1.1空间向量及其运算同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 同步练聚焦空间向量及其运算，通过基础概念辨析、综合运算应用及拓展推理，构建“概念理解-运算熟练-迁移应用”的巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|空间向量概念、线性运算|单选4考查零向量方向等基础概念，填空12直接应用共面定理求参数| |中档|数量积、共线共面、模长计算|多选9辨析向量性质，单选8结合正方体求投影向量，融合几何直观| |提升|综合应用与拓展推理|解答题19类比平面到空间的共面定理，解答题17结合平行六面体求夹角，发展数学思维与表达|

1.1 空间向量及其运算 同步练 2026-2027学年上学期高中数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 4．空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 5．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 8．在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 10．已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 三、填空题 12．在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 13．在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 14．在平行六面体中，，则__________. 四、解答题 15．如图，在平行六面体中，分别是，，的中点，是线段上的动点．    (1)求证：四点共面； (2)若且三点共线，求的值． 16．已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 17．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 18．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 19．在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A A D B C B BC BCD 题号 11 答案 AD 1．C 利用向量加法的三角形法则和相反向量的性质，逐步化简向量表达式即可得到结果. 由于，故C正确. 2．A 是的中点，则 ． 3．A G是的中点，所以. 4．A 根据向量运算、单位向量、零向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 5．D 把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 6．B 根据向量的模长公式计算模长． 由可得， 则， 因为为空间两两垂直的单位向量，故， 则． 7．C 利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果．    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 8．B 由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 9．BC A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 10．BCD 根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为平面外一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 11．AD 根据空间向量数量积和空间向量共线逐一判断，即可得出结果． 选项A，因为，所以A正确； 选项B，当时，，但无法得到，所以B错误； 选项C，，，而与未必共线且不一定同时为，所以C错误； 选项D，由于向量同向共线，所以，所以，所以D正确． 故选：AD． 12． 利用空间向量的共面定理建立方程，求解参数即可. 因为四点共面，所以，解得. 故答案为： 13． 借助空间向量线性运算法则计算即可得. 由，则，即， 则. 14． 设，则，再根据向量运算求解即可. 设，则， 所以 因为， 所以 故答案为： 15．(1)证明: 设，由题可知， 则， 根据共面定理可得，，，四点共面． (2) （1）根据向量共面的基本定理求解即可； （2）由三点共线基本定理的应用求解即可. （1）略； （2）因为且，，三点共线， 由共线定理推论可得，则. 16．(1) 证明：因为，，空间向量为单位向量，所以. . 所以在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. (2) （1）根据向量的数量积公式及投影向量计算公式计算即可. （2）根据向量的模及数量积公式计算即可. （1）略 （2）因为空间向量，均为单位向量，所以，，又， 所以，同理可得，又， 所以 . 故. 17．(1)， (2) （1）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. （1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 18．(1) (2) （1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， （1） . （2）依题意，， 则 . 19．(1)类比到空间中，该命题为： 若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、 ，满足，且． 证明：①若点平面 ， 由向量共面的充要条件知存在实数 、 使得， 由向量加减法得， 整理得， 令，，，则，其中． ②反之，若已知，且． 则， 整理得， 即， 根据向量共面的充要条件知、、共面，即 、 、 、 共面， 所以点 在平面 内． 综上所述，若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、，满足，且． (2)①；② （1）结合空间向量的运算，利用共面向量定理证明即可； （2）①利用数量积的运算律求解即可； ②利用数量积的运算律及模的运算法则求解即可. （1）略 （2）①由（1）的结论知，从而， 从而， 由已知，，得 ， ②因为 ， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $