专题3.2 探索三角形相似的条件（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦“探索三角形相似的条件”核心知识点，涵盖相似三角形定义、与全等三角形的关系、三大判定定理（两角分别相等，两边成比例且夹角相等，三边成比例）及黄金分割。以全等三角形为基础类比，通过逻辑图梳理知识脉络，构建从定义到判定再到应用的学习支架。 资料亮点在于题型分类系统（含判定应用、网格问题、黄金分割实际应用等），典例与变式结合，注重“操作-猜想-归纳”探究过程，发展几何直观与推理意识。逻辑图辅助知识结构化，课中助力分层教学，课后通过即学即练和综合题帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达几何关系的能力。

专题3.2 探索三角形相似的条件 教学目标 1、理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；会找相似三角形对应顶点、对应边、对应角。 2、掌握三角形相似 3 个判定：两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例。 3、能熟练运用相似三角形的判定定理解决相关问题。 4、掌握黄金分割；能运用相关知识解决实际问题。 5、类比全等三角形 经历操作猜想归纳，发展类比推理、几何直观；体会几何探究从直观实验到逻辑推理的过程。 教学重难点 1.重点 （1）三大相似判定定理；基础模型识别； （2）书写相似三角形时对应顶点没有对齐，造成对应边找错。 2.难点 （1）两边成比例时，必须是夹角相等；“两边成比例 + 其中一边对角相等” 不能判定三角形相似； （2）复杂图形中提取出相似三角形。 知识点01 探索三角形相似的条件 1、相似三角形的定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形（similar triangles）。 注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； 2、相似三角形与全等三角形的关系：若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 3、相似三角形的判定 判定1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 注意：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. （2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4、黄金分割定义： 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段（如下图），如果，那么线段AB被点C黄金分割（golden section），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 ≈0.618 AB （0.618是黄金分割的近似值，是黄金分割的准确值）。 注意：没有特殊说明的情况下，一条线段的黄金分割点有两个。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 2．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A．B．C．D． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在中，是边上的中线，且，，与相交于点E，与相交于点F．求证：(1)；(2)． 5．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的高相交于点H，连接．求证： (1)；(2)． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·辽宁阜新·二模）如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·甘肃平凉·二模）黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的：如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接；②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形．则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 题型01 相似三角形的判定（判定1：“AA”） 【典例1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）（1）解方程： （2）如图，等边三角形中，点D在边上，，求证：． 【变式2】（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由．(2)若，，求的长． 【变式3】（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，． (1)求证：；(2)如果，，求的长． 【变式4】（2026·广东广州·二模）已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数；(2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 题型02 相似三角形的判定（判定2:“SAS”） 【典例1】（25-26九年级上·江苏徐州·专题练习）如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在三角形纸片中，．剪下的涂色部分的三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，中，是边上的高，且． (1)求证；(2)求的大小． 【变式4】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，与交于点E，且，，．(1)求的长．(2)求证：． 题型03 相似三角形的判定（判定3：“SSS”） 【典例1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在和中，． (1)求证：．(2)求证：． 【变式1】（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【变式2】（26-27九年级上·成都·课后作业）已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【变式3】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 题型04 选择或添加条件使得三角形相似 【典例1】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，点在的边上，连接，下列无法判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·上海青浦·期末）已知是四边形的对角线，，下列补充的条件中，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 题型05 相似三角形的判定（相似三角形个数问题） 【典例1】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【变式1】（2026·陕西汉中·二模）如图，在矩形中，延长至点，连接，与相交于点，则图中的相似三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【变式2】（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是(　　) A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 题型06 相似三角形的判定（网格问题） 【典例1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，方格纸中有与，其中的一边与的一边和方格线重合．下列判断正确的是（    ） A．一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B．一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C．不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D．不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 【变式2】（25-26九年级上·江西抚州·期中）在的方格中，小正方形的边长为1，，和都是格点三角形． (1)判断与相似吗？若相似，求出的度数，并说出理由； (2)判断与相似吗？若相似，求与的周长比． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，正方形网格上有6个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥，其中②～⑥中，与三角形①相似的三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型07 黄金分割相关问题 【典例1】（25-26八年级下·广东深圳·期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】（2026·江苏泰州·模拟预测）地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 【变式2】（2026·福建南平·二模）黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要依据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧．借助边长为a的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”，字体端庄舒展、比例协调．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且且，点C是线段的黄金分割点，满足（），若．则正方形习字格边长a的长为________． 【变式3】（25-26九年级下·山东烟台·期末）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型08 相似三角形的判定（多结论问题） 【典例1】（2026·安徽芜湖·一模）如图，在菱形中，，点，分别是，上的动点，且与交于点，连接，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．为定值 D．平分 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，判断下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 【变式3】（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型09 相似三角形的判定综合压轴 【典例1】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形是正方形，为边上一动点，为边上一点，满足，，分别交于，，要想求的长度，只要知道（   ） A．的值 B．的长度 C．的值 D．的周长 【变式1】（25-26九年级上·重庆南岸·期中）如图，在正方形中，，点P是上一动点（不与A、B重合），对角线、相交于点O，过点P分别作、的垂线，分别交、于点E、F，交、于点M、N．下列结论：①≌；②；③；④∽；⑤四边形的面积可以为3．⑥的最小值为2，其中正确的选项有（　）个． A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】（2026·四川乐山·二模）如图，分别是正方形的边，上的点，且，，，如下结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】65．（2022·天津南开·模拟预测）如图，与是两个全等的等腰三角形，，分别与相交于点F、G，． (1)图中有哪几对不全等的相似三角形，请把它们表示出来． (2)根据甲、乙两位同学对图形的探索，试探究之间的关系，并证明． 甲同学：把分别沿折叠，发现：B、C两点重合． 乙同学：把绕点A旋转，使重合，发现：构造出了直角． 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东中山·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（  ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级·浙江·暑假作业）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（   ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 6．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为______． 7．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点M、N分别在正方形的边上，，，．那么可以判断与______（选填“相似”或“不相似”）． 8．（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 9．（2026·陕西榆林·三模）如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 10．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 11．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，为的高，． (1)求证：；(2)求的长． 1．（24-25八年级下·山东东营·期中）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·期中）如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论： ①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB． 其中正确的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 6．（25-26八年级下·吉林长春·期末）【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题：如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？(1)请解答上述习题． 【问题探究】(2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系．①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法：由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决．请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴；∴（相似三角形的对应角相等）．请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 7．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）解答下列问题： 【思路梳理】(1)如图1，在中，点在边上，且，连接，若的面积为25，则的面积为_____；(2)如图2，在矩形中，，点、分别在边和的延长线上，连接，，求证：； 8．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，连接交于点F． (1)如图1，求证：；(2)如图2，连接，当时，求的值； 9．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 10．（25-26九年级上·成都·期中）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．(1)如图，若点在线段上运动，交于．求证：； 当是等腰三角形时，求的长．(2)如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由； 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 探索三角形相似的条件 教学目标 1、理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；会找相似三角形对应顶点、对应边、对应角。 2、掌握三角形相似 3 个判定：两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例。 3、能熟练运用相似三角形的判定定理解决相关问题。 4、掌握黄金分割；能运用相关知识解决实际问题。 5、类比全等三角形 经历操作猜想归纳，发展类比推理、几何直观；体会几何探究从直观实验到逻辑推理的过程。 教学重难点 1.重点 （1）三大相似判定定理；基础模型识别； （2）书写相似三角形时对应顶点没有对齐，造成对应边找错。 2.难点 （1）两边成比例时，必须是夹角相等；“两边成比例 + 其中一边对角相等” 不能判定三角形相似； （2）复杂图形中提取出相似三角形。 知识点01 探索三角形相似的条件 1、相似三角形的定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形（similar triangles）。 注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； 2、相似三角形与全等三角形的关系：若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 3、相似三角形的判定 判定1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 注意：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. （2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4、黄金分割定义： 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段（如下图），如果，那么线段AB被点C黄金分割（golden section），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 ≈0.618 AB （0.618是黄金分割的近似值，是黄金分割的准确值）。 注意：没有特殊说明的情况下，一条线段的黄金分割点有两个。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 2．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：A、如图，根据题意得，，∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图，∵不知道的长度，∴无法求出的长度，∴无法得出和以为夹角的两边成比例∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图，∵，∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且；∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，，，故本选项不符合题意； B、，，，故本选项不符合题意； C、，∴，又，，故本选项不符合题意； D、，与的大小无法判定，无法判定，故本选项符合题意． 4．（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在中，是边上的中线，且，，与相交于点E，与相交于点F．求证：(1)；(2)． 【答案】(1)证明：∵是边上的中线，∴ ∵，∴，∵ ∴； (2)证明：由（1）知，∴ ，∴， ∴． 5．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的高相交于点H，连接．求证： (1)；(2)． 【答案】(1)证明：∵是的高，∴． 又∵，∴； (2)证明：由（1）知，∴，即． 又∵，∴． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 7．（2026·辽宁阜新·二模）如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵长为，且点为的黄金分割点，∴， ∵四边形是正方形，∴， ∵点为的黄金分割点，四边形是正方形，∴点为的黄金分割点， ∴，即的长为． 8．（2026·甘肃平凉·二模）黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的：如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接；②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形．则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 【详解】如图，点就是线段的黄金分割点： 设，则，， ，，所以点就是线段的黄金分割点 题型01 相似三角形的判定（判定1：“AA”） 【典例1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【答案】证明：∵是等边三角形，∴． ∵，∴．又∵（对顶角相等）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）（1）解方程： （2）如图，等边三角形中，点D在边上，，求证：． 【详解】（1）解：，移项，得，配方，得， 即，开方，得，解得； （2）证明：为等边三角形，， ，，，． 【变式2】（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由．(2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由如下：∵，，∴． （2）解： 由（1）可得 ，∴，∴，∴． 【变式3】（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，． (1)求证：；(2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明：，，，，； （2）解：，，， ，，，解得（负值已舍去），则的长为． 【变式4】（2026·广东广州·二模）已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数；(2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 【详解】（1）解：∵，平分交于点，， ∴，，∴； (2)如图，即为所求； 证明：∵旋转，∴，，∴， ∴，，∴， 又∵，∴． 题型02 相似三角形的判定（判定2:“SAS”） 【典例1】（25-26九年级上·江苏徐州·专题练习）如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明：，，，， ，， ，，，，． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意；A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在三角形纸片中，．剪下的涂色部分的三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A中，则． 涂色三角形与：，； ，． 边的比例：，，即． 又是与的公共角，可得，即选项A中涂色三角形与相似． 选项B中，，则． 涂色三角形为，对比的边：，， 但与并非对应夹角，不满足相似判定条件，故选项B不相似． 选项C中，，则． 涂色三角形为，对比的边：，， 边的比例不相等，且无对应相等的角，故选项C不相似． 选项D中，，则． 涂色三角形为，对比的边：，， 边的比例不相等，且无对应相等的角，故选项D不相似．故选A 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，中，是边上的高，且． (1)求证；(2)求的大小． 【答案】(1)证明：∵是边上的高，∴，∵，∴； （2）解：∵，∴， 在中，，∴，∴，即． 【变式4】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，与交于点E，且，，．(1)求的长．(2)求证：． 【详解】（1）解：，△△； ，； (2)证明：，，， ，． 题型03 相似三角形的判定（判定3：“SSS”） 【典例1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在和中，． (1)求证：．(2)求证：． 【答案】(1)证明：∵，∴，∴， ∴，∴． (2)解：∵，，∴． 【变式1】（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【详解】解：A、，两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、，两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、，两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、，两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 【变式2】（26-27九年级上·成都·课后作业）已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，，∴，∴． 【变式3】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【答案】证明：，，，，，， 则，，． 题型04 选择或添加条件使得三角形相似 【典例1】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A项：∵，，∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，，∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； D项：在和中，，，故D成立，不符合题意， 综上，不成立的是C． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，点在的边上，连接，下列无法判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知是公共角， 当添加时，由两角对应相等能判定，该选项符合题意； 当添加时，公共角，不是对应边成比例，无法判断，该选项符合题意； 当添加时，由两角对应相等能判定，该选项不合题意； 当添加时，公共角，由对应两边成比例且夹角相等，能判定，该选项不合题意；故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示：，， A、当时，由两角对应相等的两个三角形相似即可得到，不符合题意； B、当时，则，由于不是边的夹角、不是边的夹角，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可知，此条件无法判定，符合题意； C、当时，则，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可得到，不符合题意； D、当时，由两角对应相等的两个三角形相似即可得到，不符合题意；故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·上海青浦·期末）已知是四边形的对角线，，下列补充的条件中，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， 选项A：∵，且，∴，故A能判定相似，不符合题意； 选项B：∵，且，∴，故B能判定相似，不符合题意； 选项C：∵，即，且， ∴，故C能判定相似，不符合题意； 选项D：∵，即，但夹角与不一定相等， 故D不能判定相似，符合题意 ．故选：D． 题型05 相似三角形的判定（相似三角形个数问题） 【典例1】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【详解】解：∵的平分线交于点D，∴， ∵，∴，，∵，∴， ∵，，∴，∵，，∴， ∵，，∴， ∵，，∴，∴一共有4对相似三角形，故选：A． 【变式1】（2026·陕西汉中·二模）如图，在矩形中，延长至点，连接，与相交于点，则图中的相似三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【详解】解：∵，，∴； ∵是公共角，，∴；∴．故有3对． 【变式2】（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是(　　) A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【详解】解：∵是等边三角形，∴， 又∵，∴，∴且， 又∵，∴； ∵，∴， 又∵，，∴，∴且， 又∵，∴，∵，∴， 综上所述，图中相似的三角形的对数是6对．故选：D． 题型06 相似三角形的判定（网格问题） 【典例1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 取格点P，连接、，则．∴． 设正方形网格中的每个小正方形的边长都是m，则． 由勾股定理得：，，． ∴，，． ∴．∴．∴．故选B 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，方格纸中有与，其中的一边与的一边和方格线重合．下列判断正确的是（    ） A．一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B．一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C．不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D．不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 【答案】B 【详解】解：设每个小方格的边长为1， 在中：，， 在中：，， ，， ∴三组对应边的比例相等，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可以判定与一定相似． A．仅为直角三角形不能判定相似，还需要对应边成比例或对应角相等，故本选项不符合题意； B．因为两个三角形的对应边成比例，满足相似三角形的判定条件，故本选项符合题意； C．对应边成比例必然导致对应角相等，所以一定相似，故本选项不符合题意； D．对应边成比例必然导致对应角相等，所以一定相似，故本选项不符合题意；故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·江西抚州·期中）在的方格中，小正方形的边长为1，，和都是格点三角形． (1)判断与相似吗？若相似，求出的度数，并说出理由； (2)判断与相似吗？若相似，求与的周长比． 【答案】(1)与相似，，理由如下， 在中，，，， 在中，，，， ∵，∴与相似，∴； （2）解：与相似，周长比为． 在中，，，， 在中，，，， ∵，∴与相似， ∴与的周长比为的长度与的长度，即周长比为． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，正方形网格上有6个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥，其中②～⑥中，与三角形①相似的三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则的各边长分别为1、、．则 ②的各边长分别为1、、；③的各边长分别为2、、（为各边长的2倍）； ④的各边长分别为5、、（为各边长的倍）； ⑤的各边长分别为2、、（为各边长的倍）；⑥的各边长分别为3、、． 根据三组对应边成比例的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤． 题型07 黄金分割相关问题 【典例1】（25-26八年级下·广东深圳·期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形为正方形，，∴， ∴，∴四边形为矩形，， “远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且， ，． 【变式1】（2026·江苏泰州·模拟预测）地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 【答案】 【详解】解：由题意得，，，黄金地带纬度的范围是：． 【变式2】（2026·福建南平·二模）黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要依据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧．借助边长为a的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”，字体端庄舒展、比例协调．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且且，点C是线段的黄金分割点，满足（），若．则正方形习字格边长a的长为________． 【答案】 【详解】解：∵点在线段上，且，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 【变式3】（25-26九年级下·山东烟台·期末）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：在正方形中，，设， ∵是的中点，∴，在中，， ∵，∴，∴， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，满足黄金分割定义，∴点是线段的黄金分割点； ∵，∴四边形是矩形，∴， ∴，满足黄金分割定义，∴点是线段的黄金分割点； ∵、、、在同一直线上，∴， ∵，，∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点；∵是的中点，∴不是的黄金分割点， ∵，，，∴，， ∴，∴不是的黄金分割点，综上所述，点、、是黄金分割点，共3个． 题型08 相似三角形的判定（多结论问题） 【典例1】（2026·安徽芜湖·一模）如图，在菱形中，，点，分别是，上的动点，且与交于点，连接，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．为定值 D．平分 【答案】A 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，为等边三角形，∴，， ∵，∴，∴， ∴， ∴，∴，∴， 如图，过点D作于M，于N， 则，∴，， ∵，∴， ∴，，故D正确，不符合题意； ∴，∴ ； 故A错误，符合题意；∵，，∴，故B正确，不符合题意； ∵，∴，故C正确，不符合题意；故选：A. 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，判断下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据尺规作图可知垂直平分，，，，即， 又，，，故A正确，不符合题意； ，，故B正确，不符合题意； 与不一定相等，则不一定能得到，故C不正确，符合题意； 垂直平分，，故D正确，不符合题意．故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 【答案】C 【详解】解：A.根据直角三角形斜边最长和角所对的直角边等于斜边的得，， ∴；，∴； ∵，∴；∴，∴该选项错误，不符合题意； B.∵，∴与不相似，该选项错误，不符合题意； C.令，由勾股定理得，∵， ∴，且，∴，∴该选项正确，符合题意；故选：C． 【变式3】（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由折叠得：，，故A、B都一定正确； ，， ，， ，故C一定正确；无法得出，故D不一定正确． 题型09 相似三角形的判定综合压轴 【典例1】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形是正方形，为边上一动点，为边上一点，满足，，分别交于，，要想求的长度，只要知道（   ） A．的值 B．的长度 C．的值 D．的周长 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵四边形正方形，．． ，．．． 又，．． 同理可得：，，． ．．又，． ．．故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·重庆南岸·期中）如图，在正方形中，，点P是上一动点（不与A、B重合），对角线、相交于点O，过点P分别作、的垂线，分别交、于点E、F，交、于点M、N．下列结论：①≌；②；③；④∽；⑤四边形的面积可以为3．⑥的最小值为2，其中正确的选项有（　）个． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解：①∵四边形是正方形，∴． ∵，∴， 在和中，，∴≌，故①正确； ②∵四边形是正方形，∴，，∴， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴， ∴，故②正确； ③在直角中，，由，∴，故③正确； ④∵，，∴是等腰直角三角形， 而是直角三角形，∴与不相似；故④错误； ⑤∵四边形是矩形，∴四边形的面积＝，设，则， 若四边形的面积为3，则， ，此方程无实数解，∴四边形的面积不可以为3，故⑤错误； ⑥当时，最小＝2，当时，最小，的最小值为2，故⑥正确． 其中正确的是①②③⑥．故选：C． 【变式2】（2026·四川乐山·二模）如图，分别是正方形的边，上的点，且，，，如下结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠B=∠C=∠D=90° ∵AG=CE，∴BG=BE，∴ ∴，故①正确； ∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°， ∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC， 在△AGE和△ECF中，∵ ∴△AGE≌△ECF（SAS），∴②正确； ∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°-90°=45°，∴③正确； ∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；故选：C． 【变式3】65．（2022·天津南开·模拟预测）如图，与是两个全等的等腰三角形，，分别与相交于点F、G，． (1)图中有哪几对不全等的相似三角形，请把它们表示出来． (2)根据甲、乙两位同学对图形的探索，试探究之间的关系，并证明． 甲同学：把分别沿折叠，发现：B、C两点重合． 乙同学：把绕点A旋转，使重合，发现：构造出了直角． 【详解】（1）解：∵与是两个全等的等腰直角三角形，， ∴，∵， ∴，，∴， (2)，证明方法（一） 如图1，把分别沿折叠至和， 则，， ∵，∴∴， ∵，∴，∴点重合，记为点，∴ ∴∴； 证明方法（二） 把旋转至，得， ∴，∵∴，∴， ∴，即∵，∴，∴， ∵，∴在中，，∴． 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，，∵的长度为，∴. 2．（2026·广东中山·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 3．（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在和中，为公共角． 选项A：∵，且，∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项B：∵，且，∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项C：∵，即，且，∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，； 选项D：∵，即，但该比例对应的角不是公共角，不满足相似三角形的判定条件，∴不能判定．故选：D． 4．（26-27九年级·浙江·暑假作业）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、∵，∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵，∴，∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足，故此选项不符合题意； C、∵，∴，故此选项不符合题意； D、∵，∴，故此选项不符合题意．故选：A． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（   ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【详解】解：由得到， 又，故，故选：B． 6．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：由题意，得，，，，， ，，，， ，．故答案为：． 7．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点M、N分别在正方形的边上，，，．那么可以判断与______（选填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【详解】解：∵正方形，∴，， ∵，，∴， ∵，∴，故答案为：相似． 8．（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【详解】解：∵，∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 9．（2026·陕西榆林·三模）如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点D、E即为所求： 【详解】解：作图依据： ∵，，∴． 10．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 【答案】证明：∵，，∴． 11．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，为的高，． (1)求证：；(2)求的长． 【答案】(1)证明：为的高，． 又，和都是等腰直角三角形，，且． 在和中，，且，； （2）解：由，可得． ，． 1．（24-25八年级下·山东东营·期中）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：在和中，， 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故①正确； 当时，，故②不正确； 当时，根据两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，可以得到，故③正确；当，即时，无法得到，故④不正确； 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故⑤正确； 故能满足的条件有3个. 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，， 又是的中点，∴，∴，∴， 又是上一点，且，∴，∴， ∴，∴，故A成立； 又， ， ∴， ∴，，，∴， ∴，故B成立；∵，∴，，， ∵，∴，，， ∴，，∴，故C成立； ，但，∴不成立，故D不成立，故选：D． 3．（25-26九年级上·北京·期中）如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵线段，点是线段的黄金分割点且， ∴，∴，则， ∵点是线段的黄金分割点且，∴；∴， ∴，同理可得：， 以此类推，则线段的长度是．故选：A． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论： ①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB． 其中正确的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°． ∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，∴△AMN∽△BME， ∴，∴，∵∠AMB=∠EMN，∴△AMB∽△NME，故①正确， ∴∠AEN=∠ABD=45°，∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确， 在△ABE和△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF． ∵BC=CD，∴CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H， ∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE=OF， Rt△CEF中，OCEFx，在△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE． ∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE(HL)，∴AO=AB=1，∴ACAO+OC， ∴1x，∴x=2，∴，故③不正确， ③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF=AH，∠DAF=∠BAH． ∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE．∵∠ABE=∠ABH=90°，∴H、B、E三点共线， 在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH(SAS)，∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正确， 如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AFa， ∵DF∥AB，∴，∴AN=NEAFa，∴AEANa， ∴BEa，∴ECaBC，故⑤正确．故选：C． 5．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 【答案】或 【详解】解：当时，，即，解得， 当时，，即，解得， 故答案为：或． 6．（25-26八年级下·吉林长春·期末）【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题：如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？(1)请解答上述习题． 【问题探究】(2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系．①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法：由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决．请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴；∴（相似三角形的对应角相等）．请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵，，∴； (2)①∵，∴，，即， ∵，∴，∴； ②∵，，∴， ∴； （3）解：∵在和中，，，，，∴， ∵，∴，∴，， 在四边形中，，由（2）得，∴， ∵，∴；∵，，∴， ∵，∴，∴． 7．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）解答下列问题： 【思路梳理】(1)如图1，在中，点在边上，且，连接，若的面积为25，则的面积为_____；(2)如图2，在矩形中，，点、分别在边和的延长线上，连接，，求证：； 【详解】（1）解：∵点在边上，且，∴， ∵的边上的高与的边上的高相等，∴， ∵的面积为25，∴，解得，即的面积为10． (2)证明：∵在矩形中，，∴， ∵，∴， ∵，∴，，∴， 在和中，，∴． 8．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，连接交于点F． (1)如图1，求证：；(2)如图2，连接，当时，求的值； 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：在中，，， ，， 又，，； （2）解：由（1）知，， ，，， ，， ，即，，， ，， ，， 过作交的延长线于，，， 又，，， ，，，； 9．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析(2)③(3) 【详解】（1）证明：四边形是菱形，，， 又，； （2）解：四边形是菱形，，， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形，， 又，，即，， ∵，，，，即菱形的边长为． 10．（25-26九年级上·成都·期中）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．(1)如图，若点在线段上运动，交于．求证：； 当是等腰三角形时，求的长．(2)如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由； 【答案】(1)证明：，， ，， ，， ，； 解：当是等腰三角形时，分为以下三种情况：第一种情况：如图，， ，，，， 由可知：，，，点为的中点，； 第二种情况：如图，，此时点和点重合，点和点重合，即； 第三种情况：如图，，，， ，， ， ，， 在和中，，，，， 设，在中，，， ，，， 解得：，； 综上所述，的长为或或； （2）解：存在（只有一种情况），理由如下：如图，由（1）可知：， ，， ，， 又，，， 又，，答：存在，． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $