26.4实际问题与二次函数——抛物线中三角形面积问题 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦九年级上册抛物线中的三角形面积问题，核心是掌握铅垂高水平宽法。通过复习坐标中三角形面积求法，引出抛物线背景下普通割补法的计算痛点，自然过渡到简便方法，搭建旧知到新知的学习支架。 特色在于“观察-分析-转化-归纳”的探究过程，结合小组合作与变式训练（如动点面积最大值求解）。体现数学眼光的几何直观、数学思维的推理意识与转化思想，通过归纳万能公式培养模型意识。助力学生形成标准化解题思路，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

青县第六中学课时备课教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级（册） 九年级上册 授课教师 课题 抛物线中的三角形面积问题 实施日期 教学目标 1. 掌握平面直角坐标系中抛物线背景下三角形面积的常用求解方法。熟练掌握铅垂高、水平宽法求三角形面积的通用公式。能够结合抛物线解析式求出交点坐标，准确计算三角形面积，并解决简单的面积. 2. 经历 “观察图形 — 分析结构 — 转化图形 — 归纳方法” 的探究过程，体会几何图形割补转化思想。通过合作探究、变式训练，形成解决抛物线三角形面积问题的标准化解题思路。 3.感受代数与几何的融合之美，提升学生解决综合题的信心。培养学生严谨的运算习惯、归纳总结能力与合作探究意识。 教学重点、难点 重点：掌握铅垂高水平宽法求抛物线中三角形面积。利用抛物线与直线交点坐标，准确求解三角形面积。 难点：理解铅垂高、水平宽的几何意义，能够在任意三角形中准确寻找宽与高。不规则三角形的割补转化思维，灵活选择最优方法解题。 教学过程 情景引入 1.复习提问：在平面直角坐标系中，已知三个点的坐标，如何求三角形面积？ 学生回答：规则图形可用底乘高，不规则图形可用割补法。 2.教师导入： 当三角形三个顶点落在抛物线与直线上，三边均不平行坐标轴，普通割补法计算量大、容易出错。中考中针对抛物线三角形面积有万能简便方法—— 铅垂高水平宽法。 3.出示课题：抛物线中的三角形面积问题 设计意图：从旧知引出痛点，激发学生探究简便方法的欲望，自然引出本节课核心方法。 合作探究 例题：已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，求 的面积以及抛物线上动点三角形面积通用求法。 小组合作探究任务 1.求出 A、B、C 三点坐标。 2.尝试用割补法求 面积。 3.观察抛物线上斜三角形结构，探究铅垂高、水平宽是什么。 4.归纳抛物线三角形面积万能公式。 教师精讲总结 1.水平宽：三角形左右两个定点的水平距离（横坐标之差） 2.铅垂高：中间动点竖直方向夹在两条直线之间的线段长度 3.万能公式 例题完整解答 抛物线： 求得：，， 水平宽： 铅垂高：点 C 纵坐标高度 变式 （能力提升・动点面积） 抛物线 ，点 P 为抛物线上第一象限动点，连接 PB、PC，已知 B、C，用铅垂高法表示 面积。 解题思路： 1.求出直线 BC 解析式 2.设动点 P 横坐标，表出 P、对应直线上点的纵坐标 3.求出动态铅垂高 4.代入面积公式求解 完整解答过程： 步骤1：求定点坐标与直线解析式 已知抛物线解析式：，定点 、。 设直线 的解析式为 ，将 两点坐标代入解析式： 把 代入得：； 把 、 代入得：，解得 。 因此直线 的解析式为：。 步骤2：设动点坐标，表示铅垂高 设抛物线上动点 的横坐标为 （，第一象限取值范围）， 则点 的纵坐标为：，即 。 过点 作竖直直线交直线 于点 ， 点 与点 横坐标相同，纵坐标为：，即 。 动态铅垂高为 两点的竖直距离（上减下）： 步骤3：确定水平宽，代入面积公式 左右定点为 ，固定水平宽：。 根据铅垂高水平宽面积公式 ，代入数据得： 步骤4：拓展求解面积最大值（贴合课堂拓展需求） 所得面积表达式为开口向下的二次函数，二次项系数 ，函数有最大值。 对称轴：，在取值范围 内。 将 代入面积公式： 。 最终结论： 1、 的面积解析式为：； 2、 的最大面积为 。 设计意图：由定点面积过渡到动点面积，贴合中考压轴题型，层层递进，提升综合能力。 课堂小结 1.本节课核心方法：铅垂高水平宽法 2.面积万能公式： 3.解题步骤：找点坐标→定水平宽→求铅垂高→代入公式计算 4.数学思想：数形结合、转化思想、建模思想 板书设计 1. 核心方法：铅垂高、水平宽法 公式： 2. 解题步骤 找点→定宽→求高→代公式 作业布置 1. 基础作业：已知抛物线 ，求与坐标轴围成的三角形面积。 2. 提升作业：抛物线 ，点 P 在第一象限抛物线上，求 面积的最大值 学科网（北京）股份有限公司 $