广东省湛江市廉江市2026-2027学年九年级上学期第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 以真实情境为载体，融合基础与创新，全面考查一元二次方程与二次函数核心素养，如新能源遮阳棚设计、汉服生产优化等问题体现应用意识与建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、配方法、二次函数图像与性质|第5题结合亚运会象棋单循环赛考查方程应用，体现数学眼光| |填空题|5/15|二次函数与x轴交点、解析式求法、最值问题|第14题含参数二次函数在区间内最值，考查数学思维| |解答题|9/75|方程求解、函数图像变换、利润问题、几何与函数综合|第23题汉服生产方案通过函数建模优化决策，第24题动态菱形存在性问题考查推理能力与创新意识|

2026-2027学年广东省湛江市廉江市九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝3 B．（x﹣3）2＝6 C．（x+3）2＝6 D．（x﹣3）2＝12 3．（3分）若二次函数y＝2x2﹣x+c的图象与x轴只有一个交点，则实数c的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C． D． 4．（3分）y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，若关于x的x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A．3＜t＜8 B．﹣1＜t＜8 C．﹣1≤t＜8 D．﹣1＜t≤8 5．（3分）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝15 6．（3分）将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时，每天能卖出30件．若每降价1元，每天可多卖出5件．现欲每天盈利1120元，则应降价多少元？（　　） A．10 B．22 C．2或22 D．10或22 7．（3分）在同一坐标系中画出直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b，有可能是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，用一段长为am的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙的长度不限）．若矩形菜园的面积为4m2，则a的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D． 9．（3分）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P是边BC上的一个动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，连接DE．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（　　） A．点P与B的距离为x，点P与C的距离为y B．点P与B的距离为x，点D与E的距离为y C．点P与D的距离为x，点P与E的距离为y D．点P与D的距离为x，点D与E的距离为y 10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其对称轴为直线x＝1，函数的最大值为m，且与x轴的一个交点的横坐标在3和4之间，则下列结论正确的是（　　） A．4a﹣2b+c＞0 B．2a+b＝1 C．b2﹣4ac+4am＝0 D．一元二次方程ax2+bx+c＝m+1有实数根 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）二次函数y＝x2+x+b的图象总是在x轴的上方，则b的取值范围为 　 　 ． 12．（3分）已知二次函数的图象经过（1，﹣4）点，且顶点坐标为（﹣1，0），则二次函数的解析式为 　 　 ． 13．（3分）已知点A（5，y1），B（10，y2）是二次函数y＝x2﹣3x+m图象上的两点，则y1　 　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 14．（3分）已知y＝x2+2kx+k﹣1，当﹣1＜x＜2时，有最小值﹣1，则k的值为　 　 ． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴的一个交点为点B，点B在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，CD＝2，则四边形ABCD周长的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16．（8分）解方程： （1）2（x﹣1）2﹣8＝0； （2）（x﹣3）2＝x﹣3． 17．（8分）利用五点法可以绘制二次函数图象，请完成下列问题： x … ﹣1 0 1 2 3 … y＝x2﹣2x﹣1 … 2 ﹣1 ﹣2 ﹣1 2 … （1）通过描点，在平面直角坐标系中画出y＝x2﹣2x﹣1的图象． （2）将y＝x2﹣2x﹣1的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，直接写出所得新抛物线的解析式　 　 ． 18．（8分）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝0，求实数m的值． 20．（8分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2﹣4x﹣12＝0（x＞0）的正确构图是 　 　 .（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（ 　 　 ）＝1； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 　 　 ，解得原方程的一个根为 　 　 ； 【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a＝　 　 ，b＝　 　 ，求得方程的正根为 　 　 ． 21．（8分）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为4米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A和点B的水平距离为6米． （1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点A与点B，然后在棚顶上某处取点C，在钢架AB和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD．求出第二段钢架CD长度的最大值． 22．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，直线y＝mx+n经过点B、D． （1）直接写出点C、D的坐标； （2）求该抛物线对应的函数表达式； （3）根据图象直接写出关于x的不等式ax2+bx+3＞mx+n的解集． 23．（8分）请根据以下素材，完成探究任务． 汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘． 制定汉服加工方案 生产背景 背景] （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制•齐胸祸裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制•褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制•袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数1：1供应高端团购单． 背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元． 信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型 加工人数 人均日产量/套 单套净利润/元 唐制 y 3 30 宋制 x 2 明制 1 90 探究任务 任务1 探寻变量关系 根据合同约束，求x，y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式． 任务3 拟定最优方案 确定使每日总利润最大的分配方案． 24．（11分）如图：已知直线l：y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B，且与x轴交于点C（4，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知点M是抛物线上的一个动点并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值； （3）若点P在平面内，点Q在直线AB上，平面内是否存在点P使得以O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2026-2027学年广东省湛江市廉江市九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、原方程不是整式方程，不符合题意； B、当a＝0时，ax2+by+c＝0不是一元二次方程，不符合题意； C、（x﹣1）（x+2）＝1，即x2+x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意； D、3x2﹣2xy﹣5y2＝0不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程． 2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝3 B．（x﹣3）2＝6 C．（x+3）2＝6 D．（x﹣3）2＝12 【分析】先把常数项3移到方程的右边，然后在左右两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方即可． 【解答】解：x2﹣6x+3＝0， x2﹣6x＝﹣3， x2﹣6x+9＝﹣3+9， （x﹣3）2＝6， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 3．（3分）若二次函数y＝2x2﹣x+c的图象与x轴只有一个交点，则实数c的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C． D． 【分析】根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到Δ＝0，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【解答】解：∵y＝2x2﹣x+c的图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×c＝0， ∴1﹣8c＝0， 解得 ． 故选：D． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．（3分）y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，若关于x的x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A．3＜t＜8 B．﹣1＜t＜8 C．﹣1≤t＜8 D．﹣1＜t≤8 【分析】根据二次函数解析式求出最小值，再求出x＝4时的函数值，然后根据二次函数的增减性写出t的取值范围即可． 【解答】解：∵对称轴为直线x＝1， ∴， 解得：b＝﹣2， ∴y＝x2﹣2x， 当x＝1时，y＝12﹣2×1＝﹣1， 当x＝4时，y＝42﹣2×4＝8， ∴当﹣1＜x＜4时，﹣1≤y＜8， ∵x2+bx﹣t＝0可变形为x2+bx＝t， ∴﹣1≤t＜8． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称轴，二次函数的增减性以及最值问题，要注意自变量的取值范围的影响． 5．（3分）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝15 【分析】设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【解答】解：由题意得，15． 故选：A． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数＝队数×（队数﹣1）÷2，进而得出方程是解题关键． 6．（3分）将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时，每天能卖出30件．若每降价1元，每天可多卖出5件．现欲每天盈利1120元，则应降价多少元？（　　） A．10 B．22 C．2或22 D．10或22 【分析】设应降价x元，则每件利润为（80﹣50﹣x）元，销售量为（30+5x），根据现欲每天盈利1120元，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设应降价x元，则每件利润为（80﹣50﹣x）元，销售量为（30+5x）， 由题意得：（80﹣50﹣x）（30+5x）＝1120， 整理得：x2﹣24x+44＝0， 解得：x1＝2，x2＝22， 即应降价2元或22元， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（3分）在同一坐标系中画出直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b，有可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数图象与一次函数图象性质逐项分析判断即可． 【解答】解：A、∵直线y＝ax+b过第二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∵二次函数图象开口向上，交y轴的负半轴， ∴a＞0，b＜0， 故A符合题意； B、∵直线y＝ax+b过第一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∵二次函数图象开口向上，交y轴的正半轴， ∴b＞0，a＞0， 故B不符合题意； C、∵直线y＝ax+b过第二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∵二次函数图象开口向下，交y轴的正半轴， ∴b＞0，a＜0， 故C不符合题意； D、∵直线y＝ax+b过第一、二、三象限， ∴a＞0，b＞0， ∵二次函数图象开口向下，交y轴的正半轴， ∴b＜0，a＜0，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质以及一次函数图象和性质，根据函数的性质得出a、b的正负是解题的关键． 8．（3分）如图，用一段长为am的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙的长度不限）．若矩形菜园的面积为4m2，则a的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D． 【分析】设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（a﹣2x） m，根据矩形菜园的面积为4m2，可列出关于x的一元二次方程，由原方程有解，可得出Δ＝（﹣a）2﹣4×2×4≥0，解之可得出a的取值范围，再取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（a﹣2x） m， 根据题意得：x（a﹣2x）＝4， 整理得：2x2﹣ax+4＝0， ∵原方程有解， ∴Δ＝（﹣a）2﹣4×2×4≥0， 解得：a≥4或a≤﹣4（不符合题意，舍去）， ∴a的最小值为4． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．（3分）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P是边BC上的一个动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，连接DE．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（　　） A．点P与B的距离为x，点P与C的距离为y B．点P与B的距离为x，点D与E的距离为y C．点P与D的距离为x，点P与E的距离为y D．点P与D的距离为x，点D与E的距离为y 【分析】先由勾股定理得到BC5，如图所示，连接AP，过点A作AF⊥BC于F，由等面积法得到AF，则BF，再证明四边形ADPE是矩形，得到DE＝AP，则当AP⊥BC时，AP最小，即此时DE最小，即DE的最小值为，再由而点P到点E的距离可以无限小，得到点D与E的距离为y，点P到点D的距离可以无限性，得到点P与B的距离为x，据此可得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， 如图所示，连接AP，过点A作AF⊥BC于F， ∵S△ABCAB•ACBC•AF， ∴S△ABC3×45AF， ∴AF， ∴BF， ∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴四边形ADPE是矩形， ∴DE＝AP， ∴当AP⊥BC时，AP最小，即此时DE最小， ∴DE的最小值为， 而点P到点E的距离可以无限小， ∴由函数图象可知点D与E的距离为y，而点P到点D的距离可以无限性， ∴由函数图象可知点P与B的距离为x． 故选：B． 【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，画出图是解题的关键． 10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其对称轴为直线x＝1，函数的最大值为m，且与x轴的一个交点的横坐标在3和4之间，则下列结论正确的是（　　） A．4a﹣2b+c＞0 B．2a+b＝1 C．b2﹣4ac+4am＝0 D．一元二次方程ax2+bx+c＝m+1有实数根 【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可． 【解答】解：由题意知，函数的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，则另一个交点应在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间， 补全图象，如图， A：由图象可知，当x＝﹣2时，函数值小于0，即y＝4a﹣2b+c＜0，错误； B：对称轴， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，错误； C：函数的最大值为m，即顶点纵坐标为m， ∴， ∴4ac﹣b2＝4am， ∴b2﹣4ac+4am＝0，正确； D：∵函数最大值为m， ∴ax2+bx+c≤m， ∴ax2+bx+c＝m+1没有实数根，错误． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）二次函数y＝x2+x+b的图象总是在x轴的上方，则b的取值范围为 b　 ． 【分析】由题意可得Δ＝12﹣4×1×b＜0，进而可得答案． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+x+b的图象总是在x轴的上方，二次函数y＝x2+x+b的图象的开口向上， ∴Δ＝12﹣4×1×b＜0， 解得b． 故答案为：b． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．（3分）已知二次函数的图象经过（1，﹣4）点，且顶点坐标为（﹣1，0），则二次函数的解析式为 y＝﹣x2﹣2x﹣1　 ． 【分析】设二次函数解析式为y＝a（x+1）2，代入点（1，﹣4）解答即可． 【解答】解：根据题意，设二次函数解析式为y＝a（x+1）2， ∵点（1，﹣4）在函数图象上， ∴4a＝﹣4，即a＝﹣1， ∴二次函数解析式为y＝﹣（x+1）2＝﹣x2﹣2x﹣1， 故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 13．（3分）已知点A（5，y1），B（10，y2）是二次函数y＝x2﹣3x+m图象上的两点，则y1　＜　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】抛物线开口向上，且对称轴为直线x，根据二次函数的图象性质：在对称轴的右侧，y随x的增大而增大即可得出答案． 【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+m， ∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线：x， ∴当x时，y随x的增大而增大， ∵点A（5，y1），B（10，y2）是二次函数y＝x2﹣3x+m图象上的两点，且5＜10， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键． 14．（3分）已知y＝x2+2kx+k﹣1，当﹣1＜x＜2时，有最小值﹣1，则k的值为　0　 ． 【分析】因为﹣1＜x＜2时，二次函数y＝x2+2kx+k+1的最小值是﹣1，所以xk时，最小值， 【解答】解：∵﹣1＜x＜2时，二次函数y＝x2+2kx+k+1的最小值是﹣1， ∴xk时，最小值， 当1，k＝0或1， k＝0时，对称轴为直线x＝0，x＝0时有最小值，符合题意， 当k＝1时，对称轴为直线x＝﹣1，x＝﹣1时有最小值，不符合题意． ∴k的值可能是0 故答案为0． 【点评】本题考查二次函数的最值问题、解题的关键是学会分类讨论，注意这个最小值可以在区间的端点x＝1或x＝3时取得，属于中考常考题型． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴的一个交点为点B，点B在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，CD＝2，则四边形ABCD周长的最小值为 　22　 ． 【分析】由抛物线的解析式求得A（0，3），B（1，0）得AB，可得四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD2+BC+AD，即知BC+AD最小时，四边形ABCD周长最小，作点A（0，3）关于函数对称轴直线x＝2的对称点A'（4，3），将B（1，0）上移2单位长度得B′（1，2），可知BC+AD＝B′D+DA′，故当A′、D、B′三点共线时，BC+AD＝B′D+DA′最小，此时B′D+DA′最小值为，故四边形ABCD的周长的最小值是22． 【解答】解：在y＝x2﹣4x+3中， 令x＝0，则y＝3， ∵A（0，3）， 令x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3， ∴B（1，0）， ∴AB， ∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD2+BC+AD， ∴BC+AD最小时，四边形ABCD周长最小， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， 作点A（0，3）关于函数对称轴直线x＝2的对称点A'（4，3），则AD＝A′D， 将B（1，0）上移2个单位长度得B′（1，2），则四边形BB'DC是平行四边形， ∴B′D＝BC， ∴BC+AD＝B′D+DA′， 当A′、D、B′三点共线时，BC+AD＝B′D+DA′最小，周长也最小， 此时A'（4，3），B'（1，2）， ∴B′D+DA′最小为A'B'，即B′D+DA′最小为， ∴四边形ABCD周长的最小值为是22． 故答案为：22． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是掌握“两定两动”时求最值的方法． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16．（8分）解方程： （1）2（x﹣1）2﹣8＝0； （2）（x﹣3）2＝x﹣3． 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2，接着把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）由题意得，2（x﹣1）2＝8， ∴（x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝±2， 解得x1＝﹣1，x2＝3； （2）由题意得，（x﹣3）2﹣（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3）（x﹣3﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣3﹣1＝0， 解得x1＝3，x2＝4． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和直接开平方法是解题的关键． 17．（8分）利用五点法可以绘制二次函数图象，请完成下列问题： x … ﹣1 0 1 2 3 … y＝x2﹣2x﹣1 … 2 ﹣1 ﹣2 ﹣1 2 … （1）通过描点，在平面直角坐标系中画出y＝x2﹣2x﹣1的图象． （2）将y＝x2﹣2x﹣1的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，直接写出所得新抛物线的解析式y＝x2﹣6x+8　 ． 【分析】（1）通过描点，连线即可得出函数图象； （2）先将二次函数解析式化为顶点式，再根据平移规律可解答本题． 【解答】解：（1）如图： （2）∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， ∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣1﹣2）2﹣2+1＝（x﹣3）2﹣1＝x2﹣6x+8， 即y＝x2﹣6x+8． 故答案为：y＝x2﹣6x+8． 【点评】本题主要考查画二次函数图象及二次函数图象的平移，正确画出函数图象是解答本题的关键． 18．（8分）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【分析】（1）设日平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价y元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设日平均增长率为x， 由题意列一元二次方程得：200（1+x）2＝338， 整理得，200x2+400x﹣138＝0， 解得x1＝0.3，x2＝﹣2.3（舍）， 答：日平均增长率为30%； （2）设每个玩偶降价y元， 由题意列一元二次方程得：（50﹣y﹣30）（320+5y）＝5940， 解得y1＝2，y2＝﹣46（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝0，求实数m的值． 【分析】（1）利用根的判别式Δ≥0，可得出﹣4m+5≥0，解之即可得出实数m的取值范围； （2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2﹣1，结合x1+x2+x1x2＝0，可得出m2﹣2m＝0，解之可得出m的值，再结合m，即可确定结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×（m2﹣1） ＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4 ＝﹣4m+5≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m； （2）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0的两实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2﹣1， ∵x1+x2+x1x2＝0， ∴﹣（2m﹣1）+m2﹣1＝0， ∴m2﹣2m＝0， 解得：m1＝0，m2＝2， 又∵m， ∴m＝0， ∴实数m的值为0． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”． 20．（8分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2﹣4x﹣12＝0（x＞0）的正确构图是 　②　 .（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（ x　 ）＝1； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 　（x+x）2＝4×1+（）2 ，解得原方程的一个根为 　　 ； 【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a＝　±2　 ，b＝　3　 ，求得方程的正根为 　1或3　 ． 【分析】【理解应用】依据题干方法得到x（x﹣4）＝12，再根据图形很容易判断； 【类比迁移】与题干思路一致，需要注意的是画出图形更容易得解； 【拓展应用】先因式分解变形得x（x+a）＝b，再根据题干条件分析b＝3，a2＝4，进而分类讨论求解即可． 【解答】解：【理解应用】∵x2﹣4x﹣12＝0， ∴x（x﹣4）＝12， ∴很容易观察出构图是②， 故答案为：②； 【类比迁移】2x2+3x﹣2＝0， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个根为； 故答案为：x，（x+x）2＝4×1+（）2，； 【拓展应用】∵x2+ax＝b， ∴x2+ax＝b， ∴x（x+a）＝b， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是（x+x+a）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×4×b+a2， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴b＝3，a2＝4， 解得：b＝3，a＝±2， 当a＝2时，（x+x+2）2＝4×3+4，2x+2﹣4，x＝1，方程的一个正根为1； 当a＝﹣2时，（x+x﹣2）2＝4×3+4，2x﹣2＝4，x＝3，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为：±2，3，1或3． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程、矩形的性质等内容，能知道系数a、b与各图形面积的关系是解题的关键． 21．（8分）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为4米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A和点B的水平距离为6米． （1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点A与点B，然后在棚顶上某处取点C，在钢架AB和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD．求出第二段钢架CD长度的最大值． 【分析】（1）结合题意设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣6）2+4，代入点A的坐标为（0，2），即可得到答案； （2）将y＝2.5代入y（x﹣6）2+4中，可得x＝6﹣3，再进一步求解即可； （3）先直线AB的函数解析式为yx+2．结合抛物线为yx2，设点C的坐标为（x，）．可得点D的坐标为（x，），再建立二次函数求解即可． 【解答】（1）由题可得：抛物线的顶点B的坐标为（6，4）． 设y与x的函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k（0≤x≤6）， ∴抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣6）2+4． ∵点A的坐标为（0，2）， ∴将点A代入函数解析式中，得2＝a（0﹣6）2+4，解得a． ∴抛物线的函数解析式为y（x﹣6）2+4（0≤x≤6）； （2）根据题意：设点P的坐标为（x，2.5）， 将y＝2.5代入y（x﹣6）2+4中， 得：2.5（x﹣6）2+4， 解得：x1＝6+3（舍去），x2＝6﹣3． ∴6﹣35＜6， ∴车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米时，这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方． （3）设直线AB的函数解析式为y＝kx+2（k≠0）． 将点A（6，4）代入y＝kx+2中， 得k， ∴yx+2． ∵抛物线的一般式为yx2， ∴设点C的坐标为（x，）． ∵CD∥y轴，点D在AB上，点D的横坐标为x， ∴D（x，）， ∴CDx， ∴当x＝3时，CD取最大值，最大值为． ∴钢架CD长度的最大值是米． 【点评】本题考查的是二次函数的应用，二次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，直线y＝mx+n经过点B、D． （1）直接写出点C、D的坐标； （2）求该抛物线对应的函数表达式； （3）根据图象直接写出关于x的不等式ax2+bx+3＞mx+n的解集． 【分析】（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线x1．令x＝0，得y＝3，即点C的坐标为（0，3），进而可得点D的坐标为（﹣2，3）． （2）利用待定系数法求二次函数的解析式即可． （3）结合图象可直接得出答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、点B（1，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x1． 令x＝0，得y＝3， ∴C（0，3）． ∵点D与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴D（﹣2，3）． （2）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+3， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3． （3）由图可得，关于x的不等式ax2+bx+3＞mx+n的解集为﹣2＜x＜1． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组）、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点、坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．（8分）请根据以下素材，完成探究任务． 汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘． 制定汉服加工方案 生产背景 背景] （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制•齐胸祸裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制•褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制•袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数1：1供应高端团购单． 背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元． 信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型 加工人数 人均日产量/套 单套净利润/元 唐制 y 3 30 宋制 x 2 明制 1 90 探究任务 任务1 探寻变量关系 根据合同约束，求x，y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式． 任务3 拟定最优方案 确定使每日总利润最大的分配方案． 【分析】任务1：根据“明制”服装总件数和“唐制”服装相等列出方程即可求解； 任务2：将3种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：判断出抛物线的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质，求得合适的方案即可． 【解答】解：任务1：∵安排x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制， ∴加工“明制”服装的有（60﹣x﹣y）人， ∵“明制”服装总件数和“唐制”服装相等， ∴60﹣x﹣y＝3y， ∴yx+15； 任务2：w＝3×30×（x+15）+2x×[120﹣3（2x﹣15）]+90×[60﹣x﹣（x+15）， ＝﹣12x2+240x+5400， ∵2x≥15， ∴x≥7.5， ∴w＝﹣12x2+240x+5400（x≥7.5）； 任务3：∵w＝﹣12x2+240x+5400， ∴抛物线的开口向下，对称轴为：直线x＝10， ∵x≥7.5，x+15为整数， ∴x＝8或12时，w最大； 当x＝8时，y＝13，60﹣x﹣y＝39； 当x＝12时，y＝12，60﹣x﹣y＝36． 答：安排13名工人加工“唐制”服装，8名工人加工“宋制”服装，39名工人加工“明制”服装，或安排12名工人加工“唐制”服装，12名工人加工“宋制”服装，36名工人加工“明制”服装，即可获得最大利润． 【点评】本题考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 24．（11分）如图：已知直线l：y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B，且与x轴交于点C（4，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知点M是抛物线上的一个动点并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值； （3）若点P在平面内，点Q在直线AB上，平面内是否存在点P使得以O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据直线解析式求出点B的坐标，将B、C两点坐标代入解析式即可得到答案； （2）连接OM，表示出M的坐标，根据SOAMB＝S△OBM+S△OAM列出S与m的函数关系式，最后根据函数性质即可得到答案； （3）设点Q（n，﹣2n+4），分OB、OQ、BQ分别为对角线三类讨论，根据对角线互相平分得到点P的坐标，最后根据菱形的邻边相等即可得到答案． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2×0+4＝4， ∴点B的坐标为B（0，4）， 将B（0，4），C（4，0）代入抛物线解析式可得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4； （2）连接OM， ∵点M的横坐标为m， ∴M（m，﹣m2+3m+4）， 当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得x＝2， ∴A（2，0）， ∴S四边形OAMB＝S△OBM+S△OAM （m）2， ∵﹣1＜0， ∴当m时，S最大，S最大值； （3）设点Q（n，﹣2n+4）， ①当OB为对角线时， ∵O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形， ∴PQ与OB互相平分，OP＝OQ， ∴点P的坐标为P（﹣n，2）， 当y＝2时，Q点的横坐标为n＝1，Q（1，2）， 点P与点Q关于y轴对称， ∴P1（﹣1，2）； ②当OQ为对角线时， ∵O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形， ∴OQ与PB互相平分，OB＝OP， ∴点P的坐标为P（n，﹣2n）， ∴02+42＝n2+（2n）2， 解得：n＝±， ∴P2（，），P3（，）； ③当BQ为对角线时， ∵O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形， ∴BQ与PO互相平分，OB＝OQ， ∴P的坐标为P（n，﹣2n+8）， ∴02+42＝n2+（﹣2n+4）2， 整理得：5n2﹣16n＝0， 解得：n1＝0，n2， ∴P（0，8）（不存在舍去）；P4（，）， 综上所述存在4点使以O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形：P1（﹣1，2）；P2（，），P3（，）；P4（，）． 【点评】本题考查二次函数综合，主要有求解析式、围成图形最大面积、围成特殊菱形问题，解题的关键是求出解析式，根据特殊图形性质设点表示出所有点根据线段相等列式求解 学科网（北京）股份有限公司 $