第一章 三角形（复习讲义）数学新教材浙教版八年级上册

该初中数学三角形单元复习讲义以思维导图构建知识体系，整合基本概念与性质、全等三角形、垂直平分线与角平分线、命题与证明四大模块，用表格对比呈现分类及重要线段特征，标注重难点，清晰展现知识脉络。 讲义亮点在于分层练习与方法指导，“要点速测”夯实基础，“题型”通过全等判定综合题（如SAS应用）培养推理意识，难点部分指导辅助线添加策略，助力不同学生提升，为教师精准教学提供支持。

第一章 三角形 复习要点 1. 理解三角形的定义及表示方法，掌握按角和按边对三角形进行分类。 2. 掌握三角形三边关系、内角和定理，并能灵活运用其推论（直角三角形两锐角互余、外角等于不相邻两内角和）。 3. 掌握三角形的角平分线、中线、高线的概念，明确三条高线所在直线交点位置与三角形类型（锐角、直角、钝角）的关系。 4. 掌握全等三角形的概念与性质，能熟练选用 SSS、SAS、ASA、AAS 及 HL 判定定理来证明三角形全等。 5. 掌握线段垂直平分线、角平分线的性质与判定，并能结合全等三角形进行灵活应用。 6. 理解定义与命题的概念，能分清命题的条件与结论，掌握判断真假命题的方法（举反例说明假命题），并规范掌握几何证明的书写格式与推理依据。 复习重难点 重点：三边关系与内角和定理的应用；全等三角形的判定与性质的综合运用；线段垂直平分线与角平分线的性质应用。 难点：全等三角形判定方法的选择（注意 SSA 和 AAA 不能判定全等）；几何证明题中辅助线的添加方法；准确找出判断假命题所需的反例。 知识点 三角形的基本概念与性质 1.三角形的定义及表示方法 （1）三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的 叫做三角形。三角形具有 。 （2）表示法及读法：三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“”，读作“三角形ABC”；的三边有时也用a，b，c表示。 2.三角形的内角和外角 （1）内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。如，，是的内角。 （2）外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。如图，，，都是的外角。 3.三角形的分类 （1）按角分类：按内角大小分类。 （2）按边分类：按照边的长短分类。 4.三角形中三条重要的线段 定 义 示例如图 （1）三角形的角平分线： ①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 ②性质：三角形的三条角平分线交于一点。 线段AD为的一条角平分线 （2）三角形的中线： ①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边 的线段，叫做这个三角形的中线。 ②性质：三角形的三条中线交于一点。 线段AD为BC边上的中线 （3）三角形的高： ①定义：从三角形的一个顶点向它的 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 ②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的 ；钝角三角形有两条高落在三角形的 ，三条高所在直线的交点也在三角形的 ；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的 。 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点。 线段AD为BC边上的高 5.三角形的边和角 （1）三角形的边 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和 第三边。 三角形三边关系定理的推论:三角形 小于第三边。 即a、b、c三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段。 （2）三角形的角 定 义 示例如图 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于。 如图，在中，。 三角形内角和定理的三个推论： ①推论1：直角三角形的两个锐角 ； ②推论2：三角形的一个外角等于 的和； ③推论3：三角形的一个外角 任意一个和它不相邻的内角。 如：外角， ， 。 ， ， ， 三角形的外角和： 每个顶点处取 外角再相加，叫三角形的外角和。 三角形的外角和等于 。 ∠1+∠2+∠3=360° 要点归纳： （1）三角形具有 ，这是其区别于其他多边形的特有性质。 （2）按边分类时， 三角形是特殊的等腰三角形。 （3）三角形的三条高线所在直线交于一点。锐角三角形的交点位于三角形内部；直角三角形的交点位于直角顶点；钝角三角形的交点位于三角形外部。 （4）三角形的 将原三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高模型，是常见考点）。 （5）三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有 个外角，其中有三个与另外三个相等；每个顶点处的两个对顶的外角是相等的。 （6）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验所求边长能否 。 要点速测 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 2．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．已知的三边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 5．下列线段长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．在手工课上，小明有两根长度分别是和的木棒，他想再取一根木棒与已有的两根木棒首尾相接拼成一个三角形．他再取的这根木棒的长度可以是（ ） A． B． C． D． 7．若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（ ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 8．以下说法正确的有（ ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 10．如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（ ） A． B．或 C． D．或 12．如图，在中，，点D是边上一点，，则的度数为______． 知识点 全等三角形 1.全等三角形的定义和性质 （1）全等三角形的定义 全等图形：能够 的两个图形就是全等图形。 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 完全重合时，互相重合的点为 ；互相重合的角为 ；互相重合的边为对应边。 （2）全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边 ： 若，则，，。 ②全等三角形的对应角 ： 若，则，，。 ③全等三角形的周长 ，面积 ： 若，则，。 2.全等三角形的判定 判定方法 解释 图形 边边边 (SSS) 对应相等的两个三角形全等 边角边 (SAS) 对应相等的两个三角形全等 角边角 (ASA) 对应相等的两个三角形全等 角角边 (AAS) 对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边 (HL) 对应相等的两个直角三角形全等 要点归纳： （1）在判定三角形全等时，“SSA”（边边角）和“AAA”（角角角） 判定两个三角形全等。如下图：在等腰中，BC边上任取一点D，连接AD，观察和。 （2）HL（斜边、直角边）是判定直角三角形全等的特有方法，但直角三角形 SSS、SAS、ASA、AAS四种判定法。 （3）寻找全等条件时，要善于挖掘隐含条件：公共边、 、 ，以及由垂直定义得到的 。 （4）用符号书写全等时，要注意对应顶点写在对应位置上，若，则前后对应关系 ；若与全等，则前后对应关系 。 要点速测 13．如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（ ） A．4 B．3 C．2 D． 14．如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 15．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ） A． B． C． D． 知识点 线段垂直平分线与角平分线的性质 1.垂直平分线的性质和判定 垂直平分线 解释 示例 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为 。 如图，若，，则直线DE就是线段AB的垂直平分线。 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个 相等。 如图，已知直线是线段的垂直平分线，则。 判定 到一条线段两个端点 ，在这条线段的垂直平分线上。 如图，若，则点在线段的垂直平分线上。 尺规作图：已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线。 作法： ①分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度 的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D。 ②作直线CD。 直线CD就是线段AB的垂直平分线，如下图。 2.角平分线的性质和判定 角平分线 解释 示例 性质 角的平分线上的点到角的两边的 相等。 如图，若射线OC是的角平分线，则。 判定 角的内部 在角的平分线上。 如图，若，则OC是的角平分线。 尺规作图：用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。 作法： ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。 ②分别以点 E，F 为圆心， EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC内一点D。 ③作射线AD。 射线AD就是∠BAC的平分线，如下图。 要点归纳： （1）角平分线的性质是“点到角两边的距离相等”，判定是“到角两边距离相等的点在角平分线上”，注意：这里的“距离”是指 。 （2）垂直平分线的性质是“到线段两端点的距离相等”，判定是“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”。 （3）角平分线的中心思想是 ，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种。 要点速测 16．如图，在周长是的中，相交于点O，点E在边上，且，则的周长是（ ） A． B． C． D． 17．如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 18．我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：= (2)求证：=； (3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 知识点 命题与证明 1.定义与命题 （1）定义的概念：能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫作该名称或术语的定义。例如，“在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线”就是平行线的定义。 （2）命题的概念：判断某一件事情的句子，叫作命题。（注意：命题必须是对事情作出 ，疑问句、祈使句等不是命题）。 （3）命题的组成：命题由 两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项。 （4）命题的改写：为了清晰地找到条件和结论，命题通常可以改写成“如果……那么……”的形式。其中，“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论。 2.真命题与假命题及举反例 （1）真命题：正确的命题称为真命题。要判定一个命题是真命题，常常通过推理的方式，即根据已知事实来推断未知事实；也有一些命题是人们经过长期实践，公认为正确的（这类命题称为基本事实）。 （2）假命题：不正确的命题称为假命题。 （3）判断真假的依据与举例： ①真命题的依据：通过推理正确，或者作为公认的基本事实/定理。 ②假命题的判断方法：要说明一个命题是假命题，通常可以用 的方法。命题的反例是指具备命题的 ，但 命题的结论的实例。 （4）基本事实与定理： ①基本事实：人们经过长期实践后公认为正确的命题。例如“两点之间线段最短”、“两点确定一条直线”等。 ②定理：用推理的方法判断为正确的命题。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。例如“对顶角相等”、“三角形的任意两边之和大于第三边”等都是定理。 3.证明的步骤与依据 （1）证明的定义：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明。 （2）证明过程中的规范性：证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，通常写在每一步后面的括号内。 （3）几何证明题的书写格式： ①按题意画出图形（如需添加辅助线，辅助线应画成虚线，并写入证明过程中）。 ②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论。 ③在“证明”中写出推理过程，步步有据。 要点归纳： （1）命题必须是“判断某一件事情的句子”，疑问句、祈使句和感叹句等不是命题。 （2）将一个命题改写成“如果……那么……”的形式时，注意不要改变原意，要正确拆分“条件”与“结论”。 （3）举反例是判断假命题最直接有效的方法，反例需要满足命题的条件，但违背命题的结论。 （4）证明题书写必须严谨：每一步都应有依据，括号内写出依据理由（已知、定义、基本事实、定理等）。 （5）几何证明步骤规范：画图（辅助线用虚线）、写“已知”、写“求证”、写“证明”。 （6） 都是真命题，且均可作为证明过程中的推理依据（定理是用推理证明为正确的真命题）。 要点速测 19．下列命题是真命题的是（ ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 20．对于命题“若，则”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（ ） A．， B．， C．， D．， 21．证明命题 (1)求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等． (2)说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 题型1 三角形的基本概念与分类 ▌例1-1 （25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ ▌例1-2 （25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，点在的边的延长线上，连接．图中三角形的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌例1-3 （25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解题要点 三角形的基本概念与分类 1.准确识别三角形的边、角、顶点，分清“角的对边”和“边的对角”。 2.三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形（含等边三角形）；按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 3.三角形具有稳定性，常利用此性质解释建筑或机械结构中的几何原理。 ▌迁移练1-1（25-26八年级上·河北邢台·期末）希望之舟大桥是位于河北曹妃甸工业区的跨纳潮河特大桥，为河北省首座斜拉索特大桥，之所以采用斜拉索结构，是因为其稳固性、蕴含的数学道理是______． ▌迁移练1-2（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，边的对角___________． ▌迁移练1-3（25-26八年级下·福建宁德·期中）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 题型2 三角形的三边关系及其应用 ▌例2-1 （25-26八年级上·江苏徐州·期中）若等腰三角形其中两条边长分别为，，则它的周长为________． ▌例2-2 （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）在中，对角线，相交于点，若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． ▌例2-3 （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D．或 解题要点 三角形的三边关系及其应用 1.三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即三角形两边长为a、b，则第三边c的取值范围为∣a−b∣<c<a+b。 2.当等腰三角形的腰与底边不确定时，需分类讨论，并利用三边关系定理验证能否构成三角形。 ▌迁移练2-1（2026·四川雅安·一模）在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 ▌迁移练2-2（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）平行四边形的两条边长分别为和，则该平行四边形的对角线长不可能是（ ） A． B． C． D． ▌迁移练2-3（26-27八年级上·全国·开学考试）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 题型3 三角形的内角和、外角性质综合求值 ▌例3-1 （25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，在平行四边形中，连接，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． ▌例3-2 （26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，，，则________． 解题要点 三角形的内角和、外角性质综合求值 1.三角形的内角和为 180∘180∘，直角三角形两锐角互余。 2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3.综合求值时，常设未知数建立方程（或方程组），结合等腰三角形等图形的特殊角进行代数运算。 ▌迁移练3-1（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． ▌迁移练3-2（25-26八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点为上一点，点为的中点，作交于点，连接，，将沿着折叠，点恰好和点重合，则的度数为________． ▌迁移练3-3（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，，求的长． 题型4 三角形中重要线段（中线、高线、角平分线）的综合应用 ▌例4-1 （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，都是的中线，连接，若的周长是10，则的周长是（ ） A．4 B．8 C．5 D．2.5 ▌例4-2 （25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）尺规作图：如图，已知．求作：边上的高．（提示：保留作图痕迹，痕迹要清晰，不用写作法）． ▌例4-3 （25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，D、E分别是、中点，平分．交于点F，，，则的长为___________． 解题要点 三角形中重要线段（中线、高线、角平分线）的综合应用 1.三角形的中线平分三角形的面积，且三角形的三条中线交于一点（重心）。 2.高线常与三角形的面积公式及直角三角形性质结合使用。 3.三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半（常用于线段数量关系的推导）。 ▌迁移练4-1（25-26八年级上·广东广州·期末）【问题情境】如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小琼的思路如下： 作，则，， ∵是的中线，　　　　　　， ∴；（请完成填空） 【解决问题】如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长的至点D，E，F，使得A，B，C分别为的中点，依次连接点D，E，F得，已知的面积为，改造甲区域成本为100元，扩建乙区域成本为200元，求改造总费用． ▌迁移练4-2（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是直线上的一个动点，且，求点的坐标． ▌迁移练4-3（22-23八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，边的垂直平分线交于点； (1)尺规作图：作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，求的度数． 题型5 借助平行线与图形的翻折、旋转求角度 ▌例5-1 （25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，，则的度数为（ ） A． B． C． D． ▌例5-2 （25-26七年级下·浙江衢州·期末）如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（ ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 解题要点 借助平行线与图形的翻折、旋转求角度 1.平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 2.图形的翻折（折叠）和旋转是全等变换，对应角相等、对应边相等。 3.借助折叠或平行线构建等量关系，结合三角形内角和及外角性质综合计算角度。 ▌迁移练5-1（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，直线，等边的顶点C在直线b上，，则为______度． ▌迁移练5-2（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，一张直角三角形纸片，，，，将纸片沿折叠，使点A落在点D处，则的度数为_________ ． ▌迁移练5-3（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用． 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组得到了一个结论：已知，如图1，若点是和的角平分线的交点，则． 证明如下：，是和的角平分线， ，， ， ， ． 【问题解决】 (1)如图2，若点是外角和的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明． 【拓展创新】 (2)如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数． 题型6 全等三角形的概念和性质 ▌例6-1 （25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ） A． B． C． D． ▌例6-2 （25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 解题要点 全等三角形的概念和性质 1.能够完全重合的两个三角形是全等三角形。 2.全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长和面积也分别相等。 3.找准全等三角形的对应顶点和对应元素是解题的关键。 ▌迁移练6-1（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知，若，则的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌迁移练6-2（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． ▌迁移练6-3（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，已知，点在上，与相交于点． (1)当，时，线段的长为______； (2)已知，． ①求的度数； ②求的度数． 题型7 全等三角形的判定 ▌例7-1 （25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． ▌例7-2 （25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． ▌例7-3 （26-27八年级上·全国·开学考试）如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． ▌例7-4 （25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，的周长为42，点D，E在边上，的平分线垂直于，垂足为N，垂直平分，垂足为，若，则的长度为_________________． ▌例7-5 （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 解题要点 全等三角形的判定 1.判定全等三角形的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS 以及直角三角形特有的 HL。 2.要注意“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等。 3.善于利用题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等进行判定。 ▌迁移练7-1（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． (1)求证：； (2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． ▌迁移练7-2（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． ▌迁移练7-3（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，中，，点F为的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线交于点E，连接，则的长是（     ） A．5 B． C．8 D． ▌迁移练7-4（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． ▌迁移练7-5（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，已知中，点是边上的中点，平分，于点，若，，则的长为_____________． ▌迁移练7-6（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H，垂直平分于点E． 求证：． 题型8 全等三角形的判定与性质综合求解及证明 ▌例8-1 （25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，是的角平分线，，垂足为点．过点作交的延长线于点，当平分时，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ ▌例8-2 （25-26八年级上·安徽合肥·期末）下列条件中，能判断的是（ ） A． B． C． D． 解题要点 全等三角形的判定与性质综合求解及证明 1.证明全等后，必须利用全等三角形的性质（对应边、对应角相等）进行线段或角度的等量代换。 2.当图形较复杂时，可结合角平分线、中线、垂直等几何特征寻找等量关系。 3.分析已知条件和待求结论，逆向寻找需证的全等三角形。 ▌迁移练8-1（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标系内有一点（不与点重合），使得与全等，这样的点有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌迁移练8-2（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 ▌迁移练8-3（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 题型9 利用全等三角形确定线段间的关系 ▌例9-1 （25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． ▌例9-2 （25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 解题要点 利用全等三角形确定线段间的关系 1.常采用“截长补短”法构造全等三角形，将分散的线段转移集中。 2.熟练掌握“一线三等角”模型（K字模型），通过同角的余角相等构造全等。 3.结合全等性质和等量代换，推导线段的和、差、倍、分关系。 ▌迁移练9-1（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． ▌迁移练9-2（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 题型10 尺规作图与全等三角形的综合应用 ▌例10-1 （26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． ▌例10-2 （25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在中，平分，于点E，连接，交于点F． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，，求的长． 解题要点 尺规作图与全等三角形的综合应用 1.掌握尺规作图基本方法：作一个角等于已知角、作角平分线、作线段垂直平分线、过一点作已知直线的垂线。 2.尺规作图的痕迹常能提供角平分线或垂直平分线等隐含性质，从而得到相等的角或线段。 3.先通过尺规作图获取已知条件，再结合全等三角形的判定和性质进行几何证明。 ▌迁移练10-1（26-27八年级上·辽宁·开学考试）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． ▌迁移练10-2（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． ▌迁移练10-3（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，点在线段的延长线上，与不重合，且．连接，过作于点，与交于点． (1)求证：； (2)连接，判断与的数量关系，并说明理由． ▌迁移练10-4（25-26八年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证： (1)； (2)平分． 题型11 全等三角形中的动点问题 ▌例11-1 （2025·河北唐山·二模）如图，直线经过线段的中点，，为射线上的一动点，为射线上的一动点，，连接. (1)求证：. (2)若，当时，求的长. ▌例11-2 （23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，点是等边的边上一点，，点在上，，点在的延长线上，连接． (1)如图1，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，分别是上两个动点，满足，当最小时，直接写出的大小为________（用含的式子表示）． 解题要点 全等三角形中的动点问题 1.动点问题常通过构造全等三角形，将动态的线段关系转化为静态的等量关系。 2.当动点分不同路径运动时，需根据时间参数t的几何意义进行分类讨论，并验证解的合理性。 3.求线段和的最值时，常利用全等变换将线段转移，利用“两点之间线段最短”或“三角形三边关系”进行分析。 ▌迁移练11-1（24-25八年级上·吉林长春·期末）综合与实践 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在中，，，点D、E分别是上的动点，且，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C作，且使，连接．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）连接__________，的最小值即为线段__________的长度． 【方法应用】如图③，在中，，，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且，当的值最小时，的度数为__________． ▌迁移练11-2（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图1，在等边中，点E、F分别为边上的动点，且，直线交于点O． (1)如图1，当F是的中点时，______． (2)在E、F运动的过程中，的大小是否变化？请利用图2，证明你的结论． (3)若将题目中的条件：“点E、F分别在边上的动点”改为“点E、F分别在边的延长线上的动点”（如图3所示），其余条件不变，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 题型12 命题与证明 ▌例12-1 （25-26八年级上·陕西西安·期末）下列四个选项中不是命题的是（ ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 ▌例12-2 （2026·浙江温州·二模）对于命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是（ ） A． B． C． D． ▌例12-3 （25-26八年级上·浙江宁波·期末）下列选项中，能够说明“若是非零有理数，则”是假命题的是（ ） A． B． C． D． 解题要点 命题与证明 1.判断语句是否为命题，关键看它是否为“判断一件事情的陈述句”，疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 2.说明命题为假命题，只需举一个反例：反例必须满足命题的题设条件，但推导出与命题结论相悖的结果。 3.证明几何命题需严格遵循“已知、求证、证明”的书写规范，利用定义、公理、定理进行逻辑推理；遇难度较大的证明题，常通过添加辅助线（如作平行线）实现等量关系的转化。 4.公理是公认的基本事实，无需证明；定理是经过推理证明为真的命题，可作为后续证明的依据。 ▌迁移练12-1（2026·江苏南通·三模）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） ▌迁移练12-2（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）下列所学过的真命题中，是公理的是（ ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 ▌迁移练12-3（25-26八年级下·全国·课后作业） 【问题情景】我们知道，多边形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫作多边形的外角． 如图1所示，、、是的三个外角，下面我们来探究、、和三内角之间的数量关系． 【方法感悟】解：因为在中，，所以．因为，所以．所以．同理可得：，． 因此，我们得到一个重要的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【解决问题】 (1)已知：如图2，与分别为的两个外角，请直接利用上述结论，试探究与的数量关系． (2)已知：如图3，在中，，分别平分和，试探究与的数量关系． 难点一 三角形内角与外角的综合应用与角度计算 在三角形中，外角定理和内角和定理是解决角度问题的核心工具，尤其是将两者与角平分线、高线、平行线条件结合时，容易因思路混乱导致计算错误。 方法总结： ①看清所求角与已知角的位置关系。若是三角形的内角，优先考虑内角和定理（180°）；若是外角，则利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”定理，直接进行角的等量代换，避免复杂的加减。 ②遇到角平分线与高线结合求角的题目，可先利用角平分线求出被平分的部分角，再结合高线带来的90°条件，在对应直角三角形中用“直角三角形两锐角互余”来突破。 ③当出现“拐角”或“折线”型角度问题（如求∠B+∠D=∠BCD∠B+∠D=∠BCD这类模型）时，利用外角性质构造辅助线往往比单纯的内角和更简捷。 易错提醒： ①容易混淆“外角”与“内角的邻补角”。三角形每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角，大小相等，计算时务必认准是哪一个外角。 ②用外角定理时，必须是“与它不相邻的两个内角”，切忌加上相邻的内角。 ③在钝角三角形中，外角有时会跟高线落在外部的情况结合，画图时要特别注意对应关系。 难点精练 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，D为的中点，E为边上一点，连结．若，，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，与互余，下列说法：①；②；③若，则；④若，则，正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）【定义】 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角的2倍，则称这个三角形为“二阶三角形”生活中处处都有数学，如图1：我们常用的三角板都是“二阶三角形”，它们的度数分别是，，和 ，，． 【简单应用】 (1)如图2，，，是的角平分线，试说明是“二阶三角形”； 【问题探究】 (2)在中，． ①如图3，过点C的直线交的平分线和的外角平分线于点N，M，若是“二阶三角形”，求的度数； (3)②如图4，的平分线和的外角平分线交于点D，点F是线段上的一动点（F不与B、O、D三点重合），，若是“二阶三角形”，直接写出n的值． 难点二 全等三角形的综合判定与隐含条件挖掘 全等三角形的证明是几何推理的基础，其难点不在于背出四个（或五个）判定定理，而在于复杂图形中如何精准挑出“隐藏的相等条件”，以及准确选择最合适的判定方法。 方法总结： ①平移、旋转、翻折是识别全等“原型”的三种基本变换。复习时要关注由这三种变换产生的公共边、公共角、对顶角、垂直或平行带来的等角条件。 ②判定的选择策略：若已知两边，优先考虑SSS或SAS（注意夹角）；若已知两角，优先考虑ASA或AAS（注意夹边与对边）；若已知一边一角，先看能否用ASA或AAS再找一角的对边，或SAS再找夹边。 ③遇到直角三角形，在四种普通判定方法都能用的情况下，优先HL（斜边、直角边）往往能减少判定步骤，且条件最为直接。 易错提醒： ①最常见的易错点是使用“SSA”（边边角）和“AAA”（角角角）去证明全等。前者可能在图中出现多种位置（钝角、直角、锐角情形下的两边及其中一边对角），必须注意。 ②用符号“≅”表示全等时，对应顶点一定要写在对应的位置上，否则极易在后续求对应边、对应角时弄错量值。 ③不要忽略已知中的“垂直”、“平行”、“中点”等字眼，它们分别对应“90°相等”、“内错角/同位角相等”、“线段相等”。 难点精练 4．（2026·山西晋城·二模）利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 5．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，，a，b满足，点C与点A关于y轴对称． (1)直接写出B，C两点的坐标； (2)如图，分别以，为直角边向右侧作等腰和等腰，连接交x轴于点M，连接． ①求出D，E两点的坐标； ②求证：． 6．（25-26八年级上·河南开封·期末）如图，在中，，，，点是边一个动点（包含，两点），以为边向左作等边，点在运动的过程中，的最小值是_____，最大值是____． 难点三 与三角形高线、中线有关的分类讨论 高线与中线在三角形中不仅有定义，更代表着丰富的几何性质和特殊的位置关系。特别是在“画图”与“分类讨论”题型中，学生容易因画图不全而漏解。 方法总结： ①高线位置的判定：锐角三角形三条高全在内部；直角三角形两条高是直角边，交点就是直角顶点；钝角三角形有两条高在外部，交点也在外部。遇到“作三角形的高”这类指令时，必须养成考虑三种三角形类型的习惯。 ②高线提供90°直角：高线所在的直线与对边所在直线垂直。在解题时，要善于利用垂线带来的直角，构建直角三角形，从而运用“两锐角互余”。 ③中线平分面积：三角形的任意一条中线，把原三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）。遇到“被中线分割求面积”的问题时，使用这个性质作等量代换即可。 易错提醒： ①选择题或填空题中，若题目未明确给出三角形的类型，遇到“高线”相关计算时，常常需要就锐角、直角、钝角进行分类讨论（如判断高在形内还是形外），很容易漏掉钝角三角形的情况。 ②求线段长度或面积时，利用中线得出的等底同高结论，切记不要漏掉“同高”这个隐藏前提。 难点精练 7．（26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 8．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知在中，，是边上的高，，则_______． 9．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成80和60两部分，求和的长． 难点四 几何证明中的辅助线作法与思维策略 当原图形中的条件不足以直接得出证明结论时，需要添加辅助线构建桥梁。辅助线是几何证明中的核心难点，也是区分学生思维层次的关键。 方法总结： ①遇角平分线，作双垂：当题目中出现角的平分线，且涉及角平分线上的点到角的边的距离时，可考虑向两边作垂线，构造出直角三角形全等（利用AAS或HL），或直接应用角平分线的性质。 ②遇中点，倍长中线：看到三角形中线的条件时，经典的技巧是“倍长中线”（延长中线至原来的两倍，连接端点），从而构造出一对“8字型”全等三角形，将分散的边和角平移集中到一个三角形中。 ③遇平行线，找内错/同位角：图中若有平行线条件，要熟练利用平行线的性质（内错角相等、同位角相等、同旁内角互补）作为证明全等或求角的中间桥梁。 易错提醒： ①切记辅助线必须画成虚线，并且在“证明”的开头必须交代清楚是如何添加辅助线的。不写辅助线作法，直接用到这条线是无依据的。 ②步步有据。在证明的括号内，必须严格按照要求写出每一步的推理依据（如“已知”、“两直线平行，内错角相等”、“全等三角形的对应边相等”等），不能想当然。 ③切忌把要证明的结论当成已知条件用，或者在逻辑上循环论证。 难点精练 10．（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 11．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 12．（25-26八年级上·江苏南通·期中）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 13．（25-26八年级上·北京大兴·期中）如图，在等边三角形中，点是延长线上一点，作射线，点关于射线的对称点为点，连接交射线于点． (1)依题意补全图形； (2)连接，． ①求的大小（用含的代数式表示）； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 基础达标 1．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知，，，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若为三角形的三边，且满足分式的值为0，则此三角形的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 6．（25-26八年级上·河北邢台·期末）拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定，比大，则的度数应该为____________． 7．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，，，将绕点旋转，则点的对应点的坐标为___________． 8．（25-26八年级上·北京密云·阶段检测）已知：如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的边上．求证：． 9．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 10．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在等边三角形的三边上分别取点，，，使．试判定的形状，并说明理由． 能力进阶 11．（25-26八年级下·河北保定·期末）等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（ ） A． B． C．或 D．或 12．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，平分，过点作，垂足为，交于，是的中点，连接．若，则的长是（ ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线交于点D，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于M，N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长，交于点G．若，则的大小是（ ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（ ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（ ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 17．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 18．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)若是轴上一点，，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 19．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)的面积为 ； (2)借助的三边说明与的大小关系； (3)若保持点，不动，点从图中的位置沿轴向右移动到点，使得，求点的坐标为 ． 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在学习完浙教版数学八年级上册《1.7角平分线》这节课后，小锦和小绣有了新的思考：只用直尺和三角板能做出角平分线吗？ (1)如图1，小锦在射线上任取一点D，过点D作，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点E，求证：是的角平分线； (2)如图2，小绣分别在，上截取，利用三角板构造，且直线交于点G，同样作，直线交于点F．与交于点E，求证：是的角平分线． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形 复习要点 1. 理解三角形的定义及表示方法，掌握按角和按边对三角形进行分类。 2. 掌握三角形三边关系、内角和定理，并能灵活运用其推论（直角三角形两锐角互余、外角等于不相邻两内角和）。 3. 掌握三角形的角平分线、中线、高线的概念，明确三条高线所在直线交点位置与三角形类型（锐角、直角、钝角）的关系。 4. 掌握全等三角形的概念与性质，能熟练选用 SSS、SAS、ASA、AAS 及 HL 判定定理来证明三角形全等。 5. 掌握线段垂直平分线、角平分线的性质与判定，并能结合全等三角形进行灵活应用。 6. 理解定义与命题的概念，能分清命题的条件与结论，掌握判断真假命题的方法（举反例说明假命题），并规范掌握几何证明的书写格式与推理依据。 复习重难点 重点：三边关系与内角和定理的应用；全等三角形的判定与性质的综合运用；线段垂直平分线与角平分线的性质应用。 难点：全等三角形判定方法的选择（注意 SSA 和 AAA 不能判定全等）；几何证明题中辅助线的添加方法；准确找出判断假命题所需的反例。 知识点 三角形的基本概念与性质 1.三角形的定义及表示方法 （1）三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形。三角形具有稳定性。 （2）表示法及读法：三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“”，读作“三角形ABC”；的三边有时也用a，b，c表示。 2.三角形的内角和外角 （1）内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。如，，是的内角。 （2）外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。如图，，，都是的外角。 3.三角形的分类 （1）按角分类：按内角大小分类。 （2）按边分类：按照边的长短分类。 4.三角形中三条重要的线段 定 义 示例如图 （1）三角形的角平分线： ①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 ②性质：三角形的三条角平分线交于一点。 线段AD为的一条角平分线 （2）三角形的中线： ①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 ②性质：三角形的三条中线交于一点。 线段AD为BC边上的中线 （3）三角形的高： ①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 ②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点。 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点。 线段AD为BC边上的高 5.三角形的边和角 （1）三角形的边 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。 三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边。 即a、b、c三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段。 （2）三角形的角 定 义 示例如图 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于。 如图，在中，。 三角形内角和定理的三个推论： ①推论1：直角三角形的两个锐角互余； ②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角。 如：外角， ， 。 ， ， ， 三角形的外角和： 每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和。 三角形的外角和等于。 ∠1+∠2+∠3=360° 要点归纳： （1）三角形具有稳定性，这是其区别于其他多边形的特有性质。 （2）按边分类时，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （3）三角形的三条高线所在直线交于一点。锐角三角形的交点位于三角形内部；直角三角形的交点位于直角顶点；钝角三角形的交点位于三角形外部。 （4）三角形的中线将原三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高模型，是常见考点）。 （5）三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等；每个顶点处的两个对顶的外角是相等的。 （6）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验所求边长能否构成三角形。 要点速测 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 2．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】利用等腰三角形性质和直角三角形两锐角互余的性质，通过计算三角形内角度数判断三角形形状． 【详解】解：在等腰，，是腰上的高，即， 由题意得，一腰上的高与底边夹角， ， ， 在中，， 又， ， ， 因此该三角形是有一个直角的等腰三角形，即等腰直角三角形． 3．已知的三边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，利用完全平方公式和平方的非负性推导三边关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴ 对原式变形得， 由完全平方公式可得， ∵ 平方数为非负数，即，， ∴ 且 ， ∴ 且 ，可得 ， ∴是等边三角形． 4．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性． 5．下列线段长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】利用构成三角形的三边条件，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不合题意； C、，能构成三角形，故此选项符合题意； D、，不能构成三角形，故此选项不合题意． 6．在手工课上，小明有两根长度分别是和的木棒，他想再取一根木棒与已有的两根木棒首尾相接拼成一个三角形．他再取的这根木棒的长度可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，先求出第三边的取值范围，再匹配符合条件的选项即可． 【详解】解：设再取的木棒长度为，根据三角形三边关系，可得 ，即， 只有满足，因此选B． 7．若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（ ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用 【详解】∵三角形三边长为，，， ∴，即， 又∵为正整数， ∴的可能取值为，，， 当时，周长最小，最小周长为，因此选项A，B错误， 当时，周长最大，最大周长为，因此选项C错误，选项D正确． 8．以下说法正确的有（ ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】垂心、根据三角形中线求面积、画三角形的高、三角形角平分线的定义 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的三条高所在直线相交于一点，正确； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，正确； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点，正确； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，正确． 所以说法正确的有4个． 9．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、与三角形的高有关的计算问题、利用网格求三角形面积 【分析】根据勾股定理，得，边上的高为4，利用三角形面积相同，计算即可； 【详解】解：根据题意，得，边上的高为4， ， 故， 故； 10．如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、三线合一 【分析】由三角形中线的性质得出，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． 11．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】分外角为顶角的外角、底角的外角两种情况讨论，结合三角形内角和舍去不成立的情况，求解顶角度数． 【详解】解：若是等腰三角形顶角的外角，则顶角的度数为． 若是等腰三角形底角的外角，则底角的度数为，两底角和为，不符合三角形内角和，舍去． 综上，顶角的度数为． 12．如图，在中，，点D是边上一点，，则的度数为______． 【答案】/36度 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】由可知，，为等腰三角形，设，则，又由可知，为等腰三角形，则，在中，用内角和定理列方程求解． 【详解】解：， ，， 设， 是的一个外角， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， 即． 知识点 全等三角形 1.全等三角形的定义和性质 （1）全等三角形的定义 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形。 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 完全重合时，互相重合的点为对应点；互相重合的角为对应角；互相重合的边为对应边。 （2）全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等： 若，则，，。 ②全等三角形的对应角相等： 若，则，，。 ③全等三角形的周长相等，面积相等： 若，则，。 2.全等三角形的判定 判定方法 解释 图形 边边边 (SSS) 三条边对应相等的两个三角形全等 边角边 (SAS) 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角 (ASA) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边 (AAS) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边 (HL) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 要点归纳： （1）在判定三角形全等时，“SSA”（边边角）和“AAA”（角角角）不能判定两个三角形全等。如下图：在等腰中，BC边上任取一点D，连接AD，观察和。 （2）HL（斜边、直角边）是判定直角三角形全等的特有方法，但直角三角形也同样适用SSS、SAS、ASA、AAS四种判定法。 （3）寻找全等条件时，要善于挖掘隐含条件：公共边、公共角、对顶角，以及由垂直定义得到的直角相等。 （4）用符号书写全等时，要注意对应顶点写在对应位置上，若，则前后对应关系确定；若与全等，则前后对应关系不确定。 要点速测 13．如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（ ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】先得出，进而可得，再求出，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】由得，结合已知可证，得，根据三角形的外角性质得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ． 15．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】已知 及公共边 ，根据直角三角形全等的判定定理（）或一般三角形全等判定定理（）逐项验证即可． 【详解】解：已知 ，， 对于A，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设 与 交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 知识点 线段垂直平分线与角平分线的性质 1.垂直平分线的性质和判定 垂直平分线 解释 示例 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线。 如图，若，，则直线DE就是线段AB的垂直平分线。 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 如图，已知直线是线段的垂直平分线，则。 判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 如图，若，则点在线段的垂直平分线上。 尺规作图：已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线。 作法： ①分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D。 ②作直线CD。 直线CD就是线段AB的垂直平分线，如下图。 2.角平分线的性质和判定 角平分线 解释 示例 性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 如图，若射线OC是的角平分线，则。 判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 如图，若，则OC是的角平分线。 尺规作图：用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。 作法： ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。 ②分别以点 E，F 为圆心，大于EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC内一点D。 ③作射线AD。 射线AD就是∠BAC的平分线，如下图。 要点归纳： （1）角平分线的性质是“点到角两边的距离相等”，判定是“到角两边距离相等的点在角平分线上”，注意：这里的“距离”是指垂线段的长度。 （2）垂直平分线的性质是“到线段两端点的距离相等”，判定是“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”。 （3）角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种。 要点速测 16．如图，在周长是的中，相交于点O，点E在边上，且，则的周长是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、线段的和与差、线段垂直平分线的性质 【分析】根据平行四边形的性质求出，根据线段的垂直平分线求出，待求出的周长等于，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵的周长是， ∴（）， ∴（）． ∴的周长是（）． 17．如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 【答案】2 【知识点】等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定、根据平行线的性质求角的度数、根据等角对等边求边长、线段垂直平分线的性质 【分析】首先根据、，可证是等边三角形，再证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：∵、， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 18．我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：= (2)求证：=； (3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】（1）作，作DHAB，根据角平分线的性质可得DF=DH，继而根据三角形面积公式进行求解即可得； （2）作BECA，继而根据三角形面积公式进行求解即可得； （3）由（2）可得= ，结合已知可得AD=AC-CD，代入相关数据进行求解即可得． 【详解】（1）作，作DHAB垂足分别为F，H ∵BD是的角平分线． ∴DF=DH 则有：= = （2）作BECA垂足为E 则有： = = ∴= （3）由（2）知，= BC=4，AB=6，AC=5， 故答案为：2 知识点 命题与证明 1.定义与命题 （1）定义的概念：能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫作该名称或术语的定义。例如，“在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线”就是平行线的定义。 （2）命题的概念：判断某一件事情的句子，叫作命题。（注意：命题必须是对事情作出判断，疑问句、祈使句等不是命题）。 （3）命题的组成：命题由条件和结论两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项。 （4）命题的改写：为了清晰地找到条件和结论，命题通常可以改写成“如果……那么……”的形式。其中，“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论。 2.真命题与假命题及举反例 （1）真命题：正确的命题称为真命题。要判定一个命题是真命题，常常通过推理的方式，即根据已知事实来推断未知事实；也有一些命题是人们经过长期实践，公认为正确的（这类命题称为基本事实）。 （2）假命题：不正确的命题称为假命题。 （3）判断真假的依据与举例： ①真命题的依据：通过推理正确，或者作为公认的基本事实/定理。 ②假命题的判断方法：要说明一个命题是假命题，通常可以用举反例的方法。命题的反例是指具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例。 （4）基本事实与定理： ①基本事实：人们经过长期实践后公认为正确的命题。例如“两点之间线段最短”、“两点确定一条直线”等。 ②定理：用推理的方法判断为正确的命题。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。例如“对顶角相等”、“三角形的任意两边之和大于第三边”等都是定理。 3.证明的步骤与依据 （1）证明的定义：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明。 （2）证明过程中的规范性：证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，通常写在每一步后面的括号内。 （3）几何证明题的书写格式： ①按题意画出图形（如需添加辅助线，辅助线应画成虚线，并写入证明过程中）。 ②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论。 ③在“证明”中写出推理过程，步步有据。 要点归纳： （1）命题必须是“判断某一件事情的句子”，疑问句、祈使句和感叹句等不是命题。 （2）将一个命题改写成“如果……那么……”的形式时，注意不要改变原意，要正确拆分“条件”与“结论”。 （3）举反例是判断假命题最直接有效的方法，反例需要满足命题的条件，但违背命题的结论。 （4）证明题书写必须严谨：每一步都应有依据，括号内写出依据理由（已知、定义、基本事实、定理等）。 （5）几何证明步骤规范：画图（辅助线用虚线）、写“已知”、写“求证”、写“证明”。 （6）基本事实和定理都是真命题，且均可作为证明过程中的推理依据（定理是用推理证明为正确的真命题）。 要点速测 19．下列命题是真命题的是（ ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解、判断命题真假、矩形的判定定理理解 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，需根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定规则逐一判断命题真假． 【详解】解：∵根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴A是真命题，符合题意； ∵对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形， ∴B是假命题，不符合题意； ∵一条对角线平分一组对角的四边形无法判定是菱形，菱形需要满足对角线互相垂直平分或四边相等等条件， ∴C是假命题，不符合题意； ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线垂直且相等无法判定为正方形， ∴D是假命题，不符合题意； 20．对于命题“若，则”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假、举反例 【详解】解：原命题的逆命题为“若，则”，反例需满足且． 选项A中，选项B中，均不满足，排除； 选项C中，，满足逆命题结论，不是反例，排除； 选项D中，，不满足逆命题结论，是反例． 21．证明命题 (1)求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等． (2)说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【答案】(1) 已知，如图，在和中，，，， 求证：． 证明：∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 解：该命题是真命题，理由如下： 设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为， 由题意知，为整数， ∴，也为整数， ∴这个三位数能被3整除，故该命题是真命题． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、代数问题证明、写出一个命题的已知、求证及证明过程、整式加减的应用 【分析】本题考查了命题的证明，全等三角形的判定等知识，解题的关键是： （1）先画出图形，写出已知、求证，然后根据全等三角形的判定方法证明即可； （2）设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为，根据，进行判断作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型1 三角形的基本概念与分类 ▌例1-1 （25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； ▌例1-2 （25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，点在的边的延长线上，连接．图中三角形的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义即可得解． 【详解】解：由题意可知，三角形分别有，，，共3个． 故选：C． ▌例1-3 （25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 解题要点 三角形的基本概念与分类 1.准确识别三角形的边、角、顶点，分清“角的对边”和“边的对角”。 2.三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形（含等边三角形）；按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 3.三角形具有稳定性，常利用此性质解释建筑或机械结构中的几何原理。 ▌迁移练1-1（25-26八年级上·河北邢台·期末）希望之舟大桥是位于河北曹妃甸工业区的跨纳潮河特大桥，为河北省首座斜拉索特大桥，之所以采用斜拉索结构，是因为其稳固性、蕴含的数学道理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【详解】由题意得，蕴含的数学道理是：三角形具有稳定性． ▌迁移练1-2（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，边的对角___________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是三角形的概念，根据三角形相关概念直接解决即可． 【详解】解：在中，边的对角是， 故答案为：． ▌迁移练1-3（25-26八年级下·福建宁德·期中）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再根据三角形分类规则判断三角形类型即可． 【详解】解：该三角形第三个内角的度数为， 最大的内角为， ∴这个三角形为锐角三角形， ∵这个三角形有两个内角相等， ∴这个三角形一定是等腰三角形． 题型2 三角形的三边关系及其应用 ▌例2-1 （25-26八年级上·江苏徐州·期中）若等腰三角形其中两条边长分别为，，则它的周长为________． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系定理，熟练掌握定义和定理是解题的关键，根据等腰三角形的性质，分腰长为或两种情况讨论，利用三角形的三边关系判断是否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：若腰长为，底边为，则两边之和，等于第三边，不能构成三角形； 若腰长为，底边为，则两边之和，均满足三角形三边关系，能构成三角形， 故周长为， 故答案为：10． ▌例2-2 （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）在中，对角线，相交于点，若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，得出，在中，根据三角形三边关系得，代入数据解出即可得的取值范围，进一步转化即可得的取值范围． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，，，根据三角形三边关系得：， ∴，即， ∴，即． ▌例2-3 （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对等式左边用平方差公式因式分解，结合三角形三边关系判断m的符号． 【详解】解： ， ∵为三角形的三条边长， ∴， ， ∴， ， ∴， 即． 解题要点 三角形的三边关系及其应用 1.三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即三角形两边长为a、b，则第三边c的取值范围为∣a−b∣<c<a+b。 2.当等腰三角形的腰与底边不确定时，需分类讨论，并利用三边关系定理验证能否构成三角形。 ▌迁移练2-1（2026·四川雅安·一模）在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 【答案】B 【分析】分两种情况讨论中线分周长的组合，结合等腰三角形性质列方程组，求解后验证三边关系． 【详解】解：如图，设等腰的腰长，底边长， ∵是边上的中线， ∴， 分两种情况：情况①当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形； 情况②当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形． 综上，底边长为7或11． ▌迁移练2-2（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）平行四边形的两条边长分别为和，则该平行四边形的对角线长不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用三角形三边关系求解平行四边形对角线的取值范围，平行四边形的一条对角线与两条邻边可构成三角形，结合三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边即可得到结果． 【详解】∵平行四边形的一条对角线和两条相邻边可以构成三角形，已知两条邻边长分别为和， ∴设对角线长为，则，即， ∴对角线长不可能为，故选项A符合题意． ▌迁移练2-3（26-27八年级上·全国·开学考试）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 题型3 三角形的内角和、外角性质综合求值 ▌例3-1 （25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，在平行四边形中，连接，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． ▌例3-2 （26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，，，则________． 【答案】/度 【分析】设，，则有与，联立方程解方程组即可． 【详解】解：依题意，设，， ①， ②， 由得， ∴． 解题要点 三角形的内角和、外角性质综合求值 1.三角形的内角和为 180∘180∘，直角三角形两锐角互余。 2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3.综合求值时，常设未知数建立方程（或方程组），结合等腰三角形等图形的特殊角进行代数运算。 ▌迁移练3-1（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 【答案】95 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分的外角交的延长线于点D，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ▌迁移练3-2（25-26八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点为上一点，点为的中点，作交于点，连接，，将沿着折叠，点恰好和点重合，则的度数为________． 【答案】/20度 【分析】易得垂直平分，得到，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和三角形的内角和定理，即可得出结果. 【详解】解：∵点为的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵沿着折叠， ∴， ∴， ∴. ▌迁移练3-3（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，，求的长． 【答案】6 【分析】在中，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数，进而得到，据此求解即可． 【详解】解：在中，，， ，                 是的外角， ，                 ． 题型4 三角形中重要线段（中线、高线、角平分线）的综合应用 ▌例4-1 （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，都是的中线，连接，若的周长是10，则的周长是（     ） A．4 B．8 C．5 D．2.5 【答案】C 【分析】先根据中线的定义可得再根据中位线的定义和性质得，然后根据的周长为10即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴是的中位线， ∴． ∵的周长为10，即， ∴的周长为． ▌例4-2 （25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）尺规作图：如图，已知．求作：边上的高．（提示：保留作图痕迹，痕迹要清晰，不用写作法）． 【答案】 【详解】解：延长到点，以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点D，则为边上的高． ▌例4-3 （25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，D、E分别是、中点，平分．交于点F，，，则的长为___________． 【答案】1 【分析】通过三角形中位线定理推出，，借助角平分线这个条件证出，从而通过等量代换求出的长． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 解题要点 三角形中重要线段（中线、高线、角平分线）的综合应用 1.三角形的中线平分三角形的面积，且三角形的三条中线交于一点（重心）。 2.高线常与三角形的面积公式及直角三角形性质结合使用。 3.三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半（常用于线段数量关系的推导）。 ▌迁移练4-1（25-26八年级上·广东广州·期末）【问题情境】如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小琼的思路如下： 作，则，， ∵是的中线，　　　　　　， ∴；（请完成填空） 【解决问题】如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长的至点D，E，F，使得A，B，C分别为的中点，依次连接点D，E，F得，已知的面积为，改造甲区域成本为100元，扩建乙区域成本为200元，求改造总费用． 【答案】 [问题情境] [解决问题]改造总费用为65000元 【分析】[问题情境]作，根据三角形的面积公式得到，，由于是的中线，于是得到结论； [解决问题]连接，根据点A、B、C分别是的中点，得到，，，根据三角形的面积公式得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：[问题情境]作，则，， ∵是的中线，， ∴； 故答案为：； [解决问题]连接， ∵点A、B、C分别是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴乙部分的面积为， ∴改造总费用（元）， 答：改造总费用为65000元． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线、高线，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． ▌迁移练4-2（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是直线上的一个动点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】（1）把点代入直线，可求出点的坐标，再利用待定系数法求出k，b即可； （2）求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）根据题意可得，设，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：把点代入直线，得， ， 点的坐标为， ∵，都在上， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为． ． ， 即的面积为3． （3）解：， ， ， 设， 则， 解得：或 点的坐标为或． ▌迁移练4-3（22-23八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，边的垂直平分线交于点； (1)尺规作图：作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的作法作出即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，继而求得的度数，再结合的度数利用三角形内角和定理求得的大小，再利用角平分线定义即可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示即为所求 （2）解：∵的垂直平分线交于点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴． 题型5 借助平行线与图形的翻折、旋转求角度 ▌例5-1 （25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． ▌例5-2 （25-26七年级下·浙江衢州·期末）如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（ ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】分时和时两种情况，再结合平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和性质，列式计算即可． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：， ， 则 当时，如图，则， 由折叠性质得：，， ∴ ∵ ∴ 当时，如图，则， ， ∴ 综上，的度数为或或 解题要点 借助平行线与图形的翻折、旋转求角度 1.平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 2.图形的翻折（折叠）和旋转是全等变换，对应角相等、对应边相等。 3.借助折叠或平行线构建等量关系，结合三角形内角和及外角性质综合计算角度。 ▌迁移练5-1（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，直线，等边的顶点C在直线b上，，则为______度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． ▌迁移练5-2（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，一张直角三角形纸片，，，，将纸片沿折叠，使点A落在点D处，则的度数为_________ ． 【答案】46° 【分析】由，得，由折叠得，，可证明A、M、D三点在同一条直线上，则    ，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠，点A落在点D处， ∴，， ∴， ∴A、M、D三点在同一条直线上， ∴， 故答案为：46°． ▌迁移练5-3（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用． 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组得到了一个结论：已知，如图1，若点是和的角平分线的交点，则． 证明如下：，是和的角平分线， ，， ， ， ． 【问题解决】 (1)如图2，若点是外角和的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明． 【拓展创新】 (2)如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数． 【答案】(1)“前进”小组的结论不成立，正确结论为， 证明：，是和的角平分线， ，， ， 又，， ， ∴“前进”小组的结论不成立，正确结论为． (2) 【分析】（1）由角平分线的定义得，，由外角的性质得，，再根据三角形内角和定理即可得出结论； （2）连接，由外角的性质得，，由折叠的性质得：，即可求出的度数，再根据题干的结论，即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 由题干的结论得：， ． 题型6 全等三角形的概念和性质 ▌例6-1 （25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． ▌例6-2 （25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ，构造全等三角形，得到，由外角的性质可得． 再由，直角三角形的两锐角互余结合角的等量代换即可得到，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ． 由图可知：，，， ， ． 是 的外角， ，即． ， ，即， ，即． ， ． 解题要点 全等三角形的概念和性质 1.能够完全重合的两个三角形是全等三角形。 2.全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长和面积也分别相等。 3.找准全等三角形的对应顶点和对应元素是解题的关键。 ▌迁移练6-1（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知，若，则的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． ▌迁移练6-2（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【答案】 4 13 【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先确定符合条件的n的值，再确定最大整数即可. 【详解】解：如图所示，中两边长为2和3，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，伴生数不是4，所以n的最大整数是13. 故答案为：4；13. ▌迁移练6-3（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，已知，点在上，与相交于点． (1)当，时，线段的长为______； (2)已知，． ①求的度数； ②求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，即可得到答案； （2）①根据全等三角形的性质得到，，进而根据三角形的内角和定理求得，进而根据，即可求解． ②根据三角形外角的性质求得． 【详解】（1）解：，，， ，， ； （2）解：①∵， ，． ， ， ． ②是的外角， ． 是的外角， ． 题型7 全等三角形的判定 ▌例7-1 （25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：、、、、是解题的关键．由，，又因为，即可由判定两三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． ▌例7-2 （25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：当时， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴可添加． ▌例7-3 （26-27八年级上·全国·开学考试）如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】（1）在和中，利用三角形内角和定理可得，从而得到答案； （2）先证明，再利用可证得． 【详解】（1）解：∵，点D在边上，和相交于点O， ∴， 又∵，， ∴； （2）略． ▌例7-4 （25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，的周长为42，点D，E在边上，的平分线垂直于，垂足为N，垂直平分，垂足为，若，则的长度为_________________． 【答案】3 【分析】先证明，得到，同理得到，说明是中位线，求出，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：平分， ， 在和中， ， 同理，， 的周长为42，， ， ， ， ， 是的中位线， ． ▌例7-5 （25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 【答案】解：条件是，证明如下： ，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ． 【分析】根据判断出添加条件，进而证明即可． 【详解】略． 解题要点 全等三角形的判定 1.判定全等三角形的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS 以及直角三角形特有的 HL。 2.要注意“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等。 3.善于利用题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等进行判定。 ▌迁移练7-1（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． (1)求证：； (2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：在和中， ∵， ∴． (2) 解：， 理由如下： ∵，     ∴． ∵，，   ∴． 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，结合，可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练7-2（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． ，，． 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， 是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据平行线的性质即可求出的度数； （2）根据垂线的性质得到，可知，进而得到，，，根据等边三角形的性质得到，证明，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， D是边的中点， ． ， ； （2）略． ▌迁移练7-3（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，中，，点F为的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线交于点E，连接，则的长是（     ） A．5 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】由题意得平分，利用证明，得到点是的中点，从而是的中位线，结合题目信息即可得到的长． 【详解】解：由题意得平分， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， 点F是的中点， 是的中位线， ． ▌迁移练7-4（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：， 即， 在和中， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再结合，，证明，即可作答． （2）由（1）得，故，又结合，则，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， 又， ． ▌迁移练7-5（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，已知中，点是边上的中点，平分，于点，若，，则的长为_____________． 【答案】 【分析】延长交于点D，因为平分且，所以可通过角边角证明，得到．因为M是的中点，N是中点，所以是的中位线，根据中位线定理得到与的数量关系．结合，代入已知线段长度即可求解． 【详解】解：延长交于点D， ∵平分， ∴； ∵， ∴； 又， ∴． ∴． ∵M是的中点， ∴，即是的中位线， ∴． ∴． ▌迁移练7-6（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H，垂直平分于点E． 求证：． 【答案】证明：∵平分外角，，， ∴ ∵垂直平分 ∴ 在与中， ∴ ． 【分析】根据角平分线性质定理和线段垂直平分线的性质得到，，再证明即可． 【详解】略 题型8 全等三角形的判定与性质综合求解及证明 ▌例8-1 （25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，是的角平分线，，垂足为点．过点作交的延长线于点，当平分时，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． 根据平行线的性质，角平分线的定义得到是等腰三角形，由三线合一可判定①，③正确；证明，可判定②；根据线段和差计算可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，则， ∴是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴是的中线， ∴，故①，③正确； 在中， ， ∴， ∴， ∴与不一定相等，故②错误； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：D ． ▌例8-2 （25-26八年级上·安徽合肥·期末）下列条件中，能判断的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定方法有：，而都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可． 【详解】解：如图， A、根据，不能判断，故本选项错误； B、根据，利用能判断，故本选项正确； C、根据，不能判断，故本选项错误； D、，不能判断，故本选项错误； 故选：B． 解题要点 全等三角形的判定与性质综合求解及证明 1.证明全等后，必须利用全等三角形的性质（对应边、对应角相等）进行线段或角度的等量代换。 2.当图形较复杂时，可结合角平分线、中线、垂直等几何特征寻找等量关系。 3.分析已知条件和待求结论，逆向寻找需证的全等三角形。 ▌迁移练8-1（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标系内有一点（不与点重合），使得与全等，这样的点有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定，全等三角形的判定及图形坐标特征是解题的关键． 画出图形即可得到答案． 【详解】解：如图所示，满足条件的点有三个，分别为 故选：C ▌迁移练8-2（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．分情况讨论点在延长线上或点在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； 综上，或， 故选：D． ▌迁移练8-3（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 在和中， ． ； (2) (3)证明：由（1）得：． 在和中， ． ∵， ∴，点E在的垂直平分线上； 在中，， ∴为等边三角形， ∴，点A在的垂直平分线上； ∴直线垂直平分． 【分析】（1）证明即可证明； （2）过点O作于点M，于点N，求出，再证明平分，即可求出结论； （3）先证明，得出，进而证明，点E在的垂直平分线上，再根据为等边三角形得出点A在的垂直平分线上，证明结论即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点O作于点M，于点N，则， 由（1）， ∴， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴平分， ∴． （3）略 题型9 利用全等三角形确定线段间的关系 ▌例9-1 （25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）．证明如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． ▌例9-2 （25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （3），理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 解题要点 利用全等三角形确定线段间的关系 1.常采用“截长补短”法构造全等三角形，将分散的线段转移集中。 2.熟练掌握“一线三等角”模型（K字模型），通过同角的余角相等构造全等。 3.结合全等性质和等量代换，推导线段的和、差、倍、分关系。 ▌迁移练9-1（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ▌迁移练9-2（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1) ①证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，理由如下： 证明：点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； (2)或5或6.5 【分析】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②由对称及可知，，，结合即可证明结论； （2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：由题意得， 由（1）可得，， ∵对称， ∴， ∴， ∴当时，， 当点沿路径运动时，， 解得，，不合题意， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 综上所述，当或5或6.5时，． 题型10 尺规作图与全等三角形的综合应用 ▌例10-1 （26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2)证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 ▌例10-2 （25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在中，平分，于点E，连接，交于点F． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ,， 是线段的垂直平分线； (2)2.5 【分析】(1)根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； (2)利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再利用(1)的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：平分， ， 在中，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为2.5． 解题要点 尺规作图与全等三角形的综合应用 1.掌握尺规作图基本方法：作一个角等于已知角、作角平分线、作线段垂直平分线、过一点作已知直线的垂线。 2.尺规作图的痕迹常能提供角平分线或垂直平分线等隐含性质，从而得到相等的角或线段。 3.先通过尺规作图获取已知条件，再结合全等三角形的判定和性质进行几何证明。 ▌迁移练10-1（26-27八年级上·辽宁·开学考试）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，先求出长度，再根据角平分线上的点到角两边距离相等得，即点到的距离为． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， 由作图知，平分， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离为． ▌迁移练10-2（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作交的延长线于点F， ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，，点C在的内部， ∴点C在的平分线上， ∴是的平分线； (2)证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由（1）可知：是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点C作交的延长线于点F，利用三角形面积公式求得，然后根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）在上截取，连接，首先证明，易得是线段的垂直平分线，进而可得，再证明，进而利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练10-3（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，点在线段的延长线上，与不重合，且．连接，过作于点，与交于点． (1)求证：； (2)连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴； (2)，证明： 如图1，过点作，，垂足分别为，． 由（1）知， ∴，； ∴， ∴； ∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，关键是辅助线的作法； （1）利用同角的余角相等得到，进而可证； （2）利用等腰三角形的性质及角平分线的判定得到角的相等关系，进而在中论证即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，关键是辅助线的作法. ▌迁移练10-4（25-26八年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明： ∵，， ∴，即E为中点． ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． （1）证明，即可证明结论； （2）由，，得出，利用垂直平分线的性质，得出，最后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型11 全等三角形中的动点问题 ▌例11-1 （2025·河北唐山·二模）如图，直线经过线段的中点，，为射线上的一动点，为射线上的一动点，，连接. (1)求证：. (2)若，当时，求的长. 【答案】(1)证明：∵为的中点， ∴， 在和中， ∴； (2) 【分析】（）利用证明即可； （）先证为等边三角形，可得，进而即可求解； 本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键. 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴为等边三角形 ∴， ∴. ▌例11-2 （23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，点是等边的边上一点，，点在上，，点在的延长线上，连接． (1)如图1，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，分别是上两个动点，满足，当最小时，直接写出的大小为________（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 证明：在上取点，使得，连，如图， ， ， ，， ∴， ，． ，， ∴， ； (3) 【分析】利用等边三角形的性质得，结合三角形外角定理和三角形内角和定理即可求得答案； 在上取点，使得，连，利用“边角边”证明，则有和，进一步证得即可； 以为边作等边，连接，有，结合可证得，有，则当、、共线时，最小，即可求得． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ， ； （2）略 （3）以为边作等边，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 当、、共线时，最小， 此时． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、三角形外角定理、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、以及距离最小的问题，解题的关键是作辅助线和熟练全等三角形的证明． 解题要点 全等三角形中的动点问题 1.动点问题常通过构造全等三角形，将动态的线段关系转化为静态的等量关系。 2.当动点分不同路径运动时，需根据时间参数t的几何意义进行分类讨论，并验证解的合理性。 3.求线段和的最值时，常利用全等变换将线段转移，利用“两点之间线段最短”或“三角形三边关系”进行分析。 ▌迁移练11-1（24-25八年级上·吉林长春·期末）综合与实践 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在中，，，点D、E分别是上的动点，且，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C作，且使，连接．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）连接__________，的最小值即为线段__________的长度． 【方法应用】如图③，在中，，，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且，当的值最小时，的度数为__________． 【答案】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2），； 方法应用： 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，最短路径问题以及等腰三角形的性质的运用等知识点，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 问题解决：（1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接，连接的最小值即为线段的长度． 方法应用：在下方作，使，连接，则最小值为，此时三点在同一直线上，推出，所以，即可得到． 【详解】问题解决：（1） 略 （2）解：连接的最小值即为线段的长度． 则， 故的最小值即为线段的长度． 故答案为：； 方法应用：解：在下方作，使，连接． 则． ， 即最小值为，此时三点在同一直线上． ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 故答案为：． ▌迁移练11-2（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图1，在等边中，点E、F分别为边上的动点，且，直线交于点O． (1)如图1，当F是的中点时，______． (2)在E、F运动的过程中，的大小是否变化？请利用图2，证明你的结论． (3)若将题目中的条件：“点E、F分别在边上的动点”改为“点E、F分别在边的延长线上的动点”（如图3所示），其余条件不变，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：的大小不会变化，证明如下： 在等边中，，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的外角， ∴； (3) 解：（2）中的结论还成立，理由如下： 在等边中，，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的外角，， ∴． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． （1）通过证明得到，再利用三角形外角的性质即可求解； （2）同理（1）即可证明； （3）通过证明得到，再利用三角形外角的性质结合对顶角相等即可求解； 【详解】（1）解：在等边中，，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的外角， ∴； （2）略 （3）略 题型12 命题与证明 ▌例12-1 （25-26八年级上·陕西西安·期末）下列四个选项中不是命题的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 【答案】B 【详解】解∶A．两点确定一条直线是可判断为真的陈述句，属于命题． B．过直线外一点作直线的平行线是操作指令，无法判断真假，不属于命题． C．正数大于负数是可判断为真的陈述句，属于命题． D．有公共顶点的两个角是对顶角是可判断为假的陈述句，属于命题． ∴不是命题的是B选项． 【点睛】命题为判断真假的陈述句． ▌例12-2 （2026·浙江温州·二模）对于命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查举反例判断命题真假，反例需满足命题的条件，但不满足命题的结论，据此逐一检验选项即可． 【详解】解：说明该命题是假命题的反例，需要满足条件，且不满足结论，即， 对选项A：，，满足条件，且，满足结论，不符合要求； 对选项B：，，满足条件，且，满足结论，不符合要求； 对选项C：，，不满足，不符合条件，不符合要求； 对选项D：，，，满足，但，不满足，符合反例要求． ▌例12-3 （25-26八年级上·浙江宁波·期末）下列选项中，能够说明“若是非零有理数，则”是假命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了举反例说明命题为假命题，要说明原命题是假命题，需找到满足题设（是非零有理数）但不满足结论的反例，根据绝对值的性质，正有理数的绝对值是其本身，此时，因此找正有理数即可． 【详解】解：∵当时，是有理数， 又∵， ∴， 即存在有理数，使得，故原命题是假命题； 对于A选项，时，，符合结论，不能说明原命题为假命题； 对于C选项，时，，符合结论，不能说明原命题为假命题； 对于D选项，是无理数，不满足题设“是有理数”，不能作为反例说明原命题为假命题． 故选：B ． 解题要点 命题与证明 1.判断语句是否为命题，关键看它是否为“判断一件事情的陈述句”，疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 2.说明命题为假命题，只需举一个反例：反例必须满足命题的题设条件，但推导出与命题结论相悖的结果。 3.证明几何命题需严格遵循“已知、求证、证明”的书写规范，利用定义、公理、定理进行逻辑推理；遇难度较大的证明题，常通过添加辅助线（如作平行线）实现等量关系的转化。 4.公理是公认的基本事实，无需证明；定理是经过推理证明为真的命题，可作为后续证明的依据。 ▌迁移练12-1（2026·江苏南通·三模）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 【答案】 已知：． 求证：． 证明：过点作的平行线， ， ，， ， ． 【分析】过点作的平行线，根据平行线的性质得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形三个内角的和等于． 【详解】略 ▌迁移练12-2（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）下列所学过的真命题中，是公理的是（ ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了公理，公理是不需要证明的基本命题，在初中数学中，“同位角相等，两直线平行”通常作为平行线的判定公理，而其他选项均为定理，可由公理推导． 【详解】解：公理是数学体系中公认的基本事实，无需证明； 选项A“对顶角相等”可通过等角的补角相等证明，是定理； 选项B“同角的余角相等”可通过角的定义和等量代换证明，是定理； 选项C“三角形两边之和大于第三边”可由“两点之间线段最短”公理证明，是定理； 选项D“同位角相等，两直线平行”在初中教材中作为平行线的判定公理使用，是公理． 故选：D． ▌迁移练12-3（25-26八年级下·全国·课后作业） 【问题情景】我们知道，多边形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫作多边形的外角． 如图1所示，、、是的三个外角，下面我们来探究、、和三内角之间的数量关系． 【方法感悟】解：因为在中，，所以．因为，所以．所以．同理可得：，． 因此，我们得到一个重要的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【解决问题】 (1)已知：如图2，与分别为的两个外角，请直接利用上述结论，试探究与的数量关系． (2)已知：如图3，在中，，分别平分和，试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由外角的性质可得，，相加并结合三角形的内角和定理即可得到结论； （2）由角平分线的性质可得，，，则，结合三角形的内角和定理可得． 【详解】（1）解：根据题意可得，，， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 难点一 三角形内角与外角的综合应用与角度计算 在三角形中，外角定理和内角和定理是解决角度问题的核心工具，尤其是将两者与角平分线、高线、平行线条件结合时，容易因思路混乱导致计算错误。 方法总结： ①看清所求角与已知角的位置关系。若是三角形的内角，优先考虑内角和定理（180°）；若是外角，则利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”定理，直接进行角的等量代换，避免复杂的加减。 ②遇到角平分线与高线结合求角的题目，可先利用角平分线求出被平分的部分角，再结合高线带来的90°条件，在对应直角三角形中用“直角三角形两锐角互余”来突破。 ③当出现“拐角”或“折线”型角度问题（如求∠B+∠D=∠BCD∠B+∠D=∠BCD这类模型）时，利用外角性质构造辅助线往往比单纯的内角和更简捷。 易错提醒： ①容易混淆“外角”与“内角的邻补角”。三角形每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角，大小相等，计算时务必认准是哪一个外角。 ②用外角定理时，必须是“与它不相邻的两个内角”，切忌加上相邻的内角。 ③在钝角三角形中，外角有时会跟高线落在外部的情况结合，画图时要特别注意对应关系。 难点精练 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，D为的中点，E为边上一点，连结．若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接．利用三角形中位线定理可得且，结合已知条件推导出，从而利用等腰三角形性质和平行线性质求解． 【详解】取的中点，连接， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ，， ，， ，且， ，即， ， ， ， 为等腰三角形， 点在线段上， ， ， ． 2．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，与互余，下列说法：①；②；③若，则；④若，则，正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ，， ∴， ∴①②正确， 若，则，题目中没告知与的位置关系， ∴无法求出的大小； 若， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ∴④正确． 3．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）【定义】 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角的2倍，则称这个三角形为“二阶三角形”生活中处处都有数学，如图1：我们常用的三角板都是“二阶三角形”，它们的度数分别是，，和 ，，． 【简单应用】 (1)如图2，，，是的角平分线，试说明是“二阶三角形”； 【问题探究】 (2)在中，． ①如图3，过点C的直线交的平分线和的外角平分线于点N，M，若是“二阶三角形”，求的度数； (3)②如图4，的平分线和的外角平分线交于点D，点F是线段上的一动点（F不与B、O、D三点重合），，若是“二阶三角形”，直接写出n的值． 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，， 可得， ∴是“二阶三角形”； (2)①或或；②2或 【分析】（1）先根据三角形内角和为以及，求解出相应角的度数，再根据角平分线的定义得到，再由角度的关系得到，由此可说明； （2）①先根据，以及角平分线的定义求解和的度数，再根据是“二阶三角形”分情况得到的度数，由此求解即可； ②先根据，求解的度数，再由角平分线的定义求解和的度数，设，根据题意可得，再由，可得与之间的关系，再由是“二阶三角形”，分情况表示2倍的关系，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴，， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的外角平分线， ∴， ∴， ∵是“二阶三角形”， 当时，则， 可得， 在中，； 当时，则， 可得，则， 在中，； 当时，则， 在中，； 综上，的度数为或或； ②∵， ∴， 在中，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的外角平分线， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 点F是线段上的一动点（F不与B、O、D三点重合），如图， ∵， 设，则， ∵， ∴，则， ∴， 在中，， ∵是“二阶三角形”， 且在中，，，， 当时，则有， 即，解得，不满足题意，舍； 当时，则有， 即，解得，不满足题意，舍； 当时，则有， 即，解得； 当时，则有， 即，解得； 当时，则有， 即，等式无解； 当时，则有， 即，解得，不满足题意，舍； 综上，n的值为2或． 难点二 全等三角形的综合判定与隐含条件挖掘 全等三角形的证明是几何推理的基础，其难点不在于背出四个（或五个）判定定理，而在于复杂图形中如何精准挑出“隐藏的相等条件”，以及准确选择最合适的判定方法。 方法总结： ①平移、旋转、翻折是识别全等“原型”的三种基本变换。复习时要关注由这三种变换产生的公共边、公共角、对顶角、垂直或平行带来的等角条件。 ②判定的选择策略：若已知两边，优先考虑SSS或SAS（注意夹角）；若已知两角，优先考虑ASA或AAS（注意夹边与对边）；若已知一边一角，先看能否用ASA或AAS再找一角的对边，或SAS再找夹边。 ③遇到直角三角形，在四种普通判定方法都能用的情况下，优先HL（斜边、直角边）往往能减少判定步骤，且条件最为直接。 易错提醒： ①最常见的易错点是使用“SSA”（边边角）和“AAA”（角角角）去证明全等。前者可能在图中出现多种位置（钝角、直角、锐角情形下的两边及其中一边对角），必须注意。 ②用符号“≅”表示全等时，对应顶点一定要写在对应的位置上，否则极易在后续求对应边、对应角时弄错量值。 ③不要忽略已知中的“垂直”、“平行”、“中点”等字眼，它们分别对应“90°相等”、“内错角/同位角相等”、“线段相等”。 难点精练 4．（2026·山西晋城·二模）利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 【答案】C 【分析】甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明；乙同学的钝角三角形要先延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点，证明，再证明，然后即可证明；丙同学的锐角三角形，先过点作交于点，过点作交于点，证明，因缺少条件无法证明，逐一判断即可． 【详解】选项A，甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明，故选项A不符合题意； 选项B，乙同学的钝角三角形，如图，延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故选项B不符合题意； 选项C，丙同学的锐角三角形，如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵缺少条件证明，故选项C符合题意； 选项D，综上各个选项，选项D不符合题意． 5．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，，a，b满足，点C与点A关于y轴对称． (1)直接写出B，C两点的坐标； (2)如图，分别以，为直角边向右侧作等腰和等腰，连接交x轴于点M，连接． ①求出D，E两点的坐标； ②求证：． 【答案】(1)， (2)①，； ②证明：如图2，作，交x轴于点N，则． ∵点A，C关于y轴对称， ∴y轴是线段的垂直平分线， ∴． ∵与是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴，． ∵，，且， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】本题考查了非负数的性质、关于 y 轴对称的点的坐标特征、等腰直角三角形的性质及坐标与图形的综合应用，解题关键是利用非负数性质求出 a、b 的值，结合图形性质分析点的坐标与线段关系． （1）利用绝对值与算术平方根的非负性，由得，，确定；再根据关于轴对称的点的坐标特征（横反纵同），得． （2）①过作轴垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合全等三角形，求出的横、纵坐标，得，． ②作辅助线构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，得出对应角相等得，进而推出得，进而利用垂直平分线的判定定理证得． 【详解】（1）∵，∴，， ∴，， 解得，， ∴点，． ∵点A，C关于y轴对称， ∴点． （2）①过点D作轴，过点E作轴，如图1． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵点，， ∴，， ∴， ∴点； 同法可得点． ②略 6．（25-26八年级上·河南开封·期末）如图，在中，，，，点是边一个动点（包含，两点），以为边向左作等边，点在运动的过程中，的最小值是_____，最大值是____． 【答案】 【分析】取的中点，作于，连接，．由，推出，当时，的值最小；当与重合时最大． 【详解】解：取的中点，作于，连接，， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴是等边三角形， 即：，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即：， ∴， ， 当时，即与重合时，最小， ∵， ∴， ∴， ， 即：的最小值是， 当与重合时最大， 此时， 即：的最大值是：． 故答案为：． 难点三 与三角形高线、中线有关的分类讨论 高线与中线在三角形中不仅有定义，更代表着丰富的几何性质和特殊的位置关系。特别是在“画图”与“分类讨论”题型中，学生容易因画图不全而漏解。 方法总结： ①高线位置的判定：锐角三角形三条高全在内部；直角三角形两条高是直角边，交点就是直角顶点；钝角三角形有两条高在外部，交点也在外部。遇到“作三角形的高”这类指令时，必须养成考虑三种三角形类型的习惯。 ②高线提供90°直角：高线所在的直线与对边所在直线垂直。在解题时，要善于利用垂线带来的直角，构建直角三角形，从而运用“两锐角互余”。 ③中线平分面积：三角形的任意一条中线，把原三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）。遇到“被中线分割求面积”的问题时，使用这个性质作等量代换即可。 易错提醒： ①选择题或填空题中，若题目未明确给出三角形的类型，遇到“高线”相关计算时，常常需要就锐角、直角、钝角进行分类讨论（如判断高在形内还是形外），很容易漏掉钝角三角形的情况。 ②求线段长度或面积时，利用中线得出的等底同高结论，切记不要漏掉“同高”这个隐藏前提。 难点精练 7．（26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 【答案】6 【分析】连接，根据，得到，设，则，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为6． 8．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知在中，，是边上的高，，则_______． 【答案】 或 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解本题的关键． ①如图，当顶角为锐角三角形时：，②如图，当顶角为钝角三角形时：，再结合等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：①如图，当顶角为锐角三角形时：， ∵， ∴； ②如图，当顶角为钝角三角形时： ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成80和60两部分，求和的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，解二元一次方程组等知识点，正确理解三角形三边关系是解题的关键．分两种情况讨论，列方程组求解，根据三角形三边关系判断即可求解． 【详解】解：是边上的中线， ， 设, 则， 存在两种情况： ①， 则， 解得， 即， 则 此时符合三角形三边关系 ② 则 解得 即 则，与已知矛盾，不符合题意，舍去． 综上所述． 难点四 几何证明中的辅助线作法与思维策略 当原图形中的条件不足以直接得出证明结论时，需要添加辅助线构建桥梁。辅助线是几何证明中的核心难点，也是区分学生思维层次的关键。 方法总结： ①遇角平分线，作双垂：当题目中出现角的平分线，且涉及角平分线上的点到角的边的距离时，可考虑向两边作垂线，构造出直角三角形全等（利用AAS或HL），或直接应用角平分线的性质。 ②遇中点，倍长中线：看到三角形中线的条件时，经典的技巧是“倍长中线”（延长中线至原来的两倍，连接端点），从而构造出一对“8字型”全等三角形，将分散的边和角平移集中到一个三角形中。 ③遇平行线，找内错/同位角：图中若有平行线条件，要熟练利用平行线的性质（内错角相等、同位角相等、同旁内角互补）作为证明全等或求角的中间桥梁。 易错提醒： ①切记辅助线必须画成虚线，并且在“证明”的开头必须交代清楚是如何添加辅助线的。不写辅助线作法，直接用到这条线是无依据的。 ②步步有据。在证明的括号内，必须严格按照要求写出每一步的推理依据（如“已知”、“两直线平行，内错角相等”、“全等三角形的对应边相等”等），不能想当然。 ③切忌把要证明的结论当成已知条件用，或者在逻辑上循环论证。 难点精练 10．（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【答案】（1），2； （2）证明：如图：延长到点F，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）,的面积为12 【分析】（1）如图1：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； （2）如图：延长到点F，使，连接．易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图3：延长到点E，使，连接．易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图1：先延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为整数， ∴． 故答案为：，2． （2） 略 （3）如图3：延长到点E，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】灵活运用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键． 11．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1)①②见详解 (2) 【分析】（1）①通过证明，得，即可知道； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，先证明，然后得到是等边三角形，进行等边代换，即可得证； （2）先得到，过点G作交于点H，交于点M，通过“”证明，得，，然后连接，再通“”证明，进行角的等量代换以及角和和差关系，即可作答． 【详解】（1）解：因为是等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 则， 那么； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，如图所示： ， ∴，， 因为， 所以 故 即 因为，， 所以 则， 所以， 因为 所以 即是等边三角形， 所以 因为， 则； （2）解：过点E作， 因为， 所以 即 因为 所以， 则 过点作交于点，交于点，则， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 连接，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，等边三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和，作辅助线（作垂线）以及一系列的辅助线，难度大，综合强，对学生具备较强的作辅助线能力有较高要求，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 12．（25-26八年级上·江苏南通·期中）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 【答案】(1) 证明：过作于， ． ，， ． ． (2) 解：， 理由：如图，过作交于， ，，． ∵点恰为线段中点， ． ． ． ，， ． ． ． (3)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、三角形面积公式、平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，即可得证； （2）过作交于，利用中点证，得到，最后通过等线段转化即可得证； （3）参考（2）的方法构造全等，设，则，，由的面积是30，即可求出的值，即为的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长交于点，过作， 是角平分线， ． ， ． ， ． ，． ， ，． 是中线， ． ． ， ． ． 设，则，， ． ， 整理得：， ． ， ． ． 13．（25-26八年级上·北京大兴·期中）如图，在等边三角形中，点是延长线上一点，作射线，点关于射线的对称点为点，连接交射线于点． (1)依题意补全图形； (2)连接，． ①求的大小（用含的代数式表示）； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 解：图形如下： (2)①； ②，证明如下： 在线段上取，连接，如图， ∵点关于射线的对称点为点， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴，， 由① 知， ，， ∴， ∴， 由① 知，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是由表示各个角度从而得到关系． （1）根据题意补全图形即可； （2）①连接辅助线构造等腰三角形，根据等边三角形的性质，可求解，再根据三角形内角和求解即可； ②构造辅助线，由角边角的方法证明，可得，，再证明为等边三角形，可得，，再根据角角边的证明方法证明，由此可得，根本边的关系即可证明． 【详解】（1）略 （2）解：①连接，如图， ∵点关于射线的对称点为点， ∴，， ∵三角形为等边三角形， ∴，， ∴，且， ∴， 即的大小为； ②略 基础达标 1．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：选项A中，∵ ，不满足两边之和大于第三边， ∴ 不能组成三角形，符合题意； 选项B中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意； 选项C中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意； 选项D中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意． 2．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解：． 3．（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，， ∵， ∴. 4．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握好相关知识是关键． 由可得，结合三角形外角的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 故选：A． 5．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若为三角形的三边，且满足分式的值为0，则此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为0的条件，以及等腰三角形的定义，根据分式值为0时分子为0、分母不为0，结合三角形的分类判断三角形形状即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子，且分母， ∴，且， ∴此三角形有两边相等，为等腰三角形． 故选B． 6．（25-26八年级上·河北邢台·期末）拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定，比大，则的度数应该为____________． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为是解题关键．根据三角形内角和定理及对顶角相等得出，根据，比大即可得出，进而求出的度数即可． 【详解】解：如图所示： ∵，，， ∴， ∵，比大， ∴， ∴． 故答案为： 7．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，，，将绕点旋转，则点的对应点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转性质，坐标与图形，全等三角形的性质，进行分类讨论，即逆时针和顺时针两个情况，以及作图，再结合点所在的象限，即可作答． 【详解】解：依题意，当将绕点逆时针旋转，得，如图： ． ，． 点在第二象限， ． 当将绕点顺时针旋转，得， ． ，． 点在第四象限， ． 综上，点的坐标为或． 8．（25-26八年级上·北京密云·阶段检测）已知：如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的边上．求证：． 【答案】 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴． 【分析】证明，，对应边相等． 【详解】略 9．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)15 (2) 证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）略 10．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在等边三角形的三边上分别取点，，，使．试判定的形状，并说明理由． 【答案】解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【分析】由等边三角形的性质容易证明，则，，利用等量代换可得，因此是等边三角形． 【详解】略 能力进阶 11．（25-26八年级下·河北保定·期末）等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分腰长为、腰长为两种情况讨论，结合三角形三边关系排除不成立的情况后计算周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 分两种情况讨论： ①当腰长为时，三边长为，，， ， 不能构成三角形； ②当腰长为时，三边长为，，， ， 能构成三角形，周长为． 12．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，平分，过点作，垂足为，交于，是的中点，连接．若，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过证明，可得，是的中点，继而可得，再利用三角形中位线定理解答即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中点， ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线 ， ∴． 13．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线交于点D，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于M，N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长，交于点G．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直平分线和角平分线的性质结合三角形内角和为表示出各个角，化简即可得出解． 【详解】解：由题意得垂直平分，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ． 14．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三角形内角和性质得出，再根据四边形内角和为列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，，，根据三角形内角和及等边对等角求出，可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 【答案】 【分析】由三角形外角的性质可以求出，由尺规作图可知是的平分线，根据角平分线的定义可知，由作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， ，， ， ， 由作图可知是的平分线， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 17．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据作图可得，是的垂直平分线，得到，再通过线段等量代换将的周长转化为，进而求出三角形周长． 【详解】解：由作图可知，， ， ， 由作图可知，直线是的垂直平分线， 点在直线上， ， ， 将代入得，， ，， ． 18．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)若是轴上一点，，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为． (2)点或． (3)是等腰直角三角形，理由如下： 作轴且交y轴于点H，轴且交x轴于点M， 则，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵轴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【分析】（1）首先根据直线的表达式求出点A坐标，接着根据得到点B坐标，将点B，点C同时代入中联立方程，求出k、b的值，进而得到直线的表达式． （2）根据直线、的表达式联立方程，求出交点D，得到两个三角形的高；其次结合的长度求出，进而得到的值；设点，将表示出来，再根据三角形面积计算公式求解，求出的值，进而得到点E． （3）首先过点D分别作x，y轴的垂线，得到的平行线，根据平行线性质得到内错角相等，通过相等的角代换得到是的角平分线，进而根据“直角三角形内，一直角边和它相对（或相邻）的锐角分别相等”判定三角形全等，得出对应边相等，求出的长；最后结合各点坐标计算出的各边长，根据边长关系判断三角形形状． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴令，得， 解得，即点， ∴， ∴，即点， 将点，代入中，得， 解得，， ∴直线的函数表达式为． （2）∵直线、交于点D，联立方程得， 解得，， ∴点． 设点，则． ∵， ∴， ∴，得， 解得或， ∴点或． （3）略 【点睛】可通过作辅助线构造全等三角形求解线段长度，根据三边关系判断三角形形状． 19．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)的面积为 ； (2)借助的三边说明与的大小关系； (3)若保持点，不动，点从图中的位置沿轴向右移动到点，使得，求点的坐标为 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据割补法求解即可； （2）根据勾股定理求出的三边，再根据三角形的三边关系求解即可； （3）过点C作轴于点N，作轴于点M，证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：由图可得， ， ， ∵， ∴． （3）解：过点C作轴于点N，作轴于点M，即， 由图有，，， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点D的坐标为或． 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在学习完浙教版数学八年级上册《1.7角平分线》这节课后，小锦和小绣有了新的思考：只用直尺和三角板能做出角平分线吗？ (1)如图1，小锦在射线上任取一点D，过点D作，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点E，求证：是的角平分线； (2)如图2，小绣分别在，上截取，利用三角板构造，且直线交于点G，同样作，直线交于点F．与交于点E，求证：是的角平分线． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 由作图知， ∴， ∴， ∴是的角平分线； (2) 证明：由作图知，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边对等角． （1）利用平行线的性质结合等边对等角求得，即可证明结论成立； （2）证明，推出，，再证明，得到，即可证明结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $