专题10 期中复习高频解答题分类专项训练（13种类型78道）2026-2027学年七年级数学上册高频考题专项训练（北师大版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦期中高频解答题，以13类78道题构建从基础到综合的训练体系，强化几何直观、运算能力与推理意识的融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形面积|6道|含展开图、体积计算|从平面图形到立体图形的转化应用| |有理数运算|6道|含乘方、实际应用|运算规则与实际情境的结合| |绝对值综合|6道|含几何意义、最值|绝对值性质与数轴的数形结合| |数轴动点|6道|含动态距离、分类讨论|数轴、绝对值与方程思想的综合| |整式运算|12道|含合并同类项、化简求值|代数式运算与化简技巧的递进| |规律与几何综合|12道|含图形规律、面积表示|从特殊到一般的归纳推理| |错解与无关问题|12道|含错因分析、定值探究|逆向思维与代数推理的应用|

专题10 期中复习高频解答题分类专项训练 （13种类型78道） 专题目录 【类型1 几何图形相关面积求解】 1 【类型2 含乘方的有理数混合运算】 6 【类型3 有理数相关实际应用】 8 【类型4 绝对值相关综合题】 13 【类型5 数轴动点相关压轴题】 19 【类型6 合并同类项】 30 【类型7 化简求值】 33 【类型8 利用数轴去绝对值并化简】 35 【类型9 “无关”类问题】 39 【类型10 错解还原】 43 【类型11 通过计算说明理由】 47 【类型12 整式的加减与几何图形面积】 50 【类型13 整式相关规律性问题】 55 【类型1 几何图形相关面积求解】 1．观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）旋转得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形． （2）由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为，代入到圆柱和圆锥的体积公式中即可求解． 【详解】（1）解：将左侧的平面图形绕直线旋转一周得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形， 故答案为：． （2）解：由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为， ∴圆锥的体积为，圆柱的体积为， ∴这个几何体的体积为． 2．图①是设计的一个茶叶盒的表面展开图． (1)这个几何体的名称为________． (2)若想给盒子侧面加一层如图②所示的竹签包装，请根据图中所标的尺寸计算所需竹签包装的面积． 【答案】(1)正六棱柱 (2) 【分析】本题考查棱柱的识别与侧面积计算，掌握棱柱的特点及侧面积计算公式是解题的关键． （1）本题需要掌握棱柱表面展开图的特征：由两个相同的多边形和若干个长方形组成，根据展开图中底面是正六边形，可判断该几何体为正六棱柱； （2）本题要理解棱柱侧面积的计算方法：正六棱柱的侧面积等于各个侧面长方形的面积之和，每个侧面长方形的面积为底面边长棱柱的高，这里需明确图中尺寸对应的底面边长和高，进而计算侧面积． 【详解】（1）解：由展开图可知，该几何体有两个正六边形的底面和六个长方形的侧面，所以这个几何体的名称为正六棱柱． 故答案为：正六棱柱． （2）解：正六棱柱的侧面由个完全相同的长方形组成， 从图可知，长方形的长为，宽为， 根据长方形面积公式长宽， 一个侧面长方形的面积为， 那么个侧面的总面积为． 3．（1）计算该铁皮的面积． （2）它能否做成一个长方体盒子？若能，并计算它的体积；若不能，说明理由． 【答案】（1）22平方米 （2）能，体积为6立方米 【分析】本题的关键是要理解长方体的展开图，再计算该长方体的展开图的面积，长方体的体积等知识． （1）根据图中尺寸计算铁皮的面积； （2）这6个面可能做成一个长方体盒子，已知它的长，宽，高，可计算体积． 【详解】解：（1）该铁皮的面积为． 答：铁皮的面积是22平方米． （2）能做成一个长方体盒子，如图． 其体积为． 4．如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称：_____；它有_____条棱，有_____个面，有_____个顶点 (2)用一个平面去截该几何体，截面形状不可能是_____（填序号）： ①三角形；②长方形；③五边形；④六边形；⑤圆形； (3)求该几何体的所有侧面的面积之和． 【答案】(1)三棱柱，9，5，6 (2)④⑤ (3)72 【分析】本题主要考查了三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积等知识，熟练掌握三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积是解题的关键． （1）根据三棱柱的形体特征作答即可； （2）根据截三棱柱所得的截面形状进行判断作答即可； （3）根据三棱柱侧面积为3个长方形的面积和，计算求解即可． 【详解】（1）解：该几何体是三棱柱，它有9条棱，有5个面，有6个顶点， 故答案为：三棱柱，9，5，6； （2）解：用一个平面去截该三棱柱， 截面形状可以是三角形，长方形，五边形， ∴①②③不符合要求；④⑤符合要求， ∴截面形状不可能是④⑤． 故答案为：④⑤； （3）解：侧面积为． 5．如图1是数学活动课上制作的纸魔方变化出的一种形状．图2是构成纸魔方的一个三棱柱的展开图，尺寸数据如下（单位：．阴影部分为内部粘贴角料，计算面积时忽略不计）： (1)做一个三棱柱需要纸片______，做一个图1纸魔方一共需要纸片______；（直接用含a，b的式子表示） (2)当，时，图1纸魔方一共用纸片多少平方厘米？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是三棱柱的展开图的认识，求解表面积； （1）把三棱柱的5个面的面积相加即可；由图1需要16个这个的三棱柱可得面积和； （2）把，代入（1）中代数式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：做一个三棱柱需要纸片需要 ， 做一个图1纸魔方一共需要纸片 （2）解：当，时， ∴ ； 6．在学习了“包装中的智慧”之后，小明同学尝试用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如图所示（单位：），其中阴影部分为内部粘贴角料．请结合图形解决下列问题： (1)此长方体包装盒的体积为______（用含x，y的式子表示）； (2)若内部粘贴角料的面积占长方体包装盒表面积的，求当，时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方厘米（含内部粘贴角料）？ 【答案】(1) (2)制作这样一个长方体共需要纸396平方厘米 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，长方体展开图等认识，正确理解题意，弄清熟练关系是解题关键. （1）根据长方体的体积公式，即可求解； （2）根据长方体的表面积公式列出式子，再将，代入，即可求解即可. 【详解】（1）解：由长方体包装盒的平面展开图，可知该长方体的长为厘米，宽为厘米，高为厘米， 则长方体包装盒的体积为立方厘米． 故答案为：； （2）解：长方体的长为厘米，宽为厘米，高为厘米， 长方体的表面积平方厘米， 又内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的， 制作这样一个长方体共需要纸板的面积平方厘米， ，， 制作这样一个长方体共需要纸为 （平方厘米）， 答：制作这样一个长方体共需要纸平方厘米． 【类型2 含乘方的有理数混合运算】 7．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 8．计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可得解． 【详解】解：原式 ． 9．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 10．计算： 【答案】 【分析】按照先算乘方、括号内运算、绝对值，再算乘除，最后算加减的顺序，运用有理数运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 11．计算：． 【答案】 【分析】先算乘方、绝对值，再算除法，最后从左到右依次进行加减运算即可． 【详解】解： ． 12．计算： 【答案】 【详解】解： ． 【类型3 有理数相关实际应用】 13．国庆黄金周到来之际，小明欲开启一段美妙的旅行！为更好地规划行程，他临行前特意查找了某地区一周内（10月1日至10月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 与标准气温的差值（） 0 (1)这七天内平均气温最高的是几号？是多少度？ (2)这七天内平均气温最低的是几号？ (3)若小明希望气温高于时进行户外活动，那么这七天中有几天适合户外活动？请说明理由． 【答案】(1)平均气温最高的是10月5日，为 (2)平均气温最低的是10月7日 (3)这七天中有3天适合户外活动 【详解】（1）解：∵， ∴平均气温最高的是10月5日， ∵以为标准， ∴10月5日气温是：； （2）解：∵， ∴平均气温最低的是10月7日； （3）解：∵，，且以为标准， ∴10月3日、10月4日、10月5日气温均高于， ∴这七天中有3天适合户外活动． 14．今年，越来越多的无人配送车出现在长沙街头，走进我们的生活．据统计，在深圳核心区域，80台无人车相当于替代了35名人力及35台传统接驳车辆．某无人配送车从快递公司出发，先向西行驶到达A小区，继续向西行驶到达B小区，然后向东行驶到达C小区，最后回到快递公司．若以快递公司为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示． (1)请你画出数轴，并在数轴上表示A，B，C三个小区的位置； (2)求C小区和A小区之间的距离； (3)哪个小区离快递公司最远？请说明理由． 【答案】(1)如图所示即为所求： (2) (3)B小区离快递公司最远． 理由：A、B、C三个小区到快递公司的距离分别为、、，由，故B小区离快递公司最远． 【分析】（1）由题意可知的位置标注A小区，的位置标注B小区，的位置标注C小区，再在数轴上表示出来即可； （2）由数轴上的位置标注A小区， 的位置标注C小区，再利用数轴上两点间的距离公式求解即可； （3）先求出A、B、C三个小区到快递公司的距离，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：∵以快递公司为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示， ∴数轴上的位置标注A小区，的位置标注B小区，的位置标注C小区． （2）解：∵数轴上的位置标注A小区， 的位置标注C小区， ∴C小区和A小区之间的距离为． （3）略 15．为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：m）：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了初始位置？请说明理由； (2)本次练习中守门员共跑了多少米？若每跑10米奖守门员2个苹果，则守门员可得到多少个苹果？ 【答案】(1)守门员最后回到了初始位置． (2)本次练习中守门员共跑了60米，可得到12个苹果． 【分析】（1）计算所有跑动记录的代数和，根据和是否为0，即可判断是否回到初始位置； （2）先计算所有跑动记录的绝对值之和得到总路程，再结合奖励规则计算苹果数量即可． 【详解】（1）解：守门员最后回到了初始位置，理由如下： ，即守门员最后回到了初始位置． （2）解：总路程为各段跑动距离的绝对值之和：（米） ， 苹果数量： （个）． 答：守门员共跑了60米，可得到12个苹果． 16．近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加，轩轩家购买了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程 (1)请求出轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，求轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用． 【答案】(1)轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米 (2)轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用为元 【分析】（1）将表格中的数据相加，再加上这7天的标准总路程即可得； （2）先求出总的耗电量，再乘以每度电的费用即可得． 【详解】（1）解：由题意得： （千米）， 答：轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米． （2）解：由题意得： （元）， 答：轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用为元． 17．股民小王上星期五买进某股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票收盘价比前一天的涨跌情况（单位：元）；（“+”表示收盘价比前一天涨） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） (1)星期四收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)已知买进股票时需付成交额的手续费，卖出时需付成交额的（千分之）的手续费和的交易税．如果小王在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？（收益卖股票收入买股票支出卖股票手续费和交易税买股票手续费） 【答案】(1)元 (2)最高价是每股元，最低价是每股24元 (3)赔元 【分析】（1）根据题意，买进时每股为25元，周一收盘时，每股涨了2元，可得周一收盘时每股的价格，依此类推即可解答； （2）根据表格，可求出每天的股价，再进行比较即可解答； （3）根据题意推出周五收盘前的每股价格，然后计算出1000股的总价，再减去所缴纳的手续费和交易税，即为周五收盘前将股票全部卖出的总额，再跟买进时股票的总成本进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：元， 即星期四收盘时，每股是元； （2）解：星期一：元； 星期二：元； 星期三：元； 星期四：元； 星期五：元； 因为， 所以本周内最高价是每股元，最低价是每股24元； （3）解：买进的总成本：元； 卖出的净收入：元， 则赔钱：元． 18．某文具厂工人刘师傅一天生产盒铅笔，以每盒克为标准，超过或不足的克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：克） 0 1 3 盒数 1 5 2 4 3 5 (1)盒铅笔中，最重的一盒比最轻的一盒重多少克？ (2)这盒铅笔的实际总质量是多少克？ (3)若生产每克铅笔的成本是元，这批铅笔按每盒元的价格售出盒后，剩余盒以每盒元的优惠价卖出．这盒铅笔全部售出后，刘师傅一共盈利多少元？ 【答案】(1)克 (2)克 (3)元 【分析】（1）先找到最重、最轻对应的质量差值，再用最重差值减去最轻差值，求出重量差． （2）先算出20盒铅笔的标准总质量，再计算所有盒数对应的质量偏差总和，标准总质量加上偏差总和得到实际总质量． （3）先计算全部销售总收入，再根据实际总质量算出生产总成本，利用盈利=总收入‑总成本求出盈利． 【详解】（1）解：（克）， 答：最重的一盒比最轻的一盒重7克． （2）解：（克） （克）， （克）， 答：这20盒铅笔的实际总质量是1002克． （3）解： （元）， （元）， （元）， 答：刘师傅一共盈利179.9元． 【类型4 绝对值相关综合题】 19．（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 【答案】（1）①，小，；②，大，5；（2）或 【分析】本题考查了绝对值的非负性质，绝对值的意义，分类讨论等知识与方法，掌握这些知识与方法是解题的关键； （1）①由绝对值的非负性质即可求解； ②由绝对值的非负性质即可求解； （2）由可得，则原式可化为；不妨假设，分两种情况：；，即可求解． 【详解】解：（1）①由于，则， 当时，， 此时当时，的值最小，最小值为； 故答案为：，小，； ②由于，则，， 当时，， 此时当时，的值最大，最大值为； 故答案为：，大，5； （2）由，得， 原式； 不妨假设， 由于，则，， 分两种情况： 当时； 原式 ； 当时， 原式 ； 综上，的值为或． 20．同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 【答案】(1)； (2)5 (3)1001000 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）当时，取得最小值5． （3）由题意得出当时，的值最小． 【详解】（1）解：表示数轴上数x与数两点间的距离， 故答案为：； （2）解：可理解为数轴上表示数  ��  的点到表示数和 2的点的距离之和，当点  ��  位于点数 和 2之间（含端点）时，该距离之和最小，最小值为点数和点2之间的距离，当时，取得最小值5． 故答案为：5； （3）解：表示数轴上x所对应的点到1、2、3、…、2001所对应的点的距离之和， 当时，距离之和最小， 最小值为： . 21．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们常常会运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则的值为_____； (2)已知，求的值； (3)已知是有理数，当取不同数时，式子的值也会发生变化，直接写出式子的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，理解题意，熟练掌握绝对值的几何意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义即可得解； （2）的几何意义是在数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离为，由此即可得解； （3）的几何意义是在数轴上表示数的点与表示数和的点之间的距离之和，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：在数轴上与原点距离为的点对应的数为，即； （2）解：的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离为． 在数轴上与表示数的点的距离为的点对应的数为，，即或； （3）解：，故的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数和的点之间的距离之和， 故当在和之间（包括端点）时，距离和最小，最小值为， 即的最小值为． 22．我们都知道，表示8与3的差的绝对值，也可以理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____两点间的距离． (2)表示数轴上数与数_____两点间的距离和数与数_____两点间的距离的和． (3)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在最小值，最小值为 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）根据绝对值的几何意义即可解答； （3）根据绝对值的几何意义画出图形，结合图形，根据与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，即可求解． 【详解】（1）解：表示数轴上数与数两点间的距离． 故答案为：． （2）表示数轴上数与数两点间的距离和数与数2两点间的距离的和． 故答案为：，． （3）存在，的最小值为5． 如图，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，， 当点在点的左边时，大于5； 当点在点的右边时，大于5； 当点在点和点之间或者与点或点重合时， ． 所以的最小值为5． 23．阅读： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点分别表示数． 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是3． (1)借助数轴，说明的最小值是多少？ (2)当代数式的最小值是1时，直接写出此时的a值． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，绝对值的几何意义． （1）把原式转化为看作是数轴上表示的点与表示和的点之间的距离最小值，即可求解； （2）根据原式的最小值为1，得到表示3的点的左边和右边，且到3距离为1的点即可． 【详解】（1）解：因为． 如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和， 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是； （2）解：当为或时，代数式为或， 数轴上表示数2的点到表示数3的点的距离为1，数轴上表示数4的点到表示数3的点的距离也为1， 当为或时，原式的最小值是1． 24．阅读理解：，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离； ，它在数轴上的意义可以理解为：表示6的点与3的点之间的距离为3； 类似的，它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离是9，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离． 归纳：它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离． 应用：，它在数轴上的意义表示_____的点与_____的点之间的距离为1，所以a的值为__________． 【答案】阅读理解：、、画图见详解；归纳：、；应用：、、或 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用，一个数的绝对值就是这个数对应的点到原点的距离．根据题目的阅读理解，直接得出结果． 【详解】阅读理解：类似的，它在数轴上的意义表示的点与表示的点之间的距离是9，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离： 归纳：它在数轴上的意义表示的点与的点之间的距离． 应用：，它在数轴上的意义表示的点与的点之间的距离为1， ， 或， a的值为或． 【类型5 数轴动点相关压轴题】 25．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a、c满足，． (1) ； ； (2)在（1）的条件下，若点P 为数轴上一动点，其对应的数为 x ，则代数式有最 （填“大 ”或“小 ”）值为 ； (3)点 P 从点A 处以 1 个单位/秒的速度向左运动，同时点Q从点C处以2个单位/秒的速度向左运动，在点Q到达点B后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为t（秒），求第几秒时，点P，Q之间的距离是点C、Q之间的距离的2倍？ 【答案】(1)，9 (2)小，12 (3)第秒，第秒，第28秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可； （2）根据折叠点为点A与点C的中点，列式求解即可． （3）先求得线段的长，然后分情况计算：当时，当时，分别表示出点P表示的数，点Q表示的数，然后根据分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，9； （2）∵，， ∴， ∴代数式表示点P到的距离与点P到9的距离之和， ∴当点P在和9之间时有最小值为， 故答案为：小，12； （3）∵， ∴， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ， ∵， ∴， ∴当时， 解得：； 当时， 解得：， 综上，第秒，第秒，第28秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值与偶次方的非负性及一元一次方程在动点问题中的应用，熟练掌握相关运算性质及正确列式是解题的关键． 26．已知a是最大的负整数，，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度；动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒1个单位长度．求运动几秒后，点P与Q的距离为3个单位长度？ (3)在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； 数轴表示如下所示： (2)运动秒或秒时，点P与Q的距离为3个单位长度 (3)或3 【分析】此题考查一元一次方程的应用，在数轴上表示数，数轴上两点间的距离等知识，解题关键在于能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值． （1）根据最大的负整数是，据此可得a的值，再根据非负数的性质求出b、c的值，并在数轴上表示出A、B、C三个点即可； （2）设运动t秒后，点P与Q的距离为3个单位长度，根据题意列出方程求解即可； （3）设点对应的数为，根据数轴上两点间的距离等于这两点表示数的差的绝对值得出，再分四种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设运动t秒后，点P与Q的距离为3个单位长度， 由题意得，运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点P与Q的距离为3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴运动秒或秒时，点P与Q的距离为3个单位长度； （3）解：设点M表示的数为m， ∵点M到A，B，C，三点的距离之和等于12， ∴， ∴； ∴； 当时，，，， ∴， 解得， 当时，，，， ∴， 解得(不合题意舍去) 当时，，，， ∴， 解得， 当时，，，， ∴， 解得(不合题意舍去)， 综上所述，或， ∴点对应的数是或3． 27．【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由； 【拓展探索】 （2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点： ①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数； ②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数． 【答案】（1）点A是点B，C的“关联点”， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴点A到点C的距离等于点A到点B距离的2倍，点A也是点B，C的“关联点”． （2）①点P所表示的数为，0或4； ②点P所表示的数为，或 【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴上两点之间的距离表示有理数，有理数的四则运算，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）①先求出两点之间的距离，分类讨论：第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，分别求解即可； ②分类讨论：第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时，点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，分别求解即可． 【详解】解：（1） 略 （2）①由点A、B所表示的数可知， 点与点之间的距离为． 当点在点与点之间时： 第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为， 第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为； 第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，如图 ∴点与点之间的距离等于点P与点之间的距离，即点与点B之间的距离为3， ∴此时点表示的数为． 综上可知，点所表示的数为点P所表示的数为，0或4． ②第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时： ∵点在点的左侧， ∴点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍，如图 ∴点与点A之间的距离等于点与点之间的距离，即点与点之间的距离为3， ∴此时点所表示的数为； 当点为点P，B的“关联点”时：点在点A的左侧，点B在点A的右侧， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为； 第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为， 综上可知，点P所表示的数为，或． 28．阅读材料：点 A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离可表示为．例如： 6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示5的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和3，数轴上另有一点P对应的数为有理数x. 请根据阅读材料回答下列问题： (1)点A与点B之间的距离 ； (2)根据几何意义，解决下列问题并填空： 当时， ；                       当时， ；                  若点P在A、B两点之间，则 ；           若， 则点P表示的有理数x为 ． (3)若点M、N 为数轴上的两个动点，若点M以每秒个单位长度的速度从点B向数轴负方向出发，点N从点A向数轴正方向出发，其运动速度是点M的3倍，求运动多少秒后点M与点N相距1个单位长度？ 【答案】(1)5； (2)5；9；5，4或； (3)5秒或秒． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，行程问题，数形结合思想等。理解并掌握材料中两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据数轴上点A和点B表示的数计算即可； （2）根据数轴数形结合即可； （3）设运动t秒后点M与点N相距1个单位长度，分相遇前相遇后进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：5； （2）由数轴可知： 当时，到A、B两点的距离之和为5， 所以；     当时，到A、B两点的距离之和为9， 所以；     若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离之和为5， 所以； 因为，所以点P不在A、B两点之间， 因为，所以点P表示的有理数x为4或； 故答案为：5；9；5，4或； （3）由题可知，， 设运动t秒后点M与点N相距1个单位长度， 相遇前： ，    相遇后： ，        答：综上可知，经过5秒或7.5秒时点M与点N相距1个单位长度 29．如图，数轴上从左至右有，，，四个点．分别表示有理数，，，，点和点之间的距离为20个单位长度，且，互为相反数，． (1) ， ， ； (2)数轴上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为秒．当点运动到点时，点从点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴在点和点之间往返运动，当点运动到点时，点的运动停止． ①求为何值时，点与点第一次相遇； ②求点一共运动了多少个单位长度，并求点停止运动时在数轴上所表示的有理数； ③直接写出点，前两次相遇间隔的时长． 【答案】(1) (2)①②144，4③4秒 【分析】本题考查了有理数与数轴，非负性，有理数的运算，熟练掌握两点间的距离，正确地列出算式是解题的关键； （1）根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，求出a，c，非负性求出b，d，进而求出即可； （2）①用点P到达点C的时间加上P，Q相遇时所用的时间，即可得出结果； ②求出点P从点C运动到点D所用的时间，再根据路程等于速度乘以时间，求出点Q运动的路程，进而求出点Q停止时所表示的数； ③先求出第一相遇的位置，再求出Q运动到B的时间，进而求出P运动的路程，再根据追及问题求时间即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 点和点之间的距离为20个单位长度，且，互为相反数，， ， ， 故答案为：； （2）解：①点P到达点C所用时间为（秒）， ； 故当时，点P与点Q第一次相遇； ②P点从点C到达点D所用时间为（秒）， ∴点Q一共运动了个单位长度， ， ∴当点Q停止运动时，离点D有24个单位长度， ∴点Q表示的数为； ③P从C到第一次相遇运动的路程为：， P，Q在处相遇， Q运动到B所用时间为（秒），此时P运动的路程为个单位长度， ，前两次相遇间隔的时长为（秒）． 30．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】(1)秒 (2)表示的数为18 (3)动点运动的时间为秒或秒 【分析】（1）首先求出，，然后根据点P在段和段的速度求解即可； （2）求出，然后结合点B表示的数求解即可； （3）设秒后，根据题意分三种情况讨论，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：点表示，点表示， ∴，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， ∴在段速度为个单位长度/秒， ∴从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：∵的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， ∴在段速度为个单位长度/秒， 由（1）可得：在段运动时间为：（秒）， ∴， 点表示， ∴表示的数为：； （3）解：设秒后， ①当在上时， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴（秒）； ②当在上时， ， ∴， ， ∴， ∴（秒）， ③当在上时， 此时不可能等于16，不符合题意舍去． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 【类型6 合并同类项】 31．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据合并同类项法则计算，即可作答． （2）先去括号，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减中的合并同类项，去括号，掌握合并同类项法则和去括号法则是解题的关键． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 33．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题关键； （1）根据合并同类项的运算法则计算即可； （2）根据合并同类项的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 34．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．合并同类项 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式运算， （1）首先去括号，然后合并同类项即可； （2）合并同类项，即可获得答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 36．合并同类项： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，其实质就是去括号、合并同类项，在解题过程中需注意各项的符号． （1）直接找出同类项，进行合并即可得解； （2）先去括号，然后找同类项，最后合并同类项即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【类型7 化简求值】 37．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 38．先化简后代值，其中，． 【答案】，． 【分析】先对代数式进行去括号，合并同类项，化简后代入的值，即可得到结果． 【详解】解：， ， ， 当，时， 原式． 39．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先化简，再把，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 40．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号，合并同类项，得到化简的结果，再将，代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 41．化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 42．先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】化简为，值为 【分析】首先对原式进行去括号、合并同类项化简；再根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”求出和的值；最后将、的值代入化简后的代数式计算出结果． 【详解】解：， ，且，， ，， ，． 当，时，原式． 【类型8 利用数轴去绝对值并化简】 43．已知有理数，在数轴上的位置如图所示． (1)判断正负，用“＞”“＜”或“＝”填空：__________0；__________0；__________0． (2)化简：． 【答案】(1)＜；＞；＞ (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简绝对值，利用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先观察数轴得，得，，，即可作答． （2）结合数轴化简各个绝对值，再运算整式的加减法，即可作答． 【详解】（1）解：观察数轴得， ∴，，， 故答案为：<；>；>； （2）解：依题意，得，，， ． 44．已知，，为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：，，； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了数轴与有理数的大小关系、绝对值的化简以及整式的加减运算． （1）由数轴得，， ，从而判断进行； （2）先根据数轴得到，，，再利用绝对值的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，， ， ， 故答案为：，，； （2）， ，， ． 45．（1）已知互为相反数，的相反数是最大的负整数，是最小的正整数，的绝对值等于，且，求的值． （2）已知有理数在数轴上的位置如图所示， ①用，，填空：______0，______0； ②化简：． 【答案】（）；（）①，；② 【分析】本题主要考查相反数、绝对值、正整数与负整数的概念，以及利用数轴判断数的大小关系和绝对值的化简运算. ()根据绝对值意义，相反数定义得出，，然后分别代入求解即可； ()①由数轴得，且，即可得到；②由①的结论化简绝对值，然后根据整式的加减运算法则求解即可. 【详解】解：（）∵互为相反数， ∴， ∵的相反数是最大的负整数，是最小的正整数， ∴， ∵的绝对值等于，且， ∴， ∴． （）①由数轴得，，且， ， 故答案为：，． ②∵， ∴ ． 46．已知a、b、c三个数在数轴上分别对应A，B，C三点，位置如图所示： (1)当时，计算的值． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减运算，解题的关键是正确从数轴得到相关式子的符号与大小． （1）由数轴可得，，然后化简绝对值，求出，再代入求值即可； （2）由数轴可得，，则，，再化简绝对值，进行整式的加减运算． 【详解】（1）解：由数轴可得，， ∴ ∴ （2）解：由数轴可得，， ∴， ∴， ∴ 47．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数、利用数轴判断式子的正负性，整式的加减运算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由数轴可知，则，，，即可作答； （2）根据（1）中结论及绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：观察数轴，得， ∴，，； （2）解：由（1）得，，； ． 48．有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)_________0，_______0，_______0；（填“”“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2)0 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，合并同类项，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据有理数a，b，c在数轴上的位置，确定它们的正负，进而判断它们的和与差的正负； （2）先确定绝对值内式子的正负，根据绝对值的意义去绝对值，然后化简即可． 【详解】（1）解：观察数轴得：，且， ∴，，； 故答案为：，，； （2）解：因为，，， 所以 【类型9 “无关”类问题】 49．已知多项式． (1)若，求的值． (2)若多项式的值与字母的值无关，求的值， 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的加减，合并同类项，进行化简代数式，即可． （1）先根据非负性，求出，；再将多项式化简为，最后把，的值代入计算即可； （2）将多项式化简为，再根据多项式的值与字母的值无关，即可计算出的值． 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴，， ∵， ∴当，时，； （2）解：由（1）得：， ∵的值与字母的值无关， ∴， ∴． 50．已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，利用合并同类项运算法则进行化简即可； （2）由（1）可知，令，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）可知：， 的值与的取值无关， ， 解得． 51．已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将与代入，去括号后合并同类项，然后把，代入化简后的式子，计算得出结果； （2）根据“代数式的值与无关”意味着含的项的系数为，据此列方程求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 当，时， ； （2）解：∵的值与的值无关， ∴，解得． 52．已知整式，． (1)若，求的值． (2)若代数式的值与字母b的取值无关，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，非负数的性质及代数式的值与字母取值无关的条件． （1）先通过去括号、合并同类项化简的表达式，得到最简整式，再根据非负数的性质（平方数和绝对值均为非负数，和为0则各自为0），求出a和b的具体数值，最后将a、b的值代入化简后的整式，计算得出结果； （2）将的表达式整理为“不含b的项+含b的项”的形式，提取含b项的公因式，由于代数式的值与b无关，含b项的系数必须为0，据此建立方程求解a的值． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴ ， 将，代入上式得：． （2）解：∵代数式的值与字母b的取值无关， ∴， ∴含b的项的系数为， 解得． 53．已知，． (1)求； (2)无论取何值，的结果始终为定值，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，代数式的无关问题，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据整式加减运算的法则进行计算即可； （2）以为主元合并同类项，当所有含项的系数都为时，多项式的值与无关． 【详解】（1）解：； （2）解：由（1）可得，， ∵无论取何值，的结果始终为定值， ∴， ∴． 54．已知，． (1)求； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查整式的加减运算以及代数式与字母取值无关的问题．关键是去括号、合并同类项法则计算整式的和以及理解“与的取值无关”的含义，即含的项的系数为0，据此建立方程求解． （1）先根据的表达式求出，再将其与相加，通过去括号、合并同类项得到最简整式； （2）将（1）的结果整理为关于的一次式，令含的项的系数为0，解方程得到的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得． 【类型10 错解还原】 55．以下是某位同学的化简求值过程． 先化简，再求值：，其中，． (1)请仔细检查，判断解答步骤①到⑤每一步是否正确（默认前一步骤正确）；若有错，请指出错误步骤的序号，并说明原因； 解：① ② ③ 当，时， 原式④                         ⑤ (2)请正确解答本题， 【答案】(1)②④，见解析 (2)， 【分析】（1）根据题干的解答步骤逐步判断即可； （2）根据整式的加减混合运算化简，再代入计算即可． 【详解】（1）解答错误的步骤为：②④， 步骤②错误的理由是去括号没有改变符号，还漏乘； 步骤④错误的理由是代入数据出现错误； （2）正确解答如下， ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算是解答本题的关键． 56．某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果． 【答案】 【分析】首先根据错误的运算关系求出，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴ ∴， ∴ ． 57．已知多项式，小马虎将看成了，算得结果为． (1)求出正确的结果． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查了整式的加减运算及非负数的性质，解题的关键是先通过错误运算求出多项式，再计算正确结果，求值时利用非负数性质确定字母的值． （1）由的结果和的表达式，通过移项求出，再代入化简得到正确结果； （2）根据绝对值和平方的非负性求出、的值，代入（1）中化简后的式子计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 则 ， 答：正确结果为； （2）解：∵，且，， ∴，， 解得，，代入得： 原式， 答：的值为． 58．一位同学做一道题：“已知两个多项式、，计算”．他误将“”看成“”求得的结果为，已知， (1)计算的代数式． (2)求正确结果的代数式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则，是解题的关键： （1）将错就错，求出的代数式即可； （2）根据整式的加减运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）∵，， ∴ ． 59．小强在计算一个整式减去多项式时，由于粗心，误把减去当成了加上，结果得到． (1)求出这个整式； (2)求出正确的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算： （1）根据加减互为逆运算，只需要计算出的结果即可； （2）根据（1）所求结合整式的加减计算法则求出的结果即可． 【详解】（1）解： ， ∴这个整式为； （2）解： ． 60．已知都是多项式，其中 (1)求的值； (2)莉莉在计算时，误算成了，结果得到，请你帮莉莉求出正确的结果． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． （1）代入后，利用整式的加减运算法则即可求解； （2）先计算，求得，再计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，且， ∴ ， ∴． 【类型11 通过计算说明理由】 61．有这样一道题：“求的值，其中，”．小明同学把“”错抄成了“”，但他的计算结果竟然正确，请你说明原因，并计算出正确结果． 【答案】 解： ， ∴此题的结果与x的取值无关， 所以当时，原式． 【分析】本题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先对原式化简，可得结果中不含x，即可解答． 【详解】略 62．数学课上老师出了这样一道题目：“当时，求的值．”小明同学把错抄成了，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事？ (1)请你通过化简，说明小明计算结果正确的原因． (2)小聪据此又改编了一道题，请你试一试：无论x取何值，多项式的值都不变，求的值． 【答案】(1)，理由： ， 原式的值与a的取值无关， 故小明计算结果正确； (2)14 【分析】本题考查了整式的加减中的无关题型、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可化简，再根据化简的结果做出判断即可； （2）将原式化为，根据无论取何值，多项式的值都不变，求出，代入计算，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）， ∵无论x取何值，多项式的值都不变， ∴， 解得：， 则． 63．有这样一道题：“求的值，其中，．”小明同学把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的，这是怎么回事呢？请你通过化简，说明小明计算结果正确的原因． 【答案】 解：原式． 化简后不含， ∴代数式的值与取值无关． 【分析】本题考查整式的加减以及化简求值，熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则是解题的关键．原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断． 【详解】略 64．老师出了这样一道题：“当，时，计算的值．”但在计算过程中，有一位同学错把“”写成“”，而另一位同学错把“”写成“”，可他俩的运算结果都是正确的，请你说明其中的原因． 【答案】 解： ， 化简结果等于，和，的取值无关， 不管，取什么样的值，结果都为． 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值．先将原式化简，得原式，故不管，取什么样的值，结果都为． 【详解】略 65．有这样一道题：求的值，其中，；有位同学把错抄成，但他的计算结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】见解析，12 【分析】先把原式去括号，然后合并同类项化简，再代值计算出最后的结果，根据化简的结果可知原式的值只与x的绝对值有关，而时和时的x的绝对值相同，故这位同学的结果正确． 【详解】解： ， 当时，原式， 当时，原式， ∵原式化简的结果为， ∴计算的结果与x的符号无关，只与x的绝对值有关，而时和时的x的绝对值相同， ∴这位同学的计算结果也正确． 66．老师出了这样一道题：“当时，计算的值．”但在计算过程中，有一位同学错把“”写成“”，而另一位同学错把“”写成“”，可他俩的运算结果都是正确的，请你说明其中的原因． 【答案】 化简结果等于，和，的取值无关， 不管，取什么样的值，结果都为． 【分析】先将原式化简，得原式，故不管，取什么样的值，结果都为． 【详解】略 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，掌握整式混合运算法则是解题关键． 【类型12 整式的加减与几何图形面积】 67．如图，已知两个正方形的边长分别为a和6． (1)用代数式表示阴影部分的面积；（要求：要有求解过程．） (2)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减． （1）根据计算即可； （2）将代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：当=10时，． 68．如图，实验中学有一块长为，宽为的长方形空地，计划在这块空地上修一个长方形和一个半圆形的花坛，剩余部分种植草皮，根据图中标注的长度，解答下列问题．（单位：m） (1)用含的式子表示种植草皮的面积；（结果保留） (2)若取3，求种植草皮的面积． 【答案】(1) (2)种植草皮的面积为 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，代数式求值： （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积，再减去半圆的面积，即可得出结果； （2）把取3，代入（1）中代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：种植草皮的面积： ； （2）解：当取3时， 种植草皮的面积为：， 故种植草皮的面积为． 69．吕阿姨买了一套新房，她准备将地面全铺上地板砖，这套新房的平面图如图所示（单位：），请解答下列问题： (1)用含a，b的代数式表示这套新房的面积； (2)若地板砖的费用为90元，当时，这套新房铺地板砖所需的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)4770元． 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，解题的关键是将新房的面积拆分为规则图形面积的和，准确列出面积的代数式，并代入数值计算． （1）将新房拆分为边长为的正方形、长为宽为的长方形、长为宽为的长方形、长为宽为的长方形，分别计算各部分面积后相加． （2）将，代入（1）中得到的面积代数式，计算出面积后，再乘以每平方米地板砖的费用90元，得到总费用． 【详解】（1）解：根据题意，得， 所以这套新房的面积为； （2）解：当时，， 因为地板砖的费用为90元，所以（元）． 答：这套新房铺地板砖所需的总费用为4770元． 70．李先生购买了一套经济适用房，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： (1)用代数式表示：客厅的面积是______，厨房的面积是______； (2)求这套房的地面总面积（用含x，y的代数式表示），并求出当，时，这套房的总面积是多少？ 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查列代数式，求代数式的值，整式的加减，结合图形，求出每个区域的面积是解题关键． （1）根据图形列代数式即可解答； （2）先利用整式的加减化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由图可得， 客厅的面积是， 厨房的面积是． 故答案为：，． （2）解：由图可得， 这套房的地面总面积为， 当，时， 这套房的总面积是． 71．如图是某公园的一块直角三角形闲置空地，两直角边长分别为a米、b米．为了美化环境，准备在这个三角形空地中修建一个半径为米的圆形花圃，然后在花圃内种花，剩余部分种草． (1)求种花区域的面积，种草区域的面积．（用代数式表示，结果保留） (2)若种草每平方米花费50元，种花每平方米花费60元，当，，（单位：米）时，求种花与种草所需的总费用．（取3.14） 【答案】(1)种花的总面积为平方米，种草的总面积为平方米 (2)这块闲置空地种花草的总费用为4450.6元 【分析】本题考查了列代数式及求代数式的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）将数值代入求值即可． 【详解】（1）解：由图可知，种花的总面积为平方米，种草的总面积为平方米； （2）解：由（1）知，当，，，取3.14时， 种花的费用（元）， 种草的费用（元）， ∴这块闲置空地种花草的总费用为（元）． 答：这块闲置空地种花草的总费用为4450.6元． 72．某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，其余部分则需要铺设草皮，尺寸如图所示（单位：m）． (1)用含x的代数式表示草皮部分的面积（保留）； (2)当时，草皮部分的面积是多少？（取3） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式加减的应用及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据图形可知草皮部分的面积，然后进行计算即可； （2）把代入（1）中代数式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知： 草皮部分的面积 ； （2）解：由（1）可知：当时， 草皮部分的面积． 【类型13 整式相关规律性问题】 73．某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 【答案】(1)摆4张桌子可坐12人，摆5张桌子可坐14人，摆n张桌子可坐人 (2)摆4张桌子可坐18人，摆5张桌子可坐22人，摆n张桌子可坐人 (3)按第二种方式所需要的餐桌数较少 【分析】（1）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐2人，n张餐桌共可坐（人）； （2）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐4人，n张餐桌共可坐（人）． （3）分别求出两种方式坐300人各需多少张桌子，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加2人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人） 摆n张桌子可坐（人）； （2）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加4人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人）， 摆n张桌子可坐（人）； （3）解：若按第一种方式， 由， 得， 则需要148张桌子； 若按第二种方式， 由， 得， 则需要75张桌子； ∵， ∴按第二种方式所需要的餐桌数较少． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律是解决问题的关键． 74．观察下图： (1)图中的点被线段隔开分成了四层，则第1层有1个点，第2层有3个点，第5层有________个点； (2)第n层应该有多少个点？ (3)第27层有多少个点？ 【答案】(1)9 (2) (3)53 【分析】（1）先统计已知的第1层、第2层、第3层、第4层的点数，分析相邻两层点数的差值规律即可求解； （2）根据层数和对应点数之间的规律，即可归纳出第层的点数公式； （3）将层数代入（2）中的公式计算即可． 【详解】（1）解： 第1层有 个点，第2层有 个点，第3层有 个点，第4层有 个点， 如果继续画下去，那么第5层有 个点 （2）解：第1层： 第2层： 第3层： 第4层： 按照这个规律：第层应该有个点． （3）解：把代入规律公式，得（个）， 所以第27层有个点． 75．【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： (1)当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是________； (2)当三角形的个数是时，所用的磁力棒的根数是________（用含的代数式表示）； (3)同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由； 探究二：立体图形 (4)创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等边三角形． 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 【答案】(1)11 (2) (3)解：不能，假设同一平面内拼4个等边三角形，代入（2）得到的规律得需要磁力棒：根， ∵ ， ∴同一平面内，6根磁力棒不能组成4个等边三角形； (4)用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形 【分析】（1）观察图形中三角形个数和磁力棒根数的对应关系，找到每增加1个三角形时磁力棒的增量规律，因为1个三角形对应3根，之后每多1个三角形多2根，所以可推导个三角形时的磁力棒根数表达式，代入即可得到对应根数； （2）根据观察图形的增量规律总结个三角形时的磁力棒根数表达式即可； （3）先根据第2问得到的平面下个三角形需要的磁力棒数量公式，代入得到所需磁力棒数量，再和6比较判断即可； （4）因为正四面体的棱和等边三角形面的数量是固定的，所以直接统计棱数即磁力棒根数，统计面数即等边三角形个数即可． 【详解】（1）解：观察图形可得： 1个等边三角形需要根磁力棒， 2个等边三角形需要根磁力棒， 3个等边三角形需要根磁力棒， ∴5个等边三角形需要根磁力棒； （2）解：根据上述规律，个等边三角形需要的磁力棒根数为 ； （3）略； （4）解：三棱锥的各面都是等边三角形，共有6条棱，4个面，每个面都是等边三角形， ∴一共用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形． 76．数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)0；0 (2)；；；0 (3)选择A；的值均为0，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为0． 选择B；的值均为，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为． 【分析】（1）把去括号，计算即可得答案；将的方框移动到图1中的其他位置，根据题目情境即可列式，去括号计算即可得答案为0，探究发现，无论移动到哪，总有：，，，进一步计算即可得答案． （2）设，根据题目情境，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案． （3）选择A，设，根据“Z型框”框住位置，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案；选择B，设，根据日历中用“Y型框”框住位置，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案． 【详解】（1）解：， 将的方框移动到图1中的其他位置，如，则， 无论移动到哪，总有：，，， ∴． （2）解：设，根据题意得：，，， ∴，， ∴． （3）略 77．综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 【答案】(1)①6，54；② (2) (3)铺设这样的图案，最多能铺11层．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案20层； 由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为 ， 令， ， 因为，，且为正整数， 所以最大取12，即最大取11， 所以最多可以铺设这样的图案11层． 【分析】（1）列出前面几层正方形和三角形个数，找出规律，利用规律求解； （2）观察前面几个式子，找出规律，利用规律求解； （3）先计算出正方形地板可以铺多少层，由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，令，即可求解． 【详解】（1）解：①第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖， 第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，， 第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，， …… 以此类推，第4层包括正方形地板砖6块，正三角形地板砖：（块）； ②由①可知，第层含有正三角形地板砖的数量为； （2）解：由题意知，； （3）略 78．欧拉是世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数、面数和棱数之间存在一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式，请你观察下列图表，解答下列问题． 正多面体 顶点数 面数 棱数 正四面体 正方体 正八面体 正十二面体 【实践操作】（1）直接写出 _______，_______， _______； 【归纳总结】（2），，之间的数量关系是_______； 【尝试应用】（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有个顶点，每个顶点处都有条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 【答案】（1）4，6，；（2）；（3） 【分析】本题考查了正多面体，多面体的顶点数，面数和棱数的关系，掌握以上知识并正确理解题意是解答本题的关键； （1）直接观察多面体模型，即可求解； （2）根据正四面体：，正方体：，正八面体：， 正十二面体：，通过分析即可得到规律； （3）先求得该多面体的棱数，然后根据（2）中的，即可求解； 【详解】解（1）由多面体模型图案可得：正四面体顶点数为4，正方体面数为6，正八面体棱数为， 故答案为：；6；； （2）∵正四面体：，正方体：，正八面体：， 正十二面体：， ∴， 故答案为：； （3）∵该多面体有个顶点，每个顶点处都有条棱， ∴共有条棱， ∵， ∴， 解得， ∴该多面体外表面个数为个， ∴； 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 期中复习高频解答题分类专项训练 （13种类型78道） 专题目录 【类型1 几何图形相关面积求解】 1 【类型2 含乘方的有理数混合运算】 3 【类型3 有理数相关实际应用】 3 【类型4 绝对值相关综合题】 5 【类型5 数轴动点相关压轴题】 7 【类型6 合并同类项】 10 【类型7 化简求值】 11 【类型8 利用数轴去绝对值并化简】 11 【类型9 “无关”类问题】 12 【类型10 错解还原】 13 【类型11 通过计算说明理由】 14 【类型12 整式的加减与几何图形面积】 15 【类型13 整式相关规律性问题】 17 【类型1 几何图形相关面积求解】 1．观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） 2．图①是设计的一个茶叶盒的表面展开图． (1)这个几何体的名称为________． (2)若想给盒子侧面加一层如图②所示的竹签包装，请根据图中所标的尺寸计算所需竹签包装的面积． 3．（1）计算该铁皮的面积． （2）它能否做成一个长方体盒子？若能，并计算它的体积；若不能，说明理由． 4．如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称：_____；它有_____条棱，有_____个面，有_____个顶点 (2)用一个平面去截该几何体，截面形状不可能是_____（填序号）： ①三角形；②长方形；③五边形；④六边形；⑤圆形； (3)求该几何体的所有侧面的面积之和． 5．如图1是数学活动课上制作的纸魔方变化出的一种形状．图2是构成纸魔方的一个三棱柱的展开图，尺寸数据如下（单位：．阴影部分为内部粘贴角料，计算面积时忽略不计）： (1)做一个三棱柱需要纸片______，做一个图1纸魔方一共需要纸片______；（直接用含a，b的式子表示） (2)当，时，图1纸魔方一共用纸片多少平方厘米？ 6．在学习了“包装中的智慧”之后，小明同学尝试用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如图所示（单位：），其中阴影部分为内部粘贴角料．请结合图形解决下列问题： (1)此长方体包装盒的体积为______（用含x，y的式子表示）； (2)若内部粘贴角料的面积占长方体包装盒表面积的，求当，时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方厘米（含内部粘贴角料）？ 【类型2 含乘方的有理数混合运算】 7．计算：． 8．计算：． 9．计算：． 10．计算： 11．计算：． 12．计算： 【类型3 有理数相关实际应用】 13．国庆黄金周到来之际，小明欲开启一段美妙的旅行！为更好地规划行程，他临行前特意查找了某地区一周内（10月1日至10月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 与标准气温的差值（） 0 (1)这七天内平均气温最高的是几号？是多少度？ (2)这七天内平均气温最低的是几号？ (3)若小明希望气温高于时进行户外活动，那么这七天中有几天适合户外活动？请说明理由． 14．今年，越来越多的无人配送车出现在长沙街头，走进我们的生活．据统计，在深圳核心区域，80台无人车相当于替代了35名人力及35台传统接驳车辆．某无人配送车从快递公司出发，先向西行驶到达A小区，继续向西行驶到达B小区，然后向东行驶到达C小区，最后回到快递公司．若以快递公司为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示． (1)请你画出数轴，并在数轴上表示A，B，C三个小区的位置； (2)求C小区和A小区之间的距离； (3)哪个小区离快递公司最远？请说明理由． 15．为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：m）：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了初始位置？请说明理由； (2)本次练习中守门员共跑了多少米？若每跑10米奖守门员2个苹果，则守门员可得到多少个苹果？ 16．近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加，轩轩家购买了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程 (1)请求出轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，求轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用． 17．股民小王上星期五买进某股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票收盘价比前一天的涨跌情况（单位：元）；（“+”表示收盘价比前一天涨） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） (1)星期四收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)已知买进股票时需付成交额的手续费，卖出时需付成交额的（千分之）的手续费和的交易税．如果小王在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？（收益卖股票收入买股票支出卖股票手续费和交易税买股票手续费） 18．某文具厂工人刘师傅一天生产盒铅笔，以每盒克为标准，超过或不足的克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：克） 0 1 3 盒数 1 5 2 4 3 5 (1)盒铅笔中，最重的一盒比最轻的一盒重多少克？ (2)这盒铅笔的实际总质量是多少克？ (3)若生产每克铅笔的成本是元，这批铅笔按每盒元的价格售出盒后，剩余盒以每盒元的优惠价卖出．这盒铅笔全部售出后，刘师傅一共盈利多少元？ 【类型4 绝对值相关综合题】 19．（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 20．同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 21．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们常常会运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则的值为_____； (2)已知，求的值； (3)已知是有理数，当取不同数时，式子的值也会发生变化，直接写出式子的最小值． 22．我们都知道，表示8与3的差的绝对值，也可以理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____两点间的距离． (2)表示数轴上数与数_____两点间的距离和数与数_____两点间的距离的和． (3)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 23．阅读： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点分别表示数． 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是3． (1)借助数轴，说明的最小值是多少？ (2)当代数式的最小值是1时，直接写出此时的a值． 24．阅读理解：，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离； ，它在数轴上的意义可以理解为：表示6的点与3的点之间的距离为3； 类似的，它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离是9，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离． 归纳：它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离． 应用：，它在数轴上的意义表示_____的点与_____的点之间的距离为1，所以a的值为__________． 【类型5 数轴动点相关压轴题】 25．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a、c满足，． (1) ； ； (2)在（1）的条件下，若点P 为数轴上一动点，其对应的数为 x ，则代数式有最 （填“大 ”或“小 ”）值为 ； (3)点 P 从点A 处以 1 个单位/秒的速度向左运动，同时点Q从点C处以2个单位/秒的速度向左运动，在点Q到达点B后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为t（秒），求第几秒时，点P，Q之间的距离是点C、Q之间的距离的2倍？ 26．已知a是最大的负整数，，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度；动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒1个单位长度．求运动几秒后，点P与Q的距离为3个单位长度？ (3)在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由． 27．【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由； 【拓展探索】 （2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点： ①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数； ②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数． 28．阅读材料：点 A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离可表示为．例如： 6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示5的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和3，数轴上另有一点P对应的数为有理数x. 请根据阅读材料回答下列问题： (1)点A与点B之间的距离 ； (2)根据几何意义，解决下列问题并填空： 当时， ；                       当时， ；                  若点P在A、B两点之间，则 ；           若， 则点P表示的有理数x为 ． (3)若点M、N 为数轴上的两个动点，若点M以每秒个单位长度的速度从点B向数轴负方向出发，点N从点A向数轴正方向出发，其运动速度是点M的3倍，求运动多少秒后点M与点N相距1个单位长度？ 29．如图，数轴上从左至右有，，，四个点．分别表示有理数，，，，点和点之间的距离为20个单位长度，且，互为相反数，． (1) ， ， ； (2)数轴上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为秒．当点运动到点时，点从点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴在点和点之间往返运动，当点运动到点时，点的运动停止． ①求为何值时，点与点第一次相遇； ②求点一共运动了多少个单位长度，并求点停止运动时在数轴上所表示的有理数； ③直接写出点，前两次相遇间隔的时长． 30．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【类型6 合并同类项】 31．合并同类项： (1)； (2)． 32．合并同类项： (1)； (2)． 33．合并同类项： (1)； (2)． 34．合并同类项： (1)； (2)． 35．合并同类项 (1) (2) 36．合并同类项： (1) (2) 【类型7 化简求值】 37．先化简，再求值：，其中，． 38．先化简后代值，其中，． 39．先化简，再求值：，其中，． 40．先化简，再求值：，其中，． 41．化简求值：，其中． 42．先化简，再求值：，其中、满足． 【类型8 利用数轴去绝对值并化简】 43．已知有理数，在数轴上的位置如图所示． (1)判断正负，用“＞”“＜”或“＝”填空：__________0；__________0；__________0． (2)化简：． 44．已知，，为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：，，； (2)化简：． 45．（1）已知互为相反数，的相反数是最大的负整数，是最小的正整数，的绝对值等于，且，求的值． （2）已知有理数在数轴上的位置如图所示， ①用，，填空：______0，______0； ②化简：． 46．已知a、b、c三个数在数轴上分别对应A，B，C三点，位置如图所示： (1)当时，计算的值． (2)化简：． 47．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 48．有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)_________0，_______0，_______0；（填“”“”或“”） (2)化简：． 【类型9 “无关”类问题】 49．已知多项式． (1)若，求的值． (2)若多项式的值与字母的值无关，求的值， 50．已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 51．已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 52．已知整式，． (1)若，求的值． (2)若代数式的值与字母b的取值无关，求a的值． 53．已知，． (1)求； (2)无论取何值，的结果始终为定值，求的值． 54．已知，． (1)求； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【类型10 错解还原】 55．以下是某位同学的化简求值过程． 先化简，再求值：，其中，． (1)请仔细检查，判断解答步骤①到⑤每一步是否正确（默认前一步骤正确）；若有错，请指出错误步骤的序号，并说明原因； 解：① ② ③ 当，时， 原式④                         ⑤ (2)请正确解答本题， 56．某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果． 57．已知多项式，小马虎将看成了，算得结果为． (1)求出正确的结果． (2)若，求的值． 58．一位同学做一道题：“已知两个多项式、，计算”．他误将“”看成“”求得的结果为，已知， (1)计算的代数式． (2)求正确结果的代数式． 59．小强在计算一个整式减去多项式时，由于粗心，误把减去当成了加上，结果得到． (1)求出这个整式； (2)求出正确的结果． 60．已知都是多项式，其中 (1)求的值； (2)莉莉在计算时，误算成了，结果得到，请你帮莉莉求出正确的结果． 【类型11 通过计算说明理由】 61．有这样一道题：“求的值，其中，”．小明同学把“”错抄成了“”，但他的计算结果竟然正确，请你说明原因，并计算出正确结果． 62．数学课上老师出了这样一道题目：“当时，求的值．”小明同学把错抄成了，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事？ (1)请你通过化简，说明小明计算结果正确的原因． (2)小聪据此又改编了一道题，请你试一试：无论x取何值，多项式的值都不变，求的值． 63．有这样一道题：“求的值，其中，．”小明同学把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的，这是怎么回事呢？请你通过化简，说明小明计算结果正确的原因． 64．老师出了这样一道题：“当，时，计算的值．”但在计算过程中，有一位同学错把“”写成“”，而另一位同学错把“”写成“”，可他俩的运算结果都是正确的，请你说明其中的原因． 65．有这样一道题：求的值，其中，；有位同学把错抄成，但他的计算结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 66．老师出了这样一道题：“当时，计算的值．”但在计算过程中，有一位同学错把“”写成“”，而另一位同学错把“”写成“”，可他俩的运算结果都是正确的，请你说明其中的原因． 【类型12 整式的加减与几何图形面积】 67．如图，已知两个正方形的边长分别为a和6． (1)用代数式表示阴影部分的面积；（要求：要有求解过程．） (2)当时，求阴影部分的面积． 68．如图，实验中学有一块长为，宽为的长方形空地，计划在这块空地上修一个长方形和一个半圆形的花坛，剩余部分种植草皮，根据图中标注的长度，解答下列问题．（单位：m） (1)用含的式子表示种植草皮的面积；（结果保留） (2)若取3，求种植草皮的面积． 69．吕阿姨买了一套新房，她准备将地面全铺上地板砖，这套新房的平面图如图所示（单位：），请解答下列问题： (1)用含a，b的代数式表示这套新房的面积； (2)若地板砖的费用为90元，当时，这套新房铺地板砖所需的总费用是多少元？ 70．李先生购买了一套经济适用房，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： (1)用代数式表示：客厅的面积是______，厨房的面积是______； (2)求这套房的地面总面积（用含x，y的代数式表示），并求出当，时，这套房的总面积是多少？ 71．如图是某公园的一块直角三角形闲置空地，两直角边长分别为a米、b米．为了美化环境，准备在这个三角形空地中修建一个半径为米的圆形花圃，然后在花圃内种花，剩余部分种草． (1)求种花区域的面积，种草区域的面积．（用代数式表示，结果保留） (2)若种草每平方米花费50元，种花每平方米花费60元，当，，（单位：米）时，求种花与种草所需的总费用．（取3.14） 72．某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，其余部分则需要铺设草皮，尺寸如图所示（单位：m）． (1)用含x的代数式表示草皮部分的面积（保留）； (2)当时，草皮部分的面积是多少？（取3） 【类型13 整式相关规律性问题】 73．某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 74．观察下图： (1)图中的点被线段隔开分成了四层，则第1层有1个点，第2层有3个点，第5层有________个点； (2)第n层应该有多少个点？ (3)第27层有多少个点？ 75．【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： (1)当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是________； (2)当三角形的个数是时，所用的磁力棒的根数是________（用含的代数式表示）； (3)同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由； 探究二：立体图形 (4)创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等边三角形． 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 76．数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 77．综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 78．欧拉是世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数、面数和棱数之间存在一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式，请你观察下列图表，解答下列问题． 正多面体 顶点数 面数 棱数 正四面体 正方体 正八面体 正十二面体 【实践操作】（1）直接写出 _______，_______， _______； 【归纳总结】（2），，之间的数量关系是_______； 【尝试应用】（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有个顶点，每个顶点处都有条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $