单元综合复习(五)随机事件及其概率&数学活动 骰子与概率-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

©数学活动 1.制作骰子时，在点数“6”内侧粘一粒豆子，重心 会偏向“6”，则投掷时哪个点数出现概率最大？ (已知“6”对面是“1”) ( A.6 B.5 C.1 D.2 2.掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，在下列 四个选项中，可能性最大的是 () A.点数小于4 B.点数大于4 C.点数大于5 D.点数小于5 3.质量均匀的骰子，每个点数出现的概率是 4.如果在骰子的相邻面“2”和“3”内侧都粘重物， 会对投掷结果产生什么影响？请推测并说明 依据， 5.生活中有没有利用“概率不均”设计的游戏？ 举1个例子并分析其原理. 6.有一颗木质的中国象棋棋子，它的正面雕刻的 是一个“兵”字，它的反面是平的.将它从一定 高度掷下，落地反弹后可能是“兵”字面朝上， 也可能是“兵”字面朝下，由于棋子的两面不均 匀，某小组做了掷棋子试验，试验数据如下表 (频率结果精确到0.01)： 骰子与概率 试验 20 40 60 80 100 120140160 次数 “兵”字面 朝上的 a 38 47 52 66 78 88 次数 “兵”字面 朝上的 0.700.450.630.590.52b0.560.55 频率 (1)a= ,b= (2)根据表格，在下图中画出“兵”字面朝上的 频率的折线统计图； 0,8缬率 0.5 0.45 0.4 0.35 …试验次数 0.3 20406080100120140160 (3)观察折线统计图，“兵”字面朝上的频率的 变化有什么规律？ 7.如图，掷两枚大小、质地都相同的骰子（不妨记 左边的为A骰子，右边的为B骰子)，把A骰子 掷出的数记为m,把B骰子掷出的数记为n. (1)嘉嘉说：“每掷一次，m十n的和一定是连续 整数212中的一个.”你同意嘉嘉的观点吗？ 如果同意，请证明；如果不同意，请你说明理由； (2)如果是掷骰子定胜负，想获胜，你选m十n 的和是几？并求出获胜的概率。 B 第24章118 单元综合复习（五】 ■■■热门考点突破■■● 考点事件的类型 1.（中考·海南)掷一枚质地均匀的正方体骰子， 骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察 向上一面的点数.下列说法正确的是() A.出现点数为6的概率是君 B.出现点数为0是随机事件 C.出现点数为偶数是必然事件 D.出现点数为奇数是不可能事件 2.(中考·徐州)一个不透明的袋子中装有4个 红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从 中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是 ) A.至多有1个球是红球 B.至多有1个球是黑球 C.至少有1个球是红球 D.至少有1个球是黑球 考点2概率及其意义 3.一个事件的概率不可能是 A.1.5 B.1 C.0.5 D.0 4.“从布袋中取出一只红球的概率是99%”，这 句话的意思是 A.若取出一只球肯定是红球 B.取出一只红球的可能性是99% C.若取出一只球肯定不是红球 D.若取出100只球中，一定有99只红球 考点3简单概率的计算 5.在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个 白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出 1个球，则摸出的球为红球的概率是（) A号 B c.另 D.9 119探究在线九年级数学（上）·HD 随机事件及其概率 6.为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主 题班会，班会上，他设计了一个如图的飞镖靶 盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为10 cm,大圆半径为20cm,每个扇形的圆心角为 60度.如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能 的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边 界或没有击中靶盘，则重投1次)，投中“免一 次作业”的概率是 () A.6 B.8 C.o 1 D.12 送一个小蛋糕 /与老师合影 B 第6题图 第9题图 7.古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处 有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，若 小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中 的概率是 8.在平面直角坐标系中有五个点，分别是A(1, 2),B(-3,4),C(-2,-3),D(4,3),E(2, 一3)，从中任选一个点恰好在第一象限的概率 是 9.如图，在正方形ABCD中，分别以四个顶点为 圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向 正方形ABCD内投一粒米（米粒大小忽略不 计)，则米粒落在图中阴影部分的概率为 考点4用频率估计概率 10.(中考·盐城)在学习频率与概率时，小明与 同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币” 的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数n 80 160 240 320 400 480 560 2枚正面 都朝上的 18 61 78 103 118 141 频数m 2枚正面 都朝上的 频率（精 0.2250.2310.2540.2440.2580.2460.252 确到0.001) (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面 都朝上”的概率是 ;(精确到0.01) (2)请你用列表或画树状图的方法解释(1)中 的结论. 11.（中考·大庆)2025年国产AI大模型的爆 火，引发了全球科技界的广泛关注.若小庆同 学从“豆包”“腾讯元宝”“即梦AI”“文心 言”四种应用软件中随机选取两种进行学习， 则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾 讯元宝”的概率为 考点5用列表或画树状图求概率 12.(中考·安徽)在一个平衡的天平左、右两端 托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品 后，天平倾斜（如图所示）.现从质量为10g, 20g,30g,40g的四件物品中，随机选取两件 放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡 的概率为 13.(中考·常州)在5张相同的小纸条上，分别 写有：①一1；②0；③1；④正数；⑤负数.将这 5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透 明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒 子B中搅匀. (1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概 率是 ； (2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子 B中任意抽出1支签.求抽到的数与文字描 述相符合的概率. ■■●核心素养提升●■■ 14.(中考·广州)如图，画线G:y-兰(x>0)过 点P(4,t). 8 7 6 3 -21g■12345678x 2 (1)求t的值； (2)直线l:y=一x十b也经过点P,求1与y 轴交点的坐标，并在图中画出直线1； (3)在(2)的条件下，若在1与两坐标轴围成 的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点 (横、纵坐标都是整数的点)，求该格点在曲线 G上的概率. 第24章120(2)①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的 4.影响：2点和3点的对面(5点、4点)出现的概率会增大，2 中位数相同.理由如下： 点、3点出现的概率会减小 原来4个球的价格（单位：元）按照从小到大的顺序排 依据：在相邻面“2”和“3”内侧粘重物后，骰子重心会向两 列为7.8,89，则中位数为8生8-8， 个面的公共区域偏移，投掷时重心会使“2”“3”面更贴近桌 面，因此它们的对面“5”“4”面朝上的概率会明显提升，而 所剩的3个球价格（单位：元）分别为8,8,9，其中位数 “2”“3”面自身朝上的概率会降低. 也为8， 5.如抽奖转盘游戏. ∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位 原理：部分抽奖转盘会在低中奖率的区域加重物，使转盘重 数相同. ②@列表略，由表格可以看出，所有机会均等的结果有9 心偏移，指针停在高奖励区域的概率降低，停在低奖励/无 种，乙组两次都拿到8元球的结果有4种，所以乙组两次 奖励区域的概率升高，以此控制中奖概率，实现盈利.（答案 不唯一，其他合理例子均可，如作弊骰子、套圈游戏等) 都拿到8元球的概率为： 6.(1)18,0.55 微专题11概率的综合应用 (2)画出频率分布折线图，如下图， 1.B2号 3.2 (2)树状图如下： 开始 充转命新師两 (3)根据表中数据，试验频率为0.70,0.45,0.63,0.59， 0.52,0.55,0.56,0.55,随着试验次数的增加，频率逐渐稳 定在0.55左右， 两数之积1123112322463369 由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的 所以，当试验次数越来越大时，“兵”字面朝上的频率在 可能性有7种， 0.55附近浮动. “摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率为 7.（1)同意嘉嘉的观点.列表如下： 1 23 56 4.75.号6.A7.号8B9.B10.B 1 2 3 4 5 6 7 1.号12号 2 8 3 6 7 9 13.2 9 10 (2)画树状图为 5 6 8 、9 10 11 开始 678 9101112 (第一列代表A骰子掷出的可能的数m,第一行代表B骰 子掷出的可能的数n,其他格中数据代表所有m十n的可 乙 能的和.) 丙A B A B A B A B 即每掷一次，m十n的和只能是连续整数2~12中的一个 由树状图可知一共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、 丙三位同学恰好选择同一项目的结果数有2种 数，故嘉嘉的观点正确. (2)由(1)中列表可知，m十n的和为7的概率最大，故选m “甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率是号 十π的和是7，获胜的概率为%-日 子 单元综合复习（五）随机事件的概率 14.(1)200,144: 热门考点突破 (2)B类软件的人数为：200一80一20一40=60（人）； 补全条形统计图如图： .A2.C3.A4B5.C6.B7.g&号9晋 +入数（人） 10.(1)0.25 80 (2)列表如下： 60 40 正 反 20 正 正正 正反 ABCD软件类别 (3)由题意，列表（略），共12种等可能的结果，其中恰好 令 反正 反反 抽到使用A、B两类软件各1人的情况有6种，故P=2 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”的结果有 1种，因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为子=0.25 数学活动骰子与概率 .日12. 1.C2.D3.g 13.(1)3 28 一探究在线·九年 (2)画树状图，如图： 期末重难点提升2一元二次方程 1.C2.B3.C4.D5.C6.C7.D8.49.7 A 3 10.(1)2x2-4x+1=0, B④⑤④⑤④⑤ x2-2x=- 2-2x+1=-号+1， 共6种情况，其中抽到的数与文字描述相符合的有2种， “抽到的数与文字描述相符合的概率为号=号 红-=合-1=±号， 核心素养提升 =1+9a=1-竖。 14.(1)曲线G:y= 2(x>0)过点P(4,t), (2)x2+2x-2=0,其中a=1,b=2,c=-2, ∴△=b-4ac=22-4X(-2)=12>0. == x=-2±12 2 =-1±√3. (②)由1得=合，放P(,2), x1=-1+√3，x2=-1-√5. :直线l:y=一x十b也经过点P, (3)x2-x=2x-2,x(x-1)=2(x-1), ∴把P(4,2)代人y=-x+6,得司 (x-2)(x-1)=0, =-4十b, x-2=0或x-1=0 解得b=4.5.y=-x十4.5； x1=2,x2=1. 令x=0,则y=-0十4.5=4.5， (4)(x-2)2=(2x-1)(x-2), l与y轴交点的坐标为(0,4.5)： (x-2)2-(2x-1)(x-2)=0, 直线1的函数图象，如图所示。 (x-2)[(x-2)-(2x-1)]=0, y (x-2)(x十1)=0， x一2=0或x十1=0， x1=2,x2=-1. 11.(1)①(45-3x) ②依题意，得x(45一3x)=132, 解得x1=4,x2=11. -2-1 当x=4时，45一3x=45一3×4=33>15，不合题意，舍去； 1:y=-x+4.5 当x=11时，45-3x=45-3×11=12<15,符合题意. (3)依题意，在1与两坐标轴围成的三角形内部（不包含 答：饲养场的宽EF的长为11米. 边界)的格点共有6个，分别是(1,3)，(1,2)，(1,1)， (2)不能达到，理由如下： (2,1),(2,2),(3,1),格点(1,2)，(2,1)在曲线G上，即有 设EF的长为y米， 两个格点在曲线G上，即该格点在曲线G上的概率为号 则DE=38+15+2+2=(3y-3》_60,32米， 2 2 依题意，得y60,3y-156, 2 期末复习 整理，得y2-20y+104=0, 期未重难点提升1二次根式 △=(-20)2-4×1×104=-16<0， .该方程没有实数根. 1.D2.2V33.24.75.74 即当点F在线段BC延长线上时，所围成的饲养场 6.(1)原式=35+33+2y5-55=-2W5+113 BDEF的面积不能达到156平方米. 3 (2)原式=2√5-√3+1-2√3+3=4-√5. 12.(1)设所求方程的根为y,根据题意，y是原方程根的相反 7.(1):x=5+1,y=√5-1， 数，因此y=一x,即x=一y, 把x=-y代入原方程2x2-x一5=0，得 .x-y=2,xy=4. ∴.x2-xy十y2=(x-y)2+xy=22+4=4+4=8. 2(-y)2-(-y)-5=0,即2y2+y-5=0. (2)将方程a(2x十3)2+2bx=3(1-b)移项，得 (2)”x=号5+)，y=2W5-3), a(2x+3)2+2bx+3b-3=0. 1 x+y=√5，xy=2: 即a(2x+3)2+b(2x+3)-3=0. 设x=2x+3,则方程变为ax2+bz-3=0, :义+乏=+y-z+y-2型=51=8 故ax2+bz-3=0的根为x=1和之=-3， y xy xy 1 2 当x=1时，2x十3=1，解得x=-1; 8.(1)-a1-b 当x=一3时，2x十3=-3，解得x=-3; (2).-2<a<-1,0<b<1, 则方程a(2x+3)2+2bx=3(1-b)的两个根是x1=-1, ∴.a+2>0,b-1<0,a-b<0. x2=-3. ∴.原式=a十2|-|b-1|+|a-b 期末重难点提升3图形的相似 =a+2-1+b+b-a=2b+1. 1.C2.B3.C4.C5.B 当a=E,6=号时，原式-2+ 6.(-5,-1)7.号8129.号10.571.8 及数学（上）·HD一