30.1.2（第1课时）圆的切线的性质与判定（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆的切线性质与判定，通过砂轮火花、列车车轮等生活实例情境引入，结合过圆上点作切线的思考问题，衔接直线与圆位置关系旧知，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察生活实例，用反证法探究切线性质培养数学思维，典例精析涵盖“有交点连半径证垂直”等辅助线方法，当堂练习结合菱形、直角三角形等问题用数学语言规范解答。能帮助学生发展几何直观与推理能力，为教师提供系统教学流程与多样化例题，提升教学效率。

人教版(新教材) 九年级上册 30.1.2 圆的切线 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在生活中，有许多直线与圆相切的实例.例如，砂轮转动时，火花是沿着砂轮的切线方向飞出去的.你还能举例吗？ 列车车轮的边沿与铁轨的上沿是相切的. 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 A B C 已知圆 O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作圆 O 的切线？ O (1)圆心 O 到直线 AB 的距离和圆的半径有什么数量关系? (2)二者位置有什么关系？为什么？ 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，设P为直线l上不同于点A的点，因为直线l与⊙O只有一个公共点A，所以点P在⊙O外，从而OP>OA，即半径OA是圆心O与直线l上的点的最短连线，因此，半径OA与直线l垂直（可以用反证法证明）,由此得到切线的性质: 圆的切线垂直于过切点的半径. A l O P 30.1.2 圆的切线 切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 切线的性质 ∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点， ∴直线 l⊥OA. 应用格式 A l O 你能用反证法写出具体的证明过程吗？ 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1) 假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作 OM⊥CD，垂足为 M； 理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. (2) 则 OM＜OA，即圆心到直线 CD 的 距离小于⊙O 的半径，因此，CD 与⊙O 相交. 这与已知条件“直线 与⊙O 相切”相矛盾； C D B O A (3) 所以假设不成立，故 AB 与 CD 垂直. M 证法：反证法 30.1.2 圆的切线 切线的性质 圆的切线和圆只有一个公共点. 圆心到切线的距离等于半径. 圆的切线垂直于过切点的半径. 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. A l O 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理. 解： 因为两个三角尺的一条直角边与圆相切，另一条直角边在一条直线上，所以两条切线互相平行. 则连接两切点之间的线段就是圆的直径，利用图中刻度尺就可以测量出圆形工件的直径. 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？ O P B A 解：连接OB，则∠OBP=90°. 设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中， OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3. 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 根据切线的性质，若⊙O的切线l经过半径OA的外端点A.那么l⊥OA，反过来，如图，若直线l过半径OA的外端点A，且l⊥OA，那么直线l是⊙O的切线吗？ 可以看出，这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，因而直线l就是⊙O切线.由此可以得到切线的判定定理： A l O 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 30.1.2 圆的切线 切线的判定 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定 应用格式 ∵ l⊥OA 且OA为⊙O的半径， ∴ l是⊙O的切线. A l O 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ 不是，没有垂直. 不是，没有经过半径的外端点 O. A O. A O A 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 30.1.2 圆的切线 判断一条直线是圆的切线的方法 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线. 分析：要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径即可.由于OD是⊙O的半径，故只需证明OE=OD. B C O A D 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E.连接OD，OA. ∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB. 又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线. ∴OE=OD，即OE是⊙O的半径. 这样：AC经过⊙O的半径OE的外端点E, 并目垂直于半径OE，所以AC是⊙O的切线. 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线. B C O A E D 在解决有关圆的切线的问题时，常常需要作过切点的半径. 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M. 求证：CD与⊙O相切． 证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N， ∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC. 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线 AC上一点， ∴OM＝ON，即ON为⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切． M N 利用四边形的性质证明切线. 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．求证：AC 是⊙O 的切线． B C D A E 证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E. ∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB. 又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC， ∴ DE = DB = r. ∴ AC 是⊙O 的切线. 利用角的平分线的性质证明切线. 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，线段 AB 是☉O 的直径，直线 AC 与 AB 交于点 A，且AC: AB : BC: 2.求证：AC 是☉O 的切线. 证明：∵AC： AB ：BC：2， 设AC=x,则 AB =x，BC=2x，则+=, 根据勾股定理的逆定理， 得 ∠BAC = 90°，即 AB⊥AC. ∵ AB 是☉O 的直径， ∴ AC 是☉O 的切线. A O C B 利用勾股定理的逆定理证明切线. 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 . 利用平面几何三要素(平行线+等腰三角形+角的平分线：知二推一)证明切线. 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 利用已知直角和等式的性质证明切线. 30.1.2 圆的切线 切线的判定 1 2 有交点，连半径,证垂直. 证切线时辅助线的添加方法1 证切线时辅助线的添加方法2 无交点，作垂直,证半径. 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作圆的切线？ 分析： 该问题转化为过☉O上的点A作半径OA的垂线. 尺规作图如右图所示. 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 圆的切线的性质 与判定 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d=r，则相切 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的 性质 有1个公共点 d=r 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；故选：D． 下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，在菱形 中，E为AB上一点，以DE为直径的☉O与相切于点E， 若 ，则AB等于（     ） A． B． C． D． 解：设 ，则 ， ∵四边形 是菱形，∴ ， ∵以DE为直径的☉O与相切于点E，∴ ， 在 中， ， ∴ ，解得 ． 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，以 边AC为直径作☉O交AB于点D，BC恰好是☉O的切线，C为切点，连接DO．若 ，则 的度数为_______． 解：AC为☉O直径，BC是☉O的切线，C为切点， ， 在 中， ， ， 弧CD对应的圆心角为 ，圆周角为∠A， ． 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，PA,PB是☉O的切线，A，B为切点，AC是☉O的直径，若 ， 则∠P=___________． 解：∵PA,PB是☉O的切线，A为切点 ， , ∴ ，∴ ， ∵PA,PB是☉O的切线，A，B为切点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，在 中， ， ，圆心在BC上的半圆O与斜边AB相切于点D，则 的度数是_____度． 解：∵在 中， ， ， ∴ ，如图，连接OD， ∵圆心在BC上的半圆O与斜边AB相切于点D， ∴ ，∴ ， ∴ ． 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB. 求证：AT是⊙O的切线. 证明： ∵ AT=AB， ∴∠T=∠ABT=45°， ∴∠TAB=90°， ∴BA⊥AT， ∴AT是⊙O的切线. A B . O T 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交⊙O 于点 B，连接 AB. 若∠B = 25°，求∠P 的度数. B O P A 解：如图，连接 OA. ∵ PA 是⊙O 的切线， ∵∠AOP = 2∠B = 50°， ∴∠P = 90° - 50° = 40°. ∴∠OAP = 90°. 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O交于 B、C 两点，∠P = 30°，连接 AO、AB、AC. 求证：△ACB≌△APO. O A B P C 证明：∵ PA 为⊙O 的切线，A 为切点，∴∠OAP＝90°. 又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°. 又 OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形. ∴ AB＝AO，∠ABO＝60°. 又∵ BC 为 ⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°. 在△ACB 和 △APO 中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABC＝∠AOP，∴△ACB≌△APO (ASA). 30.1.2 圆的切线 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 30.1.2 圆的切线 $