26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第1课时 探究二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质） 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

课题

26.2.3 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质（第1课时）

学科

数学

年级

九年级

教材版本

人教版（2024）

课时

第1课时

课型

新授课

教学目标

（1）掌握用配方法将 y=ax²+bx+c（a≠0）化为顶点式的方法；熟记一般式的对称轴、顶点坐标公式；熟练掌握一般式的开口方向、增减性、最值，能利用公式和性质解决基础题型；

（2）经历「配方转化—公式推导—性质归纳—例题应用」的完整探究过程，提升代数变形、逻辑推理、数形结合分析问题的能力，体会转化、归纳的数学思想；

（3）通过自主推导公式、归纳性质，感受数学知识的连贯性和统一性，增强自主探究意识和学习自信心，提升数学核心素养。

教学重点

用配方法将二次函数一般式化为顶点式；掌握二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；能利用公式和性质解决基础计算、图象分析问题。

教学难点

一般式二次函数顶点坐标、对称轴公式的推导过程（配方的代数变形逻辑）；结合对称轴准确判断二次函数在任意区间内的增减性，区分最值与函数增减变化的关联。

教学方法

启发提问、配方推导、数形结合、变式对比

教学准备

多媒体课件、方格纸

课后练习

必做：课本习题26.2第3、4题；探究性作业：课本习题26.2第5题

板书设计

见板书设计部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、创设情景，
引入新课

复习回顾：（1）我们之前学习的二次函数顶点式是什么？它的优势是什么？

学生回顾：顶点式 y=a(x-h)²+k 可以直接看出顶点、对称轴和最值。

（2）说出 y=2(x−1)²+3 的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。

学生作答：a=2>0 开口向上，对称轴 x=1，顶点 (1,3)，最小值为 3。

（3）实际问题中，二次函数常以 y=2x²−4x+1 这种一般

回顾顶点式优势并说出 性质，感受一般式无法直接判断

通过旧知回顾搭建知识桥梁，利用认知冲突激发探究欲望，明确本节

式出现，它不是顶点式，如何快速判断它的图象和性质？

师生互动：发现一般式无法直接判断性质，产生探究需求，明确本节课学习核心——探究一般式二次函数的通用性质，自然引入新课。

课学习核心，自然引入一般式二次函数性质探究的新课。

二、探究点1：
画 y=½x²-6x+21
图象并讨论性质

探究点1：画出二次函数 y=½x²−6x+21 的图象，并讨论它的性质。

活动1：通过图象的平移得到该函数的图象。

对 配方，可得 。先画 的图象，再把它向右平移 6 个单位、向上平移 3 个单位，就得到目标函数的图象。

追问：还可以怎样平移？

活动2：直接画出该函数的图象。

由配方结果可知，抛物线的顶点是 ，对称轴是直线 。

先利用图象的对称性列表：取 x=3、4、5、6、7、8、9，对应 y 值依次为 7.5、5、3.5、3、3.5、5、7.5；然后描点画图，得到图象如下图。

活动3：观察 y=½(x−6)²+3 的图象，讨论它的性质。

从图象可以看出：对称轴左侧抛物线从左到右下降、右侧从左到右上升，即当 时 y 随 x 增大而减小，当 时 y 随 x 增大而增大，当 时 y 取最小值 3。

由配方 得顶点 (6,3)、对称轴 x=6，画图象并说增减性最值

让学生亲历「平移法」与「直接画图法」两种作图路径，依托已有顶点式知识掌握一般式作图方法，渗透转化思想，为公式推导与性质归纳奠基。

三、探究点2：
研究 y=½x²+2x+4

探究点2：利用上面的方法研究二次函数 y=½x²+2x+4 的图象，并讨论它的性质。

配方：。

由顶点式可知顶点是 ，对称轴是直线 。

配方 得顶点 (-2,2)、对称轴 x=-2 并说性质

通过第二个实例强化「配方化顶点

从图象可以看出：当 时 y 随 x 增大而减小，当 时 y 随 x 增大而增大，当 时 y 取最小值 2。

教师小结：上述两个具体函数都由一般式经配方化为顶点式，从而快速地确定图象的特征与性质。

式→确定图象特征与性质」的一般方法，让学生举一反三、落实转化与数形结合思想。

四、探究点3：
配方推导一般式
归纳性质

探究点3：探究二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质。

活动5：将一般式转化为顶点式（配方法）。

第一步，提取二次项系数：；

第二步，配方（加、减一次项系数一半的平方）：；

第三步，整理化为顶点式：。

总结：结合顶点式 ，对比得出对称轴为直线 ，顶点坐标为 。

易错强调：配方时仅对含 x 的项变形，提取系数后括号内配方，常数项需整体整理，注意符号与通分计算。

活动6：归纳一般式二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与性质。

1. 开口方向：a>0 开口向上，a<0 开口向下；|a| 越大，开口越小。

2. 对称轴：直线 。

3. 顶点坐标：。

4. 增减性：a>0 时对称轴左侧（）y 随 x 增大而减小、右侧増大；a<0 时对称轴左侧 y 随 x 增大而增大、右侧减小。

5. 最值：a>0 时当 取最小值 ；a<0 时当

推导 ，得对称轴 、顶点公式，归纳五大性质

让学生亲历顶点式推导全过程，理解公式由来、避免机械记忆，突破公式推导难点，强化配方代数变形能力，将零散性质系统化，构建完整知识体系。