26.3 二次函数与一元二次方程（第1课时）课件2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，通过一次函数与一元一次方程的关联导入，引导学生从函数值和图像角度理解方程的解，搭建从一次到二次的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合数形结合观察二次函数图像与x轴公共点，通过小球飞行高度等实际问题建模，体现数学眼光的几何直观、数学思维的推理意识和数学语言的模型意识。学生能深化知识联系，教师可借助清晰路径提升教学效率。

第二十六章　二次函数 26.3　二次函数与一元二次方程（第 1 课时） 数学人教版九年级上册 新课导入 　　问题　你能从函数的角度说说你对方程 2x＋1＝0 的解的理解吗？ 　　如图，方程 2x＋1＝0 的解，从函数值考虑，就 是函数 y＝2x＋1 的函数值为 0 时的自变量的值； 　　从函数图象考虑，即为函数 y＝2x＋1 的图象与 x 轴的公共点的横坐标． 3 2 1 －1 －1 1 2 3 O y x y＝2x＋1 新知探究 　　思考：请画出以下二次函数的图象，观察并回答问题： 　　（1）y＝x2＋x－2； 　　（2）y＝x2－8x＋16； 　　（3）y＝x2－x＋1． 　　问题 1　以上二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点 的横坐标是多少？  新知探究 （1）y＝x2＋x－2 （2）y＝x2－8x＋16 （3）y＝x2－x＋1 （－2，0），（1，0） （4，0） 无公共点 二次函数 二次函数图象与 x 轴的公共点 　　问题 1　当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？ 　　当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0． 新知探究 　　问题 2　求下列方程 x2＋x－2＝0，x2－8x＋16＝0， x2－x＋1＝0 的根． 　　方程 x2＋x－2＝0 的根是 x1＝－2，x2＝1； 　　方程 x2－8x＋16＝0 的根是 x1＝x2＝4； 　　方程 x2－x＋1＝0 无实数根． 　　追问　你能从函数的角度对这三个方程进行解释吗？ 　　解这三个方程，就是求相应的二次函数的函数值为 0 时对应的自变 量的值． 新知探究 　　问题 3　结合二次函数的图象，请你说说对一元二次方程的根的认识． 　　一般地，从二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象，可得如下结论： 　　如果抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，那 么当 x＝x0 时，函数值是 0，因此 x＝x0 是方程 ax2+bx+c＝0 的一个根． 归纳 二次函数 二次函数的图象与 x 轴的公共点 一元二次方程 一元二次方程的根 y＝x2＋x－2 2 个：（−2，0），（1，0） x2＋x－2＝0 两个不相等实数根： x1＝－2，x2＝1 y＝x2－8x＋16 1 个：（4，0） x2－8x＋16＝0 两个相等实数根： x1＝x2＝4 y＝x2－x＋1 无公共点 x2－x＋1＝0 无实数根 新知探究 　　追问 1　反过来由一元二次方程的根的情况，可否确定相应二次函 数与 x 轴的公共点的情况？ 　　完全可以，二者是相互对应的 二次函数 二次函数图象与 x 轴的公共点 一元二次方程 一元二次方程的根 y＝x2＋x－2 2 个：（−2，0），（1，0） x2＋x－2＝0 两个不相等实数根： x1＝－2，x2＝1 y＝x2－8x＋16 1 个：（4，0） x2－8x＋16＝0 两个相等实数根： x1＝x2＝4 y＝x2－x＋1 无公共点 x2－x＋1＝0 无实数根 　　追问 2　通过探究你发现了二次函数与相应的一元二次方程之间的 什么联系？请用文字表达你的发现． 新知探究 　　一般地，从二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象，可得如下结论： 　　二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的公共点的情况有三种： 　　①有两个公共点，对应着一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不 相等实数根； 　　②有一个公共点，对应着一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相 等实数根； 　　③没有公共点，对应着一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 没有实数根． 归纳 例题精讲 　　例　如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30º 角的方向击出时， 小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行 时间 t（单位：s）的关系近似为 h＝20t－ 5t2．小球的飞行高度能否达到 20 m？如 果能，需要多长时间？ 　　分析： 实际问题：飞行高度能否达到 20 m 函数问题：二次函数 h＝20t－5t2 的函数值能否取到 20 方程问题：讨论一元二次方程 20＝20t－5t2 的根 （抽象） （转化） 9 　　例　如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30º 角的方向击出时， 小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行 时间 t（单位：s）的关系近似为 h＝20t－ 5t2．小球的飞行高度能否达到 20 m？如 果能，需要多长时间？ 　　解：当 h＝20 时，由函数关系 h＝20t－5t2，列得方程 20＝20t－5t2， 　　即 t2－4t＋4＝0． 　　解方程，得 t1＝t2＝2． 例题精讲 10 例题精讲 　　追问 1　我们刚才解方程 20＝20t－5t2 ，得到了 t1＝t2＝2 ，这是两个相等的实数 根．从函数解析式看，这说明什么？ 　　当 t＝2 时，二次函数 h＝20t－5t2 的函数值刚好等于 20． 　　追问 2　结合小球飞行的实际情况，这又说明什么？ 　　当小球飞行 2 s 时，它的飞行高度为 20 m． 　　追问 3　你能结合二次函数图象指出为什么只在一个时间小球的高度为 20 m 吗？ 　　小球在某一时间达到最大高度，所以只在一个时间 球的高度为 20 m．因此当小球飞行 2 s 时，球达到最大 高度为 20 m． 11 例题精讲 　　例　如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30º 角的方向击出时， 小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行 时间 t（单位：s）的关系近似为 h＝20t－ 5t2．小球的飞行高度能否达到 20 m？如 果能，需要多长时间？ 　　解：当 h＝20 时，由函数关系 h＝20t－5t2，列得方程 20＝20t－5t2， 　　即 t2－4t＋4＝0． 　　解方程，得 t1＝t2＝2． 　　这说明，当自变量 t＝2 时，二次函数 h＝20t－5t2 的函数值为 20，即当小球飞行 2 s 时，它的飞行高度为 20 m． 12 例题精讲 　　追问 4　（1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，飞行时间可以是多少？ 　　解：当 h＝15 时，由函数关系 h＝20t－5t2 ，列得方程 15＝20t－5t2 ， 　　即 t2－4t＋3＝0， 解得 t1＝1，t2＝3， 　　这说明，当自变量 t＝1 或 3 时，二次函数 h＝20t－5t2 的函数值为 15， 　　即当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的飞行高度为 15 m． 　　（2）小球的飞行高度能否达到 21 m？如果能，飞行时间可以是多少？ 　　解：当 h＝21 时，由函数关系 h＝20t－5t2 ，列得方程 21＝20t－5t2 ， 　　即 5t2－20t＋21＝0，Δ＝－20＜0，方程无实数根， 　　这说明，小球的飞行高度达不到 21 m．  13 例题精讲 　　追问 5　你能结合函数图象指出为什么在两个时间小球的高度为 15 m 吗？高度 为 21 m 的情况呢？ 14 例题精讲 　　追问 5　你能结合函数图象指出为什么在两个时间小球的高度为 15 m 吗？高度 为 21 m 的情况呢？ h －1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 －5 5 10 15 20 25 t h＝21 h＝20t－5t2 h －1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 －5 5 10 15 20 25 t h＝15 h＝20t－5t2 　　t＝1 或 3 时小球的高度为 15 m，对应图象中抛物线有两处函数值为15，即小球上升、下落过程各经过一次 15 m 的高度． 　　不存在 t 使得小球的高度为 21 m，对应图象中抛物线没有函数值为 21，说明小球的高度达不到 21 m． 15 例题精讲 　　追问 6　小球从飞出到落地，需要多长时间？ 　　解：小球落地，即 h＝0， 　　当 h＝0 时，由函数关系 h＝20t－5t2 ，列得方程 0＝20t－5t2， 　　即 t2－4t＝0， 解得 t1＝0，t2＝4． 　　这说明，当自变量 t＝0 或 4 时，二次函数 h＝20t－5t2 的函数值为 0，分别对应 小球飞出和落地的时间，即当小球从飞出到落地，需要的时间为 4 s． 16 　　总结：经历探究小球飞行的多种不同高度的问题，你能说说研究这 类实际问题的基本路径吗？ 新知探究 一元二次方程问题 实际问题 二次函数图象 二次函数问题 （抽象） （数形结合） （转化） （验证） 17 课堂练习 　　1. 下列函数的图象与 x 轴是否有公共点？如果有公共点，写出公共 点的坐标． 　　（1）y＝3x2－6x＋9；　　　（2）y＝2x2－4x－6． 　　解：（1）令 y＝0， 则 3x2－6x＋9＝0， 　　即 x2－2x＋3＝0，Δ＝－8＜0，方程无解， 　　对应二次函数 y＝3x2－6x＋9 与 x 轴没有公共点． 　　（2）令 y＝0， 则 2x2－4x－6＝0， 　　即 x2－2x－3＝0， 解得 x1＝3， x2＝－1， 　　对应二次函数 y＝2x2－4x－6 与 x 轴有公共点（3，0）和（－1，0）. 18 课堂练习 　　2. 一辆汽车在一段时间内加速行驶，测得行驶路程 l（单位：m）关 于行驶时间 t（单位：s）的函数解析式是 l＝9t＋ t2，经过 10 s 汽车行 驶了多远？行驶 180 m 需要多长时间？ 　　解：当 t＝10，l＝9×10＋　×102＝140，即经过 10 s 汽车行驶了 140 m； 　　令 l＝180，则 180＝9t＋　t2，即 t2＋18t－360＝0， 　　解得 t1＝12，t2＝－30． 　　由于 t>0，故 t＝12，因此汽车行驶 180 m 所需时间为 12 s． 　　答：经过 10 s 汽车行驶了 140 m，行驶 180 m 所需时间为 12 s． 1 2 1 2 1 2 19 　　回顾本节课所学主要内容，请思考以下问题： 　　（1）请用函数的观点，从数和形两个角度说说你对一元二次方程 有什么新的理解？ （2）请用函数的观点，说说二次函数与一元二次方程的联系． （3）通过本节课的学习，你体会到了什么重要的数学思想方法？ 课堂小结 课后任务 基础作业 教科书习题 26.3 第 1 题． 拓展提升 教科书习题 26.3 第 6 题． EVCapture4.1.8软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $