1.1 练习2 空间向量的数量积运算 课时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念辨析到综合应用，适配新授课知识巩固，培养数学抽象、运算能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-8题）|数量积定义、性质、基本运算|单选第1题辨析数量积与夹角关系，强化概念理解；多选第8题结合正方体基底运算，培养符号意识| |提升层（9-12题）|数量积综合运算、模长公式、空间几何应用|第10题三向量模长计算，第11题长方体中夹角与数量积，提升空间观念与推理能力| |综合层（13-16题）|综合证明、新定义应用、参数探究|15题外积新定义应用，16题动态参数λ探究垂直条件，发展创新意识与应用能力|

1.1 练习2　空间向量的数量积运算 1. 对于空间任意两个非零向量a，b，“a·b＜0”是“<a，b>为钝角”的(　B　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 当<a，b>＝π时，a·b＜0，但<a，b>不是钝角，即由“a，b＜0”不能推出“<a，b>为钝角”，又当<a，b>为钝角时，a·b＜0，∴“a·b＜0”是“<a，b>为钝角”的必要不充分条件. 2. 已知空间向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　D　) A. 12 B. 8 C. 4 D. 13 【解析】 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cos 120°＝2×4－2×5×＝13. 3. 已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是 (　A　) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【解析】 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，·＝0，排除D.又AD⊥AB，∴AD⊥PB，∴·＝0，同理·＝0，排除B，C. 4. 如图所示，在正方体ABCD－A'B'C'D'中，<>为(　D　) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【解析】 如图所示，连接BD，A'D，则，∴<>是∠DBA'的补角.∵A'D＝A'B＝BD，∴∠DBA'＝60°，∴<>＝120°. 5. 已知正四面体ABCD的棱长为1，E为BC上一点，且＝2，则·等于(　C　) A. B. C. D. 【解析】 ∵＝2，∴.根据向量的减法法则，得，∴····||||cos×1×1×1×1×. 6. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都是60°，若M是PC的中点，则||等于(　A　) A. B. C. D. 【解析】 ∵M是PC的中点，∴()＝·[()]＝，又AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，AB＝AD＝1，PA＝2，∴()×||·||·cos 60°×||·||·cos 60°＝×(1＋1＋4)×1×2××1×2×，∴||＝. 7. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　B　) A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【解析】 ∵，∴·＝()·()＝···||2＝||2＞0，∴cos∠CBD＝cos<>＝＞0，∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形. 8. (多选)(2024·湖南娄底高二期中)已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则下列各式的值中，为1的是(　BC　) A. a·(b＋c) B. a·(a＋b＋c) C. (a＋b)·(b＋c) D. (a＋b)·c 【解析】 由题意得a⊥b，a⊥c，b⊥c，∴a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.对于A，a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0，A错误；对于B，a·(a＋b＋c)＝|a|2＋a·b＋a·c＝1，B正确；对于C，(a＋b)·(b＋c)＝a·b＋a·c＋|b|2＋b·c＝1，C正确；对于D，(a＋b)·c＝a·c＋b·c＝0，D错误. 9. (多选)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积中，等于a2的是(　BC　) A. 2· B. 2· C. 2· D. 2· 【解析】 2·＝2a2cos 120°＝－a2，2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，2··＝a2，2···a2，B，C正确. 10. 若a，b，c为空间中两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝ 　.  【解析】 |a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝5，∴|a－b＋2c|＝. 11. (2024·鲁迅中学检测)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为　60°　，·＝　1　.  【解析】 根据向量的线性运算可得·＝()·＝1.由题意可得PA1＝B1C＝，则×cos<>＝1，从而<>＝60°. 12. (2024·杭州浙大附中高二期中)两条异面直线a，b所成的角为60°，在直线a，b上分别取点A'，E和点A，F，使AA'⊥a，且AA'⊥b.若A'E＝2，AF＝3，EF＝，则线段AA'的长为　4或2　.  【解析】 由题意知，，∴＝()2＝2·2·2·，∵异面直线a，b所成的角为60°，A'E＝2，AF＝3，EF＝，∴23＝94＋0±2×2×3cos 60°＋0，∴||＝4，或||＝2. 13. 已知四面体OABC的所有棱长均为1. 求：(1)·；(2)()·()；(3)||. 解： (1)·＝||·||·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝. (2)()·()＝()·()＝()·(2)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1. (3)||＝. 14. 如图所示，正四面体V－ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M. (1)证明：AO，BO，CO两两垂直； 证明： 设＝a，＝b，＝c，正四面体V－ABC的棱长为1，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝a·c＝. 由题意知(a＋b＋c)，则＝－a(a＋b＋c)＝(b＋c－5a)， 同理可得(a＋c－5b)，(a＋b－5c)， ∴·(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝＝0，∴⊥，即AO⊥BO. 同理可得AO⊥CO，BO⊥CO，∴AO，BO，CO两两垂直. (2)求<>的大小. 解： (a＋b＋c)c＝(－2a－2b＋c)，∴||＝. 又||＝·(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝(－2a·b－2a·c＋10a2－2b2－2b·c＋10a·b＋b·c＋c2－5a·c)＝， ∴cos<>＝，故<>＝. 15. (多选)(2024·重庆万州区高二质检)在三维空间中，a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且a，b，a×b三个向量构成右手系(如图所示)；②|a×b|＝|a||b|·sin<a，b>.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的表面积为S，下列结论中，正确的是(　ACD　) A. ||＝|| B. C. S＝6|| D. 与共线 【解析】 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，如图所示. 对于A，连接B1C，易知△AB1C为等边三角形，∴||＝a×a×sina2，连接B1D1，易知，△AB1D1为等边三角形，∴||＝||＝a×a×sina2，A正确；对于B，根据定义，，B错误；对于C，6||＝6×a×a×＝6a2＝S，C正确；对于D，∵B1D1⊥A1C1，DD1⊥A1C1，B1D1∩DD1＝D1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，又BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.∵AD1⊥A1D，AB⊥A1D，AD1∩AB＝A，∴A1D⊥平面ABD1，又BD1⊂平面ABD1，∴A1D⊥BD1，结合外积的定义可知与共线，D正确. 16. (2024·江苏苏州星海实验学校高二月考)如图所示，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AB＝4，AD＝AF＝3，∠DAF＝＝λ＝λ，0＜λ＜1，记＝a，＝b，＝c. (1)当λ＝时，求MN与AE夹角的余弦值； (2)是否存在λ，使得MN⊥平面ABCD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 解： (1)连接AM，则()＝λ()－[λ()]＝λ(a＋c)－[b＋λ(a－b)]＝(λ－1)b＋λc， 当λ＝时，bc，∴||＝， 又＝a＋c， ∴·(c－b)·(a＋c)＝(a·c＋c2－b·a－b·c)＝，又易知||＝5， ∴cos<>＝， 故MN与AE夹角的余弦值为. (2)假设存在λ使得MN⊥平面ABCD， ∵AB，AD⊂平面ABCD，∴MN⊥AB，MN⊥AD， 则·＝[(λ－1)b＋λc]·a＝(λ－1)b·a＋λc·a＝0，显然成立， 又·＝[(λ－1)b＋λc]·b＝(λ－1)b2＋λc·b＝0，即9(λ－1)＝0，解得λ＝，满足题意， 故存在λ＝，使得MN⊥平面ABCD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 练习2　空间向量的数量积运算 1. 对于空间任意两个非零向量a，b，“a·b＜0”是“<a，b>为钝角”的( 　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知空间向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( 　) A. 12 B. 8 C. 4 D. 13 3. 已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是 ( 　) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 如图所示，在正方体ABCD－A'B'C'D'中，<>为( 　) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 5. 已知正四面体ABCD的棱长为1，E为BC上一点，且＝2，则·等于( 　) A. B. C. D. 6. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都是60°，若M是PC的中点，则||等于( 　) A. B. C. D. 7. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( 　) A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 8. (多选)(2024·湖南娄底高二期中)已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则下列各式的值中，为1的是( 　) A. a·(b＋c) B. a·(a＋b＋c) C. (a＋b)·(b＋c) D. (a＋b)·c 9. (多选)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积中，等于a2的是( 　) A. 2· B. 2· C. 2· D. 2· 10. 若a，b，c为空间中两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝ .  11. (2024·鲁迅中学检测)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为 ，·＝ .  12. (2024·杭州浙大附中高二期中)两条异面直线a，b所成的角为60°，在直线a，b上分别取点A'，E和点A，F，使AA'⊥a，且AA'⊥b.若A'E＝2，AF＝3，EF＝，则线段AA'的长为 .  13. 已知四面体OABC的所有棱长均为1. 求：(1)·；(2)()·()；(3)||. 14. 如图所示，正四面体V－ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M. (1)证明：AO，BO，CO两两垂直； (2)求<>的大小. 15. (多选)(2024·重庆万州区高二质检)在三维空间中，a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且a，b，a×b三个向量构成右手系(如图所示)；②|a×b|＝|a||b|·sin<a，b>.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的表面积为S，下列结论中，正确的是( 　) A. ||＝|| B. C. S＝6|| D. 与共线 16. (2024·江苏苏州星海实验学校高二月考)如图所示，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AB＝4，AD＝AF＝3，∠DAF＝＝λ＝λ，0＜λ＜1，记＝a，＝b，＝c. (1)当λ＝时，求MN与AE夹角的余弦值； (2)是否存在λ，使得MN⊥平面ABCD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $