3.1相似多边形（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦“图形的相似”核心内容，先系统梳理比例线段（含线段的比、比例线段、比例基本性质及等比性质），再延伸至相似多边形（定义、相似比、全等与相似的关系），搭建从线段关系到多边形特征的递进式学习支架。 资料以“知识点+即学即练+题型分类”设计，通过比例线段求值、相似多边形判定等题型，培养学生用数学眼光观察图形关系、用数学思维推理运算的能力，典例与变式结合助力学生用数学语言表达解题过程，课中辅助分层教学，课后帮助查漏补缺。

第三章 图形的相似 3.1 相似多边形 知识点一 比例线段与比例的性质 线段的比 两条线段的比就是 ，设线段AB、CD的长度为m、n 线段的比：，线段AB、CD分别叫作这个线段比的 和 。 如果，那么或，两个线段的比实际上是 。 比例线段 四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即（两条线段的比等于 ），那么线段a、b、c、d叫作 ，简称比例线段 比例的性质 ①基本性质：a:b=c:d （a、b、c、d都不等于0）； ② a:b=b:c ，b为比例中项； （第2课时）③等比性质：. 即学即练 1．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）下列各组线段的长度中，成比例的是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，4，8 C．1.5，3，4.5，6 D．3，4，5，6 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 3．已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知线段，，则它们的比例中项线段的长为（    ） A．4 B．6 C．10 D．16 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 知识点二 相似多边形与相似比 相似多边形 、 的两个多边形叫作相似多边形；相似符号“ ”，读作“相似于” 相似比 相似多边形对应边的比叫作 （①对应边找准；②对应边的比都相等） 如果△ABC∽△DEF，那么=k； 相似多边形表示 ①相似五边形： 五边形ABCDE与五边形A’B’C’D’E’相似，写作五边形ABCDE∽五边形A’B’C’D’E’； ②相似三角形： △ABC和△DEF中，∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，并且，则   全等与相似的关系 ·区别：全等“≌”表示形状和大小上完全一致，即所有对应边和角都相等， 而相似“∽”仅要求 （对应边成比例、对应角相等），大小可以不同； ·联系：全等是特殊的相似（对应边比例为1） 即学即练 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 2．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 3．如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 4．（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，四边形和相似，则________．      5．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，四边形四边形，求的长及的度数． 6．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型01 根据比例线段（比例式）求值 · 核心技巧：比例的基本性质（交叉相乘）与设参法（设比例系数k）。 · 方法模型： 1. 直接求值：比例式变形（例：若 a:b = c:d，则 ad = bc。） 2. 连比问题：代入消元（例：a:b:c = 2:3:4，设a=2k, b=3k, c=4k，再代入） 3. 分式型：①用“合比性质”+方程思想（如 =，求，可直接设a=2k, b=3k)； ②“倒数”变形（如 =，求+） · 难点解析：当比例式含多个字母且等式复杂时，统一设k能避免交叉相乘后方程过于繁琐。 · 易错点：①忽视分母不为0：若变量在分母，需讨论是否为0（尤其在填空题中）。 ②比例顺序混淆：a:b = c:d不能误写为a:c = b:d。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知三条线段的长分别为2，4，6，请你写出一条线段的长，使这四条线段是成比例线段． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知线段、、满足，且． (1)求、、的值； (2)若线段长是线段、的比例中项，求的值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）一个多边形的边长分别为3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为28，则这个多边形的最短边的长度为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 题型02 比例的应用 · 核心技巧：转化实际问题为数学模型，利用比例关系列方程。 · 方法模型： 1. 线段/长度应用：已知两线段比及和/差，设未知数后列方程。 2. 面积/体积应用：面积比 = 相似比的平方（此处做铺垫），注意单位统一。 3. 地图/图纸比例尺：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺（注意单位换算，如cm→km）。 · 难点解析：抓不变量。例如，将矩形长宽按比例放大，周长或面积变化时，原比例关系不变。 · 易错点：①单位换算：1 km = 100 000 cm，容易少写5个0。 ②比例前后项对应：题目说“长与宽的比是5:3”，则长是5份，宽是3份，不能反。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 变｜式｜巩｜固 1．（2025九年级上·全国·专题练习）王明有一个闹钟，但它走时不准，这天下午王明把它对准北京时间，可到晚上时，它才走到，第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为_______． 2．（25-26九年级上·全国·周测）如图，将一张长、宽之比为的矩形纸片依次不断对折，可以得到矩形纸片BCFE，AEML，GMFH，LGPN． (1)矩形纸片ABCD，BCFE，AEML，GMFH，LGPN的长与宽的比相同吗？请说明理由． (2)在这些矩形纸片的长和宽中，有成比例的线段吗（写出2组即可）？ 题型03 相似多边形的判定 · 核心技巧：严格双重要求（边成比例 + 角相等），缺一不可。 · 判定流程： 1. 检查所有对应角是否分别相等（尤其注意图形摆放顺序）。 2. 检查所有对应边的比是否相等（最长边比最长边，最短边比最短边）。 3. 两者同时成立，才是相似多边形。 ·图形模型： 多边形 相似条件（除角相等外） 任意三角形 三边对应成比例 矩形 长宽比相等 菱形 有一对角相等 正方形 必定相似（任意两个） 正多边形 必定相似（任意两个） · 难点解析：只给边长不给角（如四边形），需要额外条件证明角相等；只给角不给边，则无法判定（菱形可以满足角相等但不相似）。 · 易错点：①误以为“形状相同”就是相似，忽略了边长比例（如所有矩形不一定相似）。 ②对应边找错：必须按对应顶点的顺序来列比例式。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列命题中正确的个数为（    ） （1）邻边之比为的两个平行四边形是相似形；（2）四个角都相等的四边形是相似图形；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似；（4）有两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；（5）两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）下列四个命题：①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③所有的矩形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似，其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·四川巴中·期末）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 3．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 题型04 根据相似多边形的概念求值 · 核心技巧：对应关系决定一切。先确定对应顶点，再列比例式。 · 对应关系： 1. 若△ABC∽△DEF（注意字母顺序），则 A—D、 B—E、 C—F； 2. 对应角相等：（例：∠BAC=∠EDF）； 3. 对应边成比例； 4. 已知部分边或角，列方程求未知数。 · 难点解析：图形位置旋转或翻转后，准确找到对应点是难点。建议在图上用相同符号标记对应角。 · 易错点： ①比例式列反；②求角度时，忽略多边形内角和公式（四边形内角和360°）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，已知四边形与四边形相似，点A、B、C、D的对应点分别为、、、． (1)______度； (2)求边x的长度． 2．如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 3．如图，梯形中，，E是上的一点，，并且将梯形分成的两个梯形相似，若，求．    变｜式｜巩｜固 1．如图，点D、E在线段上，是等边三角形，当时，的度数为_____________． 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 3．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）复印纸型号多样，大小不一，但各型号复印纸之间存在一定的关系将其中一型号纸张(如纸)沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号(纸)的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即纸与纸相似），则这些型号的复印纸长与宽之比为_________ 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 题型05 与比例线段有关的规律探究 · 核心技巧：从特殊到一般，先计算前几个值，观察倍数或等差关系。 · 一般思路： 1. 按题目操作规则（如取中点、分点）先计算前2~3步的线段比例； 2. 寻找相邻项之间的递推关系； 3. 归纳法得出n次后的表达式（多数为等比、等差数列）。 · 难点解析：递推关系可能隐藏在面积或周长比中，需要将比例与序号绑定。 · 易错点： ①忽略初始条件（第0步或第1步）导致通项公式下标错误（如把 2n-1写成2n）。 ②未化成最简形式，导致找不出规律。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，在矩形中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为______． 2．如图，中，，，取边中点，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则____________（为正整数）. ※题型06 特殊四边形的性质与相似多边形 · 核心技巧： ①利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的固有性质（对边平行/相等、对角线平分）来补充判定条件； ②构造全等三角形转化线段； ③利用勾股定理+特殊直角三角形的边角关系+方程思想进行求值计算 · 特殊四边形的相似模型： 1. 矩形相似：必须满足 长宽比相等。 2. 菱形相似：必须满足 对应角相等（即有一个锐角相等），因为边已经自动成比例。 3. 平行四边形相似：必须同时满足 相邻两边比相等 且 夹角相等。 4. 常结合 角平分线、中位线、折叠 构造新多边形，再判定与原图形是否相似。 · 难点解析：判定两个菱形是否相似——只需比较一个内角（因为菱形四边相等，比例自然为1:1）；判定两个矩形是否相似——只需比较长宽比。 · 易错点：①误判“所有正方形都相似”（正确）与“所有菱形都相似”（错误，角度不一定相同）。 ②利用对角线求角度时，忽视特殊四边形对角线的性质（如矩形对角线相等但不平分角）。 典｜例｜精｜析 1．如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（    ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 2．（2026·山西大同·三模）综合与探究： 我们在现实生活中经常用到纸，它是一种长和宽的比是一个定值的矩形，该种类型的纸也被称为标准纸．如图1是一张A4纸（矩形），对折后展开，折痕分别交于点M，N，连接． 【操作判断】 (1)①四边形都是矩形，请你对四边形是矩形进行证明； ②已知矩形和矩形相似，则纸长和宽的比为________； 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． (2)①如图2，当恰好经过点C时，旋转角的度数是________； ②如图3，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，证明点E是的中点． 【拓展应用】 (3)若，在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·山西太原·阶段检测）综合与实践 问题情境 两张透明的菱形纸片，按如图的方式摆放，点与点重合，点，分别落在边，上，点落在对角线上．已知菱形菱形，，，，其中点与点重合，点，点分别落在边，上，点落在上，对角线和重合，点是对角线的中点． 猜想证明 (1)如图将菱形纸片沿着的方向平移至点与点重合，此时，与相交于点，与相交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； 操作探究 (2)在（1）的情况下，将菱形纸片绕点逆时针旋转（旋转角），和分别与直线交于点，点． ①如图3当点在线段的延长线上时，求的长； ②当旋转至时，请在图4中补全满足条件的图形并直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似 3.1 相似多边形 知识点一 比例线段与比例的性质 线段的比 两条线段的比就是两条线段的长度比，设线段AB、CD的长度为m、n 线段的比：，线段AB、CD分别叫作这个线段比的前项和后项。 如果，那么或，两个线段的比实际上是两个数的比。 比例线段 四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即（两条线段的比等于 另外两条线段的比），那么线段a、b、c、d叫作成比例线段，简称比例线段 比例的性质 ①基本性质：a:b=c:d ad=bc（a、b、c、d都不等于0）； ② a:b=b:c ，b为比例中项； （第2课时）③等比性质：. 即学即练 1．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）下列各组线段的长度中，成比例的是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，4，8 C．1.5，3，4.5，6 D．3，4，5，6 【答案】B 【难度】0.85 【详解】解：A、，故不成比例线段； B、，故成比例线段； C、，故不成比例线段； D、，故不成比例线段； 故选：B． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【难度】0.85 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 3．已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 【答案】 【难度】0.85 【详解】解：是成比例线段， ， 将，，代入得， 交叉相乘得， 解得． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知线段，，则它们的比例中项线段的长为（    ） A．4 B．6 C．10 D．16 【答案】A 【难度】0.85 【详解】解：设它们的比例中项线段的长为． ∵若线段是、的比例中项 ∴根据比例中项的定义可得． 由比例的基本性质（内项积等于外项积）得 ， 解得或． 又∵线段的长度为正数， ∴． 故选A． 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【难度】0.65 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 知识点二 相似多边形与相似比 相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形；相似符号“∽”，读作“相似于” 相似比 相似多边形对应边的比叫作相似比（①对应边找准；②对应边的比都相等） 如果△ABC∽△DEF，那么=k； 相似多边形表示 ①相似五边形： 五边形ABCDE与五边形A’B’C’D’E’相似，写作五边形ABCDE∽五边形A’B’C’D’E’； ②相似三角形： △ABC和△DEF中，∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，并且，则△ABC∽△DEF  全等与相似的关系 ·区别：全等“≌”表示形状和大小上完全一致，即所有对应边和角都相等， 而相似“∽”仅要求形状相同（对应边成比例、对应角相等），大小可以不同； ·联系：全等是特殊的相似（对应边比例为1） 即学即练 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【答案】D 【难度】0.85 【详解】解：A．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不符合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； D．任意两个正多边形的对应角相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 2．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 【答案】D 【难度】0.85 【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误 B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误 C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误 D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【难度】0.85 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，四边形和相似，则________．      【答案】/81度 【难度】0.85 【详解】解：∵四边形和相似， ∴， 在四边形中，， ∴． 5．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，四边形四边形，求的长及的度数． 【答案】， 【难度】0.85 【详解】解：∵四边形四边形， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴． 6．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【详解】解：四边形四边形，相似比为， ，，， 选项A，D说法正确，不合题意； ， ， 选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出， 选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 题型01 根据比例线段（比例式）求值 · 核心技巧：比例的基本性质（交叉相乘）与设参法（设比例系数k）。 · 方法模型： 1. 直接求值：比例式变形（例：若 a:b = c:d，则 ad = bc。） 2. 连比问题：代入消元（例：a:b:c = 2:3:4，设a=2k, b=3k, c=4k，再代入） 3. 分式型：①用“合比性质”+方程思想（如 =，求，可直接设a=2k, b=3k)； ②“倒数”变形（如 =，求+） · 难点解析：当比例式含多个字母且等式复杂时，统一设k是万能钥匙，能避免交叉相乘后方程过于繁琐。 · 易错点：①忽视分母不为0：若变量在分母，需讨论是否为0（尤其在填空题中）。 ②比例顺序混淆：a:b = c:d不能误写为a:c = b:d。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知三条线段的长分别为2，4，6，请你写出一条线段的长，使这四条线段是成比例线段． 【答案】12或3或 【难度】0.85 【分析】本题考查了成比例线段，设线段的长为d，根据题意分3种情况，分别列出比例式求解即可． 【详解】解：设线段的长为d， 根据题意，得： 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：； 所以线段的长为12或3或． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知线段、、满足，且． (1)求、、的值； (2)若线段长是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)，， (2)的值为 【难度】0.65 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，求一个数的算术平方根； （1）设，，，根据列方程求出即可； （2）根据比例中项的意义得出，然后开平方即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）∵是、的比例中项， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 即的值为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）一个多边形的边长分别为3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为28，则这个多边形的最短边的长度为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查了相似图形的性质． 利用相似多边形对应边成比例的性质，通过最长边求比值，再求最短边． 【详解】解：∵两个多边形相似， ∴对应边成比例， 原多边形边长分别为3、4、5、6、7，最长边为7，最短边为3， 相似多边形最长边为28， 设比值为k， 则， ∴相似多边形最短边． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【详解】解：设， ，且， ，， ， ，即， ，，， ， 负值舍去， ， 故选：B． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【答案】（1）8；（2）①；②；③ 【难度】0.65 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）由题意可知，，，由即可得到答案； （2）①设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； ②由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可； ③根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①设，则，，， ∵，所以，解得， ∴，，； ②∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）； ③∵a，b，c，d为成比例线段， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 题型02 比例的应用 · 核心技巧：转化实际问题为数学模型，利用比例关系列方程。 · 方法模型： 1. 线段/长度应用：已知两线段比及和/差，设未知数后列方程。 2. 面积/体积应用：面积比 = 相似比的平方（此处做铺垫），注意单位统一。 3. 地图/图纸比例尺：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺（注意单位换算，如cm→km）。 · 难点解析：抓不变量。例如，将矩形长宽按比例放大，周长或面积变化时，原比例关系不变。 · 易错点：①单位换算：1 km = 100 000 cm，容易少写5个0。 ②比例前后项对应：题目说“长与宽的比是5:3”，则长是5份，宽是3份，不能反。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 【答案】 【详解】解：设A、B两地的实际距离为 则： 解得千米 A、B两地的实际距离为千米 故答案为：． 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； (2)解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 【难度】0.78 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）将乘积式化为比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 变｜式｜巩｜固 1．（2025九年级上·全国·专题练习）王明有一个闹钟，但它走时不准，这天下午王明把它对准北京时间，可到晚上时，它才走到，第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为_______． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了比例的应用，根据实际时长和闹钟计的时长成比例列方程即可求解． 【详解】解：设第二天早上王明看闹钟上学时间距离前一天下午有小时， 实际时间从6∶00到9∶00为3小时，闹钟显示从6∶00到8∶45为小时．从下午到第二天早上，闹钟时间过了， 依题意得：，解得：， 小时=小时分， 从下午开始，过小时分后是第二天， 第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为． 故答案为． 2．（25-26九年级上·全国·周测）如图，将一张长、宽之比为的矩形纸片依次不断对折，可以得到矩形纸片BCFE，AEML，GMFH，LGPN． (1)矩形纸片ABCD，BCFE，AEML，GMFH，LGPN的长与宽的比相同吗？请说明理由． (2)在这些矩形纸片的长和宽中，有成比例的线段吗（写出2组即可）？ 【答案】(1)矩形纸片，，，，的长与宽的比相同，见解析 (2)，，，和，，，，见解析 【难度】0.65 【分析】（1）所有矩形的长、宽之比为； （2）第一个矩形的宽为对折后矩形的长，则得到成比例的线段； 【详解】解：（1）矩形纸片，，，，的长与宽的比相同．理由如下： 设矩形纸片的宽，长． 矩形纸片依次不断对折， ,,,,,,, ,,,， 矩形纸片，，，，的长与宽的比相同． （2）在这些矩形纸片中，有成比例的线段．答案不唯一，如：，，，和，，，． 题型03 相似多边形的判定 · 核心技巧：严格双重要求（边成比例 + 角相等），缺一不可。 · 判定流程： 1. 检查所有对应角是否分别相等（尤其注意图形摆放顺序）。 2. 检查所有对应边的比是否相等（最长边比最长边，最短边比最短边）。 3. 两者同时成立，才是相似多边形。 ·图形模型： 多边形 相似条件（除角相等外） 任意三角形 三边对应成比例 矩形 长宽比相等 菱形 有一对角相等 正方形 必定相似（任意两个） 正多边形 必定相似（任意两个） · 难点解析：只给边长不给角（如四边形），需要额外条件证明角相等；只给角不给边，则无法判定（菱形可以满足角相等但不相似）。 · 易错点：①误以为“形状相同”就是相似，忽略了边长比例（如所有矩形不一定相似）。 ②对应边找错：必须按对应顶点的顺序来列比例式。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列命题中正确的个数为（    ） （1）邻边之比为的两个平行四边形是相似形；（2）四个角都相等的四边形是相似图形；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似；（4）有两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；（5）两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了命题，相似图形的判定，相似三角形的判定，根据相似图形的判定定理逐一判断即可，掌握相似图形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：（1）平行四边形邻边比相等但对应角不一定相等，不一定是相似形，错误； （2）四角相等均为但对应边不一定成比例，不一定是相似图形，错误； （3）等腰三角形腰上的高与腰的比等于顶角正弦值，但顶角相等或互补时比相同，而互补时三角形不相似，错误． （4）有两边及第三边上的高对应成比例，高可能在三角形内或三角形外，两三角形不一定相似，错误． （5）直角三角形两边对应成比例，则第三边可由勾股定理推导出成比例，即三边对应成比例，两三角形相似，正确． 综上，正确命题有（5）共1个． 故选：B． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【难度】0.76 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∴甲和丙相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【答案】不相似，理由见解析 【难度】0.85 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，灵活运用相似多边形的对应边成比例这一判定定理是解题的关键．先根据边框宽度计算出内边缘矩形的长和宽，再分别计算内外矩形对应边的比值，通过判断比值是否相等来确定两个矩形是否相似． 【详解】解：不相似，理由： ， ，， ， ，， ， 不相似． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）下列四个命题：①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③所有的矩形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似，其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了相似图形的判定，关键是掌握判定方法. 依据判定方法逐一判断即可. 【详解】①所有的正方形四个角都是直角，四条边都相等。因此，任意两个正方形的对应角都相等，对应边的比也都相等，所以所有的正方形都相似，故该命题是真命题； ②所有的菱形四条边都相等，但对应角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，故该命题是假命题； ③所有的矩形四个角都是直角，但对应边不一定成比例，所以所有的矩形不一定都相似，故该命题是假命题； ④所有的等腰直角三角形对应角都相等，对应边的比也都相等，所以所有的等腰直角三角形都相似，故该命题是真命题； 综上所述：真命题有①和④，共个， 故选：B. 2．（25-26九年级上·四川巴中·期末）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题考查相似图形的定义，相似三角形的判定，根据图形的变换方式，以及相似图形的定义，相似三角形的判定，分析甲、乙两同学的观点，即可解题． 【详解】解：如图： 由题知，，延长， 则，， ， 同理可得，， ， 即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图： 由题知，， ， 新矩形与原矩形不相似，乙不对． 故选：A． 3．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】相似， 理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴，， 同理可得：，， ∴，即， 同理可得：，，，， ∴四边形与四边形相似． 【难度】0.85 【分析】本题考查了相似多边形的判定、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相似多边形的判定方法是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，根据平行线的性质可得，同样的方法可得，，则，再根据同样的方法可得，，，，然后根据相似多边形的判定即可得． 题型04 根据相似多边形的概念求值 · 核心技巧：对应关系决定一切。先确定对应顶点，再列比例式。 · 对应关系： 1. 若△ABC∽△DEF（注意字母顺序），则 A—D、 B—E、 C—F； 2. 对应角相等：（例：∠BAC=∠EDF）； 3. 对应边成比例； 4. 已知部分边或角，列方程求未知数。 · 难点解析：图形位置旋转或翻转后，准确找到对应点是难点。建议在图上用相同符号标记对应角。 · 易错点： ①比例式列反；②求角度时，忽略多边形内角和公式（四边形内角和360°）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，已知四边形与四边形相似，点A、B、C、D的对应点分别为、、、． (1)______度； (2)求边x的长度． 【答案】(1)69 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等，四边形内角和； （1）根据相似多边形的对应角相等及四边形内角和为即可求解； （2）相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似，点A、B、C、D的对应点分别为、、、， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 故答案为：69； （2）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴． 2．如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 【答案】 【难度】0.8 【分析】根据相似多边形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴， 由矩形的性质可知，， ∴， ∴． 3．如图，梯形中，，E是上的一点，，并且将梯形分成的两个梯形相似，若，求．    【答案】 【难度】0.65 【详解】解：∵四边形与四边形相似， ∴， 又∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴ ． 变｜式｜巩｜固 1．如图，点D、E在线段上，是等边三角形，当时，的度数为_____________． 【答案】/120度 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和等边三角形的性质，解决此题的关键是熟练运用外角的性质；先根据相似三角形的性质得到角相等，再根据等边三角形的性质和外角的性质即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查相似矩形，先求出小矩形的长都是，宽都是，再根据每个小矩形都和矩形相似，列方程求解即可． 【详解】解：将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，则三个相同的小矩形的长都是，宽都是， ∵每个小矩形都和矩形相似， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 故选：B． 3．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）复印纸型号多样，大小不一，但各型号复印纸之间存在一定的关系将其中一型号纸张(如纸)沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号(纸)的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即纸与纸相似），则这些型号的复印纸长与宽之比为_________ 【答案】 【难度】0.4 【分析】本题考查了相似多边形的性质，关键是对应边成比例； 利用相似找到边的比例关系即可求得结论． 【详解】解：设的长为，宽为， ∵纸与纸相似， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 【答案】(1)不相似 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键． （1）根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． （2）用含x、y的式子表示矩形的边长，根据相似多边形的性质（对应边成比例），结合，得；代入边长表达式化简求解得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，． ∴，． ∵， ∴石子路外边缘的矩形与矩形小花园不相似． （2）解：同（1）可知，，． 当矩形矩形时，， 即． ∴． 题型05 与比例线段有关的规律探究 · 核心技巧：从特殊到一般，先计算前几个值，观察倍数或等差关系。 · 一般思路： 1. 按题目操作规则（如取中点、分点）先计算前2~3步的线段比例； 2. 寻找相邻项之间的递推关系； 3. 归纳法得出n次后的表达式（多数为等比、等差数列）。 · 难点解析：递推关系可能隐藏在面积或周长比中，需要将比例与序号绑定。 · 易错点： ①忽略初始条件（第0步或第1步）导致通项公式下标错误（如把 2n-1写成2n）。 ②未化成最简形式，导致找不出规律。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， ∴矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线 ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，在矩形中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为______． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了相似多边形的性质，图形的变化规律，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键． 根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质求出矩形的面积，总结规律，根据规律解答． 【详解】解：矩形的面积， 由勾股定理得：， 则矩形和矩形的相似比为， 矩形矩形， 矩形的面积； 同理，矩形的面积， 矩形的面积， 则的面积为； ∴矩形的面积为． 故答案为：． 2．如图，中，，，取边中点，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则____________（为正整数）. 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，相似多边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似图形的判定与性质是解题的关键． 根据已知条件可得，然后可证得，利用相似三角形的性质可得，同理可得，于是可求得；根据已知条件，易证得四边形四边形，且相似比为，可推出，同理可得，，发现并总结出一般规律，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 为的中点， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 取中点，作，，得到四边形， 易证得四边形四边形，且相似比为， ， ， 同理可得：， ， ， ， 故答案为：． ※题型06 特殊四边形的性质与相似多边形 · 核心技巧： ①利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的固有性质（对边平行/相等、对角线平分）来补充判定条件； ②构造全等三角形转化线段； ③利用勾股定理+特殊直角三角形的边角关系+方程思想进行求值计算 · 特殊四边形的相似模型： 1. 矩形相似：必须满足 长宽比相等。 2. 菱形相似：必须满足 对应角相等（即有一个锐角相等），因为边已经自动成比例。 3. 平行四边形相似：必须同时满足 相邻两边比相等 且 夹角相等。 4. 常结合 角平分线、中位线、折叠 构造新多边形，再判定与原图形是否相似。 · 难点解析：判定两个菱形是否相似——只需比较一个内角（因为菱形四边相等，比例自然为1:1）；判定两个矩形是否相似——只需比较长宽比。 · 易错点： ①误判“所有正方形都相似”（正确）与“所有菱形都相似”（错误，角度不一定相同）。 ②利用对角线求角度时，忽视特殊四边形对角线的性质（如矩形对角线相等但不平分角）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（    ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵四边形与为菱形， ∴对角线互相垂直平分， 即垂直平分线段，垂直平分线段， ∴B，E，F，D四点共线， 故该选项正确，不符合题意； B.如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形，且相似比为2， ∴， ∴， 不满足三角形重心的性质， ∴点E不是的重心， 故该选项错误，符合题意； C. 如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， 假设，由选项B可得，，， 由勾股定理得，， ∴， 故该选项正确，不符合题意； D. 如图所示，连接交于点，连接，延长交于点， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 2．（2026·山西大同·三模）综合与探究： 我们在现实生活中经常用到纸，它是一种长和宽的比是一个定值的矩形，该种类型的纸也被称为标准纸．如图1是一张A4纸（矩形），对折后展开，折痕分别交于点M，N，连接． 【操作判断】 (1)①四边形都是矩形，请你对四边形是矩形进行证明； ②已知矩形和矩形相似，则纸长和宽的比为________； 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． (2)①如图2，当恰好经过点C时，旋转角的度数是________； ②如图3，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，证明点E是的中点． 【拓展应用】 (3)若，在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①证明：∵矩形，对折，折痕分别交于点M，N，连接． ∴， ∴四边形是矩形； ②； (2) ① ②解：如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，， 由旋转的性质，可知，，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ∴点E是的中点． (3)线段的长为或． 【难度】0.38 【分析】（1）①根据折叠的性质及矩形的判定证明即可；②根据题意得出，再由相似多边形的性质求解即可； （2）①在直角三角形里，利用（1）②中的结果及三角函数算出，从而得到旋转角；②过、向作垂线，先证两个小三角形全等得到垂线段相等，再证包含、的两个三角形全等，从而得出； （3）分在线段上和延长线上两种情况，先证和是等边三角形，再结合勾股定理和（2）的结论，分别算出两种情况下的长度． 【详解】（1）解：②∵矩形，对折，折痕分别交于点M，N， ∴， ∵矩形和矩形相似， ∴即， ∴； （2）①解：当恰好经过点时， 由（1）②得， ∴， ∵旋转， ∴， ∵， ， ， ， ． ②略 （3）∵，， ∴， 解：①如图，当点在线段上时，， ，，， ， ， ， 连接，，则， ， ， 是等边三角形， ， 由（2）可知，， ，， ， ， 是等边三角形， 过点作于， ， ， ，， 在中，， ； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接，，过点作于点， 同理可得是等边三角形， ， 综上所述，线段的长为或． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·山西太原·阶段检测）综合与实践 问题情境 两张透明的菱形纸片，按如图的方式摆放，点与点重合，点，分别落在边，上，点落在对角线上．已知菱形菱形，，，，其中点与点重合，点，点分别落在边，上，点落在上，对角线和重合，点是对角线的中点． 猜想证明 (1)如图将菱形纸片沿着的方向平移至点与点重合，此时，与相交于点，与相交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； 操作探究 (2)在（1）的情况下，将菱形纸片绕点逆时针旋转（旋转角），和分别与直线交于点，点． ①如图3当点在线段的延长线上时，求的长； ②当旋转至时，请在图4中补全满足条件的图形并直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)①；②图见解析， 【难度】0.44 【分析】（1）先由菱形对边平行，证出是平行四边形，再利用相似菱形的角相等，推出，从而判定菱形； （2）①连接并作，可证，设表示出、，在 中用勾股定理列方程，解出；②由相似菱形算出对角线长度，再结合菱形的边长及其对角线垂直求出，然后由推出垂直关系，可证，然后用相似比求出． 【详解】（1）解：四边形和四边形是菱形， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是菱形． （2）①解：连接，过点作， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设，则， ， ，， 在中，， ， ， ， 解得，（舍去）， 故． ②解：如图，，交于点，与交于点， 由（1）知， ， ， ，即， 点在上， ， 菱形菱形，，， ， ， ，即， ， ，， ， ，， ， ， 据①可知， ， 解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $