30.1.2（第2课时）切线长定理（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“切线长定理”，通过滚铁环、古代方圆设计等情境引入，衔接直线与圆的位置关系，以作图探究、概念辨析、定理证明为支架，构建从具体到抽象的知识脉络。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过作图推理发展数学思维，用规范几何语言强化数学表达。如测量光盘直径实例融合切线性质与三角函数，典例涵盖基础计算与综合模型，助力学生提升抽象能力与应用意识，为教师提供系统教学资源。

人教版(新教材) 九年级上册 30.1.2(第2课时) 切线长定理 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 滚铁环是90后童年最有趣的玩具之一，观察图片，你能找到图中直线和圆的位置关系吗？ 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 O P 作图解答：过☉O外一点P能够画圆的几条切线呢？ 如何用直尺和圆规作图？ 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 O 如图，P是☉O外一点，要过点P作☉O的切线.因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点P且☉O相切，所以需在☉O上确定一点A，满足OA⊥AP，即∠OAP=90°,由此可知，点O，P，A可以确定一个圆，OP是这个圆的直径，因此以OP为直径作圆，该圆与☉O的交点即所要确定的点. 根据上面的想法，可以用直尺和圆规作出过圆外一点的圆的切线. (1)连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与 OP交于点C; (2)以点C为圆心,CO为半径作圆，与☉O相交 于A，B两点; (3)作直线PA，PB，即所求作的切线. P C A B 30.1.2 -2 切线长定理 切线长 P A O 可以看到，过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切，我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长(如图中的线段PA,PB的长),叫作这点到圆的切线长. B 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 切线与切线长有什么区别？ 切线长是线段的长，这条线段的两个 端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 切线是一条与圆相切的直线，不能度量； P A O B A O 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，已知☉O及☉O外的一点P，PA与☉O相切于A点，PB与☉O相切于B点， 你能发现哪些数量关系或者位置关系？ O P A B 利用圆的轴对称性进行度量或者通过折叠等方式，猜想： PA=PB，∠APO=∠BPO 你能证明你的猜想吗？ 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知PA,PB分别为圆O的两条切线，切点分别为A,B. 求证：PA = PB ，∠APO=∠BPO A P O B 证明：连接OA、OB 、OP ∵PA、PB与☉O 相切于A、B两点， OA、OB为半径 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° 在Rt△AOP和Rt△BOP中 ∵ OA=OB，OP=OP ∴ Rt△AOP≌ Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB，∠APO=∠BPO. 30.1.2 -2 切线长定理 切线长定理 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. B P O A 切线长定理为证明线段相等、 角相等提供了新的方法. ∵PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B ∴ PA = PB, ∠OPA = ∠OPB 几何语言： 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 若连接两切点A、B，AB交OP于点M，你又有什么新的发现呢?请证明你的猜想. 证明：∵PA，PB是☉O的切线， 点A、B是切点 ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB(切线长定理) ∴△PAB是等腰三角形，PO为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB(等腰三角形三线合一) 猜想：OP垂直平分AB. B P O A M 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 B P O A 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 E 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 由勾股定理得， ∴(, 解得x=, 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 小明同学用一把直尺和一个直角三角板(有一个锐角为60°)测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点 C 30.1.2 -2 切线长定理 归纳拓展 PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C. B P O A C E D (1)图中所有的垂直关系： OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. (2)图中与∠OAC和∠AOC相等的角： ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. ∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC (3)图中所有的相等的线段： PA=PB，AC =BC，OA =OB. (4)图中所有的全等三角形: △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. (5)图中所有的等腰三角形: △ABP，△AOB. 30.1.2 -2 切线长定理 切线的基本模型 A P O B (1)连接圆心和切点，得到直角； A P O B (2)连接两切点，构建等腰三角形； A P O B (3)连接圆心和圆外一点，得到角平分线. 在解决有关圆的切线长问题时，往往需要构建以下三个基本图形： 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点(即BC与O相切于点D)．点A在O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与交于点E，与BC交于点B，连接AC,OC,CE，BD=CD=3,OA⊥AC．(1)求证：∠B=∠ACO； (1)证明：如图，连接OD．∵BC与相切于点D， ， ， ， ． 又∵ ， , ∴ , ∴ ； 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)解：根据(1)可得 ， ， , . ∴ ，∵CA,CD与O相切,∠OAC=90°， ，在 中， ， ∴ ，∴ ，∴ ， 在 中， ． (2)求CE的长． 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，在Rt△AOB中，OA=OB =3 ☉O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作☉O的一条切线PQ(点Q为切点)，求切线PQ的最小值. 解：连接OP，OQ．∵PQ是☉O的切线，∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， A B O P Q P Q ∵在Rt△AOB中，OA=OB=3， ∴AB=OA=6，∴OP==3∴PQ==2． 30.1.2 -2 切线长定理 反思与总结 转化与划归思想 题中要求切线PQ的最小值，由于P点和Q点都是动点，无法直接找到PQ的最小值.注意到P点的位置确定后，Q点的位置也随之确定.根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2=OP2−1，要求PQ的最小值，只需要求OP的最小值.即将PQ的最小值转化为的最小值. 30.1.2 -2 切线长定理 反思与总结 “一箭穿心”模型 求圆外一点P到圆上一点Q的距离的最值，由图可知，当直线PQ经过圆心O时，线段PQ的长度取得最值：最小值为PQ1的长度，最大值为PQ2的长度.即 PQ1 ≤ PQ ≤ PQ2. P Q O Q1 Q2 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 辅助线 切线长定理 提供了证线段和角相等的新方法 图形的轴对称性 原理 作用 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，AB,AC,BD是的☉O切线，P，C，D为切点，如果AB=7,AC=4，则BD的长为(   ) A．3 B．2 C．2.5 D．1.5 解：∵AP,AC是的☉O切线， ∴ ， ∵BP,BD为☉O的切线， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：如图，连接OA， ∵PA和PB为☉O的两条切线，∴ ． ∵ ，∴ ,∴ ． ∵ ， ，∴ ， ∴ ， ∴ ． 如图，P为☉O外一点，PA和PB为☉O的两条切线，A和B为切点，BC为直径，连接AC,PO．如果 ，那么∠APO的度数是(   ) A．20° B．22° C．32° D．36° 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，PA和PB为☉O的两条切线，A,B为切点，AC是☉O的直径，若 ，则 ___________． 解：∵PA为☉O的切线，A为切点， ， ∴ ，∴ ， ∵PA和PB为☉O的两条切线，A,B为切点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，PA和PB为☉O的两条切线，A,B为切点，C是 上一点，过点C画☉O的切线，分别交PA和PB于点D，E， ，则 的周长是________cm． 解：∵PA和PB为☉O的两条切线，A,B为切点 ， ， 同理可得： ， ， 的周长 ． 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，四边形 与☉O分别相切于点E,F,G,H，其中，四边形 的周长为44， ，则BC长度为______． 解：∵四边形 与☉O分别相切于点E,F,G,H， ∴ ， ， ， ，∵ ， ∴ ， ∵ 的周长为44， ∴ ， ∴ ． 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，已知四边形ABCD中， ，以AB为直径作☉O与CD边相切于点E．连接BE，求证： . 证明：∵ 且点B在☉O上， ∴BC是☉O的切线，且 ， 又∵☉O与CD边相切，∴ ， ∴ ， 又 ，∴ , 即 ． 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 , , AP+PQ+BQ+AB=, 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂．从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题．如图，在正方形ABCD中, AB=4,DN,BM,BD分别与☉O相切于点N,M,E，且DN=BM=2，OC=2求☉O的半径. 30.1.2 -2 切线长定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：如图，连接OE，∵四边形为正方形ABCD，AB=4， ． ∵DN,BM,BD分别与☉O相切于点N,M,E， ，∵DN=BM=2， ，∴OE垂直平分BD． ， ∴点C在BD的垂直平分线上，∴C,O,E三点在同一条直线上． ， ， ． 30.1.2 -2 切线长定理 如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°. (1)求∠BAC的度数； 解：(1)∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP＝BP. ∵∠P＝60°，∴∠PAB＝60°. ∵AC是⊙O的直径， ∴∠PAC＝90°. ∴∠BAC＝90°－60°＝30°. (2)当OA＝2时，求AB的长． (2)如图，连接OP. 在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝∠APB＝30°， ∴OP＝4.由勾股定理，得AP＝2. ∵AP＝BP，∠APB＝60°， ∴△APB是等边三角形． ∴AB＝AP＝2. $