，所以． 因此函数的值域为． 四、解答题 15．已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) (3)当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 【分析】（1）利用奇函数性质求参数，再验证即可； （2）由单调性得其最小值，将存在性条件转化为在给定区间的最小值不小于该值，换元后求二次函数最值； （3）将表达式代入不等式，由于分母恒正可直接去分母，对参数分类讨论，解指数不等式. 【详解】（1）因为是奇函数，定义域为，由奇函数性质， 代入得， 验证可得，满足奇函数定义，故. （2）已知，可知是上的增函数. 当时，的最小值为. 对任意，存在使， 等价于在上的最小值大于等于在上的最小值. 令，，则， ，是开口向上的二次函数，对称轴， 则最小值为， 令，即实数的取值范围为. （3）由（1）知，是定义域为的奇函数，得，因此. 将代入得，已知对任意，都有， 不等式两边同乘正数，整理得，对系数分类讨论： ①：若，不等式变为，恒成立； 若 ，，不等式变形为，此时右边，而恒成立，不等式恒成立. 因此，当时，解集为. ②：此时，不等式变形为，由于， 因此右边，而恒成立，不等式无解 因此，当时，解集为空集. ③：此时，不等式变形为，此时， 对不等式两边以3为底取对数得. 因此，当时，解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 16．某农业科技公司开发了一套AI作物健康系统，每天对于、、三种经济作物进行病虫害识别．系统识别的准确率分别为，，，且三种作物的识别结果相互独立． (1)求第一天AI系统识别准确的作物数量的分布列及均值； (2)针对AI作物健康系统：若前一天识别准确，则第二天识别准确的概率为；若前一天识别错误，则第二天识别准确的概率为．公司规定：当作物的识别准确率不低于时，继续使用当前模型；否则更换此模型．问：一个检测模型最多可以连续使用多少天？参考数据：，． 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)3天 【分析】（1）判断的可能取值，根据概率加法公式及独立事件的概率乘法公式计算对应的概率，即可得到分布列；代入数学期望公式即可求出均值. （2）根据递推关系及等比数列定义求出，进而得到关于的不等式，结合指数与对数的互化及对数的运算求解即可. 【详解】（1）依题设可知，第一天AI系统识别准确的作物数量可能取值为0，1，2，3， 又系统识别的准确率分别为，，，且三种作物的识别结果相互独立． 所以， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 均值． （2）设为第天作物识别准确的概率， 由题意得递推关系， 所以， 又，所以是以为首项、为公比的等比数列， 所以数列的通项为， 令，整理得，化简得， 即， 又，的最大值为3， 故一个检测模型最多可以连续使用3天． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $