26.3 二次函数与一元二次方程教学设计2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程的内在联系，涵盖抛物线与x轴交点、方程根、判别式的对应关系及图象法求近似根。通过一次函数与一元一次方程的关系类比导入，搭建知识迁移支架，引导学生猜想二次函数与一元二次方程的数形转化逻辑。 此资料以探究法和合作交流为特色，结合抛球实例将实际问题转化为方程根的判断，体现模型意识。通过二分法逐步逼近近似根，培养推理意识与运算能力。助力学生深化数形结合思想，提升解决实际问题能力，为教师提供清晰教学路径和可操作活动设计。

26.3 二次函数与一元二次方程 教学设计 课题 26.3 二次函数与一元二次方程 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 1.理解二次函数与一元二次方程的内在联系，体会“当函数值 y=0 时，自变量 x 的值就是对应一元二次方程的根”的数形转化逻辑； 2.掌握抛物线与 x 轴交点的个数、一元二次方程根的情况、根的判别式三者之间的对应关系； 3.能利用二次函数图象（或图象与估算相结合的方法）求解一元二次方程的近似根，感受逼近的思想。 教学重点 抛物线与 x 轴交点和一元二次方程实数根的对应关系。 教学难点 理解“函数值为 0 时，自变量就是对应一元二次方程的根”这一数形转化逻辑，并能用图象法估算近似根。 教学方法 讲授法、探究法、演示法、合作交流、练习巩固 教学准备 多媒体课件、三角板、网格纸、计算器 课后练习 完成课本第26.3节随堂练习及课后巩固练习 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、复习回顾 教师提问：回顾一次函数和一元一次方程的关系，出示一次函数图象。学生独立思考后回答，教师总结。 求一元一次方程 的解，就是求一次函数 中当 y=0 时 x 的值。 其几何意义是：直线 与 x 轴交点的横坐标就是对应方程的解。 总结：这是数形结合思想——数（方程的解）对应形（图象与 x 轴交点的横坐标）。顺势抛出问题：二次函数和一元二次方程之间是否存在类似关系？由此导入新课。 口述：一元一次方程 的解就是一次函数 与 x 轴交点的横坐标，从而猜想二次函数 与一元二次方程 也可能存在对应的“数形关系” 用学生已掌握的一次函数知识类比铺垫，把“方程的解—图象与轴交点”的对应关系迁移到二次函数，降低新知理解难度，自然引出本节课核心探究方向，渗透数形结合思想。 二、探究1： 图象与方程的联系 探究1：图象探究，建立函数与方程的联系。 出示三个函数：（1）y=x²−x+1；（2）y=x²+x−2；（3）y=x²−8x+16。 教师分组布置任务：小组观察图象，回答三个问题——①抛物线与 x 轴有几个公共点？②交点横坐标是多少？③交点处函数值为多少？ 小组讨论，依次汇报： 函数 y=x²−x+1：抛物线与 x 轴无公共点，对应方程 无实数根（Δ=(−1)²−4×1×1=−3<0）； 函数 y=x²+x−2：抛物线与 x 轴有 2 个公共点（−2，0）、（1，0），交点处函数值为 0，对应方程 的两个实数根为 x1=−2、x2=1（Δ=1²−4×1×(−2)=9>0）； 函数 y=x²−8x+16：抛物线与 x 轴有 1 个公共点（4，0），对应方程 有两个相等的实数根 x1=x2=4（Δ=(−8)²−4×1×16=0）。 教师提问：反过来，已知判别式 Δ 的符号，能否直接判断抛物线与 x 轴交点的数量？学生集体齐答，巩固双向对应关系。 观察 、、 三个抛物线与 x 轴的公共点，辨认无交点、两交点、一交点三种情形，并对应一元二次方程的根与判别式 Δ， 从直观图象入手，遵循由形到数的认知路径，让学生自主发现“抛物线与x轴交点数——对应方程根的个数与判别式符号”之间的双向对应关系。 三、表格梳理： 交点—方程根—判别式 抛物线交点个数—一元二次方程根的个数—根的判别式三者的对应关系（对应表）。 师生共同归纳：当 Δ=>0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点，方程 有两个不相等的实数根；当 Δ=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点，方程有两个相等的实数根；当 Δ<0 时，抛物线与 x 轴无交点，方程没有实数根。 核心结论：一般地，若二次函数 () 的图象与 x 轴交于 (x1，0)、(x2，0)，则 x1、x2 就是一元二次方程 的实数根，可由求根公式 求出。 强调：判别式 Δ=b²−4ac 是把“交点个数”与“方程根的个数”联系起来的桥梁，先判 Δ 再定交点个数。 对照表格读出并记忆三行对应关系：→两交点、两不等实根；→一交点、两相等实根；→无交点、无实根，并写出求根公式 用表格把图象交点、方程根、判别式三者系统化，化抽象为条理、便于记忆；并把“由形读数”和“由数断形”的双向逻辑落到核心结论上，突破本节课难点。 四、典例精讲 （例1 教材P47 抛球） 【典例精讲】 例1（教材P47）：如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h（m）与飞行时间 t（s）之间具有关系 h=20t−5t²。 师生活动：学生独立分析，把“飞行高度能否达到某值”转化为“关于 t 的一元二次方程是否有解”。 （1）球的飞行高度能否达到 15 m？若能，需要多少飞行时间？——令 h=15，即 ，整理得 ，解得 t1=1，t2=3。答：能达到，飞行时间 1 s 或 3 s 时高度为 15 m。 （2）球的飞行高度能否达到 20 m？若能，需要多少飞行时间？ 令 h=20，即 ，整理得 ，解得 t=2。答：能达到，恰好经过 2 s 时高度为 20 m（此时球在最高点）。 （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？ 令 h=20.5，即 ，整理得 ，其判别式 Δ=(−4)²−4×1×4.1=16−16.4<0，所以方程没有实数根。答：不能达到 20.5 m。 （4）球从飞出到落地要用多少时间？ 令 h=0，即 ，解得 t1=0，t2=4。答：球从飞出到落地要用 4 s。 教师点评，用课件展示答案，规范“判断高度能否达到某一值”即判断对应一元二次方程有无实数根的书写格式。 把 h 值代入 列方程：h=15 得 （t=1 或 3）、h=20 得 （t=2）、h=20.5 得 （Δ<0 无解）、h=0 得 或 4，规范书写解答 结合生活抛球模型，把实际问题中的“能否达到某一高度”转化为判断一元二次方程有无实数根，训练把实际问题转化为方程的能力，体会方程与函数的联系在实际问题中的应用。 五、探究2： 图象法求近似根（例2） 探究2：图象法求一元二次方程的近似根。 【典例精讲】 例2（教材P48）：利用函数图象求方程 x²−2x−2=0 的实数根（结果保留小数点后一位）。 学生小组合作完成解题过程，教师点评，规范格式。 解：画出函数 y=x²−2x−2 的图象。由图象可知抛物线与 x 轴的交点横坐标在 −1 与 0、2 与 3 之间，通过观察、取点估算：两根约为 x1≈−0.7，x2≈2.7。（精确值 x=1±√3。） 教师提醒：由于画图或观察可能存在误差，由函数图象求得的相应方程的根一般是近似的。 进阶估根方法（二分法思路）讲解： 取区间端点计算函数值，判断根所在区间。如对正根，因 f(2)=(2)²−2×2−2=−2<0，f(3)=3²−2×3−2=1>0，可知根在区间 (2，3) 内； 不断取中点缩小范围。取中点 2.5，算得 f(2.5)=2.5²−5−2=−0.75<0，根在 (2.5，3)；再取中点 2.75，算得 f(2.75)=2.75²−5.5−2=0.0625>0，根在 (2.5，2.75)。 学生用计算器计算 2.5、2.75 处的函数值，感受区间不断缩小、逐渐逼近准确根的过程。教师总结图象法求近似根三步：画图定根的个数 → 确定根的取值区间 → 估算近似值。 画出 图象读出两根约为 −0.7、2.7，并算 f(2)=−2、f(3)=1、f(2.5)=−0.75、f(2.75)=0.0625，体会不断取中点缩小区间逼近根 x2≈2.7 完整展示“画图—取点—估算”的图象求根流程，补充用函数值符号逐步缩小区间的二分逼近思路，突破“近似根估算”难点，规范解题步骤，渗透逼近、数形结合思想。 六、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 二次函数与一元二次方程的相互转化：当 y=0 时，抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。 2. 抛物线交点、方程根、判别式三者对应关系：Δ=>0 时两不相等的实数根、Δ=0 时两个相等的实数根、Δ<0 时无实数根。 3. 图象法求一元二次方程近似根的步骤：画图定根的个数 → 确定根的取值区间 → 估算近似值（可结合取中点逐步逼近）。 回顾：二次函数与一元二次方程的相互转化、判别式与交点个数/根的情况对应表、图象法求近似根三步，说说由形到数与由数到形的体会 梳理“数（方程与判别式)—形（抛物线与x轴交点）”的对应关系与图象估根流程，帮助学生建立函数与方程的知识衔接，深化数形结合思想。 板书设计 26.3 二次函数与一元二次方程 一、数形转化 当 y=0 时 抛物线 y=ax²+bx+c 与x轴 交点的横坐标＝方程根 ax²+bx+c=0 的根 二、Δ判别对应关系 Δ=b²−4ac Δ>0→2交点→两不等实根 Δ=0→1交点→两相等实根 Δ<0→无交点→无实数根 三、求根公式 x= 四、图象法求近似根 画图定根的个数 定根的取值区间 估算近似值（逐步逼近） 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $