课时作业2空间向量的数量积运算-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 围绕空间向量数量积运算，通过基础、中档、提升三层设计，实现从概念理解到综合应用的巩固路径，培养数学思维与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|数量积定义与基本运算|单选、填空直接考查运算（如选择1-2）| |中档|多向量运算与几何性质|多选、填空结合垂直、模长（如选择7-8）| |提升|空间几何体综合应用|解答题融入证明与计算（如13-15题）|

课时作业2空间向量的数量积运算 一、选择题 1.已知l=2,=3,<a,6>60,则2a-36等于（ A.V97 B.97 C.v61 D.61 2已知a16,=2=3.且(3a+26)1(2a-6)则元等于（ 3 3 A.2 B.2 C.2 D.1 3.己知A,B,C,D是空间中不共面的四点，且满足AB·AC=0,ACAD=0, AB·AD=0,若M为BC的中点，则△AMD是( A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 4.在棱长为2的正四面体ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，则AECF等于( ) A.0 B.-2 C.2 D.-3 5.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱， P(=12,,8)是上底面上的八个点，则4B.C(=L2,,8)的值有( ) A.8个 B.4个 C.2个 D.1个 6.已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长 是2，则PM·PN的取值范围为( A.[0,4] B.[0,2] c.[L4] D.,2] 7.(多选题)设ā，b,是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其 中正确的是( A(aB)2-(c-a)6=0 B ala-8 c[6a-(c-a6]-定不与c垂直 D.(（3a+26)3a-2b）=9laP-46P 8(多选题)在长方体ABCD-AB,CD中，下列向量的数量积可能为O的有 ) A.AD·BC B.BD·AC C.AB.AD D.BD·BC 二、填空题 9.如图，已知△ABC在平面a内，∠BAC=90°，DA⊥平面a,则直线CA与DB的 位置关系是 D B I0.如图，空间四边形ABCD的各边和对角线长均相等，若E是BC的中点，则 AE.BC= AE.CD AE·BC(填“<”“=”或“>”) 1.已知空间向量a,6,c满足a+b+c=0,同-=3=1，=4，则a-6+6c+c-a 的值为 12.已知正棱柱ABC-ABC的各棱长均为2，E,F分别是AB,AC的中点，则 EF的长为 三、解答题 13.如图，一个四棱柱ABCD-AB,CD,底面ABCD是正方形，CC=3,CD=2, 且∠CCB=∠CCD=60 )设CD=a,CB=6,CC=c,试用a,万，c表示4C: (2)已知O为四棱柱ABCD-AB,CD的中心（即4C与B,D的交点），求OC的长 B 14.如图，己知在三棱锥O-ABC中，M,N,P,Q分别为BC,4C,OA,OB的中点， 若AB=OC.求证：PM⊥QN A 15.如图，在正三棱柱ABC-ABG中，底面边长为V2 ()设侧棱长为1，求证：AB1BC: A C B (2)设AB与BC的夹角为3，求侧棱的长， 参考答案 1C解析： I12a-36f=4+962-12a-6=4x4+9x9-l12x刘d6cos60=97-l12x2x3x61 所以2a-36=v6 2A标标：周为a1万，所以a6=0.图为3a+2)1(aa-b）所以 (3a+26)(a-b）=0茶以3a+2-a-6-22=0,p32a-26=0 即 3 所以122-18=0，解得2 3.C解析：因为M是BC的中点，所以 -(+4C) 所以 =B+4C)0=D+C0=0 所以AM⊥AD 所以△AMD是直角三角形. 4B解析：如图，在枝长为2的正四面体ABCD中， A 因为E,F分别足BC,AD的中点， ECF-(+CC+CD) 所以 AB.CA+AB.CD+AC.CA+AC.CD) -×2x2xcos120+2x2xcos090+2x2xcos180+2x2xc0s120）-2 5.D解析 B花=（丽+B职）=+：丽为B上年面BRBP2,阶以 B1B即所以B-B旺=0，所xBB=1即B(=l28)的 值有1个 6B解析：设正方体内切球的球心为O,则OM=ON=1 PM.PN=(PO+OM)(PO+ON)=PO'+PO.(OM+ON)+OM.ON 因为MN为球0的直径，所以OM+0N=0,OM.ON=-1, 所以PM.PN=PO-1又点P在正方体表面上运动， 所以，当P为正方体顶，点时， P同最大杀大值为N5:当P为内初球与正方依的物点时 P网位为1，所以P0-1e0,2],即PW.PN的取位范网为D,2列 7BD解析：根据向量教量积的定义及性质，可知b和·d是实数，而C与b不共线，故 (a-b)e与(cab不一定相等，枚A错误国为 (6.a)a-(c.a)bc=(i.aj(cc)-(c.a(6.c)= 0,所以当a16,且a1c支 51c时【6-d-(任-a)6]与c垂i.C特玩弱知B即正确 &ABC解折对于选项A当四边形ADDA为正方形时，可得AD上AD,而4D‖BC,所 以AD,上BC,此时有AD·BC=0:对于选项B,当四边形ABCD为正方形时，易得 AC⊥BD,AC⊥平西BBDD,故有AC⊥BD,此时BD·AC=0:对于选项C,由 长方体的性质可得AB上平面1DD4,所以4B上AD,所以BD=0,对于选项 D,由于BD与BC不可能垂直，所以BD·BC不可能为0.故选ABC 9.垂直解析 CA.BD=CA·(BA+AD)=CA.BA+CA·AD=0+0=0 所以CA⊥DB 10.0,<解析：由题易知AE⊥BC,所以AE·BC=0 AE-CD-(B+BECD-AB-(BD-BC)+BC.CD OS120-oS120+CHCDcos120 ,所以AE.CD<AEBC 1.-13解析：因为ā+6+c=0,所以(a+b+=0,所以 a2+b2+c2+2(a.b+i.c+c.a)=0 a-6+6.c+c-a= 32+12+42 =-13 所 12.V5解析如图， C1 F B 4 设B=a,Bc=6,M=c则aH6H-2且<a.6>60.<a,c90 <b,c>=90 乐-厨*孤+=丽++G=+5 又 所以 -+e++2+5-万 4 4 4×2+2+4×2+2× 1 ×0+ ×0 （2 2 =1+4+1-1=5 厨=5脚EF的长为N5 所以 13.解(1)已知CD=aCB=6C℃=c 向向量加法可得C=CC+C=CC+CD+CB=ā+6+c,因此 AC=-CA=-a-B-c ②因为O为四枝程ABCD-ABCD的中心，即O为线段4C的中，点，所以 0c-号aC 由已知素件得同=2=3a-6=0.<ac>60,<6.c>60 由)得C4=a+b+c 则 CAP=CA=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a.6+26.c+2a.c =22+22+32+0+2×2×3×c0s60°+2×2×3×c0s60°=29 29 所以AC的长为V29,所以0C的长为2 14.证明：设0A=a,0B=6,0C=c 因为P,M分别为OA,BC的中点 所 PM-OM-OP-(6+)-a-(6-a)+e] 同理， -a+)6=[6--可 m-o=-45-aP） 所以 周%B=oC,学5-aH同所xPm.QN=0 所以PM⊥QN,即PM⊥QN 15,(I)证明：AB=AB+BBBC=BB+BC 因为BB上平面ABC,所以BBAB=0,BB·BC=0 又△ABC为等边三角形，所以 <AB,BC>-x-<BA.BC>=-I-2n 33 因为 AB.BC =(4B+BB BB+BC)=AB.BB,+AB.BC+BB BB.BC =BBC.cos<AB,BC>+BB=-1+1=0 所以AB⊥BC ②解：特合知8·BC=CcosA,BC>+BB=BB°-1 又A=VaB+BB=V2+BB=|BC COs<AB,BC>=BB.'-1 I 2 所以 2+BB, 所以 BB=2 ,即侧棱长为2」