27.1 反比例函数的概念 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦九年级上册“反比例函数的概念”，通过回顾一次函数、二次函数“现实世界—抽象概念”的研究流程，结合京沪高铁速度与时间、矩形草坪边长关系等现实问题，引导学生分析变量关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，从常量变量辨析到解析式归纳，培养数学眼光（抽象现实数量关系）、数学思维（归纳推理形成概念）、数学语言（用模型表达变量关系）。如通过“xy=123”辨析反比例函数，课堂练习结合物理电压电流关系，小结梳理概念形成过程，助力学生建立函数与现实的联系，也为教师提供结构化教学方案。

第二十七章　反比例函数 27.1　反比例函数的概念 新课导入 　　问题 1　在此之前，我们是怎样研究一次函数、二次函数的？ 　　研究函数的一般方法和思路“现实世界—抽象概念—图象性质—实 际问题”． 现实世界→抽象概念 具体问题—用函数的眼光分析变量关系— 抽象共同特征—获得一类函数的概念． 新知探究 　　思考：下列问题中，有哪些常量和变量？变量之间具有函数关系吗？ 　　（1）京沪高铁全程为 1 318 km，某次列车的平均速度 v（单位：km/h） 随此次列车的全程运行时间 t（单位：h）的变化而变化； 　　（2）某住宅小区要种植一块面积为 1 000 m2 的矩形草坪，草坪相邻 两边的一边长 y（单位：m）随另一边长 x（单位：m）的变化而变化； 　　（3）李明计划在一段时间内使用完 5 GB 手机流量，平均每天使用 的流量 Q（单位：GB）随使用完流量的总时间 t（单位：天）的变化而 变化． 新知探究 　　（1）京沪高铁全程为 1 318 km，某次列车的平均速度 v（单位：km/h） 随此次列车的全程运行时间 t（单位：h）的变化而变化； 　　解：常量为 1 318，变量为 t 与 v． 　　有两个变量 t 与 v，当一个变量 t 变化时，另一个变量 v 随着 t 的变 化而变化，而且对于 t 的每一个确定的值，v 都有唯一确定的值与其对应． 所以变量 t 与 v 之间具有函数关系． 新知探究 　　（2）某住宅小区要种植一块面积为 1 000 m2 的矩形草坪，草坪相邻 两边的一边长 y（单位：m）随另一边长 x（单位：m）的变化而变化； 　　解：常量为 1 000，变量为 y 与 x． 　　有两个变量 y 与 x，当一个变量 x 变化时，另一个变量 y 随着 x 的变 化而变化，而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应． 所以变量 x 与 y 之间具有函数关系． 新知探究 　　（3）李明计划在一段时间内使用完 5 GB 手机流量，平均每天使用 的流量 Q（单位：GB）随使用完流量的总时间 t（单位：天）的变化而 变化． 　　解：常量为 5，变量为 t 与 Q． 　　有两个变量 t 与 Q，当一个变量 t 变化时，另一个变量 Q 随着 t 的变 化而变化，而且对于 t 的每一个确定的值，Q 都有唯一确定的值与其对 应．所以变量 t 与 Q 之间具有函数关系． 新知探究 新知探究 　　追问 1　写出它们的解析式． 　　（1）京沪高铁全程为 1 318 km，某次列车的平均速度 v（单位：km/h） 随此次列车的全程运行时间 t（单位：h）的变化而变化； 　　（2）某住宅小区要种植一块面积为 1 000 m2 的矩形草坪，草坪相邻 两边的一边长 y（单位：m）随另一边长 x（单位：m）的变化而变化； 　　（3）李明计划在一段时间内使用完 5 GB 手机流量，平均每天使用 的流量 Q（单位：GB）随使用完流量的总时间 t（单位：天）的变化而 变化． 1 318 t v＝ 1 000 x y＝ 5 t Q＝ 新知探究 　　追问 2　它们的解析式有什么共同特点？ 1 318 t v＝ 1 000 x y＝ 5 t Q＝ 　　上述解析式都含有两个变量，形式都是一个变量等于一个常数除以 另一个变量的商． 新知探究 　　问题 2　（1）能否根据上面函数的共同特点，写出这种函数的解析 式的一般形式？ 　　（2）结合已有的函数概念，你能通过归纳得到反比例函数的概念吗？　 　　一般地，形如 （k 为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其 中 x 是自变量，y 是 x 的函数． k x y＝ 新知探究 　　追问　自变量 x 的取值范围是什么？为什么？ 　　在 中，自变量 x 是分式 的分母，当 x＝0 时，分式 无意义． 　　故自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数． k x y＝ k x k x 新知探究 　　问题 3　下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数？ 　　y＝ ，y＝2x＋3， ＝3，y＝x2－1，xy＝123． 　　解：y＝ 没有指出常数 k≠0，故不是反比例函数； 　　y＝2x＋3 是一次函数； ＝3 可化为 y＝3x，是一次函数； 　　y＝x2－1 是二次函数； 　　xy＝123 可化为 y＝ ，是反比例函数． k x y x k x y x 123 x x 与 y 的乘积为定值． 例题精讲 　　例　已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x＝2 时，y＝6． 　　（1）写出 y 关于 x 的函数解析式； 　　（2）当 x＝4 时，求 y 的值． 　　分析：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 y＝ ．把 x＝2，y＝6 代 入上式，就可求出常数 k 的值． k x 例题精讲 　　例　已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x＝2 时，y＝6． 　　（1）写出 y 关于 x 的函数解析式； 　　（2）当 x＝4 时，求 y 的值． 　　解：（1）设 y＝ ．因为当 x＝2 时，y＝6，所以 6＝ ． 解得 k＝12． 因此 y＝ ． （2）把 x＝4 代入 y＝ ，得 y＝ ＝3． k x k 2 12 x 12 4 12 x 　　1. 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系： 　　（1）一个游泳池的容积为 2 000 m3，游泳池注满水所用时间 t（单 位：h）随注水速度 v（单位：m3/h）的变化而变化； 　　（2）学校准备将 1 000 m2 实践田平均划分给一些班级，每班分得的 实践田面积 y（单位：m2）随班级个数 x 的变化而变化； 　　（3）在某次物理实验中，电路中的电压 U 为 3 V，则该电路中的电 流 I（单位：A）随电阻 R（单位：Ω）的变化而变化． 课堂练习 　　（1）一个游泳池的容积为 2 000 m3，游泳池注满水所用时间 t（单 位：h）随注水速度 v（单位：m3/h）的变化而变化； 　　解：因为“容积＝注水速度×注水时间”，所以 2 000＝v×t． 　　即 课堂练习 2 000 v t＝ ． 　　（2）学校准备将 1 000 m2 实践田平均划分给一些班级，每班分得的 实践田面积 y（单位：m2）随班级个数 x 的变化而变化； 　　解：因为“实践田面积＝每班分得实践田面积×班级个数”，所以 1 000＝y×x． 即 课堂练习 1 000 x y＝ ． 　　（3）在某次物理实验中，电路中的电压 U 为 3 V，则该电路中的电 流 I（单位：A）随电阻 R（单位：Ω）的变化而变化． 　　解：因为“U＝IR”，所以 3＝IR． 　　即 课堂练习 3 R I＝ ． 　　2. 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x＝－2 时，y＝4．求这个函数的解 析式和自变量的取值范围． 　　解：设 y＝ ．因为当 x＝－2 时，y＝4，所以 4＝ ． 　　解得 k＝－8． 　　因此 　　自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数． 课堂练习 k x k －2 8 x y＝－ ． 　　3. 已知反比例函数 y＝ （k＞0），当自变量扩大到原来的 a 倍（a≥ 2，且 a 为正整数）时，对应的函数值 y 将如何变化？请说明理由． 　　解：当自变量 x 扩大到原来的 a 倍时，函数值 y 将缩小为原来的 ． 因为 y 是 x 的反比例函数，所以 y 与 x 的乘积为定值． 课堂练习 k x 1 a 课堂小结 　　回顾本节课所学内容，请思考并回答下面的问题： 　　（1）你能梳理出本节课获得反比例函数概念的过程吗？ 　　（2）反比例函数中的两个变量的关系是什么？ 　　（3）反比例函数对自变量取值范围有何要求？ 　　（4）已知成反比例关系的一组变量的值，如何求它们的关系式？ 课后任务 1. 教科书习题 27.1 第 1 题． 2. 教科书复习题 27 第 2 题． $