26.3 二次函数与一元二次方程（第1课时）教学设计2026-2027学年 数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过回顾一次函数与一元一次方程的联系，类比引出二次函数与一元二次方程的关系，搭建新旧知识的学习支架。 特色在于数形结合探究，通过作图观察二次函数图象与x轴公共点对应方程根的情况，用小球飞行问题及思维导图梳理建模过程，发展几何直观与模型观念，助力学生深化知识联系，帮助教师清晰教学路径。

26.3　二次函数与一元二次方程（第1课时） 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 26.3　二次函数与一元二次方程（第1课时） 教学目标 1．经历从二次函数的角度进一步认识一元二次方程的过程，知道二次函数和一元二次方程之间的关系，进一步体会数形结合思想，发展抽象能力和几何直观． 2．经历实际问题的探究过程，能将二次函数问题转化为相应的一元二次方程求解，会用函数观点解释一元二次方程的解的意义，并回归实际问题中反思验证，发展模型观念和应用意识． 教学内容 教学重点 知道二次函数和一元二次方程之间的关系；能将二次函数问题转化为相应的一元二次方程求解． 教学难点 知道二次函数与一元二次方程之间的关系． 教学过程 教学环节 主要师生活动 新课导入 引导语：在前面一次函数的学习中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了它们之间的联系． 问题：你能从函数的角度说说你对方程2x＋1＝0的解的理解吗？ 师生活动：教师引导学生回顾，并画出相应的一次函数y＝2x＋1的图象，如图1．方程2x＋1＝0的解，从函数值考虑，就是函数y＝2x＋1的函数值为0时的自变量的值；从函数图象考虑，即为函数y＝2x＋1的图象与x轴的公共点的横坐标．同时引导学生类比思考，从二次函数的角度看一元二次方程，它们之间是否也有类似的联系呢？ 图1 设计意图：复习回顾一次函数与一元一次方程的联系，类比引出本节课要研究的问题.引导学生聚焦在思考二次函数与一元二次方程的关系上． 新知探究 思考　请画出以下二次函数的图象，观察并回答问题： （1）y＝x2＋x－2；（2）y＝x2－8x＋16；（3）y＝x2－x＋1． 问题1：以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ 师生活动：学生独立作图，观察分析．教师以第一个二次函数为例进行示范，其他由学生小组交流汇报． 图2 追问：当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ 设计意图：“思考”中的三个二次函数分别对应着二次函数图象与x轴的公共点的三种不同的情况．引导学生通过画图观察、小组交流，发现当x取公共点的横坐标时，函数值是0． 问题2：求下列方程x2＋x－2＝0，x2－8x＋16＝0，x2－x＋1＝0的根． 师生活动：学生以小组为单位求解三个一元二次方程，再小组交流． 追问：你能从函数的角度对这三个方程进行解释吗？ 师生活动：教师引导学生发现，解这三个方程，就是求相应的二次函数的函数值为0时对应的自变量的值． 问题3：结合二次函数的图象，请你说说对一元二次方程的根的认识． 师生活动：学生思考，小组讨论．教师指定小组展示讨论结果．其他组同学提出建议和补充．师生共同总结梳理，得出表格如下： 归纳：（从特殊到一般） 一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，可得如下结论： 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根． 设计意图：通过前面的画图观察、思考讨论以及小组交流，学生能自主发现二次函数的图象与x轴的公共点的横坐标即为相应的一元二次方程的根，从二次函数的角度再认识一元二次方程． 追问1：反过来由一元二次方程的根的情况，可否确定相应二次函数与x轴的公共点的情况？ 师生活动：学生思考、分析．结合前面所得结论一元二次方程的根即为对应的一元二次函数图象与x轴公共点的横坐标，因此由一元二次方程根的情况可以确定相应二次函数与x轴的公共点的情况． 追问2：通过探究你发现了二次函数与相应的一元二次方程之间的什么联系？请用文字表达你的发现． 师生活动：学生叙述，教师板书． 归纳：（从特殊到一般） 一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，可得如下结论： 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的公共点的情况有三种： ①有两个公共点，对应着二元方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等实数根； ②有一个公共点，对应着二元方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等实数根； ③没有公共点，对应着二元方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根． 设计意图：通过层层递进的问题设置，引导学生从正反两面进行思考辨析，帮助学生从数和形两个角度逐步理解二次函数的图象与x轴的公共点的三种情况分别与相应的一元二次方程的根的三种情况相对应，突出本节课的重点，进一步体会数形结合思想． 例题精讲 例　如图3，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的关系近似为h＝20t－5t2．小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多长时间？ 图3 师生活动：教师让学生充分研读题目后，学生思考，小组讨论，教师引导．“飞行高度能否达到20 m”的问题即为“二次函数h＝20t－5t2的函数值能否取到20”，可转化为“讨论一元二次方程20＝20t－5t2的根”进行求解．教师规范板书解题步骤，用思维导图分析梳理“实际问题抽象为函数问题，再转化为方程问题”的建模过程． 分析： 解：当h＝20时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程 20＝20t－5t2， 即 t2－4t＋4＝0， 解方程，得 t1＝t2＝2． 设计意图：通过例题中小球飞行的实际情境问题，引导学生经历“实际问题抽象为函数问题，再转化为方程问题”的建模过程，借助框图清晰呈现“抽象—转化”的思维路径，体会将二次函数问题转化为相应的一元二次方程求解的方法． 追问1：我们刚才解方程20＝20t－5t2，得到了t1＝t2＝2，这是两个相等的实数根．从函数解析式h＝20t－5t2看，这说明什么？ 师生活动：学生叙述，教师板书． 当t＝2时，二次函数h＝20t－5t2的函数值刚好等于20． 追问2：结合小球飞行的实际情况，这又说明什么？ 师生活动：学生叙述，教师板书． 当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m． 追问3：你能结合图3指出为什么只在一个时间小球的高度为20 m吗？ 师生活动：学生思考，小组讨论．结合图象分析得出“小球在某一时间达到最大高度，所以只在一个时间球的高度为20 m．因此当小球飞行2 s时，球达到最大高度为20 m”． 教师借用几何画图工具演示在同一个直角坐标系中抛物线h＝20t－5t2与直线h＝20的图象，借用函数图象验证学生的思考，帮助学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系． 设计意图：引导学生先从函数解析式看一元二次方程的根，就是已知函数值求自变量的值，然后回归实际情境中对一元二次方程的根进行解释和验证反思，进一步发展模型观念．让学生经历用函数图象表示一元二次方程的过程，借用几何直观验证思考，深化理解二次函数与一元二次方程之间的联系，从而突破难点． 追问4：（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，飞行时间可以是多少？ （2）小球的飞行高度能否达到21 m？如果能，飞行时间可以是多少？ 师生活动：学生先独立思考求解，两名学生上台板演．教师巡视指导、规范纠错． 追问5：你能结合函数图象指出为什么在两个时间小球的高度为15 m吗？高度为21 m的情况呢？ 师生活动：学生思考，小组讨论．教师动态平移直线h＝m，直观展示直线h＝m与抛物线h＝20t－5t2交点的动态变化，师生共同点评总结． 追问6：小球从飞出到落地，需要多长时间？ 师生活动：学生思考，抽象建模．小球飞出和落地两个时刻，小球高度为0，抽象为“二次函数的函数值为0”，转化为一元二次方程求解问题．最后结合函数图，验证方程的根并解释其实际意义．师生共同总结此类问题的一般解决路径： 设计意图：这几个小问对应二次方程不同解的情况，一方面再强化将二次函数问题转化为一元二次方程求解的方法，深化理解二次函数与一元二次方程的联系；另一方面在已建立的数学模型基础上，再经历求解模型和验证反思的过程，进一步发展模型观念． 课堂小结 师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）请用函数的观点，从数和形两个角度说说你对一元二次方程有什么新的理解？ （2）请用函数的观点，说说二次函数与一元二次方程的联系． （3）通过本节课的学习，你体会到了什么重要的数学思想方法？ 设计意图：引导学生梳理二次函数与一元二次方程之间的关系，构建知识体系，凝练数学思想． 课后任务 教科书习题26.3第1，6题． 学科网（北京）股份有限公司 $