26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第1课时 探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质） 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过复习顶点式可直接判断顶点、对称轴等性质，对比一般式无法直接分析的认知冲突，搭建旧知到新知的学习支架，自然引入探究。 其亮点在于“配方转化—公式推导—性质归纳”的完整探究过程，学生亲历从具体函数配方到一般式公式推导，培养抽象能力与推理意识，结合数形结合分析性质强化几何直观，典型例题与中考真题变式训练提升模型意识，助力学生构建知识体系，也为教师提供高效教学路径。

26.2.3 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质 （第1课时 探究二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质）教学设计 课题 26.2.3 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质（第1课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 （1）掌握用配方法将 y=ax²+bx+c（a≠0）化为顶点式的方法；熟记一般式的对称轴、顶点坐标公式；熟练掌握一般式的开口方向、增减性、最值，能利用公式和性质解决基础题型； （2）经历「配方转化—公式推导—性质归纳—例题应用」的完整探究过程，提升代数变形、逻辑推理、数形结合分析问题的能力，体会转化、归纳的数学思想； （3）通过自主推导公式、归纳性质，感受数学知识的连贯性和统一性，增强自主探究意识和学习自信心，提升数学核心素养。 教学重点 用配方法将二次函数一般式化为顶点式；掌握二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；能利用公式和性质解决基础计算、图象分析问题。 教学难点 一般式二次函数顶点坐标、对称轴公式的推导过程（配方的代数变形逻辑）；结合对称轴准确判断二次函数在任意区间内的增减性，区分最值与函数增减变化的关联。 教学方法 启发提问、配方推导、数形结合、变式对比 教学准备 多媒体课件、方格纸 课后练习 必做：课本习题26.2第3、4题；探究性作业：课本习题26.2第5题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情景， 引入新课 复习回顾：（1）我们之前学习的二次函数顶点式是什么？它的优势是什么？ 学生回顾：顶点式 y=a(x-h)²+k 可以直接看出顶点、对称轴和最值。 （2）说出 y=2(x−1)²+3 的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。 学生作答：a=2>0 开口向上，对称轴 x=1，顶点 (1,3)，最小值为 3。 （3）实际问题中，二次函数常以 y=2x²−4x+1 这种一般式出现，它不是顶点式，如何快速判断它的图象和性质？ 师生互动：发现一般式无法直接判断性质，产生探究需求，明确本节课学习核心——探究一般式二次函数的通用性质，自然引入新课。 回顾顶点式优势并说出 性质，感受一般式无法直接判断 通过旧知回顾搭建知识桥梁，利用认知冲突激发探究欲望，明确本节课学习核心，自然引入一般式二次函数性质探究的新课。 二、探究点1： 画 y=½x²-6x+21 图象并讨论性质 探究点1：画出二次函数 y=½x²−6x+21 的图象，并讨论它的性质。 活动1：通过图象的平移得到该函数的图象。 对 配方，可得 。先画 的图象，再把它向右平移 6 个单位、向上平移 3 个单位，就得到目标函数的图象。 追问：还可以怎样平移？ 活动2：直接画出该函数的图象。 由配方结果可知，抛物线的顶点是 ，对称轴是直线 。 先利用图象的对称性列表：取 x=3、4、5、6、7、8、9，对应 y 值依次为 7.5、5、3.5、3、3.5、5、7.5；然后描点画图，得到图象如下图。 活动3：观察 y=½(x−6)²+3 的图象，讨论它的性质。 从图象可以看出：对称轴左侧抛物线从左到右下降、右侧从左到右上升，即当 时 y 随 x 增大而减小，当 时 y 随 x 增大而增大，当 时 y 取最小值 3。 由配方 得顶点 (6,3)、对称轴 x=6，画图象并说增减性最值 让学生亲历「平移法」与「直接画图法」两种作图路径，依托已有顶点式知识掌握一般式作图方法，渗透转化思想，为公式推导与性质归纳奠基。 三、探究点2： 研究 y=½x²+2x+4 探究点2：利用上面的方法研究二次函数 y=½x²+2x+4 的图象，并讨论它的性质。 配方：。 由顶点式可知顶点是 ，对称轴是直线 。 从图象可以看出：当 时 y 随 x 增大而减小，当 时 y 随 x 增大而增大，当 时 y 取最小值 2。 教师小结：上述两个具体函数都由一般式经配方化为顶点式，从而快速地确定图象的特征与性质。 配方 得顶点 (-2,2)、对称轴 x=-2 并说性质 通过第二个实例强化「配方化顶点式→确定图象特征与性质」的一般方法，让学生举一反三、落实转化与数形结合思想。 四、探究点3： 配方推导一般式 归纳性质 探究点3：探究二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质。 活动5：将一般式转化为顶点式（配方法）。 第一步，提取二次项系数：； 第二步，配方（加、减一次项系数一半的平方）：； 第三步，整理化为顶点式：。 总结：结合顶点式 ，对比得出对称轴为直线 ，顶点坐标为 。 易错强调：配方时仅对含 x 的项变形，提取系数后括号内配方，常数项需整体整理，注意符号与通分计算。 活动6：归纳一般式二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与性质。 1. 开口方向：a>0 开口向上，a<0 开口向下；|a| 越大，开口越小。 2. 对称轴：直线 。 3. 顶点坐标：。 4. 增减性：a>0 时对称轴左侧（）y 随 x 增大而减小、右侧増大；a<0 时对称轴左侧 y 随 x 增大而增大、右侧减小。 5. 最值：a>0 时当 取最小值 ；a<0 时当 取最大值 。 推导 ，得对称轴 、顶点公式，归纳五大性质 让学生亲历顶点式推导全过程，理解公式由来、避免机械记忆，突破公式推导难点，强化配方代数变形能力，将零散性质系统化，构建完整知识体系。 五、典型例题 【典型例题】 例1：已知二次函数 y=x²−2x−3，请完成下列问题。 （1）用配方法将函数化为顶点式；（2）求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）求函数的最值；（4）判断函数的增减性。 【分析】完整覆盖一般式转顶点式、公式应用、性质分析等核心考点，层层递进、贴合课堂新知。 （1）配方：。 （2）由顶点式可知 a=1>0，开口向上；对称轴为直线 ；顶点坐标为 。 （3）∵ a=1>0，函数有最小值无最大值；当 时，。 （4）对称轴 x=1、开口向上，当 时 y 随 x 增大而减小，当 时 y 随 x 增大而增大。 配方 求开口、对称轴、顶点、最值与增减性 综合性例题整合配方转化、公式应用与性质分析，规范解题步骤，培养严谨答题习惯，实现一般式性质分析方法的学以致用。 六、当堂检测 课本课堂练习（P43）。 1.（2025·河南）在二次函数 y=ax²+bx−2 中，x 与 y 的几组对应值如表所示。 相应表格（x：−2、0、1；y：−2、−2、1）。 （1）求二次函数的表达式；（2）求图象的顶点坐标，并在坐标系中画出图象；（3）将图象向右平移 n 个单位后，当 0≤x≤3 时若最大、最小值之差为 5，直接写出 n 的值。 解答：（1）由表格可知对称轴是直线 ，可设 ，又过 (0,−2)、(1,1)，解得 、，故 ，即 ； （2）顶点坐标为 ）； （3）平移后 ，对称轴 。分情况讨论可得 n=1 或 n=4。 中考真题（变式）讲练。 2.（2025·陕西变式）二次函数 （a≠0）的图象与 x 轴有两个交点且位于 y 轴两侧，则下列说法正确的是（　　） A. 开口向下　　B. 当 x>0 时 y 随 x 增大而增大　　C. 函数的最小值小于 −3　　D. 当 x=2 时 y<0 答：D。由两根异号得 ，得 0<a<3，开口向上、对称轴 x=1；于是当 x=2 时 y=a−3<0，故选 D。 3.（2025·福建变式）点 A(−2,·)、B(1,·) 在抛物线 上，若 3<b<4，则下列判断正确的是（　　） A. 1<y₁<y₂　　B. y₁<1<y₂　　C. 1<y₂<y₁　　D. y₂<1<y₁ 答：A。开口向上，对称轴 ，由 3<b<4 得其位于 ，点 (0,1) 在抛物线上；点 A 到对称轴距离大于 (0,1) 而小于 B，故 。 4.（2025·泸州变式）已知抛物线 y=ax²+bx+c 的对称轴为直线 x=1，与 y 轴交点位于 x 轴下方，且 x=−1 时 y>0，下列结论正确的是（　　） A. 2a=b　　B. b²−4ac<0　　C. a−2b+4c<0　　D. 8a+c>0 答：D。由对称轴 x=1 得 b=−2a（A 错）；与 y 轴交点在下、x=−1 时 y>0，可知抛物线与 x 轴有两个交点，b²−4ac>0（B 错）；又另一交点必在 x∈(2,3)，故 x=2 时 y=4a−2b+c>0，即 8a+c>0（D 对）。 由表格求 及顶点、平移后最值差，判断系数符号与函数值大小 课本练习与中考真题结合，巩固配方与公式应用、图象性质判断、函数值比较与平移，帮助明确考试方向、检验成果、提升应考能力与学习动力。 七、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 知识技能：（1）掌握一般式化顶点式的配方法步骤；（2）熟记通用公式：对称轴 x=−b/2a，顶点坐标 (−b/2a,(4ac−b²)/4a)；（3）熟练根据 a、b、c 判断开口、对称轴、顶点、增减性、最值五大核心性质。 2. 思想方法：（1）转化思想：化陌生的一般式为熟悉的顶点式、化未知为已知；（2）数形结合：由解析式分析图象性质，以形助数、以数释形；（3）归纳推理：由特殊函数性质归纳通用一般式性质。 3. 易错提醒：（1）配方时易漏加漏减常数项、符号计算出错；（2）公式中符号易错——对称轴是 −b/2a，切勿遗漏负号；（3）增减性必须以对称轴为分界，不能笼统描述；（4）最值必须对应自变量取值（顶点横坐标），不可只写函数值。 核心口诀：先配方、再读式；对称轴 x=−b/2a，顶点带 4ac−b² 除以 4a。 梳理 与顶点公式、配方步骤和易错点 对本课知识进行结构总结，强化公式理解与配方细节等易混要点，增强学习主动性与连贯性。 板书设计 26.2.3 二次函数 y=ax²+bx+c （第1课时）的图象和性质 主板书 一、一般式转化为顶点式 提取 a → 括号内配方 → 整理 y=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/4a 二、核心公式 1. 对称轴：直线 x=-b/2a 2. 顶点坐标：(-b/2a,(4ac-b²)/4a) 三、函数性质（五大性质） 1. 开口：a>0 上、a<0 下，|a|定宽窄 2. 对称轴：x=-b/2a（增减分界） 3. 顶点：(-b/2a,(4ac-b²)/4a) 4. 增减性：分对称轴左右讨论 5. 最值：最值=(4ac-b²)/4a 四、易错点 配方漏项符号、漏负号、增减不分界、 最值忘对应顶点横坐标 副板书 典型例题（配方、性质、最值、增减） 例题、学生练习板演 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $