26.3二次函数与一元二次方程（第1课时 二次函数与一元二次方程的关系）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过复习一元二次方程判别式、二次函数图象等旧知，结合情境设问（如求y=x²-2x-3中y=0时x值），搭建知识支架，衔接方程与函数的内在关联。 以“特殊案例—归纳规律”探究流程，引导学生画函数图象观察与x轴交点（如y=x²+x-2等），对应方程根的情况，培养几何直观与推理意识，例题及中考真题强化应用，帮助学生建立数形结合思维，为教师提供完整教学资源，提升课堂效率。

26.3二次函数与一元二次方程 （第一课时 二次函数与一元二次方程的关系） （教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版2024版九年级上册第26章《二次函数》，26.3二次函数与一元二次方程第一课时 二次函数与一元二次方程的关系.核心内容为探究二次函数与一元二次方程的内在关联.具体包括：理解一元二次方程 ax+bx+c=0(a≠0) 的根与二次函数 y=ax+bx+c(a≠0) 图象和x轴交点横坐标的对应关系；掌握利用一元二次方程根的判别式，判断抛物线与x轴的交点个数；初步学会借助二次函数图象求解一元二次方程的根，建立函数与方程的数形结合思维. 2. 内容解析 本节课是二次函数章节的核心衔接课，承接前文二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法及判别式知识，是函数思想、数形结合思想的集中应用载体.从知识体系来看，学生此前已单独掌握代数层面的一元二次方程求解、几何层面的二次函数图象绘制，本节课打破代数与几何的壁垒，将“解方程”的代数问题转化为“看函数图象交点”的几何问题，实现数与形的双向转化.同时，本节课的知识是后续学习二次函数与不等式、二次函数实际应用的基础，能帮助学生构建完整的二次函数知识网络，是初中阶段函数与方程综合应用的关键奠基内容.本节课以具体二次函数图象为切入点，通过具象观察、归纳推理得出通用规律，符合初中生从具象到抽象的认知规律，重点培养学生的几何直观与逻辑推理核心素养. 基于以上分析，本节课的教学重点为理解二次函数y=ax+bx+c(a≠0) 的图象与x轴交点横坐标与一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)根的对应关系.掌握利用根的判别式判断抛物线与x轴交点个数、方程根的个数的方法. 1. 教学目标 （1）理解二次函数图象与x轴交点的横坐标与对应一元二次方程根的关系；能利用根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数，能根据抛物线与x轴交点情况判断一元二次方程根的个数. （2）经历“观察函数图象—分析交点坐标—对应方程根—归纳规律”的探究过程，掌握数形结合、转化的数学思想，提升观察分析、归纳总结和代数几何转化的能力. （3）感受数学知识的关联性与统一性，体会数形结合思想的简洁性与实用性，激发数学探究兴趣，培养严谨的数学思维习惯. 2.目标解析 目标1的核心基础知识是“函数交点与方程根的对应关系”，是解决二次函数综合题的基础技能。学生需精准掌握三者对应关系：抛物线与x轴有两个交点↔方程有两个不相等实数根；一个交点↔方程有两个相等实数根；无交点↔方程无实数根，实现代数、几何知识的灵活转化. 目标2是通过自主探究、小组合作、例题演练，让学生完整经历知识生成过程，而非机械记忆结论.重点突破“代数问题几何化、几何问题代数化”的思维壁垒，固化数形结合的核心解题方法. 目标3是通过新旧知识的融合贯通，让学生感知数学知识的整体性，摆脱碎片化学习误区；通过规律自主归纳，增强学生的学习成就感，培养主动探究、严谨求证的数学素养. 本节课学生已熟练掌握一元二次方程的解法、根的判别式的应用，同时掌握二次函数的解析式、图象画法及基本性质，具备本节课探究学习的知识基础.九年级学生已具备初步的逻辑推理和归纳总结能力，能完成具象图象的观察分析，但数形双向转化的思维尚未成熟，难以自主建立代数方程与几何图象的关联，抽象概括通用规律存在困难.学生容易混淆“抛物线与x轴交点个数”和“方程根的个数”的对应关系；无法灵活切换数形思维，解题时只会纯代数计算，不会借助图象简化问题；忽略二次项系数不为0的前提条件. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是深度理解函数与方程的双向转化关系，建立数形结合的思维模型.灵活运用二者关系解决基础综合问题，区分函数图象交点问题与方程根的问题. 创设情景，引入新课 复习提问：（1）一元二次方程 ax+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式是什么？判别式的取值对应方程根的几种情况？ （2）二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象是什么形状？图象上点的横、纵坐标分别代表什么意义？ 情境设问：已知二次函数 y=x-2x-3，当 y=0 时，x的值是多少？这个x值和函数图象有什么关系？ （设计意图：通过复习旧知，唤醒学生对一元二次方程判别式、二次函数图象的知识记忆，为新知探究搭建知识支架。通过针对性设问，制造认知冲突，引导学生主动思考函数与方程的关联，自然引出本节课课题.) 探究点1　探究二次函数图象与x轴的公共点 活动1.画出下列二次函数的图象，观察图象与x轴有几个交点. (1) y=x+x-2; (2) y=x²-8x+16; (3) y=x-x+1. 图象如下图： 追问1.观察以上下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少? (1) y=x+x-2,有两个公共点，公共点的横坐标是-2，1； (2) y=x²-8x+16，有一个公共点，公共点的横坐标是4； (3) y=x-x+1，没有公共点. 追问2.当x取公共点的横坐标时，函数值是多少? 函数值是0. 追问3.由此，你能说说以上三个函数相应的方程x+x-2=0，x²-8x+16=0，x-x+1=0根的情况吗？ 方程x+x-2=0,有两个不相等的根，是-2，1； 方程x²-8x+16=0，有两个相等的根，是4； 方程x-x+1=0，没有实数根. 追问4.由一元二次方程的根的情况，你能确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的情况吗？ 由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的情况；即一元二次方程有两个不相等的根时，对应的二次函数与x轴有两个不同公共点；一元二次方程有两个相等的根时，对应的二次函数与x轴有一个公共点；一元二次方程没有实数根时，对应的二次函数与x轴有两个不同公共点. 探究点2　探究二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交点和对应的一元二次方程ax²+bx+c=0根的关系 活动2.学生观察讨论归纳：二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交点和对应的一元二次方程ax²+bx+c=0根的关系 一般地，从二次函数y=ax²+bx+c的图象，可得如下结论: (1)如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是一元二次方程ax²+bx+c=0 的一个根. (2)二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种: 没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，分别对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 教师强调：根据二次函数与一元二次方程的联系，可以将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题来解决. 探究点3　将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题 活动3.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)的关系近似为h=20t-5t².小球的飞行高度能否达到20m?如果能，需要多长时间? 分析:问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h=20t-5t²的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程 20=20t-5t²的根的问题. 解:当h=20时，由函数关系h=20t-5t²，列得方程 20=20t-5t²，即t²-4t+4=0. 解方程，得. 这说明，当自变量t=2时，二次函数h=20t一5t²的函数值为20，即当小球的飞行2s时飞行高度能否达到20m. （设计意图：采用“特殊案例—对比分析—归纳通用规律”的探究流程，让学生全程参与知识生成过程，避免被动记忆结论.通过具象的图象观察和代数计算对比，直观突破数形转化的难点，培养学生观察、对比、归纳的核心能力.） 典型例题 例1.已知二次函数 y=2x²-4x-6，完成下列问题： （1）判断该抛物线与x轴的交点个数； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标； （3）直接写出一元二次方程 2x²-4x-6=0 的根。 【分析】（1）考查判别式的应用，通过计算△的取值，判断抛物线与x轴交点个数，是本节课的基础核心考点； （2）考查函数与方程的转化思想，令y=0，将求图象交点坐标问题转化为解一元二次方程的代数问题； （3）逆向巩固规律，明确交点横坐标与方程根的等价关系，实现数形双向转化. 【详解】解：（1）由题意得：a=2，b=-4，c=-6 根的判别式：△=b²-4ac=(-4)²-4×2×(-6)=64>0 抛物线 y=2x²-4x-6 与x轴有2个不同交点. （2）求抛物线与x轴交点坐标，令 y=0，即：2x²-4x-6=0 方程两边同时除以2，化简得：x²-2x-3=0 因式分解：(x-3)(x+1)=0 解得： ∴抛物线与x轴的交点坐标为 (3,0)、(-1,0). （3）根据二次函数图象与x轴交点横坐标即为对应方程的根，可得： 方程 2x²-4x-6=0 的根为. 例2．小明跳起投篮，已知球在处出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为米，当球出手后在处达到最大高度米，此时球运动的水平距离为米，设篮球运行的轨迹为如图所示的抛物线． (1)求抛物线的解析式； (2)篮圈中心距离地面米，问此球能否投中？请通过计算说明理由． 【分析】（1）根据题意，将点、点的坐标表示出来，设抛物线解析式为，，将点代入，最终得到抛物线解析式． （2）篮圈中心坐标可以根据题意求出，只要其坐标满足解析式，就可以投中，故将篮圈中心坐标代入解析中，得到答案． 【详解】（1）解：根据题意， 点的坐标为，点坐标为， 设此抛物线对应的解析式为：，， 抛物线经过， ， ， 抛物线的解析式为：． （2）篮圈中心的坐标为， 将坐标代入解析式中，得， 当时，， 故此球能投中． (设计意图：通过不同形式的练习，让学生掌握基本解法，同时积累解题经验) 课本P48课堂练习. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交于M，交x轴于N，恰有线段，求此时点P的坐标． 【分析】本题考查了二次函数与线段和差问题： （1）把点和代入，即运用待定系数法求解； （2）先运用待定系数法求出BC的解析式为，设，则，，根据，建立等式，解出值，即可作答． 【详解】（1）解：把点和代入， ，解得， ； （2）解：令，则，， 设的解析式为，，解得， ， 设，则，， ，， ，，解得或， 是线段下方抛物线上， ，， （设计意图：强化二次函数与一元二次方程的关系） 1.（2025•白云区校级三模）如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b²﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，c＞0， ∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0）， 当x＝﹣1时y＞0， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2，b²﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故结论③④正确； ∴，即b＝﹣4a＜0，b+4a＝0，故结论②正确； ∴abc＜0，故结论①正确， 综上，说法正确的有4个， 故选：D． 2．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）²+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　8　 m． 【解答】解：由题意，OA＝1.6m， 得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 得：1.6＝a（0﹣3）²+2.5， 解得：， ∴， 令y＝0，得， 解得：，， ∴OB为8m， 故答案为：8． 3（2025•连云港）已知二次函数y＝x²+2（a+1）x+3a2﹣2a+3，a为常数． （1）若该二次函数的图象与直线y＝2a²有两个交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； （3）求证：该二次函数的图象不经过原点． 【解答】（1）解：∵二次函数y＝x²+2（a+1）x+3a²﹣2a+3中，1＞0， ∴二次函数的图象开口向上， ∵二次函数的图象与直线y＝2a²有两个交点， ∴函数的最小值小于2a²， 则， 即2a²﹣4a+2＜2a²， 解得； （2）解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴Δ＝4（a+1）²﹣4×1×（3a²﹣2a+3）＝﹣8a²+16a﹣8＝﹣8（a﹣1）²≥0， ∴8（a﹣1）²≤0， 又∵8（a﹣1）²≥0， ∴8（a﹣1）²＝0， 解得a＝1； （3）证明：∵当x＝0时，， ∴二次函数的图象不经过原点． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：（1）核心对应关系：抛物线与x轴交点个数、判别式取值、一元二次方程根的个数三者一一对应；（2）核心结论：抛物线与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根；（3）基础技能：会用判别式判断交点与根的情况，会通过解方程求抛物线与x轴交点坐标. 思想方法：（1）数形结合思想：将代数方程问题与几何函数图象相互转化，以形助数、以数释形；（2）转化思想：把求函数图象交点问题转化为解方程问题，简化几何求解难度；（3）归纳推理思想：通过特殊案例探究，归纳出通用数学规律. 易错提醒：（1）忽略二次函数前提：研究交点与方程根的关系时，必须保证 a≠0，否则不是二次函数与一元二次方程；（2）概念混淆：抛物线与x轴的交点坐标是有序实数对，对应的方程根是横坐标数值，二者形式不同，不可混淆；（3）判别式计算失误：代入a、b、c数值时，注意符号问题，避免正负号计算错误；4）表述错误：方程有两个相等实数根，不可表述为“方程只有一个根”. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题26.3第1、3题. 探究性作业：习题26.3第4题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 26.3 二次函数与一元二次方程（第一课时） 一、核心对应关系 二、核心思想 三、易错警示 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $